1、2020 年中考数学二模试卷年中考数学二模试卷 一、选择题（本题共 6 题） 1在下列各数中，无理数是（ ） A B C D0.101001 2计算（a3）2的结果是（ ） Aa Ba5 Ca6 Da9 3一次函数 y2x3 的图象在 y 轴的截距是（ ） A2 B2 C3 D3 4某区对创建全国文明城区的满意程度进行随机调查，结果如图所示，据此可估计全区 75 万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为（ ） A1.2 万 B1.5 万 C7.5 万 D66 万 5 已知在ABC 中， AD 是中线， 设 ， ， 那么向量用向量表示为 （ ） A2 2 B2 +2 C2 2 D 6如图，
2、MON30，OP 是MON 的角平分线，PQON 交 OM 于点 Q，以 P 为圆心 半径为 4 的圆与 ON 相切， 如果以 Q 为圆心半径为 r 的圆与P 相交， 那么 r 的取值范围 是（ ） A4r12 B2r12 C4r8 Dr4 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7分解因式：a24 8某种冠状病毒的直径大约是 0.00011 毫米，数据 0.00011 用科学记数法表示为 9方程的根是 10已知关于 x 的方程 x2mx+20 有两个相等的实数根，那么 m 的值是 11函数 y的定义域是 12从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这十个数中随
3、机取出一个数，取出的数是 3 的倍 数的概率是 13某学校九年级共有 350 名学生，在一次九年级全体学生参加的数学测试中，随机抽取 50 名学生的测试成绩进行抽样调查，绘制频率分布直方图如图所示，如果成绩不低于 80 分算优良，那么估计九年级全体学生在这次测试中成绩优良学生人数约是 14上海市居民用户燃气收费标准如表： 年用气量（立方米） 每立方米价格（元） 第一档 0310 3.00 第二档 310（含）520（含） 3.30 第三档 520 以上 4.20 某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费 y（元）与年用气量 x（立方米）的 函数关系式是 15四边形 ABCD 中，对角线
4、AC、BD 相互垂直，AC4，BD6，顺次联结这个四边形中 点所得的四边形的面积等于 16 我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比， 内外比为 3 的正多边 形的边数为 17如图，在坡度为 1：2.4 的斜坡上有一棵与水平面垂直的树 BC，在斜坡底部 A 处测得树 顶 C 的仰角为 30，AB 的长为 65 米，那么树高 BC 等于 米（保留根号） 18如图，在ABC 中，C90，AC3，BC4，把ABC 绕 C 点旋转得到ABC， 其中点 A在线段 AB 上，那么ABB 的正切值等于 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19计算：+（1） 1（ ）+cos30
5、 20解方程组： 21在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知函数 y2x 的图象和反比例函数的在第一象限 交于 A 点，其中点 A 的横坐标是 1 （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线 y2x 平移后与 y 轴相交于点 B，且 ABOB，求平移后直线的解析式 22 如图， 已知在四边形 ABCD 中AABC90， 点 E 是 CD 的中点， ABD 与EBD 关于直线 BD 对称，AD1，AB （1）求点 A 和点 E 之间的距离； （2）联结 AC 交 BE 于点 F，求的值 23 如图， 已知 C 是线段 AB 上的一点， 分别以 AC、 BC 为边在线段 AB 同侧作正方形 A
6、CDE 和正方形 CBGF，点 F 在 CD 上，联结 AF、BD，BD 与 FG 交于点 M，点 N 是边 AC 上 的一点，联结 EN 交 AF 与点 H （1）求证：AFBD； （2）如果，求证：AFEN 24在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0）和 B （0，3），其顶点为 C （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）我们把坐标为（n，m）的点叫做坐标为（m，n）的点的反射点，已知点 M 在这条 抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点 M 的坐标； （3）点 P 是抛物线在第一象限部分上的一点，如果POAACB，求点 P
7、 的坐标 25如图，在ABC 中，C90，AC6，BC8，P 是线段 BC 上任意一点，以点 P 为圆心 PB 为半径的圆与线段 AB 相交于点 Q（点 Q 与点 A、B 不重合），CPQ 的角平 分线与 AC 相交于点 D （1）如果 DQPB，求证：四边形 BQDP 是平行四边形； （2）设 PBx，DPQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）如果ADQ 是以 DQ 为腰的等腰三角形，求 PB 的长 参考答案 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只 有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂
8、在答题纸的相应位置上】 1在下列各数中，无理数是（ ） A B C D0.101001 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此即可判定选择项 解：A.是分数，属于有理数； B.是无理数； C.，是整数，属于有理数； D.0.101001 是有限小数，属于有理数 故选：B 2计算（a3）2的结果是（ ） Aa Ba5 Ca6 Da9 【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘（am）namn（m，n 是正整数）计 算即可 解：（a3）2a32a6 故选：C 3一次函
9、数 y2x3 的图象在 y 轴的截距是（ ） A2 B2 C3 D3 【分析】代入 x0，求出 y 值，此题得解 解：当 x0 时，y2x33， 一次函数 y2x3 的图象在 y 轴的截距是3 故选：D 4某区对创建全国文明城区的满意程度进行随机调查，结果如图所示，据此可估计全区 75 万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为（ ） A1.2 万 B1.5 万 C7.5 万 D66 万 【分析】用总人数乘以样本中对创建全国文明城区工作不满意的居民人数所对应的百分 比可得 解：估计全区 75 万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为 752%1.5（万 人）， 故选：B 5 已知在A
10、BC 中， AD 是中线， 设 ， ， 那么向量用向量表示为 （ ） A2 2 B2 +2 C2 2 D 【分析】根据向量运算法则即可求出答案 解：+， ， 22 2 ， 故选：C 6如图，MON30，OP 是MON 的角平分线，PQON 交 OM 于点 Q，以 P 为圆心 半径为 4 的圆与 ON 相切， 如果以 Q 为圆心半径为 r 的圆与P 相交， 那么 r 的取值范围 是（ ） A4r12 B2r12 C4r8 Dr4 【分析】如图，过点 P 作 PAOM 于点 A根据题意首先判定 OM 是切线，根据切线的 性质得到 PA4 由角平分线的性质和平行线的性质判定直角APQ 中含有 30
11、度角， 则 由“30 度角所对的直角边是斜边的一半”得到 PQ 的长度；然后根据圆与圆的位置关系 求得 r 的取值范围 解：如图，过点 P 作 PAOM 于点 A 圆 P 与 ON 相切，设切点为 B，连接 PB PBON OP 是MON 的角平分线， PAPB PA 是半径， OM 是圆 P 的切线 MON30，OP 是MON 的角平分线， 1215 PQON， 3215 41+330 PA4， PQ2PA8 r最小值844，r 最大值8+412 r 的取值范围是 4r12 故选：A 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7分解因式：a24 （a+2）（a2） 【
12、分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开 解：a24（a+2）（a2） 8某种冠状病毒的直径大约是 0.00011 毫米，数据 0.00011 用科学记数法表示为 1.110 4 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零 的数字前面的 0 的个数所决定 解：数据 0.00011 用科学记数法表示为 1.1104， 故答案为：1.1104 9方程的根是 x1 【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得 x 的值，然后 进行
13、检验即可 解：两边平方得：2xx2， 整理得：x2+x20， 解得：x1 或2 经检验：x1 是方程的解，x2 不是方程的解 故答案是：x1 10已知关于 x 的方程 x2mx+20 有两个相等的实数根，那么 m 的值是 2 【分析】 若一元二次方程有两等根， 则根的判别式b24ac0， 建立关于 m 的方程， 求出 m 的取值 解：关于 x 的方程 x2mx+20 有两个相等的实数根， （m）2420， 即 m28， m2 故本题答案为：2 11函数 y的定义域是 x3 【分析】 根据函数 y， 可知 3x0， 从而可以求得 x 的取值范围， 本题得以解决 解：函数 y， 3x0， 解得，x
14、3， 故答案为：x3 12从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这十个数中随机取出一个数，取出的数是 3 的倍 数的概率是 【分析】从该组数据中找出 3 的倍数，根据概率公式解答即可 解：3 的倍数有 3，6，9， 则十个数中随机取出一个数，取出的数是 3 的倍数的概率是 故答案为： 13某学校九年级共有 350 名学生，在一次九年级全体学生参加的数学测试中，随机抽取 50 名学生的测试成绩进行抽样调查，绘制频率分布直方图如图所示，如果成绩不低于 80 分算优良，那么估计九年级全体学生在这次测试中成绩优良学生人数约是 154 【分析】利用总人数乘以在这次测试中成绩优良学生人数所占的百分
15、比即可 解：根据题意得： 350154（人）， 答：九年级全体学生在这次测试中成绩优良学生人数约是 154 人； 故答案为：154 14上海市居民用户燃气收费标准如表： 年用气量（立方米） 每立方米价格（元） 第一档 0310 3.00 第二档 310（含）520（含） 3.30 第三档 520 以上 4.20 某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费 y（元）与年用气量 x（立方米）的 函数关系式是 y3x（0x310） 【分析】根据该居民用户用气量在第一档，利用“总价单价数量”即可求出该用 户每年燃气费 y（元）与年用气量 x（立方米）的函数关系式 解：根据题意得第一档燃气收费标准为
16、 3.00（元/立方米）， 该用户每年燃气费 y （元） 与年用气量 x （立方米） 的函数关系式是 y3x （0x310） 故答案为：y3x（0x310） 15四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相互垂直，AC4，BD6，顺次联结这个四边形中 点所得的四边形的面积等于 6 【分析】由 E、F、G、H 分别为各边的中点，根据三角形的中位线定理可得 EFAC， GHAC，EHBD，FGBD，EFAC2，EHBD3，从而可得四边形 EFGH 是平行四边形，再由对角线 AC、BD 相互垂直，可证得四边形 EMON 是矩形，然后证明 四边形 EFGH 是矩形，利用矩形的面积计算公式可得答案 解：
17、如图， E、F、G、H 分别为各边的中点， EFAC，GHAC，EHBD，FGBD，EFAC2，EHBD3， 四边形 EFGH 是平行四边形， 对角线 AC、BD 相互垂直， EMOENO90， 四边形 EMON 是矩形， MEN90， 四边形 EFGH 是矩形， 四边形 EFGH 的面积为：236 故答案为：6 16 我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比， 内外比为 3 的正多边 形的边数为 8 【分析】根据正多边形的内角和和正多边形的外角和列方程即可得到结论 解：设正多边形的边数为 n， 根据题意得，：3， 解得：n8， 答：内外比为 3 的正多边形的边数为 8， 故答
18、案为：8 17如图，在坡度为 1：2.4 的斜坡上有一棵与水平面垂直的树 BC，在斜坡底部 A 处测得树 顶 C 的仰角为 30，AB 的长为 65 米，那么树高 BC 等于 （） 米（保留根 号） 【分析】延长 CB 交水平面于点 D，根据题意可得 CDAD，再根据坡度可得 BD：AD 1：2.4，根据勾股定理可得 BD25，AD60，最后根据锐角三角函数即可求出 CB 的 长 解：如图，延长 CB 交水平面于点 D， 根据题意可知： CDAD， ADC90， 在 RtADB 中，AB65， BD：AD1：2.4， AD2.4BD， 根据勾股定理，得 AD2+BD2AB2， 即 BD2+（2
19、.4BD）2652， 解得 BD25， AD60， 在 RtACD 中，CAD30， tan30， 即， 解得 CB2025（米） 答：树高 BC 等于（2025）米 故答案为：（2025） 18如图，在ABC 中，C90，AC3，BC4，把ABC 绕 C 点旋转得到ABC， 其中点 A在线段 AB 上，那么ABB 的正切值等于 【分析】 证明CAACBB， 得出， 设 ABa， 则 AA5a， BB， 得出，解方程求出 AB，则 BB可求出，则答案可得出 解：把ABC 绕 C 点旋转得到ABC，点 A在线段 AB 上， ACABCB，CACA，CBCB， ACAA，CBBCBB， ACBB，
20、 CAACBB， ， C90，AC3，BC4， AB5，A+CBA90， CBB+CBA90， ABB90， 设 ABa，则 AA5a，BB， ， 解得，a（a5 舍去）， AB， BB， tanABB 故答案为： 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19计算：+（1） 1（ ）+cos30 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、分数指数幂的性质的 性质分别化简得出答案 解：原式2+ 2+ + 20解方程组： 【分析】由得：xy+2，代入并整理得：y22y30，解这个一元二次方程并代 入求值即可 解：， 由得：xy+2， 把代入并整理得：y22y30， 解这个
21、方程得，y13，y21， 把 y 的值分别代入，得 x15，x21 原方程组的解为 21在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知函数 y2x 的图象和反比例函数的在第一象限 交于 A 点，其中点 A 的横坐标是 1 （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线 y2x 平移后与 y 轴相交于点 B，且 ABOB，求平移后直线的解析式 【分析】（1）利用正比例函数解析式确定 A（1，2），然后利用待定系数法求反比例函 数解析式； （2） 设 B （0， t） ， 利用两点间的距离公式得到 t212+ （2t） 2， 解方程得到 B （0， ） ， 再利用两直线平移的问题，设平移后的直线解析式为
22、y2x+b，然后把 B 点坐标代入求 出 b 即可 解：（1）当 x1 时，y2x2，则 A（1，2）， 设反比例函数解析式为 y 把 A（1，2）代入得 k122， 反比例函数解析式为 y； （2）设 B（0，t）， OBAB， t212 +（2t）2，解得 t， B（0，）， 设平移后的直线解析式为 y2x+b， 把 B（0，）代入得 b， 平移后的直线解析式为 y2x+ 22 如图， 已知在四边形 ABCD 中AABC90， 点 E 是 CD 的中点， ABD 与EBD 关于直线 BD 对称，AD1，AB （1）求点 A 和点 E 之间的距离； （2）联结 AC 交 BE 于点 F，求的
23、值 【分析】（1）连接 AE 交 BD 于 G，由轴对称的性质即可得到 BD 垂直平分 AE，再根据 面积法即可得到 AG 的长，进而得出 AE 的长； （2）连接 AC 交 BE 于点 F，延长 BE 交 AD 的延长线于 H，由 BE 垂直平分 CD，可得 BCBD2，再根据DEHCEB（ASA），即可得出 DHBC2，依据AFH CFB，即可得到的值 解：（1）如图，连接 AE 交 BD 于 G， ABD 与EBD 关于直线 BD 对称， BD 垂直平分 AE， BAD90，AD1，AB， BD2， ABADBDAG， AG， 点 A 和点 E 之间的距离AE2AG； （2）如图，连接
24、AC 交 BE 于点 F，延长 BE 交 AD 的延长线于 H， ABD 与EBD 关于直线 BD 对称， BEDBAD90， 点 E 是 CD 的中点， BE 垂直平分 CD， BCBD2， BADABC90， AHBC， HCBE， 又DEHCEB，DECE， DEHCEB（ASA）， DHBC2， AH1+23， AHBC， AFHCFB， ， 23 如图， 已知 C 是线段 AB 上的一点， 分别以 AC、 BC 为边在线段 AB 同侧作正方形 ACDE 和正方形 CBGF，点 F 在 CD 上，联结 AF、BD，BD 与 FG 交于点 M，点 N 是边 AC 上 的一点，联结 EN
25、交 AF 与点 H （1）求证：AFBD； （2）如果，求证：AFEN 【分析】（1）依题意易证AFCDBC，从而求出 AFBD； （2）由AFCDBC 可得CAFCDB，从而证得BGMACF，根据相似三角 形的性质和已知， 求得ANCF， 即可证得AENCAF， 得到ENAAFC， 从而证得FAC+ENA90，即AHN90，即可证得结论 解：（1）四边形 ACDE 和四边形 BCFG 都为正方形， ACDC，ACDBCD90，BCCF， 在AFC 和DBC 中， ， AFCDBC（SAS） AFBD （2）AFCDBC， CAFCDB， CDBG， CDBMBG， CAFMBG， ACFBG
26、M90， BGMACF， ， BGGFFC， ， ， ANFC， 在AEN 和CAF 中， AENCAF（SAS）， ENAAFC， FAC+AFC90， FAC+ENA90， AHN90， AFEN 24在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0）和 B （0，3），其顶点为 C （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）我们把坐标为（n，m）的点叫做坐标为（m，n）的点的反射点，已知点 M 在这条 抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点 M 的坐标； （3）点 P 是抛物线在第一象限部分上的一点，如果POAACB，求点 P 的坐标
27、【分析】（1）把 A，B 两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组解决问题即可 （2）设 M（m，m2+2m+3），则 M 的反射点为（m2+2m+3，m），根据 M 点的反射 点在抛物线的对称轴上，构建方程求出 m 即可 （3）如图，设 P（a，a2+2a+3）利用勾股定理的逆定理证明ABC90，推出 tan POAtanACB3，由此构建方程即可解决问题 解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0）和 B（0，3）， ， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3， 顶点 C（1，4） （2）设 M（m，m2+2m+3）， M 的反射点为（m2+2m+3，m）， M 点的反射点在
28、抛物线的对称轴上， m2+2m+31， m22m20， 解得 m1， M（1+，1）或（1 ，1） （3）如图，设 P（a，a2+2a+3） A（3，0），B（0，3），C（1，4）， BC，AB3，AC2， AB2+BC2AC2， ABC90， tanACB3， POAACB， tanPOA3， 3， 整理得：a2+a30 解得 a或（舍弃）， P（，） 25如图，在ABC 中，C90，AC6，BC8，P 是线段 BC 上任意一点，以点 P 为圆心 PB 为半径的圆与线段 AB 相交于点 Q（点 Q 与点 A、B 不重合），CPQ 的角平 分线与 AC 相交于点 D （1）如果 DQPB，求
29、证：四边形 BQDP 是平行四边形； （2）设 PBx，DPQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）如果ADQ 是以 DQ 为腰的等腰三角形，求 PB 的长 【分析】（1）由等腰三角形的性质和角平分线的性质可得CPDPBQDPQ PQB，由“AAS”可证DPQBQP，可得 DPBQ，可得结论； （2） 由 “SAS” 可证DPEDPQ， 可得 SDPESDPQy， 通过证明DCPACB， 可求 CD（8x），即可求解； （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解 【解答】证明：（1）BPPQ， PBQPQB， DP 平分CPQ， CPDQ
30、PD， CPQPBQ+PQB2PBQ， CPDPBQDPQPQB， DPBQ， DQPB，PQPB， DQQP， QDPQPDPQBPBQ， 又PBDQ， DPQBQP（AAS） DPBQ， 四边形 BPDQ 是平行四边形； （2）如图，设 BC 与P 的交点为 E，连接 DE， EPPQ，DPEDPQ，DPDP， DPEDPQ（SAS）， SDPESDPQy，DQDE， BPx， PC8x， DPAB， DCPACB， ， ， CD（8x）， SDPQy EPCDx（8x）x2+3x； （3）当 DQAD 时， ADACCD， AD6（8x）x， DQDEADx， DE2DC2+CE2， （x）2（6x）2+（82x）2， x14，x2 （不合题意舍去）， 当 AQDQ 时， 过点 P 作 PFAB 于 F， C90，AC6，BC8， AB10， cosB， ， BFx， PBPQ，PFAB， BQ2BFx， AQ10x， AQDQDE10x， DE2DC2+CE2， （10x）2（6x）2+（82x）2， x30（不合题意舍去），x4 ， 综上所述：BP 的长为 4 和