1、2020 年高考数学二模试卷（理科）年高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 个小题） 1已知集合 Ax|x26x+50，Bx|y ，AB（ ） A1，+） B1，3 C（3，5 D3，5 2若复数 z 满足（z1）（i1）i，则 对应的点在第（ ）象限 A一 B二 C三 D四 3已知 ， ， ，则（ ） Aabc Bbac Ccba Dacb 4已知变量 x，y 满足约束条件 ，若 x2+y2+2xk 恒成立，则实数 k 的最大 值为（ ） A40 B9 C8 D 5已知函数 f（x）的定义域为 D，满足：对任意 xD，都有 f（x）+f（x）0，对 任意 x1，x2D 且 x1x2
2、，都有 ，则称函数 f（x）为“成功函数“，下列 函数是“成功函数”的是（ ） Af（x）tanx Bf（x）x+sinx C Df（x）exex 6任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它乘 3 再加上 1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数如果反复使用这个变换，我们 就会得到一串自然数，最终我们都会陷在 421 这个循环中，这就是世界数学名题 “3x+1 问题”如图所示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若 N6，则 输出的 i（ ） A6 B7 C8 D9 7an为等差数列，若 ，且它的前 n 项和 Sn有最小值，那么当 Sn取得最小正 值
3、时，n（ ） A2019 B2020 C4039 D4040 8在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感 染的标志为 “连续 10 天， 每天新增疑似病例不超过 7 人” 根据过去 10 天甲 乙 丙 丁 四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A甲地：总体均值为 3，中位数为 4 B乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 C丙地：中位数为 2，众数为 3 D丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 9如图，角 的顶点在坐标原点 O，始边在 y 轴的非负半轴，终边经过点 P（3，4）， 角 的顶点在原点 O，始边在 x 轴的非负半轴，终边 OQ 落在第二
4、象限，且 tan2， 则 tanQOP 的值为（ ） A2 B C D 10在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB ， ，平面 过长方体顶点 D，且 平面 平面 AB1C， 平面 平面 ABB1A1l， 则直线 l 与 BC1所成角的余弦值为 （ ） A B C D 11点 F2是双曲线 ： 的右焦点，动点 A 在双曲线左支上，直线 l1：txy+t2 0 与直线 l2：x+ty+2t10 的交点为 B，则|AB|+|AF2|的最小值为（ ） A8 B C9 D 12设函数 f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，且x（0，+），f（f（x）ex+x） e 若不等式 2f （x） f （x
5、） 3ax 对 x （0， +） 恒成立， 则 a 的取值范围是 （ ） A（，e2 B（，e1 C（，2e3 D（，2e1 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请在答题卷的相应区域答题.） 13（x+2）9a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a9（x+1） 9，则 a 1+a2+a9 （用数 字作答） 14已知函数 f（x） ， ， ，则函数 yf（f（x）1 的所有零点构成的 集合为 15在ABC 中，D 为 AB 边的中点，C90，AC4，BC3，E，F 分别为边 BC， AC 上的动点，且 EF1，则 最小值为 16已知点 A（0，4），抛物线 C：x22p
6、y（0p4）的准线为 1，点 P 在 C 上，作 PH l 于 H，且|PH|PA|，APH120，则抛物线方程为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请 在答题卷的相应区域答题.）（一）必考题：共 60 分 17 已知 a， b， c 分别是ABC 三个内角 A， B， C 所对的边， 且 （1）求 B； （2）若 b2，且 sinA，sinB，sinC 成等差数列，求ABC 的面积 18如图，已知边长为 2 的菱形 ABCD，其中BAD120，AECF，CF平面 ABCD， ， （1）求证：平面 BDE平面 BDF； （2）求二面角 DEFB
7、的大小 19已知椭圆： 的离心率为 ，左右焦点分别为 F1，F2，且 A、B 分别是其左右顶点，P 是椭圆上任意一点，PF1F2面积的最大值为 4 （1）求椭圆的方程 （2）如图，四边形 ABCD 为矩形，设 M 为椭圆上任意一点，直线 MC、MD 分别交 x 轴于 E、F，且满足 AE2+BF2AB2，求证：AB2AD 20在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役 取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产某商场为了提 振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购 买该商品选择分期付款的期数 的分布列为
8、4 5 6 P 0.4 a b 其中 0a1，0b1 （1）求购买该商品的 3 位顾客中，恰有 1 位选择分 4 期付款的概率； （2）商场销售一件该商品，若顾客选择分 4 期付款，则商场获得的利润为 2000 元；若 顾客选择分 5 期付款，则商场获得的利润为 2500 元；若顾客选择分 6 期付款，则商场获 得的利润为 3000 元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为 X（单位：元）， （i）设 X5500 时的概率为 m，求当 m 取最大值时，利润 X 的分布列和数学期望； （ii）设某数列xn满足 x10.4，xna，2xn+1b，若 a0.25，求 n 的最小值 21已知函数 f
9、（x）exa（x+1）（aR） （1）讨论函数 f（x）极值点的个数； （2）当 a1 时，不等式 f（x）kx1n（x+1）在0，+）上恒成立，求实数 k 的取值范 围 选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），以原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 ，且 在极坐标下点 P ， （1）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）若曲线 C1与曲线 C2交于 A，B 两点，求 的值 选
10、修 4-5：不等式选讲 23已知实数 x，y 满足 x+4y2 （1）若|1+y|x|2，求 x 的取值范围； （2）若 x0，y0，求 的最小值 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.） 1已知集合 Ax|x26x+50，Bx|y ，AB（ ） A1，+） B1，3 C（3，5 D3，5 【分析】分别求出集合 A、B，从而求出 AB 即可 解：集合 Ax|x26x+50x|1x5， Bx|y x|x3， AB3，5， 故选：D 【点评】本题考查了集合的运算，考查二次函数以及二次根式
11、的性质，是一道基础题 2若复数 z 满足（z1）（i1）i，则 对应的点在第（ ）象限 A一 B二 C三 D四 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，进一步求出 的坐 标得答案 解：由（z1）（i1）i，得 z1 ， z ，则 对应的点的坐标为（ ， ），在第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3已知 ， ， ，则（ ） Aabc Bbac Ccba Dacb 【分析】化对数式为指数式判断 a1，求解 b（0，1），化指数式为对数式判断 c0， 则答案可求 解：由 ，得 a 5 01， 由 ，得 b
12、（0，1）， 由 ，得 c 0， cba 故选：C 【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，考查数学转 化思想方法，是基础题 4已知变量 x，y 满足约束条件 ，若 x2+y2+2xk 恒成立，则实数 k 的最大 值为（ ） A40 B9 C8 D 【分析】已知 x、y 满足以下约束条件画出可行域，目标函数 zx2+y2+2x 是可行域中的 点（x，y）到原点的距离的平方减 1，求出最小值，然后求解 z 的最大值 解：变量 x，y 满足约束条件 的可行域如图， x2+y2+2x 是点（x，y）到（1，0）的距离的平方减 1， 故最小值为点 P 到 （1， 0） 的距离
13、的平方加 1， zx2+y2+2x 的最小值为： 若 x2+y2+2xk 恒成立，即 kk 的最大值为： 故选：D 【点评】此题主要考查简单的线性规划问题，是一道中档题，要学会画图考查转化思 想的应用 5已知函数 f（x）的定义域为 D，满足：对任意 xD，都有 f（x）+f（x）0，对 任意 x1，x2D 且 x1x2，都有 ，则称函数 f（x）为“成功函数“，下列 函数是“成功函数”的是（ ） Af（x）tanx Bf（x）x+sinx C Df（x）exex 【分析】由对任意 xD，都有 f（x）+f（x）0，得 f（x）f（x）即函数为奇 函数；对任意 x1，x2D 且 x1x2，都有
14、 ，即函数单调递增， 然后结合选项进行判断即可 解：由对任意 xD，都有 f（x）+f（x）0，得 f（x）f（x）即函数为奇函数； 对任意 x1，x2D 且 x1x2，都有 ，即函数单调递增， A：ytanx 在定义域内不单调，不符合题意； B：由 f（x）x+sinx 可得 f（x）xsinxf（x）且由于 f（x）1+cosx0 恒成立，即 f（x）在 R 上单调递增，符合题意； C：结合复合函数单调性可知，yln 在（2，2）内单调递减，不符合题意； D：yexex在定义域 R 上单调递减，不符合题意 故选：B 【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的判断，属于函数性质的综合应用 6
15、任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它乘 3 再加上 1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数如果反复使用这个变换，我们 就会得到一串自然数，最终我们都会陷在 421 这个循环中，这就是世界数学名题 “3x+1 问题”如图所示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若 N6，则 输出的 i（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】根据该程序的功能是利用循环结构计算 n 的值并输出相应的 i 的值， 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：由题意，模拟程序的运行，可得 n6，i1 n 不是奇数，n3，i2，不满足条件 n1； n
16、是奇数，n10，i3，不满足条件 n1， 执行循环体，n 不是奇数，n5，i4； 不满足条件 n1，执行循环体，n 是奇数，n16，i5； 不满足条件 n1，执行循环体，n 不是奇数，n8，i6； 不满足条件 n1，执行循环体，n 不是奇数，n4，i7； 不满足条件 n1，执行循环体，n 不是奇数，n2，i8； 不满足条件 n1，执行循环体，n 不是奇数，n1，i9； 满足条件 n1，退出循环，输出 i 的值为 9 故选：D 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 7an为等差数列，若 ，且它的前 n 项和 Sn有最小值，那么当 S
17、n取得最小正 值时，n（ ） A2019 B2020 C4039 D4040 【分析】 若 ， 且它的前 n 项和 Sn有最小值， 可得 a20190， a20200 a2019+a2020 0再利用求和公式即可判断出结论 解：若 ，且它的前 n 项和 Sn有最小值， a20190，a20200 a2019+a20200 S40382019（a1+a4038）2019（a2019+a2020）0 S4039 4039a20200 那么当 Sn取得最小正值时，n4039 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 8在发生某公共卫生事
18、件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感 染的标志为 “连续 10 天， 每天新增疑似病例不超过 7 人” 根据过去 10 天甲 乙 丙 丁 四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A甲地：总体均值为 3，中位数为 4 B乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 C丙地：中位数为 2，众数为 3 D丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 【分析】平均数和中位数不能限制某一天的病例超过 7 人，当总体方差大于 0，不知道总 体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当总体 平均数是 2，若有一个数据超过 7，则方差就接近 3，符合要求 解：平均数
19、和中位数不能限制某一天的病例超过 7 人， 故 A 不正确， 当总体方差大于 0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小， 故 B 不正确， 中位数和众数也不能确定， 故 C 不正确， 当总体平均数是 2，若有一个数据超过 7，则方差就接近 3， 总体均值为 2，总体方差为 3 时，没有数据超过 7 故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查数据的几个特征量，这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个 或两个量不能说明这组数据的特点，若要掌握这组数据则要全面掌握 9如图，角 的顶点在坐标原点 O，始边在 y 轴的非负半轴，终边经过点 P（3，4）， 角 的顶点在原点 O，始边在 x
20、 轴的非负半轴，终边 OQ 落在第二象限，且 tan2， 则 tanQOP 的值为（ ） A2 B C D 【分析】由已知可得：tan 可得 tanQOPtan（） ，代入即 可得出 解：由已知可得：tan tanQOPtan（） 2 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的定义、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 10在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB ， ，平面 过长方体顶点 D，且 平面 平面 AB1C， 平面 平面 ABB1A1l， 则直线 l 与 BC1所成角的余弦值为 （ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，得到平面 与平面 ABB1A1的交线 l，找出
21、异面直线所成角， 由已知结合余弦定理求解 解：如图， 平面 过长方体顶点 D，且平面 平面 AB1C， 平面 与平面 A1DC1 重合，在平面 ABB1A1中， 过 A1作 A1EAB1，则 A1EDC1，即 A1E 为平面 与平面 ABB 1A1的交线 l， 连接 AD1，可得 AD1BC1，又 lAB1，则D1AB1 即为直线 l 与 BC1所成角 连接 D1B1，由 AB ， ，得 ， ， 由余弦定理可得：cosD1AB1 即直线 l 与 BC1所成角的余弦值为 故选：D 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题 11点 F2是双曲线 ： 的右焦点，动点
22、 A 在双曲线左支上，直线 l1：txy+t2 0 与直线 l2：x+ty+2t10 的交点为 B，则|AB|+|AF2|的最小值为（ ） A8 B C9 D 【分析】由题意求出直线 l1，l2的交点 B 为圆心在（0，2），半径为 1 的圆，由双曲线 的定义可得|AF2|AF1|+2a， 所以|AB|+|AF2|AB|+|AF1|+6，当 A，F1，B 三点共线时，|AB|+|AF2|最小，过 F1与圆心的 直线与圆的交点 B 且在 F1和圆心之间时最小 解：由双曲线的方程可得 a3，b ，焦点 F（2 ，0）， 可得|AF2|AF1|+2a|AF1|+6， 所以|AB|+|AF2|AB|+
23、|AF1|+6， 当 A，F1，B 三点共线时，|AB|+|AF2|最小， 联立直线 l1， l2的方程 ， 可得 ， 消参数 t 可得 x2+ （y+2） 21， 所以可得交点 B 的轨迹为圆心在（0，2），半径为 1 的圆， 所以|AB|+|AF2|AB|+|AF1|+6|BF1|1+6 59， 当过 F1与圆心的直线与圆的交点 B 且在 F1和圆心之间时最小 所以|AB|+|AF2|的最小值为 9， 故选：C 【点评】 本题考查求轨迹方程及双曲线的性质， 三点共线时线段之和最小， 属于中档题 12设函数 f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，且x（0，+），f（f（x）ex+x） e
24、若不等式 2f （x） f （x） 3ax 对 x （0， +） 恒成立， 则 a 的取值范围是 （ ） A（，e2 B（，e1 C（，2e3 D（，2e1 【分析】先利用换元法求出 f（x）的解析式，然后再用分离变量法，借助函数的单调性 来解决问题 解：设 f（x）ex+xt，则 f（t）e， f（x）exx+t，令 xt 得 f（t）ett+te，解得 t1， f（x）exx+1， f（x）ex1， 不等式 2f（x）f（x）3ax，x（0，+）即：a 2 令 g（x） 2，x（0，+） g（x） ，可得 x1 时，函数 g（x）取得极小值即最小值 不等式 2f（x）f（x）3ax 对 x
25、（0，+）恒成立， ae2 a 的取值范围是（，e2 故选：A 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、换元 法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请在答题卷的相应区域答题.） 13（x+2）9a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a9（x+1） 9，则 a 1+a2+a9 511 （用数 字作答） 【分析】在所给的等式中，分别令 x1，x0，可得要求式子的值 解：（x+2）9a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a9（x+1）9， 令 x1，可得 a01 再令 x0，可得 1+a
26、1+a2+a929，a1+a2+a9511， 故答案为：511 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，属于基础题 14已知函数 f（x） ， ， ，则函数 yf（f（x）1 的所有零点构成的 集合为 1，3，9 【分析】函数 yff（x）1 的零点，即求方程 ff（x）10 的解，利用换元法进行 求解即可 解：由 yf（f（x）10 得 f（f（x）1， 设 tf（x），则等价为 f（t）1， 当 x1 时，由 f（x）x1 得 x1， 当 x1 时，由 f（x）log2（x1）1 得 x3， 即 t1 或 t3， 当 x1 时，由 f（x）x1，得
27、 x1，由 f（x）x+13，得 x2（舍），故此时 x 1， 当 x1 时，由 f（x）log2（x1）1 得 x3，由 f（x）log2（x1）3，得 x9， 综上 x1，或 x3 或 x9， 所以函数 yff（x）1 的所有零点所构成的集合为：1，3，9 故答案为：1，3，9 【点评】本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，利用换元法结合数形结 合是解决本题的关键 15在ABC 中，D 为 AB 边的中点，C90，AC4，BC3，E，F 分别为边 BC， AC 上的动点，且 EF1，则 最小值为 【分析】建立平面直角坐标系，设 E（x，0），求出 的坐标，则 可表示为 x 的函数
28、，利用函数的性质得出最小值 【解答】解以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图： 则 A （0， 4） ， B （3， 0） ， C （0， 0） ， D （ ， 2） 设 E （x， 0） ， 则 F （0， ） .0x1 （x ，2）， （ ， 2） x+42 x2 令 f（x） x2 ，则 f（x） 令 f（x）0 得 x 当 0x 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0 当 x 时，f（x）取得最小值 f（ ） 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是解题关键，属于中档题 16已知点 A（0，4），抛物线 C：x22py（0p4）的准线为 1，点 P
29、在 C 上，作 PH l 于 H，且|PH|PA|，APH120，则抛物线方程为 【分析】设抛物线的焦点为 F（ ， ），则|AF|4 ，由抛物线的定义可知，|PH|PF| |PA|，不妨设点 P 在第一象限，过点 P 作 PQy 轴于点 Q，则 Q 为 AF 的中点，结合 APH120，可以用 p 表示出点 P 的坐标，然后将其代入抛物线方程，列出关于 p 的 方程，解之可得 p 的值，从而求得抛物线的方程 解：设抛物线的焦点为 F（ ， ），|AF|4 ，由抛物线的定义可知，|PH|PF|， |PH|PA|，|PA|PF|， 不妨设点 P 在第一象限，过点 P 作 PQy 轴于点 Q，则
30、Q 为 AF 的中点，|AQ| |FQ| |AF| ， APH120，APQ1209030，|PQ| ，|OQ| |FQ|+|OF| 2 ， 点 P 的坐标为 ， ， 点 P 在抛物线 C 上， ，化简得 5p 2+112p1920，解之 得 或 （舍负）， 抛物线方程为 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的定义，求抛物线的标准方程，考查学生的分析能力和运算能 力，属于中档题 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请 在答题卷的相应区域答题.）（一）必考题：共 60 分 17 已知 a， b， c 分别是ABC 三个内角 A， B， C 所对的边，
31、且 （1）求 B； （2）若 b2，且 sinA，sinB，sinC 成等差数列，求ABC 的面积 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合 sinC0，可 得 ，又根据范围 ， ，可求 B 的值 （2）由等差数列的性质，正弦定理可得 a+c2b4，又根据余弦定理可求 ac 的值，进 而根据三角形的面积公式即可计算求解 解：（1）由 ， 则 ， ， ， 而 sinC0， ， 所以 ，可得 ， 而 B（0，）， 又 ， ， 所以 ， 故 （2）由 sinA，sinB，sinC 成等差数列，且 b2， 所以 2sinBsinA+sinC，可得 a+c2b4， 又 a2+c
32、22accosBb2， 则 ，可得：163ac4， 所以 ac4， 则 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，等差数列的性质，余弦 定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 18如图，已知边长为 2 的菱形 ABCD，其中BAD120，AECF，CF平面 ABCD， ， （1）求证：平面 BDE平面 BDF； （2）求二面角 DEFB 的大小 【分析】（1）证明 BDCF，BDAC，推出 BD平面 ACFE，得到 OFBD，推出 AE 平面 ABCD，证明 AEAO 且 FCCO，OFOE，证明 OF平面 BDE，然后证明平 面 BDE平面 BDF
33、 （2）以 OA，OB 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，过 O 做垂直于平面 ABCD 的为 z 轴建立 空间直角坐标系 求出平面 DEF 的一个法向量，平面 BEF 的一个法向量，通过空间向量的数量积求解二 面角 DEFB 的大小 【解答】（1）证明：因为 AECF，所以 A、C、F、E 四点共面 又 CF平面 ABCD，而 BD平面 ABCD，所以 BDCF， 由菱形 ABCD，所以，BDAC，令 BDACO， 且 CFACC，所以，BD平面 ACFE， 而 OF平面 ACFE，所以，OFBD， 因为 AECF 且 CF平面 ABCD，所以 AE平面 ABCD， 则 AEAO 且 FCC
34、O ， ， 由菱形 ABCD 且BAD120， 所以 AOOC 1， 故 ， ，则 ， ， 所以 ，即 OFOE， 又 OEBDO，所以 OF平面 BDE，OF平面 BDF，平面 BDE平面 BDF （2）由菱形 ABCD，所以 BDAC，以 OA，OB 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，过 O 作 垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 则 ，所以 A（1，0，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令 平 面 DEF 的 一 个 法 向 量 为 ， ， ， 且 ， ， ， ， ， ， 由 ， ，所以 ， 由 ， ，
35、所以 ，即 ， ， ， 令平面 BEF 的一个法向量为： ， ， ， 且 ， ， ， ， ， ， 由 ， ，所以 ， 由 ， ，所以 ，即 ， ， ， 所以 ， ，则 ， 即二面角 DEFB 的大小为 【点评】 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理得到应用， 二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，以及计算能力，是中档题 19已知椭圆： 的离心率为 ，左右焦点分别为 F1，F2，且 A、B 分别是其左右顶点，P 是椭圆上任意一点，PF1F2面积的最大值为 4 （1）求椭圆的方程 （2）如图，四边形 ABCD 为矩形，设 M 为椭圆上任意一点，直线 MC、M
36、D 分别交 x 轴于 E、F，且满足 AE2+BF2AB2，求证：AB2AD 【分析】（1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合 a，b，c 的关系，解方程 可得所求椭圆方程； （2）设 C（2 ，t），D（2 ，t），t0，可令 M（x0，y0），运用直线方程和 两直线的交点，化简整理，即可得证 解：（1）由题意可得 e ，又 c2a2b2，可得 bc， 而 S 2cb4，所以 bc2，解得 a28，b24， 所以椭圆的方程为 1； （2）证明：设 C（2 ，t），D（2 ，t），t0，可令 M（x0，y0）， 由 kMC ，故 MC 的方程为 yy0 （xx0）， 直线MC交x轴于E
37、， 可令y0， 则x x0 ， 即E （ ， 0） ， 由 kMD ，故 MD 的方程为 yy0 （xx0）， 直线 MD 交 x 轴于 F，可令 y0，则 x x0 ，即 F （ ，0）， 因为 AE2+BF2AB2，所以（ 2 ） 2+（ 2 ） 2（4 ） 2， 可得 16， 即 8y02+t2x02+16y02+16y0t8（y0 +t）2 ， 即 t2x02+16y028t2，而 1，所以 x0 282y 0 2， 可得 t2（82y02）+16y028t2， 可得（162t2）y020，而 M 为椭圆上一点， 所以 162t20，解得 t2 ， 所以 2，即 AB2AD 【点评】本
38、题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求 法和应用，以及两点的距离公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题 20在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役 取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产某商场为了提 振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购 买该商品选择分期付款的期数 的分布列为 4 5 6 P 0.4 a b 其中 0a1，0b1 （1）求购买该商品的 3 位顾客中，恰有 1 位选择分 4 期付款的概率； （2）商场销售一件该商品，若顾客选择分 4 期付款，则商
39、场获得的利润为 2000 元；若 顾客选择分 5 期付款，则商场获得的利润为 2500 元；若顾客选择分 6 期付款，则商场获 得的利润为 3000 元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为 X（单位：元）， （i）设 X5500 时的概率为 m，求当 m 取最大值时，利润 X 的分布列和数学期望； （ii）设某数列xn满足 x10.4，xna，2xn+1b，若 a0.25，求 n 的最小值 【分析】（1）方法 1：设恰有一位顾客选择分 4 期付款的概率的概率为 P由题可知： a+b0.6，然后求解即可 方法 2： 由于 3 位顾客中恰有 1 位选择 “分 4 期付款” ， 则另外两位均不选
40、 “分 4 期付款” ， 利用相互独立事件乘法乘积求解概率即可 （2）（）由题可得 X 的值分别为 4000，4500，5000，5500，6000求出概率，得到 分布列，然后求解期望即可 （）由题可得 xn+2xn+1a+b0.6，得到 ，判断数列xn0.2是等 比数列，然后分类求解 n 的最小值 解：（1）方法 1：设恰有一位顾客选择分 4 期付款的概率的概率为 P 由题可知：a+b0.6， 则 P30.4（a2+2ab+b2）0.4（a+b）20.40.620.432 方法 2： 由于 3 位顾客中恰有 1 位选择 “分 4 期付款” ， 则另外两位均不选 “分 4 期付款” ， 所以
41、P30.4（10.4）（10.4）0.432 （2）（）由题可得 X 的值分别为 4000，4500，5000，5500，6000 P（X4000）0.40.40.16，P（X4500）20.4a0.8a， P（X5000）a2+20.4ba2+0.8b， P（X5500）2ab，P（X6000）b2， 所以 ， 取最大值的条件为 ab0.3 所以分布列为： X 4000 4500 5000 5500 6000 P 0.16 0.24 0.33 0.18 0.09 E（X）40000.16+45000.24+50000.33+55000.18+60000.094900 （）解：由题可得 xn+
42、2xn+1a+b0.6，所以 ， 化简得 ，即xn0.2是等比数列，首项为 x10.20.2，公比 为 ， 所以 ，化简得 由题可知： （1）由题可知： ，显然对所有 n一、选 择题*都成立； （2） ，也是对所有 nN *都成立； （3） 当 n 为偶数时，上述不等式恒成立； 当 n 为奇数时， ，解得 n5 即 n5 综上所述，n 的最小值为 5 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，数列与函数的应用，考查 转化思想以及计算能力，题目比较新颖，是难题 21已知函数 f（x）exa（x+1）（aR） （1）讨论函数 f（x）极值点的个数； （2）当 a1 时，不等式 f（x）
43、kx1n（x+1）在0，+）上恒成立，求实数 k 的取值范 围 【分析】（1）求出导函数 f（x）exa，通过当 a0 时，当 a0 时，判断导函 数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值即可 （2）当 a1 时，由题即 exx1kxln（x+1）在0，+）上恒成立，令 h（x）ex x1kxln（x+1）且 h（0）0，通过函数的导数，结合（）当 12k0 时， （） 当 12k0 时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果求解 k 的取值范围 解：（1）f（x）exa， 当 a0 时，f（x）exa0，所以 f（x）在 R 上单调递增，无极值 当 a0 时，令 f（x）0，得 xlna， 当 x（，lna）时，f（x）0；当 x（lna，+）时，f（x）0 即函数 f（x）在（，lna）上单调递减，在 （lna，+）上单调递增， 此时只有一个极值点 综上所述，当 a0 时，f（x）在 R 上无极值点； 当 a0 时，函数 f（x）在 R 上只有一个极值点 （2）当 a1 时，由题即 exx1kxln（x+1）在0，+）上恒成立 令 h（x）exx1kxln（x+1）且 h（0）0，