1、2020 年中考数学二模试卷年中考数学二模试卷 一、选择题（本题共 6 题） 1下列正整数中，属于素数的是（ ） A2 B4 C6 D8 2下列方程没有实数根的是（ ） Ax20 Bx2+x0 Cx2+x+10 Dx2+x10 3一次函数 y2x+1 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4某班在统计全班 33 人的体重时，算出中位数与平均数都是 54 千克，但后来发现在计算 时，将其中一名学生的体重 50 千克错写成了 5 千克，经重新计算后，正确的中位数为 a 千克，正确的平均数为 b 千克，那么（ ） Aab Bab Cab D无法判断 5已知O1与O2的直
2、径长 4 厘米与 8 厘米，圆心距为 2 厘米，那么这两圆的位置关系是 （ ） A内含 B内切 C相交 D外切 6在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0），B（2，0），C（1，2），E（4，2）， 如果ABC 与EFB 全等，那么点 F 的坐标可以是（ ） A（6，0） B（4，0） C（42） D（4，3） 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7计算：6a42a2 8分解因式：4x21 9不等式组的整数解是 10已知函数 f（x），那么 f（） 11某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校 500 名学生进行了调查，并把结果绘 制成如图所示的扇形图，
3、那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是 12 木盒中有一个红球与一个黄球， 这两个球除颜色外其他都相同， 从盒子里先摸出一个球， 放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是 13如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的 2 倍，另一边长比该正方形边长少 1 厘米， 且矩形的面积比该正方形的面积大 8 平方厘米，那么该正方形的边长是 厘米 14正五边形的一个内角的度数是 15如果一个梯形的上底与下底之比等于 1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分 的面积之比是 16 如图， 点M是ABC的边AB上的中点， 设 ， ， 那么用 ，表示为 17已知等边ABC 的重心为 G，DEF 与
4、ABC 关于点 G 成中心对称，将它们重叠部分 的面积记作 S1，ABC 的面积记作 S2，那么 的值是 18 已知O 的直径 AB4， D 与半径为 1 的C 外切， 且C 与D 均与直径 AB 相切、 与O 内切，那么D 的半径是 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19计算：+|3 20解方程组： 21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 坐标（2，3），过点 A 作 AHx 轴，垂足 为点 H，AH 交反比例函数在第一象限的图象于点 B，且满足2 （1）求该反比例函数的解析式； （2）点 C 在 x 正半轴上，点 D 在该反比例函数的图象上，且四边形 ABCD
5、是平行四边 形，求点 D 坐标 22如图 1，有一直径为 100 米的摩天轮，其最高点距离地面高度为 110 米，该摩天轮匀速 转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为 24 分钟 （1）如图 2，某游客所在吊舱从最低点 P 出发，3 分钟后到达 A 处，此时该游客离地面 高度约为多少米？（精确到整数） （2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于 85 米？（参考数 据：1.41，1.73） 23已知：如图，圆 O 是ABC 的外接圆，AO 平分BAC （1）求证：ABC 是等腰三角形； （2）当 OA4，AB6，求边 BC 的长 24在平面直角坐标系 xOy 中，已知
6、抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，0）和 B（2，6）， 其顶点为 D （1）求此抛物线的表达式； （2）求ABD 的面积； （3）设 C 为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点 C 作 CHx 轴，垂足为点 H，如 果OCH 与ABD 相似，求点 C 的坐标 25在边长为 2 的菱形 ABCD 中，E 是边 AD 的中点，点 F、G、H 分别在边 AB、BC、CD 上，且 FGEF，EHEF （1）如图 1，当点 F 是边 AB 中点时，求证：四边形 EFGH 是矩形； （2）如图 2，当时，求值； （3）当 cosD，且四边形 EFGH 是矩形时（点 F 不与 AB 中点重合），求
7、 AF 的 长 参考答案 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只 有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1下列正整数中，属于素数的是（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】根据素数的定义，一个大于 1 的自然数，除了 1 和它本身外，不能被其他自然 数整除，换句话说就是该数除了 1 和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案 解：各选项中，只有 2 除了 1 和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的是 2 故选：A 2下列方程没有实数根的是（ ） Ax20 Bx2+x0 Cx2+x+10 Dx2+x10 【分析
8、】分别计算出每个方程判别式的值，再进一步判断即可得出答案 解：A此方程判别式024100，故方程有两个相等的实数根； B此方程判别式1241010，故方程有两个不相等的实数根； C此方程判别式1241130，故方程没有实数根； D此方程判别式0241（1）50，故方程有两个不相等的实数根； 故选：C 3一次函数 y2x+1 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】先根据一次函数 y2x+1 中 k2，b1 判断出函数图象经过的象限，进而 可得出结论 解：一次函数 y2x+1 中 k20，b10， 此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限 故选：C 4某
9、班在统计全班 33 人的体重时，算出中位数与平均数都是 54 千克，但后来发现在计算 时，将其中一名学生的体重 50 千克错写成了 5 千克，经重新计算后，正确的中位数为 a 千克，正确的平均数为 b 千克，那么（ ） Aab Bab Cab D无法判断 【分析】 根据中位数和平均数的定义分别判断出 a、 b 与 54 的大小关系， 据此可得答案 解：原数据中 5 在中位数 54 的左边，新数据中 5054， 所以中位数 a54， 新数据比原数据增加了 45，而数据的个数没有变化， 所以平均数 b54， 则 ba， 故选：A 5已知O1与O2的直径长 4 厘米与 8 厘米，圆心距为 2 厘米，
10、那么这两圆的位置关系是 （ ） A内含 B内切 C相交 D外切 【分析】根据圆与圆的位置关系即可求出答案 解：由题意可知：r12，r24， 圆心距 d2， dr2r1， 两圆相内切， 故选：B 6在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0），B（2，0），C（1，2），E（4，2）， 如果ABC 与EFB 全等，那么点 F 的坐标可以是（ ） A（6，0） B（4，0） C（42） D（4，3） 【分析】直接利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案 解：如图所示：ABC 与EFB 全等，点 F 的坐标可以是：（4，3） 故选：D 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4
11、分，满分 48 分） 7计算：6a42a2 3a2 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 解：6a42a23a2 故答案为：3a2 8分解因式：4x21 （2x+1）（2x1） 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可平方差公式：a2b2（a+b）（ab） 解：4x21（2x+1）（2x1） 故答案为：（2x+1）（2x1） 9不等式组的整数解是 x1 【分析】首先解不等式组中的每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式 组的解集，进一步得到不等式组的整数解 解：， 解得 x， 解得 x2 综上可得x2， x 为整数， x1 故答案为：x1 10已知函数 f（x），那么 f（）
12、 【分析】把 x3 代入函数关系式，计算求值即可 解：当 x时， f（） 故答案为： 11某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校 500 名学生进行了调查，并把结果绘 制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是 25 人 【分析】先根据三部分对应的百分比之和为 1 求出通过手机收看“空中课堂”的学生人 数所占百分比，再乘以总人数即可得 解： 该校通过手机收看 “空中课堂” 的学生人数所占百分比为 1 （25%+70%） 5%， 该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是 5005%25（人）， 故答案为：25 人 12 木盒中有一个红球与一个黄球， 这两个球除颜色外
13、其他都相同， 从盒子里先摸出一个球， 放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是 【分析】根据题意画出树状图，据此列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得 解：画树状图如下： 由树状图知，共有 4 种等可能结果，其中两次都摸到黄球的只有 1 种情况， 所以两次都摸到黄球的概率为， 故答案为： 13如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的 2 倍，另一边长比该正方形边长少 1 厘米， 且矩形的面积比该正方形的面积大 8 平方厘米，那么该正方形的边长是 4 厘米 【分析】设正方形的边长为 x 厘米，根据题意用 x 表示出矩形的两边，根据题意列出方 程，解一元二次方程得到答案 解：设正方形的边
14、长为 x 厘米，则矩形的一边长为 2x 厘米，另一边长为（x1）厘米， 由题意得，2x（x1）x28， 整理得，x22x80， 解得，x12（舍去），x24， 故答案为：4 14正五边形的一个内角的度数是 108 【分析】先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中 一个内角的度数 解：正多边形的内角和公式为：（n2）180， 正五边形的内角和是：（52）180540， 则每个内角是：5405108 15如果一个梯形的上底与下底之比等于 1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分 的面积之比是 5：7 【分析】设梯形的上底为 a，用 a 表示出下底，根据梯形中位线的概
15、念用 a 表示出梯形中 位线的长，根据梯形的面积公式计算，得到答案 解：设梯形的上底为 a，则下底为 2a， 梯形的中位线a， 梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高 h 是相等的， 这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比， 故答案为：5：7 16 如图， 点 M 是ABC 的边 AB 上的中点， 设 ， ， 那么用 ， 表示为 + 【分析】利用三角形法则可知：+，只要求出即可解决问题 解：M 是 AB 的中点， AMAB， ， +， +， 故答案为 +， 17已知等边ABC 的重心为 G，DEF 与ABC 关于点 G 成中心对称，将它们重叠部分 的面积记作 S1，ABC 的面积记作 S2，
16、那么 的值是 【分析】如图，根据点 G 是等边ABC 的重心，得到 AD 垂直平分 BC，AD 是BAC 的 角平分线，根据中心对称的性质得到DEFABC，AGDG，EFBC，推出AQH 是等边三角形，得到 AQHQAH，求得它们重叠部分为边长QH 的正六边形，设 AB 3a，则 QHa，根据等边三角形的面积健康得到结论 解：如图，点 G 是等边ABC 的重心， AD 垂直平分 BC，AD 是BAC 的角平分线， AG2GN， 设 AB3a，则 AN3aa， DEF 与ABC 关于点 G 成中心对称， DEFABC，AGDG，EFBC， AQHABCAHQACB60， AQH 是等边三角形，
17、AQHQAHABa， APa， 它们重叠部分为边长QH 的正六边形， S16 a2，S2（3a）2， ， 故答案为： 18 已知O 的直径 AB4， D 与半径为 1 的C 外切， 且C 与D 均与直径 AB 相切、 与O 内切，那么D 的半径是 或 1 【分析】分D 与C 在直径 AB 的同侧、D 与C 在直径 AB 的两侧两种情况，根据 圆心距与两圆半径的数量关系、勾股定理列方程计算，得到答案 解：当D 与C 在直径 AB 的同侧时，作 DHOC 于 H，DNOB 于 N，连接 CD，连 接 OD 并延长交O 于 G， 设D 的半径为 r，则 OD2r，CD1+r， O 的直径 AB4，C
18、 的半径为 1，C 与O 内切， C 与O 内切于点 O， COAB， COAB，DHOC，DNOB， 四边形 HOND 为矩形， OHDNr，DHON， CH1r， 在 RtCDH 中，CH2+DH2CD2，即（1r）2+（2r）2r2（1+r）2， 解得，r， 当D 与C 在直径 AB 的两侧时，C 与D 的半径相等，都是 1， 故答案为：或 1 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19计算：+|3 【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案 解：原式2+（+1） 2+ 1 1 20解方程组： 【分析】由得：y3x，代入并整理得：x23x40，解这个一
19、元二次方程并代 入求值即可 解：由得：y3x， 把代入得：x2+3x（3x）+（3x）25， 整理得：x23x40， 解这个方程得，x14，x21， 把 x 的值分别代入，得 y11，y24 原方程组的解为， 21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 坐标（2，3），过点 A 作 AHx 轴，垂足 为点 H，AH 交反比例函数在第一象限的图象于点 B，且满足2 （1）求该反比例函数的解析式； （2）点 C 在 x 正半轴上，点 D 在该反比例函数的图象上，且四边形 ABCD 是平行四边 形，求点 D 坐标 【分析】（1）先求出点 B 坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式； （2）
20、利用平行四边形的性质可得 ABCD，ABCD2，可求点 D 坐标 解：点 A 坐标（2，3）， AH3， 2， BH1，AB2， 点 B（2，1）， 设反比例函数的解析式为 y（k0）， 点 B 在反比例函数的图象上， k212， 反比例函数的解析式为 y； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD2， ABx 轴， CDx 轴， 点 D 纵坐标 2， 点 D 坐标（1，2） 22如图 1，有一直径为 100 米的摩天轮，其最高点距离地面高度为 110 米，该摩天轮匀速 转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为 24 分钟 （1）如图 2，某游客所在吊舱从最低点 P 出发
21、，3 分钟后到达 A 处，此时该游客离地面 高度约为多少米？（精确到整数） （2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于 85 米？（参考数 据：1.41，1.73） 【分析】（1）作 AHMN 于 H，求出吊舱每分钟转过的角度，得到AOH，根据余弦 的定义计算，得到答案； （2）求出 OE 的长度，根据正弦的定义求出OCE30，得到COD120，根据 题意计算即可 解：（1）如图 2，作 AHMN 于 H， 吊舱每分钟转过的角度15， 3 分钟转过的角度为 45， 在 RtOAH 中，OHOA cosAOH5025， HM602525， 答：该游客离地面高度约为 25 米；
22、 （2）如图 2，线段 CD 距离地面 85 米， 则 OE856025， 在 RtOEC 中，OEC90，OE25，OC50， OCE30， COE60， COD120， 距离地面不低于 85 米的时间为：8（分） 23已知：如图，圆 O 是ABC 的外接圆，AO 平分BAC （1）求证：ABC 是等腰三角形； （2）当 OA4，AB6，求边 BC 的长 【分析】（1）连接 OB、OC，先证明OBAOCABAOCAO，再证明OAB OAC 得 ABAC，问题得证； （2）延长 AO 交 BC 于点 H，先证明 AHBC，BHCH，设 OHb，BHCHa，根 据 OA4，AB6，由勾股定理列出
23、 a、b 的方程组，解得 a、b，便可得 BC 解：（1）连接 OB、OC， OAOBOC，OA 平分BAC， OBAOCABAOCAO， 在OAB 和OAC 中， ， OABOAC（AAS）， ABAC 即ABC 是等腰三角形； （2）延长 AO 交 BC 于点 H， AH 平分BAC，ABAC， AHBC，BHCH， 设 OHb，BHCHa， BH2+OH2OB2，BH2+AH2AB2，OA4，AB6， ， 解得， BC2a3 24在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，0）和 B（2，6）， 其顶点为 D （1）求此抛物线的表达式； （2）求ABD 的
24、面积； （3）设 C 为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点 C 作 CHx 轴，垂足为点 H，如 果OCH 与ABD 相似，求点 C 的坐标 【分析】（1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）BD2AB2+AD2，则ABD 为直角三角形，ABD 的面积 ABAD，即可求解； （3）OCH 与ABD 相似，tanCOHtanABD 或 tanADB，即 tanCOH 或 3，即可求解 解：（1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：yx2+2x； （2）对于 yx2+2x，顶点 D（2，2）， 则 AD2， 同理 AB6，BD4， 故 BD
25、2AB2+AD2， ABD 为直角三角形， ABD 的面积ABAD6212； （3）在ABD 中，tanABD， OCH 与ABD 相似， tanCOHtanABD 或 tanADB， 即 tanCOH或 3， 设点 C（m，m2+2m），则 tanCOH或 3， 解得：m10 或（不合题意的值已舍去）， 故点 H 的坐标为（10，30）或（，） 25在边长为 2 的菱形 ABCD 中，E 是边 AD 的中点，点 F、G、H 分别在边 AB、BC、CD 上，且 FGEF，EHEF （1）如图 1，当点 F 是边 AB 中点时，求证：四边形 EFGH 是矩形； （2）如图 2，当时，求值； （3
26、）当 cosD，且四边形 EFGH 是矩形时（点 F 不与 AB 中点重合），求 AF 的 长 【分析】（1）连接 AC、BD，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得 GFEH，GF EH，从而可知四边形 EFGH 是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形 得出结论； （2）连接 EG，由菱形的性质及 FGEH 可得BGFDEH，及BD，从而判定 BGFDEH，结合及菱形的性质可得答案； （3）如图，过点 G 作 GMAB 于点 M，过点 E 作 ENBA 延长线于点 N，根据 cosD 及菱形的边长可求得 BMAN， MGNE 设 AFx， 则 MFx， 当四边形 EFGH 是矩形时
27、，GFE90，则GMF 与FNE 相似（三垂直模型），分 两种情况列式计算即可：GMFFNE，GMFENF 解：（1）连接 AC、BD， 菱形 ABCD 中，E 是边 AD 的中点，点 F 是边 AB 中点， AFAEAB，EFBD， FGEF，EHEF GFEHAC， GFHEAC， 四边形 EFGH 是平行四边形， FGEF， EFG90， 四边形 EFGH 是矩形； （2）连接 EG， 菱形 ABCD 中，ADBC， BGEDEG， FGEH， FGEHEG， BGFDEH， 又菱形 ABCD 中，BD， BGFDEH， ， BGBC， DEADBC， ； （3）如图，过点 G 作 GMAB 于点 M，过点 E 作 ENBA 延长线于点 N， 四边形 EFGH 是矩形， GFEH， 由（2）可知，BGFDEH， 此时BGFDEH， 又菱形 ABCD 边长为 2， BGDE1， BGCG1， cosBcosEANcosD， BMAN， MGNE 设 AFx，则 MF2xx， 当四边形 EFGH 是矩形时，GFE90，则GMF 与FNE 相似（三垂直模型） 若GMFFNE， 则， ， 解得 x1，x21（点 F 不与 AB 中点重合，舍去）； 若GMFENF， 则， 1， 解得 x 综上，AF 的长为或