1、2020 年中考数学二诊试卷年中考数学二诊试卷 一、选择题 13 的绝对值是（ ） A3 B3 C D 2如图是由 5 个大小相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A B C D 3 截至 2013 年末全国大陆总人口约为 1360000000 人， 数字 1360000000 用科学记数法表示 为（ ） A136107 B13.6108 C1.36109 D0.1361010 4在直角坐标系中，点 P（1，3）向下平移 6 个单位长度后的坐标为（ ） A（ 1，1） B（ 1，3） C（ 1，0） D（ 3，1） 5 如图， ab， 一块含 45角的直角三角板如图放置， 183， 则2
2、 的度数为 （ ） A17 B27 C38 D43 6下列计算正确的是（ ） A3x2+x24x4 B（x1）2x1 C（6x4y）（2x3）3x D（x2y）2x4y2 7解分式方程2，去分母得（ ） A12（x1）3 B12（x1）3 C12x23 D12x+23 8数据 0，1，2，2，1，这组数据的中位数是（ ） A2 B2 C0.5 D0 9将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底 面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是 8cm，水的最大深度是 2cm，则杯底 有水部分的面积是（ ） A（4）cm 2 B（8）cm 2 C（4）cm 2 D（
3、2）cm 2 10如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象过点（1，0）和点（3，0），则下列说法正确的 是（ ） Abc0 Ba+b+c0 C2a+b0 D4acb2 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11若 m+1 与2 互为倒数，则 m 的值为 12等腰三角形的两边长分别是 4cm 和 8cm，则它的周长是 13已知直线 y（k2）x+k 经过第一、二、四象限，则 k 的取值范围是 14如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF，使 BEBF，分 别以 E，F 为圆心，以大于EF 的长为半径作弧，两弧在ABD 内交
4、于点 G，作射线 BG 交 AD 于点 P，若 AP，则点 P 到 BD 的距离为 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 15（1）计算：21+（）0|2|2sin60； （2）解不等式组： 16先化简，再求值：（+1），其中 a2 17国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于 1 小时，今年受“新冠肺炎”疫情的 影响，为落实教育部“停课不停学”的要求，我市中学生进行居家线上学习，为保证广 大学生的身心健康，有关部门就“你每天线上学习时在室内或室外安全区域体育锻炼时 间是多少”的问题在某校开展了电话调查，随机抽查了部分学生，再根据
5、锻炼时间 t（小 时）进行分组（A 组：t0.5，B 组：0.5t1，C 组：1t1.5，D 组：t1.5），绘制 成如图两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题： （1）此次抽查的学生数为 人，并补全条形统计图； （2）计算扇形统计图中 A 组部分所对应的扇形圆心角度数； （3）若当天该校进行居家线上学习的学生数为 1300 人，请估计在当天达到国家规定体 育活动时间的学生有多少？ 18兴隆湖是成都天府新区著名的生态绿地工程在一次户外综合实践活动中，小明同学所 在的兴趣小组用无人机航拍测量云图广场 A 与南山码头 B 的直线距离由于无人机控制 距离有限，为了安全，不能直接测量，他们采用如下方
6、法：如图，小明在云图广场 A 的 正上方点 C 处测得南山码头 B 的俯角 17.09； 接着无人机往南山码头 B 方向水平飞 行 0.9 千米到达点 D 处， 测得此时南山码头 B 的俯角 45 已知 ACAB， CDAB， 请根据测量数据计算 A， B 两地的距离 （结果精确到 0.1km， 参考数据： sin0.29， tan 0.31，sin0.71） 19在平面直角坐标系中，一次函数 yx+b 的图象与反比例函数 y （k0）的图象交 于 A、B 点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 的坐标为（2，3） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图，若将点 C 沿 y 轴向上平
7、移 4 个单位长度至点 F，连接 AF、BF，求ABF 的 面积 20如图，在ABC 中，ACB90，AO 平分BAC，交 BC 于点 O以 O 为圆心，OC 为半径作O，分别交 AO，BC 于点 E，F （1）求证：AB 是O 的切线； （2）延长 AO 交O 于点 D，连接 CD，若 AD2AC，求 tanD 的值； （3）在（2）的条件下，设O 的半径为 3，求 BC 的长 一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 21若 m3n3，则 m26mn+9n2的值是 22已知 x1，x2是方程 x2+x10 的两根，则+ 23将 5 个完全相同的乒乓球，依次标上数字：
8、0，1，2，3，4，并放入不透明的口袋中， 现把它们摇匀， 随机从中任意抽出1个， 记乒乓球上的数字为m， 则数字m使分式方程 1无解的概率为 24已知，ABC 和ADE 均为等腰三角形，ABAC5，ADAE2，且BACDAE 120，把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转如图，连接 BD，CD，CE，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点，连接 MP，PN，MN，则PMN 的面积最大值为 25如图，在ABC 中，D，E 分别是ABC 两边的中点，如果（可以是劣弧、优弧或 半圆）上的所有点都在ABC 的内部或边上，则称为ABC 的中内弧，例如，图中 是ABC 其中的某一条中内弧若在平面
9、直角坐标系中，已知点 F（0，4），O（0，0）， H（4，0），在FOH 中，M，N 分别是 FO，FH 的中点，FOH 的中内弧所在圆的 圆心 P 的纵坐标 m 的取值范围是 二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 26 成都市某公司自主设计了一款可控温杯， 每个生产成本为 16 元， 投放市场进行了试销 经 过调查得到每月销售量 y（万个）与销售单价 x（元/个）之间关系是一次函数的关系，部 分数据如下： 销售单价 x（元/个） 20 25 30 35 每月销售量 y（万个） 60 50 40 30 （1）求 y 与 x 之间的函
10、数关系； （2） 该公司既要获得一定利润， 又要符合相关部门规定 （一件产品的利润率不得高于 50%） 请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润 27在矩形 ABCD 中，AB12，P 是边 AB 上一点，把PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对 应点是点 G，过点 B 作 BECG，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F （1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证：AEBDEC； （2）如图 2，当 AD25，且 AEDE 时，求的值； （3）如图 3，当 BE EF108 时，求 BP 的值 28如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y
11、x2+bx+c 的图象经过点 A（4，0）， C（0，2） （1）求抛物线的表达式； （2）如图 1，点 E 是第一象限的抛物线上的一个动点当ACE 面积最大时，请求出点 E 的坐标； （3）如图 2，在抛物线上是否存在一点 P，使CAP45？若存在，求点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 参考答案 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 13 的绝对值是（ ） A3 B3 C D 【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案 解：3 的绝对值是：3 故选：B 2如图是由 5 个大小相同的立方体搭成的几何体，其俯
12、视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可 解：其俯视图如下： 故选：D 3 截至 2013 年末全国大陆总人口约为 1360000000 人， 数字 1360000000 用科学记数法表示 为（ ） A136107 B13.6108 C1.36109 D0.1361010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 1360000000 用科学记数法表示为 1.36
13、109 故选：C 4在直角坐标系中，点 P（1，3）向下平移 6 个单位长度后的坐标为（ ） A（ 1，1） B（ 1，3） C（ 1，0） D（ 3，1） 【分析】根据向下平移纵坐标减求解即可 解：点 P（1，3）向下平移 6 个单位长度后的坐标为（1，3） 故选：B 5 如图， ab， 一块含 45角的直角三角板如图放置， 183， 则2 的度数为 （ ） A17 B27 C38 D43 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得31，再根据三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和求出4，然后根据对顶角相等解答 解：ab， 3183， 4345834538， 2438 故选：C 6下列计
14、算正确的是（ ） A3x2+x24x4 B（x1）2x1 C（6x4y）（2x3）3x D（x2y）2x4y2 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 解：A、原式4x2，不符合题意； B、原式x22x+1，不符合题意； C、原式3xy，不符合题意； D、原式x4y2，符合题意， 故选：D 7解分式方程2，去分母得（ ） A12（x1）3 B12（x1）3 C12x23 D12x+23 【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母 x1 得到结果，即可作出判断 解：分式方程整理得：2， 去分母得：12（x1）3， 故选：A 8数据 0，1，2，2，1，这组数据的中位数是（ ） A2 B2 C0.
15、5 D0 【分析】根据中位数的意义，将这五个数从小到大排列后，找出处在第 3 位的数就是中 位数 解：将这五个数从小到大排列为2，1，0，1，2，处在第 3 位的数为 0，因此中位数 为 0， 故选：D 9将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底 面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是 8cm，水的最大深度是 2cm，则杯底 有水部分的面积是（ ） A（4）cm 2 B（8）cm 2 C（4）cm 2 D（2）cm 2 【分析】作 ODAB 于 C，交小O 于 D，则 CD2，由垂径定理可知 ACCB，利用 正弦函数求得OAC30， 进而求得AOB12
16、0， 利用勾股定理即可求出 AB 的值， 从而利用 S扇形SAOB求得杯底有水部分的面积 解：作 ODAB 于 C，交小O 于 D，则 CD2，ACBC， OAOD4，CD2， OC2， 在 RTAOC 中，sinOAC， OAC30， AOB120， AC 2， AB4， 杯底有水部分的面积S扇形SAOB2 （4 ） cm2 故选：A 10如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象过点（1，0）和点（3，0），则下列说法正确的 是（ ） Abc0 Ba+b+c0 C2a+b0 D4acb2 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，利用对称轴在 y 轴的右侧得到 b0，利用抛物 线与 y 轴的交
17、点在 x 轴下方得到 c0，则可对 A 进行判断；利用当 x1 时，y0 可对 B 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x1，则可对 C 进 行判断；根据抛物线与 x 轴的交点个数对 D 进行判断 解：抛物线开口向上， a0， 对称轴在 y 轴的右侧， a 和 b 异号， b0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， bc0，所以 A 选项错误； 当 x1 时，y0， a+b+c0，所以 B 选项错误； 抛物线经过点（1，0）和点（3，0）， 抛物线的对称轴为直线 x1， 即1， 2a+b0，所以 C 选项正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0， 即
18、 4acb2，所以 D 选项错误 故选：C 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11若 m+1 与2 互为倒数，则 m 的值为 1 【分析】根据“m+1 与2 互为相反数”，得到关于 m 的一元一次方程，解之即可 解：根据题意得： m+120， 解得：m1， 故答案为：1 12等腰三角形的两边长分别是 4cm 和 8cm，则它的周长是 20cm 【分析】题目给出等腰三角形有两边长为 4cm 和 8cm，而没有明确腰、底分别是多少， 所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 解：8cm 为腰，4cm 为底，此时周长为 8+8+420cm； 8cm
19、为底，4cm 为腰，4+48，两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去 故它的周长是 20cm 故答案为：20cm 13已知直线 y（k2）x+k 经过第一、二、四象限，则 k 的取值范围是 0k2 【分析】根据一次函数经过的象限确定其图象的增减性，然后确定 k 的取值范围即可 解：一次函数 y（k2）x+k 的图象经过第一、二、四象限， k20 且 k0； 0k2， 故答案为：0k2 14如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF，使 BEBF，分 别以 E，F 为圆心，以大于EF 的长为半径作弧，两弧在ABD 内交于点 G，作射线 BG 交 AD 于点
20、 P，若 AP，则点 P 到 BD 的距离为 【分析】首先结合作图的过程确定 BP 是ABD 的平分线，然后根据角平分线的性质求 得点 P 到 BD 的距离即可 解：结合作图的过程知：BP 平分ABD， A90，AP， 点 P 到 BD 的距离等于 AP 的长，为， 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 15（1）计算：21+（）0|2|2sin60； （2）解不等式组： 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值、代入特殊角的三角函数值； 然后计算加减法； （2）分别求得每一个不等式的解集，然后求交集 解：（1
21、）原式+1+22 +2 （2） 解不等式，得 x7 解不等式，得 x11 则原不等式组的解为：7x11 16先化简，再求值：（+1），其中 a2 【分析】利用分式的加减法则、除法法则，先化简分式，再代入求值 解：原式 当 a2 时，原式1 17国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于 1 小时，今年受“新冠肺炎”疫情的 影响，为落实教育部“停课不停学”的要求，我市中学生进行居家线上学习，为保证广 大学生的身心健康，有关部门就“你每天线上学习时在室内或室外安全区域体育锻炼时 间是多少”的问题在某校开展了电话调查，随机抽查了部分学生，再根据锻炼时间 t（小 时）进行分组（A 组：t0.5，B
22、组：0.5t1，C 组：1t1.5，D 组：t1.5），绘制 成如图两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题： （1）此次抽查的学生数为 300 人，并补全条形统计图； （2）计算扇形统计图中 A 组部分所对应的扇形圆心角度数； （3）若当天该校进行居家线上学习的学生数为 1300 人，请估计在当天达到国家规定体 育活动时间的学生有多少？ 【分析】 （1）用 D 组的人数除以对应的百分比得到此次抽查的学生数，再用抽查的学生 数乘以 C 组所占的百分比得出 C 组的人数，最后根据各组人数之和等于数据总数求出 A 组人数，进而补全条形统计图； （2）先求出 A 组所占的百分比，再乘以 360即可；
23、 （3）根据样本估计总体，用 1300 乘以 C、D 两组所占百分比的和，所得到的积即为所 求 解：（1）6020%300（人） 即此次抽查的学生数为 300 人 C 组的人数是：30040%120（人）， A 组的人数是：3001001206020（人）， 补全条形统计图如图所示， 故答案为：300； （2）图中 A 组部分所对应的扇形圆心角度数是：36024； （3）1300780（人） 估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有 780 人 18兴隆湖是成都天府新区著名的生态绿地工程在一次户外综合实践活动中，小明同学所 在的兴趣小组用无人机航拍测量云图广场 A 与南山码头 B 的直线距离
24、由于无人机控制 距离有限，为了安全，不能直接测量，他们采用如下方法：如图，小明在云图广场 A 的 正上方点 C 处测得南山码头 B 的俯角 17.09； 接着无人机往南山码头 B 方向水平飞 行 0.9 千米到达点 D 处， 测得此时南山码头 B 的俯角 45 已知 ACAB， CDAB， 请根据测量数据计算 A， B 两地的距离 （结果精确到 0.1km， 参考数据： sin0.29， tan 0.31，sin0.71） 【分析】 设 BFx 千米， 由BDF 是等腰直角三角形得出 DFBFx 千米， 在 RtBCF 中，根据 tan列方程求出 x 的值即可 解：设 BFx 千米， BFD9
25、0，45， DFBFx 千米 17.09， tan0.31， 解得：x0.40， ABCF0.9+0.401.3（千米） 答：A，B 两地的距离约为 1.3 千米 19在平面直角坐标系中，一次函数 yx+b 的图象与反比例函数 y （k0）的图象交 于 A、B 点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 的坐标为（2，3） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图，若将点 C 沿 y 轴向上平移 4 个单位长度至点 F，连接 AF、BF，求ABF 的 面积 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）由一次函数的解析式求得 C 点的坐标，进而求得 CF4，一次函数的解析式和反比 例函数的
26、解析式联立方程求得交点A、 B的坐标， 然后根据SABFSACF+SBCF求得即可 解：（1）把（2，3）分别代入 yx+1，与 y中，有 32+b，3， 解得 b1，k6， 一次函数的解析式为 yx+1，反比例函数的解析式为 y； （2）一次函数的解析式为 yx+1，当 x0 时，y1， C（0，1）， 若将点 C 向上平移 4 个单位长度得到点 F，则 CF4 一次函数 yx+b 的图象与反比例函数 y （k0）的图象交于 A、B 两点 解得， B（3，2），A（2，3） SABF 4（2+3）10 20如图，在ABC 中，ACB90，AO 平分BAC，交 BC 于点 O以 O 为圆心，O
27、C 为半径作O，分别交 AO，BC 于点 E，F （1）求证：AB 是O 的切线； （2）延长 AO 交O 于点 D，连接 CD，若 AD2AC，求 tanD 的值； （3）在（2）的条件下，设O 的半径为 3，求 BC 的长 【分析】（1）过点 O 作 OMAB，由角平分线到性质可得 OCOM，即可证 AB 是O 的切线； （2）证明ACEADC，可得，则结论可得出 （3）由相似三角形的性质可得，即可求 AD8，AC4AM，通过证明OBM ABC，可得，可得关于 OB，BM 的方程组，即可求 BM 的长，即可求 AB 和 BC 的长 【解答】证明：（1）如图，过点 O 作 OMAB， AO
28、平分BAC，OMAB，ACB90， OCOM， OM 为O 半径，且 OMAB， AB 是O 切线 （2）解：DE 是O 的直径， DCE90， ACB90， DCEACB， DCOACE， OCOD， DDCO， ACED，且AA， ACEADC， ， AD2AC， tanD； （3）ACEADC， ， AC2AD（AD6），且 2ACAD， AD8， AC4， AOAO，OCOM， RtAOMRtAOC（HL）， AMAC4， BB，OMBACB90 OBMABC， ， ， ， BM， AB4+， BC 一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 21若 m3n3，则
29、 m26mn+9n2的值是 9 【分析】根据 m3n3，可以得到 m3n 的值，然后将所求式子因式分解，即可得到所 求式子的值 解：m3n3， m3n3， m26mn+9n2 （m3n）2 （3）2 9， 故答案为：9 22已知 x1，x2是方程 x2+x10 的两根，则+ 3 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x21，x1x21，然后利用整体代入的方法计 算代数式的值 解：根据题意得 x1+x21，x1x21， 所以+3 故答案为3 23将 5 个完全相同的乒乓球，依次标上数字：0，1，2，3，4，并放入不透明的口袋中， 现把它们摇匀， 随机从中任意抽出1个， 记乒乓球上的数字为m， 则
30、数字m使分式方程 1无解的概率为 【分析】由分式方程，得 mx（x3）（x+2）（x3），x2 或 3 时，分式方程 无解，x2 时，m10；x3 时，m0，所以在 0，1，2，3，4 取一个数字 m 使分式 方程无解的概率为 解：由分式方程，得 mx（x3）（x+2）（x3） x2 或 3 时，分式方程无解， x2 时，m10， x3 时，m0， 所以在 0，1，2，3，4，取一个数字 m 使分式方程无解的概率为 故答案为： 24已知，ABC 和ADE 均为等腰三角形，ABAC5，ADAE2，且BACDAE 120，把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转如图，连接 BD，CD，CE，点 M，P
31、，N 分别为 DE， DC， BC 的中点， 连接 MP， PN， MN， 则PMN 的面积最大值为 【分析】如图，先证明ABDACE 得到12，BDCE，再根据三角形中位线的 性质得到 MPCE，MPCE，PNBD，PNBD，则 PMPN，接着证明MPD 1+3，DPN6+4，则MPNABC+ACB60，则可判断PMN 为 等边三角形， 所以 SPMNPN2BD2， 利用三角形三边的关系得 BDAB+AD （当 且仅当 B、A、D 共线时取等号），然后利用 BD 的最大值为 5 得到 SPMN的最大值 解：如图， BACDAE120， BADCAE， ABAC，ADAE， ABDACE（SA
32、S）， 12，BDCE， 点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点， PM 为DEC 的中位线，PN 为CBD 的中位线， MPCE，MPCE，PNBD，PNBD， PMPN， PMCE， MPD2+31+3， PNBD， 56， DPN4+56+4， MPNMPD+DPN1+3+6+4ABC+ACB18012060， PMN 为等边三角形， SPMN PN2（BD）2BD2， 当 BD 最大时，SPMN的值最大， 而 BDAB+AD（当且仅当 B、A、D 共线时取等号）， BD 的最大值为 3+25， SPMN的最大值为 故答案为 25如图，在ABC 中，D，E 分别是ABC 两边的
33、中点，如果（可以是劣弧、优弧或 半圆）上的所有点都在ABC 的内部或边上，则称为ABC 的中内弧，例如，图中 是ABC 其中的某一条中内弧若在平面直角坐标系中，已知点 F（0，4），O（0，0）， H（4，0），在FOH 中，M，N 分别是 FO，FH 的中点，FOH 的中内弧所在圆的 圆心 P 的纵坐标 m 的取值范围是 m1 或 m2 【分析】先判断出点 P 在线段 MN 的垂直平分线上，再求出点 M，N，Q 的坐标，再分 点 P 在 MN 上方和下方，即可得出得出结论 解：如图，连接 MN， 由垂径定理可知，圆心 P 一定在线段 MN 的垂直平分线上， 作 MN 的垂直平分线 QP， M
34、，N 分别是 FO，FH 的中点，且 F（0，4），O（0，0），H（4，0）， M（0，2），N（2，2），Q（1，2）， 若圆心在线段 MN 上方时， 设 P（1，m）由三角形中内弧定义可知，圆心 P 在线段 MN 上方射线 QP 上均可， m2， 当圆心在线段 MN 下方时， OFOH，FOH90 FHO45， MNOH， FNMFHO45， 作 NGFH 交直线 QP 于 G，QGNQ1， 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点 G 的下方（含点 G）的直线 QP 上时也符合要 求； m1， 综上所述，m1 或 m2， 故答案为 m1 或 m2 二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30
35、 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 26 成都市某公司自主设计了一款可控温杯， 每个生产成本为 16 元， 投放市场进行了试销 经 过调查得到每月销售量 y（万个）与销售单价 x（元/个）之间关系是一次函数的关系，部 分数据如下： 销售单价 x（元/个） 20 25 30 35 每月销售量 y（万个） 60 50 40 30 （1）求 y 与 x 之间的函数关系； （2） 该公司既要获得一定利润， 又要符合相关部门规定 （一件产品的利润率不得高于 50%） 请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润 【分析】（1）由题意用待定系数法可求； （2）根据利润
36、销售量（销售单价成本）列式得出二次函数解析式，再根据产品利 润率不高于 50%且成本为 16 元，得出销售单价的范围，结合二次函数得出最大值 解： （1）设每月销售量 y（万个）与销售单价 x（元/个）之间的函数关系式为：ykx+b 把（20，60），（30，40）代入， 得，解得， y 与 x 之间的函数关系为：y2x+100； （2）每个生产成本为 16 元，一件产品的利润率不得高于 50%， x（1+50%）1624， 设该公司获得的利润为 w 万元， 则 wy（x16） （2x+100）（x16） 2x2+132x1600 2（x33）2+578， 图象开口向下，对称轴左侧 w 随 x
37、 的增大而增大， 当 x24 时，w 最大，最大值为 416 万元 答：公司销售单价定为 24 元时可获利最大，最大利润为每月 416 万元 27在矩形 ABCD 中，AB12，P 是边 AB 上一点，把PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对 应点是点 G，过点 B 作 BECG，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F （1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证：AEBDEC； （2）如图 2，当 AD25，且 AEDE 时，求的值； （3）如图 3，当 BE EF108 时，求 BP 的值 【分析】（1）先判断出AD90，ABDC 再判断出 AEDE，即可得出结论；
38、（2） 利用折叠的性质， 得出PGCPBC90， BPCGPC， 进而判断出GPF PFB，得出 BPBF，证明ABEDEC，得出比例式建立方程求解即可得出 AE 9，DE16，再判断出ECFGCP，进而求出 PB，即可得出结论； （3）判断出GEFEAB，得出 BE EFAB GF，即可得出结论 解：（1）在矩形 ABCD 中，AD90，ABDC， E 是 AD 中点， AEDE， 在AEB 和DEC 中， ， AEBDEC（SAS）； （2）在矩形 ABCD，ABC90， BPC 沿 PC 折叠得到GPC， PGCPBC90，BPCGPC， BECG， BEPG， GPFPFB， BPFB
39、FP， BPBF； BEC90， AEB+CED90， AEB+ABE90， CEDABE， AD90， ABEDEC， ， 设 AEx， DE25x， ， x9 或 x16， AEDE， AE9，DE16， CE20，BE15， 由折叠得，BPPG， BPBFPG， BEPG， ECFGCP， ， 设 BPBFPGy， ， y， BP， EFBEBF15， （3）如图，连接 FG， GEFPGC90， GEF+PGC180， BFPG BFPG， BPGF 是菱形， BPGF， GFEABE， GEFEAB， ， BE EFAB GF， BE EF108，AB12， GF9， BPGF9 2
40、8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx2+bx+c 的图象经过点 A（4，0）， C（0，2） （1）求抛物线的表达式； （2）如图 1，点 E 是第一象限的抛物线上的一个动点当ACE 面积最大时，请求出点 E 的坐标； （3）如图 2，在抛物线上是否存在一点 P，使CAP45？若存在，求点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 【分析】（1）待定系数法求解可得 （2）作 EDy 轴，设点 E（x，x2+x+2），表示出 DE、DO、DC 的长，根据 SACE S梯形AODESAOCSDCE列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出最值情况 （3）如图 2 中，将线段 AC 绕点 A
41、 逆时针旋转 90得到 AC，则 C（2，4），取 CC的中点 H（1，1），作直线 AH 交抛物线于 P，此时PAC45，求出直线 AH 的解析式，构建方程组即可解决问题 解：（1）将点 A（4，0），C（0，2）代入 yx2+bx+c 得： ， 解得：， 抛物线的表达式为 yx2+x+2 （2）如图 1，过点 E 作 EFy 轴交 AC 于点 F， 设直线 AC 的解析式为 ykx+2， 4k+20， k， 直线 AC 的解析式为 yx+2， 设点 E（x，x2+x+2），则 F（x，x+2）， 则 EFx2+x+2（x+2）x2+2x， SACESCEF+SAEF EF OA（x2+2x）4x 2+4x（x2）2+4， 10， 当 x2 时，SACE取得最大值 4 （3）如图 2 中，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AC，则 C（2，4），取 CC的中点 H（1，1），作直线 AH 交抛物线于 P，此时PAC45， A（4，0），H（1，1）， 直线 AH 的解析式为 yx， 由，解得或， P（，） 作直线 APPA，则直线 AP的解析式为 y3x+12， 由，解得或（不合题意舍弃）， 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（，）