1、 专题专题 15 一元一次一元一次不等式不等式 一、知识点 （一）不等式的性质（一）不等式的性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 （二）一元一次不等式定义及解法（二）一元一次不等式定义及解法 1、一元一次不等式的概念、一元一次不等式的概念 一般地，不等
2、式中只含有一个未知数，未知数的次数是一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一 元一次不等式。元一次不等式。 2、一元一次不等式的解法、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤：解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母（）去分母（2）去括号（）去括号（3）移项（）移项（4）合并同类项（）合并同类项（5）将）将 x 项的系数化为项的系数化为 1 （三）应用一元一次不等式有关问题解决实际问题（三）应用一元一次不等式有关问题解决实际问题 二、标准例题 （1）不等式的不等式的性质性质 例 1：下
3、列结论不正确 的是（ ） A若 a5b5，则 ab B若 ab，cd，则 acbd C若 2a2b，则 ab D若 x21，则 x1 【答案】D 【解析】 A.若 a5b5，则 ab，不等式的两边同时加 5，不等号的方向不变，故 A 是正确的； B.若 ab，cd，则 acbd，是正确的； C.若 2a2b，则 ab，不等式的两边同时除以 2，不等号的方向不变，故 C 是正确的； D.若 x21，则 x1 ，不等式的两边同时除以 x，应分两种情况讨论，若 x 6，并将它的解集在数轴上表示出来 【答案】 去括号，得6 2 4 移项、合并同类项，得 2 系数化为1得 70， 由全程的限速(不超过)
4、是 100 千米时， 故 7020x B15x20(x+6) C15x20(x-6) D15(x+6)20x 【答案】A 【解析】设原来每天能生产 x 辆，则原来每天生产的汽车(x-6)辆， 依题意得 15(x+6)20x，故选 A. 5若点 P（2m1，3）在第二象限，则 m 的取值范围是（ ）. Am1 2 Bm1 2 Cm1 2 Dm1 2 【答案】B 【解析】点 P（2m-1，3）在第二象限， 2m-10， 解得：m1 2， 故选：B 6若 = 3是关于的方程 = + 1的解，则关于的不等式2(1 2) 6 + 的最大整数解为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 = 3
5、是关于的方程 = + 1的解， -3=m+1， 解得 m=-4； 2(1 2) 6 4， 解这个不等式可得，x3. 关于的不等式2(1 2) 6 + 的最大整数解为 3. 故选 C. 7某超市商店为了对某种商品促销，将定价为 3 元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过 5 件，按 原价付款；若一次性购买 5 件以上，超过部分打八折如果用 27 元钱，最多可以购买该商品（ ）件 A9 B10 C11 D12 【答案】B 【解析】275 3， 27 元可购买的商品一定超过了 5 件， 设买了 x 件，则有 5 3+（x-5）30.827， 2.4x24， x10， 最多可购买该商品 10 件，
6、 故选 B. 8甲、乙两种原科配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原料的价格如下表: 甲种原料 乙种原料 维生素 C 含量(单位/千克) 600 100 原料价格(元/千克) 8 4 现配制这种饮料 10kg,要求至少含有 4200 单位的维生素 C,若所需甲种原料的质量为 xkg。 则 x 应满足的不等 式为（ ） A600x+100(10-x)4200 B8x+4 (100-x) 4200 C600x+100 (10-x)4200 D8x+4 (100-x) 4200 【答案】A 【解析】设所需甲种原料的质量为 xkg，则乙种原料需（10-x）kg，由要求至少含有
7、4200 单位的维生素 C， 故可得 600x+100(10-x)4200 故选 A. 9某乒乓球馆有两种计费方案，如下图表李强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球 4 小时，经服务 生测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与包场的人数至少为（ ） 包场计费：包场每场每小时 50 元，每人须另付入场费 5 元 人数计费：每人打球 2 小时 20 元，接着续打球每人每小时 6 元 A9 B8 C7 D6 【答案】B 【解析】设共有 x 人， 若选择包场计费方案需付：50 4+5x=5x+200（元） ， 若选择人数计费方案需付：20 x+（4-2） 6 x=32x（元） ，
8、5x+20032x， 解得：x200 27 =711 27 至少有 8 人 故选：B 10方程( + 2) = + 2的解是负数，则的取值范围是_ 【答案】 4 【解析】 去括号，得：-x-2=a+2， 移项，得：-x=a+4， 根据题意得：a+40， 解得： 4 故答案是： 4 11 为美化市容市貌， 我市在春节前夕计划在市区几个公园建造、 两种型号花灯供市民观赏， 根据预算， 共需资金15万元若建造一个种花灯和两个类种花灯共 需资金2.3万元；建造两个种花灯和一个种花 灯共需资金2.05万元 (1)问建造一个种型号花灯和一个种型号花灯所需资金分别是多少万元？ (2)若建造种型号花灯不超过8
9、个，则种型号花灯至少要建造多少个？ 【答案】 （1）建造一个种型号花灯和一个种型号花灯所需的资金分分别为0.6万元和0.85万元； （2）B 种 型号花灯至少要建造 12 个 【解析】 （1）建造一个种型号花灯和一个种型号花灯所需的资金分别为万元和万元 依题意得： + 2 = 2.3 2 + = 2.05 解得： = 0.6 = 0.85 ， 答：建造一个种型号花灯和一个种型号花灯所需的资金分分别为0.6万元和0.85万元； （2）设要建造一个种型号花灯个，建造种型号花灯个 则0.6 + 0.85 = 15 = 30017 12 ， A 种型号花灯不超过8个， 30017 12 8， 12，
10、答：B 种型号花灯至少要建造 12 个； 12若关于 x、y 的二元一次方程组 + = 2 + 3 + 2 = 4 (1)求这个方程组的解（用含的代数式表示） (2)若方程组的解满足 8，求满足条件的的正整数值 【答案】 （1） = 4 + 2 = 2 + 1 ； （2）满足条件的的正整数值为1 【解析】 （1） ，得 + 2 + 1 = 2 + 3 即 = 4 + 2 = 4 + 2 = 2 + 1 ， （2）依题意得：4 + 2 (2 + 1) 8， 6 9， 3 2， 由于 1 3的解集. 【答案】 1 9 【解析】 【分析】 首先把 x=3 代入方程3 2 2 = 3 1， ，再解出
11、a 的值，再把 a 的值代入（2- 5）x 1 3，即可解出不等式 【详解】 把 = 3代入方程得：3 2 2 = 3 1 解得： = 5 把 = 5代入不等式得：(2 + 1) 1 3， 1 9 不等式的解集为： 1 9 14解不等式，并将解集在数轴上表示出来： + 2 2 2 1 3 2 【解析】 3( + 2) 2(2 1) 2（2x 1） 【答案】x1 2 【解析】3(1 2x) 2（2x 1） 3-6x4x-2 3+24x+6x 10x5 X1 2 16服装店 10 月份以每套 500 元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额 14000 元，进入 11 月 份搞促销活动，每件
12、降价 50 元，这样销售额比 10 月份增加了 5500 元，售出的件数是 10 月份的 1.5 倍。 （1）求每件羽绒服的标价？ （2）进入 12 月份，该服装店决定把剩余羽绒服按 10 月份标价打九折销售，结果全部卖掉，而且这批羽绒 服总获利不少于 12700 元，问这批羽绒服至少购进多少件？ 【答案】 （1）每件羽绒服的标价为 700 元 （2）至少购进 120 件 【解析】 （1）设每件羽绒服的标价为 x 元，则 10 月份售出14000 件， 根据题意得：14000+5500 50 = 14000 1.5 解得：x=700， 经检验 x=700 是原方程的解 答：每件羽绒服的标价为
13、700 元 （2）设这批羽绒服购进 a 件， 10 月份售出 14000 700=20（件） ，11 月份售出 20 1.5=30（件） ， 根据题意得：14000+（5500+14000）+700 0.8（a-20-30）-500a12700， 解得：a120， 所以 a 至少是 120， 答：这批羽绒服至少购进 120 件 17某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出：每份材料收费 1 元，另收取制版费 600 元；乙公司提出：每 份材料收费 1.2 元，不收取制版费. (1)设制作份宣传材料，甲公司收费1元，乙公司收费2元，请分别写出1，2与的关系式； (2)该单位要制作宣传材料 10004
14、500(含 1000 和 4500)份，选择哪家公司比较合算？ 【答案】(1)y1x600；y21.2x；(2)当 1000x3000 时，选择乙公司较合算；当 x3000 时，甲、乙两 公司一样合算；当 3000x4500 时，选择甲公司较合算 【解析】(1)根据题意得，y1x600； y21.2x . (2)由题意，当 y1y2 时，x6001.2x，得 x3000； 当 y1y2 时，x6001.2x，得 x3000； 当 y1y2 时，x6001.2x，得 x3000； 当 1000x3000 时，选择乙公司较合算； 当 x3000 时，甲、乙两公司一样合算； 当 3000x4500
15、时，选择甲公司较合算. 18解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来 ： 1 + 2 2 1 3 1 【答案】 1 【解析】 3(1 + ) 2(2 1) 6 3 + 3 4 + 2 6 6 2 3 1 1 在数轴上表示如下： 19定义一种新运算“ab”的含义为：当 ab 时，ab=a+b；当 ab 时，ab=a-b例如：3（-4）=3+ （-4）=-1， （-6）1 2=-6- 1 2=-6 1 2 （1）填空： （-4）3=_； （2）如果（3x-4）（2x+8）=（3x-4）-（2x+8） ，求 x 的取值范围； （3）如果（3x-7）（3-2x）=2，求 x 的值 【答案】 （1）-7；
16、 （2）x12； （3）x=6. 【解析】 （1） （-4）3=-4-3=-7， 故答案为：-7； （2）由题意得 3x-42x+8， 解得：x12， x 的取值范围是 x12； (3) 当 3x-73-2x，即 x2 时， 由题意得： （3x-7）+（3-2x）=2， 解得 x=6； 当 3x-73-2x，即 x2 时， 由题意得： （3x-7）-（3-2x）=2， 解得 x=12 5 （舍） x 的值为 6 20京东商城销售 A、B 两种型号的电风扇，销售单价分别为 250 元、180 元，如表是近两周的销售利润情 况： 销售时段 销售数量 销售利润 A 种型号 B 种型号 第一周 30
17、台 60 台 3300 元 第二周 40 台 100 台 5000 元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入进货成本） （1）求 A、B 两种型号电风扇的每台进价； （2）若京东商城准备用不多于 5 万元的金额采购这两种型号的电风扇共 300 台，求 A 种型号的电风扇最多 能采购多少台？ 【答案】(1) A 种型号的风扇每台进价 200 元，B 种型号的风扇每台进价 150 元；(2) A 种型号的电风扇最多 能采购 100 台 【解析】 （1）设 A 种型号的风扇每台进价 x 元，B 种型号的风扇每台进价 y 元，由题意得： 30(250 ) + 60(180 ) = 3300 40(2
18、50 ) + 100(180 ) = 5000 ， 解得： = 200 = 150 ， 答：A 种型号的风扇每台进价 200 元，B 种型号的风扇每台进价 150 元； （2）设 A 种型号的电风扇能采购 a 台，由题意得：200a+150(300a)50000， 解得：a100， a 最大为 100 台， 答：A 种型号的电风扇最多能采购 100 台. 21某建设工地一个工程有大量的沙石需要运输,建设公司车队有载重量为 8 吨和 10 吨的卡车共 12 辆,全部 车辆一次能运输 110 吨沙石. （1）求建设公司车队载重量为 8 吨和 10 吨的卡车各有多少辆？ （2） 随着工程的进展， 车
19、队需要一次运输沙石超过 160 吨， 为了完成任务， 准备新增购这两种卡车共 6 辆， 车队最新购买载重量为 8 吨的卡车多少辆？ 【答案】 （1）车队 8 吨卡车有 5 辆，10 吨卡车有 7 辆； （2）车队最多新购买载重量为 8 吨的卡车 4 辆. 【解析】 （1）解：设车队 8 吨卡车有辆，10 吨卡车有辆. + = 12 8 + 10 = 110 ， 解得： = 5 = 7 答：车队 8 吨卡车有 5 辆，10 吨卡车有 7 辆. （2）设车队购买载重量为 8 吨的卡车辆. 8(5 + ) + 10(7 + 6 )160， 5， 为整数 取最大值 4 答：车队最多新购买载重量为 8
20、吨的卡车 4 辆. 22学校为举行社团活动，准备向某商家购买 A、B 两种文化衫已知购买 2 件 A 种文化衫和 3 件 B 种文 化衫需要 170 元；购买 4 件 A 种文化衫和 1 件 B 种文化衫需要 190 元. （1）求 A、B 两种文化衫的单价； （2）恰逢商家搞促销，现有两种优惠活动，如图所示，学校决定向该商家购买 A、B 两种文化衫共 100 件， 其中 A 种文化衫 a 件（a50）. 若按活动一购买，共需付款 元； 若按活动二购买，共需付款 元； （用 a 的代数式表示） 若按活动二购买比按活动一购买更优惠，求 a 的所有可能值. 【答案】 （1）A、B 两种型号的文化衫
21、每件的价格分别为 40 元和 30 元； （2）20a1200，300020a； a 的所有可能值为 46，47，48，49 【解析】 （1）A、B 两种型号的文化衫每件的价格分别为 x 元和 y 元，则 2 + 3 = 170 4 + = 190 解得 = 40 = 30 答：A、B 两种型号的文化衫每件的价格分别为 40 元和 30 元. （2）若按活动一购买，共需付款（20a1200） 元； 若按活动二购买，共需付款 （300020a） 元； 由题意得：300020a20a1200 解得 a45 又a50，且 a 为整数 所以 a 的所有可能值为 46，47，48，49 23若关于 x、y 的二元一次方程组x + 2y = 4 2x+y=2m+3 的解满足 x-y-8 （1）用含 m 的代数式表示 x-y （2）求满足条件的 m 的所有正整数值 【答案】 （1）-2m-1（2）m=1、2 或 3 【解析】 （1）2 + = 2 + 3 + 2 = 4 ， -得，x-y= -2m+3-4= -2m-1； （2）由题意，得-2m-1-8，解得 m7 2， m 为正整数， m=1、2 或 3 故答案为： （1）-2m-1（2）m=1、2 或 3