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河南省洛阳市伊滨区2020年中考数学三模试卷(含答案解析)

1、2020 年中考数学三模试卷年中考数学三模试卷 一、选择题 12020 的相反数是( ) A2020 B2020 C D 2 据统计截至目前我国外汇储备规模为30988亿美元 将30988亿用科学记数法表示为 ( ) A30988108 B3.09881011 C3.09881012 D3.09881013 3有 4 个相同的立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是( ) A B C D 4某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程,若小波和小睿两名同学 每人随机选择其中一门课程,则小波和小睿选到同一课程的概率是( ) A B C D 5不等式组的解集在数轴上表示为( ) A B

2、 C D 6如图,ABC 的顶点均在O 上,若A36,则BOC 的度数为( ) A18 B36 C60 D72 7若一次函数 ykx+b 的图象经过一、二、四象限,则一次函数 ybx+k 的图象不经过 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨 季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%,结果提前 30 天完成了这一 任务设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米,则下列方程中正确的是( ) A B C D 9 如图, 在ABCD 中, 将ADC 沿 AC 折叠后, 点 D 恰好落在

3、DC 的延长线上的点 E 处 若 B60,AB3,则ADE 的周长为( ) A12 B15 C18 D21 10如图,顶角为 36的等腰三角形,其底边与腰之比等于 k,这样的三角形称为黄金三角 形,已知腰 AB1,ABC 为第一个黄金三角形,BCD 为第二个黄金三角形,CDE 为第三个黄金三角形以此类推,第 2020 个黄金三角形的周长( ) Ak2018 Bk2019 C Dk2019(2+k) 二、填空题(每题 3 分,满分 15 分,将答案填在答题纸上) 11计算4sin45 12已知 x,y 满足方程组,则 x+y 的值为 13在ABC 中,MNBC,SAMNS四边形MNCB则 14如

4、图,AB 是半圆 O 的直径,且 AB8,点 C 为半圆上的一点将此半圆沿 BC 所在的 直线折叠, 若圆弧 BC 恰好过圆心 O, 则图中阴影部分的面积是 (结果保留 ) 15如图,在 RtABC 中 BCAC4,D 是斜边 AB 上的一个动点,把ACD 沿直线 CD 折叠,点 A 落在同一平面内的 A处,当 AD 垂直于 RtABC 的直角边时,AD 的长 为 三、解答题:共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1621 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. 16先化简,再求值(m1),其中 m2 17某校响应国家号召,鼓励

5、学生积极参与体育锻炼为了解学生一星期参与体育锻炼的时 间情况,从全校 2000 名学生中,随机抽取 50 名学生进行调查,按参与体育锻炼的时间 t (单位:小时),将学生分成五类:A 类(0t2),B 类(2t4),C 类(4t6), D 类(6t8),E 类(t8)绘制成尚不完整的条形统计图如图根据以上信息, 解答下列问题: (1)样本中 E 类学生有 人,补全条形统计图; (2)估计全校的 D 类学生有 人; (3)从该样本参与体育锻炼时间在 0t4 的学生中任选 2 人,求这 2 人参与体育锻炼 时间都在 2t4 中的概率 18已知关于 x 的方程(x3)(x2)p20 (1)求证:方程

6、总有两个不相等的实数根; (2)当 p2 时,求该方程的根 19如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图,已知底座 BC0.6 米,底座 BC 与支架 AC 所成的角ACB75,支架 AF 的长为 2.5 米,篮板顶端 F 点到篮筐 D 的距离 FD1.4 米,篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角FHE60,求篮筐 D 到地面的距离 (精 确到 0.1 米参考数据:cos750.3,sin750.9,tan753.7,1.7, 1.4) 20如图,双曲线 y1与直线 y2k2x+b 相交于 A(1,m+2),B(4,m1),点 P 是 x 轴上一动点 (1)求双曲线 y1与直线 y2k2x+

7、b 的解析式; (2)当 y1y2时,直接写出 x 的取值范围; (3)当PAB 是等腰三角形时,求点 P 的坐标 21学校准备购进一批节能灯,已知 1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 26 元;3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元 (1)求一只 A 型节能灯和一只 B 型节能灯的售价各是多少元; (2)学校准备购进这两种型号的节能灯共 50 只,并且 A 型节能灯的数量不多于 B 型节 能灯数量的 3 倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由 【选考题】 22(1)问题发现 如图 1,ABC 和CDE 均为等边三角形,直线 AD 和直线 BE 交于点 F

8、填空:AFB 的度数是 ; 线段 AD,BE 之间的数量关系为 (2)类比探究 如图 2,ABC 和CDE 均为等腰直角三角形,ABCDEC90,ABBC,DE EC,直线 AD 和直线 BE 交于点 F请判断AFB 的度数及线段 AD,BE 之间的数量 关系,并说明理由 (3)如图 3,在ABC 中,ACB90,A30,AB5,点 D 在 AB 边上,DE AC 于点 E,AE3,将ADE 绕着点 A 在平面内旋转,请直接写出直线 DE 经过点 B 时 BD 的长 【选考题】 23如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 yx2+bx+c 过 A,B,C 三点,点 A 的坐标是 (3,0),点

9、C 的坐标是(0,3),动点 P 在抛物线上 (1)b ,c ,点 B 的坐标为 ; (2)是否存在点 P,使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符 合条件的点 P 的坐标;若不存在,说明理由; (3)是否存在点 P 使得PCA15,若存在,请直接写出点 P 的横坐标若不存在, 请说明理由 参考答案 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 12020 的相反数是( ) A2020 B2020 C D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 解:2020 的相反数是:2020 故选:B 2 据

10、统计截至目前我国外汇储备规模为30988亿美元 将30988亿用科学记数法表示为 ( ) A30988108 B3.09881011 C3.09881012 D3.09881013 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时,n 是正数;当原数的绝对值1 时,n 是负数 解:将 30988 亿用科学记数法表示为 3.09881012 故选:C 3有 4 个相同的立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是( ) A B C D 【分析】主视图有

11、 2 列,每列小正方形数目分别为 2,1 解:如图所示:它的主视图是: 故选:D 4某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程,若小波和小睿两名同学 每人随机选择其中一门课程,则小波和小睿选到同一课程的概率是( ) A B C D 【分析】先画树状图(数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用 A、B、C 表示)展 示所有 9 种可能的结果数,再找出小波和小睿选到同一课程的结果数,然后根据概率公 式求解 解:画树状图为:(数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用 A、B、C 表示) 共有 9 种可能的结果数,其中小波和小睿选到同一课程的结果数为 3, 所以小波和小睿选到同一课程的概率

12、 故选:B 5不等式组的解集在数轴上表示为( ) A B C D 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等 式的解集表示在数轴上即可 解:由 x10,得 x1, 由 42x0,得 x2, 不等式组的解集是 1x2, 故选:D 6如图,ABC 的顶点均在O 上,若A36,则BOC 的度数为( ) A18 B36 C60 D72 【分析】在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角 的一半,由此可得出答案 解:由题意得BOC2A72 故选:D 7若一次函数 ykx+b 的图象经过一、二、四象限,则一次函数 ybx+k 的图象不经过 ( )

13、 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据一次函数 ykx+b 图象在坐标平面内的位置关系先确定 k,b 的取值范围, 再根据 k,b 的取值范围确定一次函数 ybx+k 图象在坐标平面内的位置关系,从而求 解 解:一次函数 ykx+b 过一、二、四象限, 则函数值 y 随 x 的增大而减小,因而 k0; 图象与 y 轴的正半轴相交则 b0, 因而一次函数 ybx+k 的一次项系数b0, y 随 x 的增大而减小,经过二四象限, 常数项 k0,则函数与 y 轴负半轴相交, 因而一定经过二三四象限, 因而函数不经过第一象限 故选:A 8“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了

14、60 万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨 季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%,结果提前 30 天完成了这一 任务设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米,则下列方程中正确的是( ) A B C D 【分析】设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米,根据工作时间工作总量工作效率 结合提前 30 天完成任务,即可得出关于 x 的分式方程 解:设设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米,则原计划工作每天绿化的面积为 万平方米, 依题意得: 故选:C 9 如图, 在ABCD 中, 将ADC 沿 AC 折叠后, 点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处 若 B60,AB3,

15、则ADE 的周长为( ) A12 B15 C18 D21 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质,即可得到 BC2AB6,AD6,再根 据ADE 是等边三角形,即可得到ADE 的周长为 6318 解:由折叠可得,ACDACE90, BAC90, 又B60, ACB30, BC2AB6, AD6, 由折叠可得,EDB60, DAE60, ADE 是等边三角形, ADE 的周长为 6318, 故选:C 10如图,顶角为 36的等腰三角形,其底边与腰之比等于 k,这样的三角形称为黄金三角 形,已知腰 AB1,ABC 为第一个黄金三角形,BCD 为第二个黄金三角形,CDE 为第三个黄金三角形以此类

16、推,第 2020 个黄金三角形的周长( ) Ak2018 Bk2019 C Dk2019(2+k) 【分析】根据相似三角形对应角相等,对应边成比例,求出前几个三角形的周长,进而 找出规律:第 n 个黄金三角形的周长为 kn1(2+k),从而得出答案 解:ABAC1, ABC 的周长为 2+k; BCD 的周长为 k+k+k2k(2+k); CDE 的周长为 k2+k2+k3k2(2+k); 依此类推, 第 n 个黄金三角形的周长为 kn1(2+k), 第 2020 个黄金三角形的周长为 k2019(2+k) 故选:D 二、填空题(每题 3 分,满分 15 分,将答案填在答题纸上) 11计算4s

17、in45 1 【分析】原式利用二次根式性质,零指数幂法则,以及特殊角的三角函数值计算即可求 出值 解:原式2+14 2+12 1 故答案为:1 12已知 x,y 满足方程组,则 x+y 的值为 5 【分析】方程组两方程相加即可求出所求 解:, +得:4x+4y20, 则 x+y5, 故答案为:5 13在ABC 中,MNBC,SAMNS四边形MNCB则 【分析】 由 MNBC, 推出AMNACB, 推出 () 2 , 可得, 由此即可解决问题 解:MNBC, AMNACB, ()2, , +1 故答案为+1 14如图,AB 是半圆 O 的直径,且 AB8,点 C 为半圆上的一点将此半圆沿 BC

18、所在的 直线折叠, 若圆弧 BC 恰好过圆心 O, 则图中阴影部分的面积是 (结果保留 ) 【分析】过点 O 作 ODBC 于点 D,交于点 E,则可判断点 O 是的中点,由折叠 的性质可得 ODOER2,在 RtOBD 中求出OBD30,继而得出AOC, 求出扇形 AOC 的面积即可得出阴影部分的面积 解:过点 O 作 ODBC 于点 D,交于点 E,连接 OC, 则点 E 是的中点,由折叠的性质可得点 O 为的中点, S弓形BOS 弓形CO, 在 RtBOD 中,ODDER2,OBR4, OBD30, AOC60, S阴影S扇形AOC 故答案为: 15如图,在 RtABC 中 BCAC4,

19、D 是斜边 AB 上的一个动点,把ACD 沿直线 CD 折叠,点 A 落在同一平面内的 A处,当 AD 垂直于 RtABC 的直角边时,AD 的长为 44 或 4 【分析】由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出 AB4,BACB45, 如图1, 当ADBC, 设ADx, 根据折叠的性质得到AAACB45, ADADx,推出 ACAB,求得 BHBC2,DHADx,然 后列方程即可得到结果,如图 2,当 ADAC,根据折叠的性质得到 ADAD, ACAC,ACDACD,根据平行线的性质得到ADCACD,于是得到 ADCACD,推出 ADAC,于是得到 ADAC2 解:RtABC 中,BCAC4,

20、AB4,BACB45, 如图 1,当 ADBC,设 ADx, 把ACD 沿直线 CD 折叠,点 A 落在同一平面内的 A处, AAACB45,ADADx, B45, ACAB, BHBC2,DHADx, x+x+2 4, x44, AD44; 如图 2,当 ADAC, 把ACD 沿直线 CD 折叠,点 A 落在同一平面内的 A处, ADAD,ACAC,ACDACD, ADCACD, ADCACD, ADAC, ADAC4, 综上所述:AD 的长为:44 或 4 三、解答题:共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1621 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23

21、题为选考题,考生根据要求作答. 16先化简,再求值(m1),其中 m2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将 m 的值代入计算可得 解:原式() , 当 m2 时, 原式 1+2 17某校响应国家号召,鼓励学生积极参与体育锻炼为了解学生一星期参与体育锻炼的时 间情况,从全校 2000 名学生中,随机抽取 50 名学生进行调查,按参与体育锻炼的时间 t (单位:小时),将学生分成五类:A 类(0t2),B 类(2t4),C 类(4t6), D 类(6t8),E 类(t8)绘制成尚不完整的条形统计图如图根据以上信息, 解答下列问题: (1)样本中 E 类学生有 5 人,补全条形

22、统计图; (2)估计全校的 D 类学生有 720 人; (3)从该样本参与体育锻炼时间在 0t4 的学生中任选 2 人,求这 2 人参与体育锻炼 时间都在 2t4 中的概率 【分析】(1)根据总人数等于各类别人数之和可得 E 类别学生数; (2)用 D 类别学生数除以总人数即可得 D 类人数占被调查人数的百分比,再乘以总人 数 2000 即可得; (3)列举所有等可能结果,根据概率公式求解可得 解:(1)E 类学生有 50(2+3+22+18)5(人), 补全图形如下: 故答案为:5; (2)D 类学生人数占被调查总人数的100%36%, 所以估计全校的 D 类学生有 200036%720(人

23、); 故答案为:720; (3)记 0t2 内的两人为甲、乙,2t4 内的 3 人记为 A、B、C, 从中任选两人有 20 种可能结果, 其中 2 人锻炼时间都在 2t4 中的有 AB、AC、BC 这 6 种结果, 这 2 人锻炼时间都在 2t4 中的概率为 18已知关于 x 的方程(x3)(x2)p20 (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)当 p2 时,求该方程的根 【分析】 (1)将方程变形为一般式,根据方程的系数结合根的判别式,可得出4p2+1 0,由此可证出方程总有两个不相等的实数根; (2)代入 p2,求出的值,利用公式法求出方程的根即可 【解答】(1)证明:方程可变形为

24、 x25x+6p20, (5)241(6p2)1+4p2 p20, 4p2+10,即0, 这个方程总有两个不相等的实数根 (2)解:当 p2 时,原方程为 x25x+20, 254217, x, x1 ,x2 19如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图,已知底座 BC0.6 米,底座 BC 与支架 AC 所成的角ACB75,支架 AF 的长为 2.5 米,篮板顶端 F 点到篮筐 D 的距离 FD1.4 米,篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角FHE60,求篮筐 D 到地面的距离 (精 确到 0.1 米参考数据:cos750.3,sin750.9,tan753.7,1.7, 1.4) 【分析

25、】延长 FE 交 CB 的延长线于 M,过 A 作 AGFM 于 G,解直角三角形即可得到 结论 解:延长 FE 交 CB 的延长线于 M,过 A 作 AGFM 于 G, 在 RtABC 中,tanACB, ABBC tan750.603.7322.22, GMAB2.22, 在 RtAGF 中,FAGFHE60,sinFAG, sin60, FG2.125, DMFG+GMDF2.9 米 答:篮筐 D 到地面的距离是 2.9 米 20如图,双曲线 y1与直线 y2k2x+b 相交于 A(1,m+2),B(4,m1),点 P 是 x 轴上一动点 (1)求双曲线 y1与直线 y2k2x+b 的解

26、析式; (2)当 y1y2时,直接写出 x 的取值范围; (3)当PAB 是等腰三角形时,求点 P 的坐标 【分析】(1)将点 A、B 的坐标代入 y1求出 k1和 m 值,得到点 A、B 的坐标,将 点 A、B 的坐标代入一次函数表达式,即可求解; (2)观察函数图象即可求解; (3)分 PAPB、PAAB、PAAB 三种情况,利用等腰三角形的性质即可求解 解:(1)将点 A、B 的坐标代入 y1得:,解得:, 双曲线的表达式为:y1, 点 A、B 的坐标分别为:(1,4)、(4,1), 将点 A、B 的坐标代入一次函数表达式并解得:, 故直线 y2的表达式为:y2x+5; (2)从函数图象

27、可以看出,当 y1y2时,0x1 或 x4, 故 x 的取值范围为:0x1 或 x4; (3)设点 P(a,0),而点 A、B 的坐标分别为:(1,4)、(4,1), 则 PA2(a1)2+42,AB218,PB2(a4)2+12, 当 PAPB 时,(a1)2+42(a4)2+12, 解得:a0, P1(0,0); 当 PAAB 时,(a1)2+4218, 解得:, ; 当 PAAB 时,(a4)2+1218, 解得:, ; 综上所述,P1(0,0), 21学校准备购进一批节能灯,已知 1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 26 元;3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共

28、需 29 元 (1)求一只 A 型节能灯和一只 B 型节能灯的售价各是多少元; (2)学校准备购进这两种型号的节能灯共 50 只,并且 A 型节能灯的数量不多于 B 型节 能灯数量的 3 倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由 【分析】(1)设一只 A 型节能灯的售价是 x 元,一只 B 型节能灯的售价是 y 元,根据: “1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 26 元;3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元”列方程组求解即可; (2)首先根据“A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯数量的 3 倍”确定自变量的取值范 围,然后得到有关总费用和 A 型灯的只数之

29、间的关系得到函数解析式,确定函数的最值 即可 解:(1)设一只 A 型节能灯的售价是 x 元,一只 B 型节能灯的售价是 y 元, 根据题意,得:, 解得:, 答:一只 A 型节能灯的售价是 5 元,一只 B 型节能灯的售价是 7 元; (2)设购进 A 型节能灯 m 只,总费用为 W 元, 根据题意,得:W5m+7(50m)2m+350, 20, W 随 m 的增大而减小, 又m3(50m),解得:m37.5, 而 m 为正整数, 当 m37 时,W最小237+350276, 此时 503713, 答:当购买 A 型灯 37 只,B 型灯 13 只时,最省钱 【选考题】 22(1)问题发现

30、如图 1,ABC 和CDE 均为等边三角形,直线 AD 和直线 BE 交于点 F 填空:AFB 的度数是 60 ; 线段 AD,BE 之间的数量关系为 ADBE (2)类比探究 如图 2,ABC 和CDE 均为等腰直角三角形,ABCDEC90,ABBC,DE EC,直线 AD 和直线 BE 交于点 F请判断AFB 的度数及线段 AD,BE 之间的数量 关系,并说明理由 (3)如图 3,在ABC 中,ACB90,A30,AB5,点 D 在 AB 边上,DE AC 于点 E,AE3,将ADE 绕着点 A 在平面内旋转,请直接写出直线 DE 经过点 B 时 BD 的长 【分析】(1)证明ACDBCE

31、(SAS),即可解决问题 (2)证明ACDBCE,可得,CBFCAF,由此可得结论 (3)分两种情形分别求解即可解决问题 解:(1)如图 1 中, ABC 和CDE 均为等边三角形, CACB,CDCE,ACBDCE60, ACDBCE, ACDBCE(SAS), ADBE,ACDCBF, 设 BC 交 AF 于点 O AOCBOF, BFOACO60, AFB60, 故答案为 60,ADBE (2)结论:AFB45,ADBE 理由:如图 2 中, ABCDEC90,ABBC,DEEC, ACD45+BCDBCE, ACDBCE, ,CBFCAF, ADBE, AFB+CBFACB+CAF,

32、AFBACB45 (3)如图 3 中, AEBACB90, A,B,C,E 四点共圆, CEBCAB30,ABDACE, FAEBAC30, BADCAE, BADCAE, cos30, ECBD, 在 RtADE 中,AE3,DAE30, DEDE, BE4, BDBEDE4, 如图 4 中,当 D,EB 在同一直线上时,同法可知 BDDE+EB4+, 综上所述,BD或 【选考题】 23如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 yx2+bx+c 过 A,B,C 三点,点 A 的坐标是 (3,0),点 C 的坐标是(0,3),动点 P 在抛物线上 (1)b 2 ,c 3 ,点 B 的坐标为 (1,

33、0) ; (2)是否存在点 P,使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符 合条件的点 P 的坐标;若不存在,说明理由; (3)是否存在点 P 使得PCA15,若存在,请直接写出点 P 的横坐标若不存在, 请说明理由 【分析】(1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式,即可求解; (2)分ACP 是直角、PAC 为直角两种情况,分别求解即可; (3)分点 P 在直线 AC 下方、P(P)在直线 AC 的上方两种情况,分别求解即可 解:(1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得:,解得:, 故抛物线的表达式为:yx22x3, 令 y0,则 x3 或1,故点 B(1,0);

34、 故答案为:2,3,(1,0); (2)存在, 理由:如图 1 所示: 当ACP 是直角时, 由点 A、C 的坐标知,OCOA,即ABC45, 则 PC 与 x 轴的夹角为 45, 则设 PC 的表达式为:yx3, 联立并解得:x0 或 1(舍去 0), 故点 P(1,4); 当PAC 为直角时, 同理可得:点 P的坐标为:(2,5); 综上所述,P 的坐标是(1,4)或(2,5); (3)存在, 理由:如图 2 所示, 当点 P 在直线 AC 下方时, 由(2)知:OCA45, 又PCA15, OCP45+1560, 即直线 PC 的倾斜角为 30, 则直线 PC 的表达式为:yx3, 联立并解得:x2+或 0(舍去 0); 故 x2+; 当点 P(P)在直线 AC 的上方时, 同理可得:点 P 的横坐标为:2+; 综上,点 P 的横坐标是: