1、2020 年中考数学二模试卷年中考数学二模试卷 一、选择题（共 6 小题） 1下列各数中，无理数是（ ） A21 B C D2 2直线 yx+1 不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3如果关于 x 的方程 x24x+m0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围为（ ） Am4 Bm4 Cm4 Dm4 4如图为某队员射击 10 次的成绩统计图，该队员射击成绩的众数与中位数分别是（ ） A8，7.5 B8，7 C7，7.5 D7，7 5如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以下说法错误的是（ ） AABC90 BACBD COAOB DOAAB
2、6已知在 ABC 中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），那么 交点 O 是ABC 的（ ） 示意图 作图步骤 （1）分别以点 B、C 为圆心，大于BC 长为半径作 圆弧，两弧分别交于点 M、N，联结 MN 交 BC 于点 D； （2）分别以点 A、C 为圆心，大于AC 长为半径作 圆弧，两弧分别交于点 P、Q，联结 PQ 交 AC 于点 E； （3）联结 AD、BE，相交于点 O A外心 B内切圆的圆心 C重心 D中心 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7（a2）3 8化简： 9方程1 的解为 10函数 y的定义域为 11 如果抛物线 y
3、 （k1） x2+9 在 y 轴左侧的部分是上升的， 那么 k 的取值范围是 12从一副 52 张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是 13某中学为了解初三学生的视力情况，对全体初三学生的视力进行了检测，将所得数据整 理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分 别为 0.05，0.1，0.25，0.1，如果第四小组的频数是 180 人，那么该校初三共有 位 学生 14某公司市场营销部的个人月收入 y（元）与其每月的销售量 x（件）成一次函数关系， 其图象如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的月销售量为 0 件时，他的月 收入是 元 15
4、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBDBC，如果C50，那么ABD 的度 数是 16如图，在ABC 中，AD 为边 BC 上的中线，DEAB，已知 ， ，那么用 ， 表示 17如图，在正方形 ABCD 中，AB10，点 E 在正方形内部，且 AEBE，cotBAE2， 如果以E为圆心， r为半径的E与以CD为直径的圆相交， 那么r的取值范围为 18如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，点 D、E 分别是边 BC、AB 上一 点，DEAC，BD5，把BDE 绕着点 B 旋转得到BDE（点 D、E 分别与点 D， E对应），如果点 A，D、E在同一直线上，那么 AE的长为 三、
5、解答题(本大题共 7 题，满分 78 分） 19先化简，再求值：（1），其中 x+2 20解不等式组：并把解集在数轴上表示出来 21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+3 与 x，y 轴分别交于点 A、B，与双曲线 y交于点 C（a，6），已知AOB 的面积为 3，求直线与双曲线的表达式 22如图 1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边 OM 上的点 A 处，另一端 B 在边 ON 上滑动，图 2 为某一位置从上往下看的平面图，测得ABO 为 37，AOB 为 45，OB 长为 35 厘米，求 AB 的长（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan37 0.75
6、） 23如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在边 BC 上，联结 AD，以 AD 为一边作ADE，满 足 ADAE，DAEBAC，联结 EC （1）求证：CA 平分DCE； （2）如果 AB2BD BC，求证：四边形 ABDE 是平行四边形 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3， 0） ， 该抛物线对称轴上的点 P 在 x 轴上方， 线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90至 PC （点 B 对应点 C），点 C 恰好落在抛物线上 （1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴； （2）求点 P 的坐标； （3）点 Q 在抛物线上，
7、联结 AC，如果QACABC，求点 Q 的坐标 25如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，cosC，DC5，BC6，以点 B 为圆心，BD 为半径作圆弧，分别交边 CD、BC 于点 E、F （1）求 sinBDC 的值； （2）联结 BE，设点 G 为射线 DB 上一动点，如果ADG 相似于BEC，求 DG 的长； （3）如图 2，点 P、Q 分别为边 AD、BC 上动点，将扇形 DBF 沿着直线 PQ 折叠，折叠 后的弧 DF经过点 B 与 AB 上的一点 H（点 D、F 分别对应点 D，F），设 BHx，BQ y，求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写定义域） 参考答案
8、一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1下列各数中，无理数是（ ） A21 B C D2 【分析】根据有理数的分类和无理数的概念求解可得 解：A21，是分数，属于有理数； B4 是整数，属于有理数； C是分数，属于有理数； D2 是无理数； 故选：D 2直线 yx+1 不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由 k10，b10，即可判断出图象经过的象限 解：直线 yx+1 中，k10，b10， 直线的图象经过第一，二，四象限 不经过第三象限， 故选：C 3如果关于 x 的方程 x24x+m0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围为（
9、 ） Am4 Bm4 Cm4 Dm4 【分析】由方程有两个不相等的实数根得出（4）24m0，解之可得 解：根据题意知（4）24m0， 解得 m4， 故选：B 4如图为某队员射击 10 次的成绩统计图，该队员射击成绩的众数与中位数分别是（ ） A8，7.5 B8，7 C7，7.5 D7，7 【分析】先根据折线图将这 10 个数据从小到大排列，再根据众数和中位数的概念求解可 得 解：由折线图知，这 10 个数据分别为 3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， 所以这组数据的众数为 8，中位数为7.5， 故选：A 5如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以下说法错误的是（ ）
10、 AABC90 BACBD COAOB DOAAB 【分析】利用排除法解决问题即可，只要证明 A、B、C 正确即可 解：四边形 ABCD 是矩形， ABC90，ACBD，OAOC，OBOD， OAOB， 故 A、B、C 正确， 故错误的是 D， 故选：D 6已知在 ABC 中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），那么 交点 O 是ABC 的（ ） 示意图 作图步骤 （1）分别以点 B、C 为圆心，大于BC 长为半径作 圆弧，两弧分别交于点 M、N，联结 MN 交 BC 于点 D； （2）分别以点 A、C 为圆心，大于AC 长为半径作 圆弧，两弧分别交于点 P、Q，联结 P
11、Q 交 AC 于点 E； （3）联结 AD、BE，相交于点 O A外心 B内切圆的圆心 C重心 D中心 【分析】根据尺规作图得到 AD、BE 是ABC 的中线，根据重心的概念判断即可 解：由尺规作图可知，MN、PQ 分别是线段 BC、AC 的垂直平分线， 点 D、E 分别是 BC、AC 的中点， AD、BE 是ABC 的中线， 点 O 是ABC 的重心， 故选：C 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7（a2）3 a6 【分析】直接根据幂的乘方法则运算即可 解：原式a6 故答案为 a6 8化简： 【分析】 根据二次根式的性质， 算术平方根的值必须是正数， 所以开方
12、所得结果是|1 |，然后再去绝对值 解：因为1， 所以1 故答案为：1 9方程1 的解为 x1 【分析】方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得 x 的值，然后把 x 的值代入进 行检验即可 解：方程两边平方，得：2x1， 解得：x1 经检验：x1 是方程的解 故答案是：x1 10函数 y的定义域为 x1 且 x0 【分析】根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为 0 列出不等式，解不等式得 到答案 解：由题意得，x+10，x0， 解得，x1 且 x0， 故答案为：x1 且 x0 11 如果抛物线 y （k1） x2+9 在 y 轴左侧的部分是上升的， 那么 k 的取值范围是 k1 【分
13、析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则 k10，然后解不等式即可 解：抛物线 y（k1）x2+9 在 y 轴左侧的部分是上升的， 抛物线开口向下， k10， 解得 k1 故答案为：k1 12从一副 52 张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是 【分析】直接利用概率公式计算 解：任意抽取一张牌，抽到梅花的概率 故答案为 13某中学为了解初三学生的视力情况，对全体初三学生的视力进行了检测，将所得数据整 理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分 别为 0.05，0.1，0.25，0.1，如果第四小组的频数是 180 人，那么该校初三共有 36
14、0 位 学生 【分析】先根据频率之和为 1 求出第四组的频率，再结合第四组的频数，利用总数频 数频率求解可得 解：图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分别为 0.05，0.1，0.25，0.1， 第四小组的频率为 1（0.05+0.1+0.25+0.1）0.5， 又第四小组的频数是 180 人， 该校初三学生人数为 1800.5360（位）， 故答案为：360 14某公司市场营销部的个人月收入 y（元）与其每月的销售量 x（件）成一次函数关系， 其图象如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的月销售量为 0 件时，他的月 收入是 3000 元 【分析】根据函数图象中的数据，可以求得 y
15、与 x 的函数关系式，然后令 x0，求出相 应的 y 的值，即可解答本题 解：设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， ， 解得， 即 y 与 x 的函数关系式为 y50x+3000， 当 x0 时，y3000， 即当营销人员的月销售量为 0 件时，他的月收入是 3000 元， 故答案为：3000 15如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBDBC，如果C50，那么ABD 的度 数是 20 【分析】根据题意可得三角形 BDC 和三角形 ABD 是等腰三角形，再根据 ADBC，可 得BDADBC，再根据三角形内角和即可求出ABD 的度数 解：BDBC， BDCC50， DBC1802C8
16、0， ADBC， BDADBC80， ABBD， ABDA80， ABD1802A20 故答案为：20 16如图，在ABC 中，AD 为边 BC 上的中线，DEAB，已知 ， ，那么用 ， 表示 2 【分析】利用三角形法则可知：+，求出，即可解决问题 解：AD 是中线， BDDC， DEAB， AEEC， ABDE，AB2DE， 2 ， ，+， 2 +， 故答案为：2 + 17如图，在正方形 ABCD 中，AB10，点 E 在正方形内部，且 AEBE，cotBAE2， 如果以 E 为圆心，r 为半径的E 与以 CD 为直径的圆相交，那么 r 的取值范围为 3 +5 【分析】设 AB 的中点为
17、G，连接 EG，延长 BE 交 CD 于 H，根据直角三角形的性质得 到 EGAB5，根据三角函数的定义得到 CHBCCD5，推出点 H 是以 CD 为直径的圆的圆心，设 BEk，AE2k，得到 BE2，根据勾股定理得到 BH 5，求得 EHBHBE3 ，于是得到结论 解：设 AB 的中点为 G， 连接 EG，延长 BE 交 CD 于 H， AEBE， AEB90， EGAB5， 在正方形 ABCD 中，CABC90， BAE+ABEABE+CBH90， CBHBAE， cotBAEcotCBH2， CHBCCD5， 点 H 是以 CD 为直径的圆的圆心， 设 BEk，AE2k， ABk10，
18、 k2， BE2， C90，BC10，CH5， BH5， EHBHBE3， r 为半径的E 与以 CD 为直径的圆相交， r 的取值范围为 3+5， 故答案为：3+5 18如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，点 D、E 分别是边 BC、AB 上一 点，DEAC，BD5，把BDE 绕着点 B 旋转得到BDE（点 D、E 分别与点 D， E对应），如果点 A，D、E在同一直线上，那么 AE的长为 或 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当点 D在线段 AE上时，解直角三角形求 出 AD，DE即可如图 2 中，当 E在线段 AD上时，同法可得 解：如图 1 中，当点 D在线段 A
19、E上时， 在 RtACB 中，ACB90，AC6，BC8， AB10， DEAC， BDEBCA， ， ， DE， ADB90， AD5， AEAD+DE5+， 如图 2 中，当 E在线段 AD上时，同法可得 AEADDE5 综上所述，满足条件的 AE的长为或 故答案为或 三、解答题(本大题共 7 题，满分 78 分） 19先化简，再求值：（1），其中 x+2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 解：原式（） ， 当 x+2 时， 原式 20解不等式组：并把解集在数轴上表示出来 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小
20、大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 解：解不等式，得：x3， 解不等式，得：x1， 则不等式组的解集为1x3， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+3 与 x，y 轴分别交于点 A、B，与双曲线 y交于点 C（a，6），已知AOB 的面积为 3，求直线与双曲线的表达式 【分析】先利用一次函数解析式确定 B 点坐标，再利用三角形面积公式求出 OA 得到 A 点坐标为（2，0），接着把 A 点坐标代入 ykx+3 中求出 k 得到一次函数解析式为 y x+3，然后利用一次函数解析式确定 C 点坐标，最后利用待定系数法求反比例函数解析
21、式 解：当 x0 时，ykx+33，则 B（0，3）， AOB 的面积为 3， 3OA3，解得 OA2， A 点坐标为（2，0）， 把 A（2，0）代入 ykx+3 得 2k+30，解得 k， 一次函数解析式为 yx+3， 把 C（a，6）代入得a+36，解得 a2， C 点坐标为（2，6）， 把 C（2，6）代入 y得 m2612， 反比例函数解析式为 y 22如图 1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边 OM 上的点 A 处，另一端 B 在边 ON 上滑动，图 2 为某一位置从上往下看的平面图，测得ABO 为 37，AOB 为 45，OB 长为 35 厘米，求 AB 的长（参考数据
22、：sin370.6，cos370.8，tan37 0.75） 【分析】作 ACOB 于点 C，然后根据题意和锐角三角函数可以求得 AC 和 BC 的长，再 根据勾股定理即可得到 AB 的长，本题得以解决 解：作 ACOB 于点 C，如右图 2 所示， 则ACOACB90， AOC45， AOCCOA45， ACOC， 设 ACx，则 OCx，BC35x， ABC37，tan370.75， 0.75， 解得，x15， 35x20， AB25（厘米）， 即 AB 的长为 25 厘米 23如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在边 BC 上，联结 AD，以 AD 为一边作ADE，满 足 ADAE，D
23、AEBAC，联结 EC （1）求证：CA 平分DCE； （2）如果 AB2BD BC，求证：四边形 ABDE 是平行四边形 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BACB，证明ABDACE，根据全 等三角形的性质得到BACE，根据角平分线的定义证明结论； （2）根据相似三角形的判定定理得到ABDCBA，得到BADACB，分别证明 AEBD，ABDE，根据平行四边形的判定定理证明 【解答】（1）证明：ABAC， BACB， DAEBAC， BACDACDAEDAC，即BADCAE， 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS）， BACE， ACBACE， CA 平分DCE； （2）证明
24、：AB2BD BC， ， 又BB， ABDCBA， BADACB， ABDACE， BADCAE， CAEACB， AEBD， ABAC，ADAE，DAEBAC， ACBADE， BADADE， ABDE， AEBD，ABDE， 四边形 ABDE 是平行四边形 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3， 0） ， 该抛物线对称轴上的点 P 在 x 轴上方， 线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90至 PC （点 B 对应点 C），点 C 恰好落在抛物线上 （1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴； （2）求点 P 的坐标； （3）点
25、 Q 在抛物线上，联结 AC，如果QACABC，求点 Q 的坐标 【分析】（1）将点 A、B 坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）证明PMCBNP（AAS），则 PMBN，MCPN，即可求解； （3）设 MH3x，用 x 表示 AM、GM，利用 AGAM+GM，求出 x 的值；在AOH 中，OH，求得点 H 的坐标，即可求解 解：（1）将点 A、B 坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：yx2+2x+3； 函数的对称轴为：x1； （2）设点 C（m，n），则 nm2+2m+3，点 P（1，s）， 如图 1，设抛物线对称轴交 x 轴于点 N，过点 C 作 CMPN 交抛物线
26、对称轴于点 M， PBN+BPN90，BPN+MPC90， MPCPBN， PMCBNP90，PBPC， PMCBNP（AAS）， PMBN，MCPN， ，解得：， 故点 C（2，3），点 P（1，1）； 故点 P 的坐标为（1，1）； （3）设直线 AC 交 y 轴于点 G，直线 AQ 交 y 轴于点 H， 由（2）知，点 C（2，3），而点 A（1，0）， 过点 C 作 CKx 轴于点 K，则 CKAK3， 故直线 AC 的倾斜角为 45，故AGOGAO45， tanABC3 QACABC， tanQAC3； 在AGH 中，过点 H 作 HMAG 于点 M，设 MH3x， AGO45，则
27、GOAO1， MGMH3x， tanQAC3，则 AMx， AGAM+GMx+3x， 解得：x， 在AHM 中，AHx， 在AOH 中，OH，故点 H（0，）， 由点 A、H 的坐标得，直线 AH 的表达式为：yx， 联立并解得：x1（舍去）或， 故点 Q 的坐标为：（，） 25如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，cosC，DC5，BC6，以点 B 为圆心，BD 为半径作圆弧，分别交边 CD、BC 于点 E、F （1）求 sinBDC 的值； （2）联结 BE，设点 G 为射线 DB 上一动点，如果ADG 相似于BEC，求 DG 的长； （3）如图 2，点 P、Q 分别为边
28、AD、BC 上动点，将扇形 DBF 沿着直线 PQ 折叠，折叠 后的弧 DF经过点 B 与 AB 上的一点 H（点 D、F 分别对应点 D，F），设 BHx，BQ y，求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写定义域） 【分析】 （1）如图 1 中，连接 BE，过点 D 作 DKBC 于 K，过点 B 作 BJCD 于 J想 办法求出 BJ，BD 即可解决问题 （2）分两种情形分别求解：当ADGBCE 时当ADGECB 时，分别利 用相似三角形的性质求解即可 （3）如图 3 中，过点 B 作 BJPQ 交于 J，连接 BJ，JH，JQ，过点 J 作 JGBH 于 G，过点 Q 作 QKJH 于
29、K由题意 BQQJy，求出 QK，KJ，在 RtQKJ 中，利用 勾股定理即可解决问题 解：（1）如图 1 中，连接 BE，过点 D 作 DKBC 于 K，过点 B 作 BJCD 于 J 在 RtCDK 中，DKC90，CD5，cosC， CK3， BC6， BKCK3， ADBC，ABC90， A90 DKBC， AABCDKB90， 四边形 ABKD 是矩形， ADBK3， DBDC5，DK4， SDCB BC DK CD BJ， BJ， DJ， BDBE，BJDE， DJJE， ECCDDJJE5， sinBDC （2）如图 2 中， ADBC， ADGDBC， DBDC， DBCC， ADGC， ADG 相似BEC， 有两种情形：当ADGBCE 时， ， ， DG， 当ADGECB 时， ， ， DG （3）如图 3 中，过点 B 作 BJPQ 交于 J，连接 BJ，JH，JQ，过点 J 作 JGBH 于 G，过点 Q 作 QKJH 于 K 由题意：QBQJy，BJBD5， JBJH，JGBH， BGGHx， JG， GBQBGKQKG90， 四边形 BGKQ 是矩形， BQGKy，QKGBx， 在 RtQKJ 中， JQ2QK2+KJ2， y2x2 +（ y）2， y