1、2020 年中考数学三模试卷年中考数学三模试卷 一、选择题 12020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 2 据统计截至目前我国外汇储备规模为30988亿美元 将30988亿用科学记数法表示为 （ ） A30988108 B3.09881011 C3.09881012 D3.09881013 3有 4 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A B C D 4某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学 每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是（ ） A B C D 5不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B
2、 C D 6如图，ABC 的顶点均在O 上，若A36，则BOC 的度数为（ ） A18 B36 C60 D72 7若一次函数 ykx+b 的图象经过一、二、四象限，则一次函数 ybx+k 的图象不经过 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨 季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这一 任务设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则下列方程中正确的是（ ） A B C D 9 如图， 在ABCD 中， 将ADC 沿 AC 折叠后， 点 D 恰好落在
3、DC 的延长线上的点 E 处 若 B60，AB3，则ADE 的周长为（ ） A12 B15 C18 D21 10如图，顶角为 36的等腰三角形，其底边与腰之比等于 k，这样的三角形称为黄金三角 形，已知腰 AB1，ABC 为第一个黄金三角形，BCD 为第二个黄金三角形，CDE 为第三个黄金三角形以此类推，第 2020 个黄金三角形的周长（ ） Ak2018 Bk2019 C Dk2019（2+k） 二、填空题（每题 3 分，满分 15 分，将答案填在答题纸上） 11计算4sin45 12已知 x，y 满足方程组，则 x+y 的值为 13在ABC 中，MNBC，SAMNS四边形MNCB则 14如
4、图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB8，点 C 为半圆上的一点将此半圆沿 BC 所在的 直线折叠， 若圆弧 BC 恰好过圆心 O， 则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ） 15如图，在 RtABC 中 BCAC4，D 是斜边 AB 上的一个动点，把ACD 沿直线 CD 折叠，点 A 落在同一平面内的 A处，当 AD 垂直于 RtABC 的直角边时，AD 的长 为 三、解答题：共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1621 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 16先化简，再求值（m1），其中 m2 17某校响应国家号召，鼓励
5、学生积极参与体育锻炼为了解学生一星期参与体育锻炼的时 间情况，从全校 2000 名学生中，随机抽取 50 名学生进行调查，按参与体育锻炼的时间 t （单位：小时），将学生分成五类：A 类（0t2），B 类（2t4），C 类（4t6）， D 类（6t8），E 类（t8）绘制成尚不完整的条形统计图如图根据以上信息， 解答下列问题： （1）样本中 E 类学生有 人，补全条形统计图； （2）估计全校的 D 类学生有 人； （3）从该样本参与体育锻炼时间在 0t4 的学生中任选 2 人，求这 2 人参与体育锻炼 时间都在 2t4 中的概率 18已知关于 x 的方程（x3）（x2）p20 （1）求证：方程
6、总有两个不相等的实数根； （2）当 p2 时，求该方程的根 19如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座 BC0.6 米，底座 BC 与支架 AC 所成的角ACB75，支架 AF 的长为 2.5 米，篮板顶端 F 点到篮筐 D 的距离 FD1.4 米，篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角FHE60，求篮筐 D 到地面的距离 （精 确到 0.1 米参考数据：cos750.3，sin750.9，tan753.7，1.7， 1.4） 20如图，双曲线 y1与直线 y2k2x+b 相交于 A（1，m+2），B（4，m1），点 P 是 x 轴上一动点 （1）求双曲线 y1与直线 y2k2x+
7、b 的解析式； （2）当 y1y2时，直接写出 x 的取值范围； （3）当PAB 是等腰三角形时，求点 P 的坐标 21学校准备购进一批节能灯，已知 1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 26 元；3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元 （1）求一只 A 型节能灯和一只 B 型节能灯的售价各是多少元； （2）学校准备购进这两种型号的节能灯共 50 只，并且 A 型节能灯的数量不多于 B 型节 能灯数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 【选考题】 22（1）问题发现 如图 1，ABC 和CDE 均为等边三角形，直线 AD 和直线 BE 交于点 F
8、填空：AFB 的度数是 ； 线段 AD，BE 之间的数量关系为 （2）类比探究 如图 2，ABC 和CDE 均为等腰直角三角形，ABCDEC90，ABBC，DE EC，直线 AD 和直线 BE 交于点 F请判断AFB 的度数及线段 AD，BE 之间的数量 关系，并说明理由 （3）如图 3，在ABC 中，ACB90，A30，AB5，点 D 在 AB 边上，DE AC 于点 E，AE3，将ADE 绕着点 A 在平面内旋转，请直接写出直线 DE 经过点 B 时 BD 的长 【选考题】 23如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+bx+c 过 A，B，C 三点，点 A 的坐标是 （3，0），点
9、C 的坐标是（0，3），动点 P 在抛物线上 （1）b ，c ，点 B 的坐标为 ； （2）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符 合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）是否存在点 P 使得PCA15，若存在，请直接写出点 P 的横坐标若不存在， 请说明理由 参考答案 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 12020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 解：2020 的相反数是：2020 故选：B 2 据
10、统计截至目前我国外汇储备规模为30988亿美元 将30988亿用科学记数法表示为 （ ） A30988108 B3.09881011 C3.09881012 D3.09881013 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 30988 亿用科学记数法表示为 3.09881012 故选：C 3有 4 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A B C D 【分析】主视图有
11、 2 列，每列小正方形数目分别为 2，1 解：如图所示：它的主视图是： 故选：D 4某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学 每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是（ ） A B C D 【分析】先画树状图（数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用 A、B、C 表示）展 示所有 9 种可能的结果数，再找出小波和小睿选到同一课程的结果数，然后根据概率公 式求解 解：画树状图为：（数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用 A、B、C 表示） 共有 9 种可能的结果数，其中小波和小睿选到同一课程的结果数为 3， 所以小波和小睿选到同一课程的概率
12、 故选：B 5不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等 式的解集表示在数轴上即可 解：由 x10，得 x1， 由 42x0，得 x2， 不等式组的解集是 1x2， 故选：D 6如图，ABC 的顶点均在O 上，若A36，则BOC 的度数为（ ） A18 B36 C60 D72 【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半，由此可得出答案 解：由题意得BOC2A72 故选：D 7若一次函数 ykx+b 的图象经过一、二、四象限，则一次函数 ybx+k 的图象不经过 （ ）
13、 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据一次函数 ykx+b 图象在坐标平面内的位置关系先确定 k，b 的取值范围， 再根据 k，b 的取值范围确定一次函数 ybx+k 图象在坐标平面内的位置关系，从而求 解 解：一次函数 ykx+b 过一、二、四象限， 则函数值 y 随 x 的增大而减小，因而 k0； 图象与 y 轴的正半轴相交则 b0， 因而一次函数 ybx+k 的一次项系数b0， y 随 x 的增大而减小，经过二四象限， 常数项 k0，则函数与 y 轴负半轴相交， 因而一定经过二三四象限， 因而函数不经过第一象限 故选：A 8“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了
14、60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨 季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这一 任务设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则下列方程中正确的是（ ） A B C D 【分析】设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，根据工作时间工作总量工作效率 结合提前 30 天完成任务，即可得出关于 x 的分式方程 解：设设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则原计划工作每天绿化的面积为 万平方米， 依题意得： 故选：C 9 如图， 在ABCD 中， 将ADC 沿 AC 折叠后， 点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处 若 B60，AB3，
15、则ADE 的周长为（ ） A12 B15 C18 D21 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到 BC2AB6，AD6，再根 据ADE 是等边三角形，即可得到ADE 的周长为 6318 解：由折叠可得，ACDACE90， BAC90， 又B60， ACB30， BC2AB6， AD6， 由折叠可得，EDB60， DAE60， ADE 是等边三角形， ADE 的周长为 6318， 故选：C 10如图，顶角为 36的等腰三角形，其底边与腰之比等于 k，这样的三角形称为黄金三角 形，已知腰 AB1，ABC 为第一个黄金三角形，BCD 为第二个黄金三角形，CDE 为第三个黄金三角形以此类
16、推，第 2020 个黄金三角形的周长（ ） Ak2018 Bk2019 C Dk2019（2+k） 【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而 找出规律：第 n 个黄金三角形的周长为 kn1（2+k），从而得出答案 解：ABAC1， ABC 的周长为 2+k； BCD 的周长为 k+k+k2k（2+k）； CDE 的周长为 k2+k2+k3k2（2+k）； 依此类推， 第 n 个黄金三角形的周长为 kn1（2+k）， 第 2020 个黄金三角形的周长为 k2019（2+k） 故选：D 二、填空题（每题 3 分，满分 15 分，将答案填在答题纸上） 11计算4s
17、in45 1 【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求 出值 解：原式2+14 2+12 1 故答案为：1 12已知 x，y 满足方程组，则 x+y 的值为 5 【分析】方程组两方程相加即可求出所求 解：， +得：4x+4y20， 则 x+y5， 故答案为：5 13在ABC 中，MNBC，SAMNS四边形MNCB则 【分析】 由 MNBC， 推出AMNACB， 推出 （） 2 ， 可得， 由此即可解决问题 解：MNBC， AMNACB， （）2， ， +1 故答案为+1 14如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB8，点 C 为半圆上的一点将此半圆沿 BC
18、所在的 直线折叠， 若圆弧 BC 恰好过圆心 O， 则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ） 【分析】过点 O 作 ODBC 于点 D，交于点 E，则可判断点 O 是的中点，由折叠 的性质可得 ODOER2，在 RtOBD 中求出OBD30，继而得出AOC， 求出扇形 AOC 的面积即可得出阴影部分的面积 解：过点 O 作 ODBC 于点 D，交于点 E，连接 OC， 则点 E 是的中点，由折叠的性质可得点 O 为的中点， S弓形BOS 弓形CO， 在 RtBOD 中，ODDER2，OBR4， OBD30， AOC60， S阴影S扇形AOC 故答案为： 15如图，在 RtABC 中 BCAC4，
19、D 是斜边 AB 上的一个动点，把ACD 沿直线 CD 折叠，点 A 落在同一平面内的 A处，当 AD 垂直于 RtABC 的直角边时，AD 的长为 44 或 4 【分析】由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出 AB4，BACB45， 如图1， 当ADBC， 设ADx， 根据折叠的性质得到AAACB45， ADADx，推出 ACAB，求得 BHBC2，DHADx，然 后列方程即可得到结果，如图 2，当 ADAC，根据折叠的性质得到 ADAD， ACAC，ACDACD，根据平行线的性质得到ADCACD，于是得到 ADCACD，推出 ADAC，于是得到 ADAC2 解：RtABC 中，BCAC4，
20、AB4，BACB45， 如图 1，当 ADBC，设 ADx， 把ACD 沿直线 CD 折叠，点 A 落在同一平面内的 A处， AAACB45，ADADx， B45， ACAB， BHBC2，DHADx， x+x+2 4， x44， AD44； 如图 2，当 ADAC， 把ACD 沿直线 CD 折叠，点 A 落在同一平面内的 A处， ADAD，ACAC，ACDACD， ADCACD， ADCACD， ADAC， ADAC4， 综上所述：AD 的长为：44 或 4 三、解答题：共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1621 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23
21、题为选考题，考生根据要求作答. 16先化简，再求值（m1），其中 m2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 m 的值代入计算可得 解：原式（） ， 当 m2 时， 原式 1+2 17某校响应国家号召，鼓励学生积极参与体育锻炼为了解学生一星期参与体育锻炼的时 间情况，从全校 2000 名学生中，随机抽取 50 名学生进行调查，按参与体育锻炼的时间 t （单位：小时），将学生分成五类：A 类（0t2），B 类（2t4），C 类（4t6）， D 类（6t8），E 类（t8）绘制成尚不完整的条形统计图如图根据以上信息， 解答下列问题： （1）样本中 E 类学生有 5 人，补全条形
22、统计图； （2）估计全校的 D 类学生有 720 人； （3）从该样本参与体育锻炼时间在 0t4 的学生中任选 2 人，求这 2 人参与体育锻炼 时间都在 2t4 中的概率 【分析】（1）根据总人数等于各类别人数之和可得 E 类别学生数； （2）用 D 类别学生数除以总人数即可得 D 类人数占被调查人数的百分比，再乘以总人 数 2000 即可得； （3）列举所有等可能结果，根据概率公式求解可得 解：（1）E 类学生有 50（2+3+22+18）5（人）， 补全图形如下： 故答案为：5； （2）D 类学生人数占被调查总人数的100%36%， 所以估计全校的 D 类学生有 200036%720（人
23、）； 故答案为：720； （3）记 0t2 内的两人为甲、乙，2t4 内的 3 人记为 A、B、C， 从中任选两人有 20 种可能结果， 其中 2 人锻炼时间都在 2t4 中的有 AB、AC、BC 这 6 种结果， 这 2 人锻炼时间都在 2t4 中的概率为 18已知关于 x 的方程（x3）（x2）p20 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）当 p2 时，求该方程的根 【分析】 （1）将方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，可得出4p2+1 0，由此可证出方程总有两个不相等的实数根； （2）代入 p2，求出的值，利用公式法求出方程的根即可 【解答】（1）证明：方程可变形为
24、 x25x+6p20， （5）241（6p2）1+4p2 p20， 4p2+10，即0， 这个方程总有两个不相等的实数根 （2）解：当 p2 时，原方程为 x25x+20， 254217， x， x1 ，x2 19如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座 BC0.6 米，底座 BC 与支架 AC 所成的角ACB75，支架 AF 的长为 2.5 米，篮板顶端 F 点到篮筐 D 的距离 FD1.4 米，篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角FHE60，求篮筐 D 到地面的距离 （精 确到 0.1 米参考数据：cos750.3，sin750.9，tan753.7，1.7， 1.4） 【分析
25、】延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AGFM 于 G，解直角三角形即可得到 结论 解：延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AGFM 于 G， 在 RtABC 中，tanACB， ABBC tan750.603.7322.22， GMAB2.22， 在 RtAGF 中，FAGFHE60，sinFAG， sin60， FG2.125， DMFG+GMDF2.9 米 答：篮筐 D 到地面的距离是 2.9 米 20如图，双曲线 y1与直线 y2k2x+b 相交于 A（1，m+2），B（4，m1），点 P 是 x 轴上一动点 （1）求双曲线 y1与直线 y2k2x+b 的解
26、析式； （2）当 y1y2时，直接写出 x 的取值范围； （3）当PAB 是等腰三角形时，求点 P 的坐标 【分析】（1）将点 A、B 的坐标代入 y1求出 k1和 m 值，得到点 A、B 的坐标，将 点 A、B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）分 PAPB、PAAB、PAAB 三种情况，利用等腰三角形的性质即可求解 解：（1）将点 A、B 的坐标代入 y1得：，解得：， 双曲线的表达式为：y1， 点 A、B 的坐标分别为：（1，4）、（4，1）， 将点 A、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：， 故直线 y2的表达式为：y2x+5； （2）从函数图象
27、可以看出，当 y1y2时，0x1 或 x4， 故 x 的取值范围为：0x1 或 x4； （3）设点 P（a，0），而点 A、B 的坐标分别为：（1，4）、（4，1）， 则 PA2（a1）2+42，AB218，PB2（a4）2+12， 当 PAPB 时，（a1）2+42（a4）2+12， 解得：a0， P1（0，0）； 当 PAAB 时，（a1）2+4218， 解得：， ； 当 PAAB 时，（a4）2+1218， 解得：， ； 综上所述，P1（0，0）， 21学校准备购进一批节能灯，已知 1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 26 元；3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共
28、需 29 元 （1）求一只 A 型节能灯和一只 B 型节能灯的售价各是多少元； （2）学校准备购进这两种型号的节能灯共 50 只，并且 A 型节能灯的数量不多于 B 型节 能灯数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 【分析】（1）设一只 A 型节能灯的售价是 x 元，一只 B 型节能灯的售价是 y 元，根据： “1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 26 元；3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元”列方程组求解即可； （2）首先根据“A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯数量的 3 倍”确定自变量的取值范 围，然后得到有关总费用和 A 型灯的只数之
29、间的关系得到函数解析式，确定函数的最值 即可 解：（1）设一只 A 型节能灯的售价是 x 元，一只 B 型节能灯的售价是 y 元， 根据题意，得：， 解得：， 答：一只 A 型节能灯的售价是 5 元，一只 B 型节能灯的售价是 7 元； （2）设购进 A 型节能灯 m 只，总费用为 W 元， 根据题意，得：W5m+7（50m）2m+350， 20， W 随 m 的增大而减小， 又m3（50m），解得：m37.5， 而 m 为正整数， 当 m37 时，W最小237+350276， 此时 503713， 答：当购买 A 型灯 37 只，B 型灯 13 只时，最省钱 【选考题】 22（1）问题发现
30、如图 1，ABC 和CDE 均为等边三角形，直线 AD 和直线 BE 交于点 F 填空：AFB 的度数是 60 ； 线段 AD，BE 之间的数量关系为 ADBE （2）类比探究 如图 2，ABC 和CDE 均为等腰直角三角形，ABCDEC90，ABBC，DE EC，直线 AD 和直线 BE 交于点 F请判断AFB 的度数及线段 AD，BE 之间的数量 关系，并说明理由 （3）如图 3，在ABC 中，ACB90，A30，AB5，点 D 在 AB 边上，DE AC 于点 E，AE3，将ADE 绕着点 A 在平面内旋转，请直接写出直线 DE 经过点 B 时 BD 的长 【分析】（1）证明ACDBCE
31、（SAS），即可解决问题 （2）证明ACDBCE，可得，CBFCAF，由此可得结论 （3）分两种情形分别求解即可解决问题 解：（1）如图 1 中， ABC 和CDE 均为等边三角形， CACB，CDCE，ACBDCE60， ACDBCE， ACDBCE（SAS）， ADBE，ACDCBF， 设 BC 交 AF 于点 O AOCBOF， BFOACO60， AFB60， 故答案为 60，ADBE （2）结论：AFB45，ADBE 理由：如图 2 中， ABCDEC90，ABBC，DEEC， ACD45+BCDBCE， ACDBCE， ，CBFCAF， ADBE， AFB+CBFACB+CAF，
32、AFBACB45 （3）如图 3 中， AEBACB90， A，B，C，E 四点共圆， CEBCAB30，ABDACE， FAEBAC30， BADCAE， BADCAE， cos30， ECBD， 在 RtADE 中，AE3，DAE30， DEDE， BE4， BDBEDE4， 如图 4 中，当 D，EB 在同一直线上时，同法可知 BDDE+EB4+， 综上所述，BD或 【选考题】 23如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+bx+c 过 A，B，C 三点，点 A 的坐标是 （3，0），点 C 的坐标是（0，3），动点 P 在抛物线上 （1）b 2 ，c 3 ，点 B 的坐标为 （1，
33、0） ； （2）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符 合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）是否存在点 P 使得PCA15，若存在，请直接写出点 P 的横坐标若不存在， 请说明理由 【分析】（1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分ACP 是直角、PAC 为直角两种情况，分别求解即可； （3）分点 P 在直线 AC 下方、P（P）在直线 AC 的上方两种情况，分别求解即可 解：（1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：yx22x3， 令 y0，则 x3 或1，故点 B（1，0）；
34、 故答案为：2，3，（1，0）； （2）存在， 理由：如图 1 所示： 当ACP 是直角时， 由点 A、C 的坐标知，OCOA，即ABC45， 则 PC 与 x 轴的夹角为 45， 则设 PC 的表达式为：yx3， 联立并解得：x0 或 1（舍去 0）， 故点 P（1，4）； 当PAC 为直角时， 同理可得：点 P的坐标为：（2，5）； 综上所述，P 的坐标是（1，4）或（2，5）； （3）存在， 理由：如图 2 所示， 当点 P 在直线 AC 下方时， 由（2）知：OCA45， 又PCA15， OCP45+1560， 即直线 PC 的倾斜角为 30， 则直线 PC 的表达式为：yx3， 联立并解得：x2+或 0（舍去 0）； 故 x2+； 当点 P（P）在直线 AC 的上方时， 同理可得：点 P 的横坐标为：2+； 综上，点 P 的横坐标是：