1、2020 年中考数学二模试卷年中考数学二模试卷 一、选择题（本题共 6 题） 1下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ） A4 B C D50% 2当 x0 时，下列运算正确的是（ ） Ax3+x2x5 Bx3 x2x6 C（x3）2x9 Dx3x2x 3下列关于二次函数 yx23 的图象与性质的描述，不正确的是（ ） A该函数图象的开口向上 B函数值 y 随着自变量 x 的值的增大而增大 C该函数图象关于 y 轴对称 D该函数图象可由函数 yx2的图象平移得到 4一组数据：3，4，4，5，如果再添加一个数据 4，那么会发生变化的统计量是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 5下列图
2、形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A线段 B矩形 C等腰梯形 D圆 6下列四个命题中，真命题是（ ） A一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 B一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 C一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 D一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将结果直接填入答题纸的相应 位置】 7化简+ 8函数 y的定义域是 9分解因式 4x24x+1 10方程3 的根是 11如果反比例函数 y（k0）的图象经
3、过点 P（1，3），那么当 x0 时，函数值 y 随 自变量 x 的值的增大而 （从“增大”或“减小”中选择） 12一个不透明的布袋中有 2 个红球和 4 个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从该布袋 中随机取出 1 个球恰好是红球的概率为 13半径长为 2 的半圆的弧长为 （计算结果保留 ） 14为了调查 A 学校 2400 名学生的某一周阅读课外书籍的时间 t（单位：时），一个数学 课外活动小组随机调查了 A 学校 120 名学生该周阅读课外书籍的时间 t（单位：时），并 绘制成如图所示的频率分布直方图（列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值， 不含最大值”的约定）请根据以上信息，估计
4、 A 学校该周阅读课外书籍的时间位于 8 t10 之间的学生人数大约为 人 15如图，在正六边形 ABCDEF 中，如果向量 ，那么向量用向量 ， 表 示为 16如图，点 A、B、C 在O 上，其中点 C 是劣弧的中点请添加一个条件，使得四边 形 AOBC 是菱形，所添加的这个条件可以是 （使用数学符号语言表达） 17七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）组 成用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形 ABCD 就是由七巧板拼成的，那 么正方形 EFGH 的面积与正方形 ABCD 的面积的比值为 18定义：如果三角形的两个内角 与 满足2，那么，我们将这
5、样的三角形 称为“倍角三角形”如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的 腰长与底边长的比值为 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19计算： 20解分式方程： 21如图所示的方格纸是由 9 个大小完全一样的小正方形组成的点 A、B、C、D 均在方 格纸的格点（即图中小正方形的顶点）上，线段 AB 与线段 CD 相交于点 E设图中每个 小正方形的边长均为 1 （1）求证：ABCD； （2）求 sinBCD 的值 22已知汽车燃油箱中的 y（单位：升）与该汽车行驶里程数 x（单位：千米）是一次函数 关系贾老师从某汽车租赁公司租借了一款小汽车，拟去距离出发地 600 公
6、里的目的地 旅游（出发之前，贾老师往该汽车燃油箱内注满了油）行驶了 200 千米之后，汽车燃 油箱中的剩余油量为 40 升； 又行驶了 100 千米，汽车燃油箱中的剩余油量为 30 升 （1）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写函数的定义域）； （2）当汽车燃油箱中的剩余油量为 8 升的时候，汽车仪表盘上的燃油指示灯就会亮起 来在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车可否抵达目的地？请通过计算说明 23已知：ABC，ABAC，BAC90，点 D 是边 BC 的中点，点 E 在边 AB 上（点 E 不与点 A、B 重合），点 F 在边 AC 上，联结 DE、DF （1）如图 1，当EDF90时
7、，求证：BEAF； （2）如图 2，当EDF45时，求证： 24在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知经过点 A（3，0）的抛物线 yax2+2ax3 与 y 轴交于点 C，点 B 与点 A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点 （1）直接写出该抛物线的对称轴以及点 B 的坐标、点 C 的坐标、点 D 的坐标； （2）联结 AD、DC、CB，求四边形 ABCD 的面积； （3）联结 AC如果点 E 在该抛物线上，过点 E 作 x 轴的垂线，垂足为 H，线段 EH 交 线段 AC 于点 F当 EF2FH 时，求点 E 的坐标 25如图，在ABC 中，C90，AB5cm，cosB动点
8、 D 从点 A 出发沿着射线 AC 的方向以每秒 1cm 的速度移动，动点 E 从点 B 出发沿着射线 BA 的方向以每秒 2cm 的速度移动已知点 D 和点 E 同时出发，设它们运动的时间为 t 秒联结 BD （1）当 ADAB 时，求 tanABD 的值； （2）以 A 为圆心，AD 为半径画A；以点 B 为圆心、BE 为半径画B讨论A 与B 的位置关系，并写出相对应的 t 的值 （3）当BDE 为直角三角形时，直接写出 tanCBD 的值 参考答案 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只 有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答
9、题纸的相应位置上】 1下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ） A4 B C D50% 【分析】依据实数的分类方法进行判断即可 解：A、4是分数，与要求不符； B、是分数，与要求不符； C、是无理数，不是分数，与要求相符； D、50%是分数，与要求不符 故选：C 2当 x0 时，下列运算正确的是（ ） Ax3+x2x5 Bx3 x2x6 C（x3）2x9 Dx3x2x 【分析】分别根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母 和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的 乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减
10、进行计算 即可 解：A、不能合并，故原题计算错误； B、x3 x2x5，故原题计算错误； C、（x3）2x6，故原题计算错误； D、x3x2x，故原题计算正确； 故选：D 3下列关于二次函数 yx23 的图象与性质的描述，不正确的是（ ） A该函数图象的开口向上 B函数值 y 随着自变量 x 的值的增大而增大 C该函数图象关于 y 轴对称 D该函数图象可由函数 yx2的图象平移得到 【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得 解：A、由 a10 知抛物线开口向上，此选项描述正确； B、抛物线的开口向上且对称轴为 y 轴，当 x0 时，y 随 x 的增大而证得，故此选项 描述错误； 由 yx2+2
11、x（x1）2+1 知抛物线的顶点坐标为（1，1），此选项错误； C、抛物线的对称轴为 y 轴，该函数图象关于 y 轴对称，此选项描述正确； D、该函数图象可由函数 yx2的图象向下平移 3 个单位得到，此选项描述正确； 故选：B 4一组数据：3，4，4，5，如果再添加一个数据 4，那么会发生变化的统计量是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解 即可 解：原数据的 3，4，5，4 的平均数为4，中位数为 4，众数为 4，方差为 （34）2+（44）22+（54） 20.5； 新数据 3，4，4，4，5 的平均数为4
12、，中位数为 4，众数为 4，方差为 （34）2+（44）23+（54） 20.4； 故选：D 5下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A线段 B矩形 C等腰梯形 D圆 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可 解：A、线段是轴对称图形也是中心对称图形； B、矩形是轴对称图形也是中心对称图形； C、等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形； D、圆是轴对称图形也是中心对称图形； 故选：C 6下列四个命题中，真命题是（ ） A一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 B一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 C一组邻边相等，一条对
13、角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 D一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可 解：A、一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，是真命 题； B、一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命 题是假命题； C、一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命 题是假命题； D、一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命 题是假命题； 故选：A 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将
14、结果直接填入答题纸的相应 位置】 7化简+ 【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果 解：原式， 故答案为： 8函数 y的定义域是 x 【分析】根据题目中的函数解析式，可知 2x+30，从而可以求得 x 的取值范围 解：函数 y， 2x+30， 解得，x， 故答案为： 9分解因式 4x24x+1 （ 2x1）2 【分析】直接利用完全平方公式（ab）2a22ab+b2分解即可 解：4x24x+1（ 2x1）2 10方程3 的根是 x11 【分析】把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解 解：两边平方得 x29，解得 x11， 经检验 x11 为原方程的解 故答案为 x
15、11 11如果反比例函数 y（k0）的图象经过点 P（1，3），那么当 x0 时，函数值 y 随 自变量 x 的值的增大而 减小 （从“增大”或“减小”中选择） 【分析】 根据题意， 利用待定系数法解出 k3， 再根据 k 值的正负确定函数值的增减性 解：反比例函数 y（k0）的图象经过点 P（1，3）， 所以 k1330， 所以当 x0 时，y 的值随自变量 x 值的增大而减小 故答案为：减小 12一个不透明的布袋中有 2 个红球和 4 个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从该布袋 中随机取出 1 个球恰好是红球的概率为 【分析】由布袋中有 2 个红球和 3 个黑球，它们除颜色外其他都相同，
16、直接利用概率公 式求解即可求得答案 解：布袋中有 2 个红球和 4 个黑球，它们除颜色外其他都相同， 从布袋中取出 1 个球恰好是红球的概率为： 故答案为： 13半径长为 2 的半圆的弧长为 2 （计算结果保留 ） 【分析】根据弧长的计算公式计算即可 解：由弧长公式得，2， 故答案为：2 14为了调查 A 学校 2400 名学生的某一周阅读课外书籍的时间 t（单位：时），一个数学 课外活动小组随机调查了 A 学校 120 名学生该周阅读课外书籍的时间 t（单位：时），并 绘制成如图所示的频率分布直方图（列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值， 不含最大值”的约定）请根据以上信息，估计 A
17、学校该周阅读课外书籍的时间位于 8 t10 之间的学生人数大约为 600 人 【分析】根据直方图给出的数据先求出 8t10 的频率，再用该校的总人数乘以 8t 10 的频率即可得出答案 解：组距是 2， 8t10 的频率是 0.12520.25， A 学校共有 2400 名学生， A 学校该周阅读课外书籍的时间位于 8t10 之间的学生人数大约为：24000.25 600（人）； 故答案为：600 15如图，在正六边形 ABCDEF 中，如果向量 ，那么向量用向量 ， 表 示为 【分析】如图，连接 BE 交 AD 于 O则AOB 是等边三角形，OAOD，根据三角形法 则求出即可解决问题 解：如
18、图，连接 BE 交 AD 于 O ABCDEF 是正六边形， AOB 是等边三角形，AOOD， FAOAOB60，OBABAF， AFOB， ， + + ， AD2AO， 2 +2 ， 故答案为 2 +2 16如图，点 A、B、C 在O 上，其中点 C 是劣弧的中点请添加一个条件，使得四边 形 AOBC 是菱形，所添加的这个条件可以是 ACAO 或 ACOA 或AOB120或 OACB 等 （使用数学符号语言表达） 【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到 ACBC，然后根据菱形的判定方法添加条件 解：点 C 是劣弧的中点， ACBC， 当添加 ACOA 时，OAOBACBC，四边形 OACB 为
19、菱形； 当添加AOB120时，四边形 OACB 为菱形； 当添加 OACB 时，四边形 OACB 为菱形 故答案为 ACAO 或 ACOA 或AOB120或 OACB 等 17七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）组 成用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形 ABCD 就是由七巧板拼成的，那 么正方形 EFGH 的面积与正方形 ABCD 的面积的比值为 【分析】四边形 EFGH 是正方形，AEH 是等腰直角三角形，即可得出 AHHEHG， 设 AHHG1，则 AG2，即可得到正方形 EFGH 的面积为 1，正方形 ABCD 的面积为 8，进而得出结论
20、解：四边形 EFGH 是正方形，AEH 是等腰直角三角形， AHHEHG， 设 AHHG1，则 AG2，正方形 EFGH 的面积为 1， ADG 是等腰直角三角形， ADAG2， 正方形 ABCD 的面积为 8， 正方形 EFGH 的面积与正方形 ABCD 的面积的比值为， 故答案为： 18定义：如果三角形的两个内角 与 满足2，那么，我们将这样的三角形 称为“倍角三角形”如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的 腰长与底边长的比值为 或 【分析】若等腰三角形的三个内角、，利用+2180和2 得 45，此“倍角三角形”为等腰直角三角形，从而得到腰长与底边长的比值；若 等腰三角形
21、的三个内角、 ， ， 利用 2+180和2 得 36， 如图， BC72， A36， 作ABC 的平分线 BD， 则ABDCBD36， 易得 DADBCB，再证明BDCACB，利用相似比得到 BC：ACCD：BC，等量 代换得到 BC：AC（ACBC）：BC，然后解关于 AC 的方程 AC2AC BCBC20 得 AC 与 BC 的比值即可 解：若等腰三角形的三个内角、， +2180，2， 4180，解得 45， 此“倍角三角形”为等腰直角三角形， 腰长与底边长的比值为； 若等腰三角形的三个内角、， 2+180，2， 5180，解得 36， 如图， BC72， A36， 作ABC 的平分线 B
22、D， 则ABDCBD36， DADB， BDCA+ABD72， BDCC， BDBC， 即 DADBCB， CBDA，BCDACB， BDCACB， BC：ACCD：BC， 即 BC：AC（ACBC）：BC， 整理得 AC2AC BCBC20，解得 AC BC， 即， 此时腰长与底边长的比值为， 综上所述，这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为或 故答案为或 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19计算： 【分析】先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，再利用绝对值和完全平方 公式计算，然后合并即可 解：原式1+3+2+13 12+3+2+13 20解分式方程： 【分析】分式
23、方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 解：去分母得：（x+2）216x2， 整理得：x2+3x100，即（x2）（x+5）0， 解得：x2 或 x5， 经检验 x2 是增根，分式方程的解为 x5 21如图所示的方格纸是由 9 个大小完全一样的小正方形组成的点 A、B、C、D 均在方 格纸的格点（即图中小正方形的顶点）上，线段 AB 与线段 CD 相交于点 E设图中每个 小正方形的边长均为 1 （1）求证：ABCD； （2）求 sinBCD 的值 【分析】（1）证明BAGCDF（SAS），可得BAGCDF，根据同角的余角相 等可得结论； （2）根
24、据勾股定理先计算 CD 和 BC 的长，根据面积法可得 BE 的长，最后由三角函数 定义可得结论 【解答】（1）证明：如图， AGDF1，GCFD90，BGCF3， BAGCDF（SAS）， BAGCDF， 又BAG+ABG90， CDF+ABG90， BED180（CDF+ABG）90， ABCD； （2）解：在 RtCFD 中，DF1，CF3， ， 同理， ， ， ， 解得， 22已知汽车燃油箱中的 y（单位：升）与该汽车行驶里程数 x（单位：千米）是一次函数 关系贾老师从某汽车租赁公司租借了一款小汽车，拟去距离出发地 600 公里的目的地 旅游（出发之前，贾老师往该汽车燃油箱内注满了油）
25、行驶了 200 千米之后，汽车燃 油箱中的剩余油量为 40 升； 又行驶了 100 千米，汽车燃油箱中的剩余油量为 30 升 （1）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写函数的定义域）； （2）当汽车燃油箱中的剩余油量为 8 升的时候，汽车仪表盘上的燃油指示灯就会亮起 来在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车可否抵达目的地？请通过计算说明 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）把 y8 代入（1）的结论解答即可 解：（1）设 y 关于 x 的函数关系式为 ykx+b 由题意，得， 解得， y 关于 x 的函数关系式为； （2）当 y8 时， 解得 x520 520600， 在燃油指示
26、灯亮起来之前，贾老师驾驶该车不能抵达目的地 23已知：ABC，ABAC，BAC90，点 D 是边 BC 的中点，点 E 在边 AB 上（点 E 不与点 A、B 重合），点 F 在边 AC 上，联结 DE、DF （1）如图 1，当EDF90时，求证：BEAF； （2）如图 2，当EDF45时，求证： 【分析】（1）连接 AD，证BDEADF（ASA），即可得出结论； （2）证明BDECFD得出，得出，由 BDCD， 即可得出结论 【解答】证明：（1）连接 AD，如图 1 所示： 在 RtABC 中，ABAC，BAC90， BC45， 点 D 是边 BC 的中点， ADBCBD，ADBC，BADC
27、AD45， BCAD， EDF90， ADF+ADE90 BDE+ADE90， BDEADF， 在BDE 和ADF 中， BDEADF（ASA）， BEAF； （2）BDFBDE+EDF，BDFC+CFD， BDE+EDFC+CFD 又CEDF45， BDECFD， BDECFD ， ， 又BDCD， 24在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知经过点 A（3，0）的抛物线 yax2+2ax3 与 y 轴交于点 C，点 B 与点 A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点 （1）直接写出该抛物线的对称轴以及点 B 的坐标、点 C 的坐标、点 D 的坐标； （2）联结 AD、DC、CB
28、，求四边形 ABCD 的面积； （3）联结 AC如果点 E 在该抛物线上，过点 E 作 x 轴的垂线，垂足为 H，线段 EH 交 线段 AC 于点 F当 EF2FH 时，求点 E 的坐标 【分析】（1）该抛物线的对称轴为直线 x1，而点 A（3，0），求出点 B 的坐标，进而求解； （2） 将四边形 ABCD 的面积分解为DAM、 梯形 DMOC、 BOC 的面积和， 即可求解； （3）设点 E（x，x2+2x3），则点 F（x，x1），求出 EF、FH 长度的表达式，即 可求解 解：（1）该抛物线的对称轴为直线 x1，而点 A（3，0）， 点 B 的坐标为（1，0）， c3，故点 C 的坐标
29、为（0，3）， 函数的对称轴为 x1，故点 D 的坐标为（1，4）； （2）过点 D 作 DMAB，垂足为 M， 则 OM1，DM4，AM2，OB1， ， ， ， ； （3）设直线 AC 的表达式为：ykx+b，则，解得：， 故直线 AC 的表达式为：yx3， 将点 A 的坐标代入抛物线表达式得：9a6a30，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx2+2x3， 设点 E（x，x2+2x3），则点 F（x，x1）， 则 EF（x1）（x2+2x3）x23x，FHx+3， EF2FH， x23x2（x+3），解得：x2 或3（舍去3）， 故 m2， 故点 E 的坐标为：（2，3） 25如图，在AB
30、C 中，C90，AB5cm，cosB动点 D 从点 A 出发沿着射线 AC 的方向以每秒 1cm 的速度移动，动点 E 从点 B 出发沿着射线 BA 的方向以每秒 2cm 的速度移动已知点 D 和点 E 同时出发，设它们运动的时间为 t 秒联结 BD （1）当 ADAB 时，求 tanABD 的值； （2）以 A 为圆心，AD 为半径画A；以点 B 为圆心、BE 为半径画B讨论A 与B 的位置关系，并写出相对应的 t 的值 （3）当BDE 为直角三角形时，直接写出 tanCBD 的值 【分析】 （1） 先根据三角函数定义可得 BC4， 由勾股定理计算 AC3， 最后证明ABD D，计算D 的正
31、切即可； （2）分情况讨论，根据两圆外离，外切，相交，内切，内含的定义可得结论； （3）当BDE 为直角三角形时，分 D 在线段 AC 上和射线 AC 上两种情况，再分BDE 90和DBE90分别画图，根据三角形相似和三角函数列比例式可解决问题 解：（1）在ABC 中， ACB90，AB5， ， BCAB cosABC54， ， 当 ADAB5 时，ABDD， CDADAC532， 在 RtBCD 中， tanABDtanD2； （2）如图 2，A 经过点 E，两圆外切， 由题意得：ADt，BE2t， t+2t5， 解得：t， 当两圆外离时，由题意得 53t，解得 ； 当两圆外切时，如图 2，
32、； 当两圆相交时，由题意得 t53t，解得 ； 当两圆内切时，如图 3，由题意得 2tt5，解得 t5； 当两圆内含时，由题意得 05t，解得 t5； （3）当 D 在线段 AC 上，且BED90时，如图 4， cosA，即， 解得：， CD3， ； 当 D 在线段 AC 上，且BDE90，如图 5，过 E 作 EFBC，交 AC 于 F， AE52t， EFBC， AEFABC， ，即， AF3t，EF4t， ADt， CD3t，DFADAFt（3t）t3， BDEEDF+CDBCDB+CBD90， EDFCBD， EFDC90， EFDDCB， ，即， 4（4t）（3t）（t3）， 解得：t15（舍）， ， tanCBD； 当 D 在线段 AC 的延长线上，且BDE90时，如图 6，过 E 作 EFAC，交 CA 的 延长线于 F， EFBC， AEFABC， ，即， AFt3，EFt4， ADt， CDt3，DFAD+AFt+（t3）t3， 同理得EFDDCB， ，即， 4（t4）（t3）（t3）， 解得：t15， （舍）， tanCBD； 当 D 在线段 AC 的延长线上，且DBE90时，如图 7， ABC+CBDCBD+CDB， ABCCDB， tanABCtanCDB，即， 解得：， tanCBD； 综上，tanCBD 的值是或或或