1、江苏省南京市江苏省南京市 2020 届高三年级届高三年级 5 月份模拟考试数学月份模拟考试数学试卷试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分.不需写出解答过程，请把答案写在不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上）答题纸的指定位置上） 1设集合 Mm|3m2，mZ，NR，则 MN 2复数 z= 1+复平面上对应的点位于第 象限 3某次测验，将 20 名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为 90，6；80，4则这 20 名学生成绩的方差为 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 5抛掷甲、乙两
2、枚质地均匀且四面上分别标有 1，2，3，4 的正四面体，其底面落于桌面， 记所得的数字分别为 x，y，则 为整数的概率是 6函数 f（x）（x3）ex的单调递增区间是 7已知双曲线 2 ;3 + 2 :5 = 1的离心率为4 3，那么此双曲线的准线方程为 8已知正四棱锥 PABCD 的体积为4 3，底面边长为 2，则侧棱 PA 的长为 9已知函数 f（x）sin（ + 6） （02） ，若 f（ 2 3 ）1，则函数 yf（x）的最小 正周期为 10已知等差数列an满足：a18，a26若将 a1，a4，a5都加上同一个数 m，所得 的三个数依次成等比数列，则 m 的值为 11设函数 f（x）=
3、 3sin（x+ 3）和 g（x）sin（ 6 x）的图象在 y 轴左、右两侧靠近 y 轴的交点分别为 M，N，已知 O 为原点，则 = 12 设 f （x） asin2x+bcos2x （a， bR） ， 若 f （x） 的最大值为5， 则 a+b 的取值范围为 13在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b2，且 cos2B+cosB+cos（A C）1，则 a+2c 的最小值为 14已知正实数 x，y 满足 + 2 + 3 + 4 = 10，则 xy 的取值范围为 二、 解答题 （本大题共二、 解答题 （本大题共 6 小题， 计小题， 计 90 分分.解答应写出必要
4、的文字说明， 证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内）请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 （14 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 = (，)， = (1，) （1）当 = 2时，求 b 的值； （2）当 时，且 =1 2，求 tanAtanB 的值 16 （14 分） 如图， 四棱锥 ABCDE 中， AB、 BC、 BE 两两垂直且 ABBCBE， DEBC， DE2BC，F 是 AE 的中点 （1）求证：BF面 ACD； （2）求证：面 ADE面 ACD 17 （14 分）为解决城市的拥堵
5、问题，某城市准备对现有的一条穿城公路 MON 进行分流， 已知穿城公路 MON 自西向东到达城市中心点 O 后转向东北方向（即AOB= 3 4 ） 现准 备修建一条城市高架道路 L，L 在 MO 上设一出入口 A，在 ON 上设一出入口 B假设高 架道路 L 在 AB 部分为直线段，且要求市中心 O 与 AB 的距离为 10km （1）求两站点 A，B 之间距离的最小值； （2）公路 MO 段上距离市中心 O30km 处有一古建筑群 C，为保护古建筑群，设立一个 以 C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区则如何在古建筑群 C 和市中心 O 之间设计出入 口 A，才能使高架道路 L 及其延伸段不
6、经过保护区（不包括临界状态）？ 18 （16 分）已知点 M 是圆 C： （x+1）2+y28 上的动点，定点 D（1，0） ，点 P 在直线 DM 上，点 N 在直线 CM 上，且满足 =2 ， =0，动点 N 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）若 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦，O 为坐标原点，求AOB 面积 S 的最大值 19 （16 分）设首项为 a1的正项数列an的前 n 项和为 Sn，q 为非零常数，已知对任意正整 数 n，m，Sn+mSm+qmSn总成立 （）求证：数列an是等比数列； （）若不等的正整数 m，k，h 成等差数列，试比较 ammahh与 ak2
7、k的大小； （）若不等的正整数 m，k，h 成等比数列，试比较 1 1 与 2 的大小 20 （16 分）已知函数 f（x）ex+ax，g（x）exlnx（e 是自然对数的底数） （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线也是抛物线 y24（x1）切线，求 a 的值； （2）若对于任意 xR，f（x）0 恒成立，试确定实数 a 的取值范围； （3）当 a1 时，是否存在 x0（0，+） ，使曲线 C：yg（x）f（x）在点 xx0 处的切线斜率与 f（x）在 R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的 x0的个数；若不存 在，请说明理由 选做题选做题（本题包括（本题包括 A、B、C 三小题，请选
8、定其中两小题，并在答题相应的区域内作答若三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答若 多做，则按作答的前两小题评分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）多做，则按作答的前两小题评分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）选修选修 4-2： 矩阵与变换矩阵与变换（10 分）分） 21 （10 分）设矩阵 A= 1 2 21，求矩阵 A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在极坐标系中，求曲线 2cos 关于直线 = 4（R）对称的曲线的极坐标 方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分
9、（本小题满分 0 分）分） 23若关于 x 的不等式 x2ax+b0 的解集为（1，2） ，求函数 f（x）（a1） 3 +（b 1）4 的最大值 必做题必做题（第（第 22、23 题，每小题题，每小题 10 分，计分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）分请把答案写在答题纸的指定区域内） 24 （10 分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机 抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作规定：至少正确完成其中 2 题的便可 提交通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成 （1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算
10、数学期望； （2）若考生乙每题正确完成的概率都是2 3，且每题正确完成与否互不影响试从至少正 确完成 2 题的概率分析比较两位考生的实验操作能力 25 （10 分）已知（x+1）na0+a1（x1）+a2（x1）+a3（x1）3+an（x1）n， （其 中 nN*） （1）求 a0及= 1 ； （2）试比较 Sn与（n2）2n+2n2的大小，并说明理由 参考答案参考答案 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分.不需写出解答过程，请把答案写在不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上）答题纸的指定位置上） 1设集合 Mm|3
11、m2，mZ，NR，则 MN 2，1，0，1 【分析】可以求出集合 M，然后进行交集的运算即可 【解答】解：M2，1，0，1，NR， MN2，1，0，1 故答案为：2，1，0，1 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属 于基础题 2复数 z= 1+复平面上对应的点位于第 一 象限 【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个 实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所 在的象限 【解答】解：复数 1: = (1;) (1:)(1;) = 1: 2 = 1 2 + 1 2 ， 复数对应的点的坐标
12、是（1 2， 1 2） 复数 1:在复平面内对应的点位于第一象限， 故答案为：一 【点评】本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减 乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可以出现在高考题的前几个题目中 3某次测验，将 20 名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为 90，6；80，4则这 20 名学生成绩的方差为 51 【分析】 由方差定义可得n个数与其平均数， 方差间关系x 1 2 +x 2 2 + +x 2 =nS2+n2， 利用此关系可结合条件吧 20 个数据中的前 10 个数， 后 10 个数分别找出其平方和， 及平 均数，进而求出 2
13、0 名学生成绩的方差 【解答】解：设 x1，x2xn的方差 S2= 1 （x1） 2+（x2）2+（xn） 2=1 x 1 2 +x 2 2 + +x 2 2（x1+x2+xn）+n2= 1 x1 2+x 2 2 + +x 2 n2 x 1 2 +x 2 2 + +x 2 =nS2+n2， 则 x 1 2 +x 2 2 + +x 10 2 =1036+1090281360，x 11 2 +x 12 2 + +x 20 2 =10 16+1080264160， 1:2:20 20 = 1090:1080 20 =85 S2= 1 20x 1 2 +x 2 2 + +x 20 2 202= 1 2
14、081360+641602085 251， 故答案是：51 【点评】本题依托平均数，方差，标准差的定义关系，考查学生的数据处理能力和计算 能力，属于中低档题 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 8 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可 【解答】解：第 1 次循环：k0，S1； 第 2 次循环：S1212，k2； 第 3 次循环：S2228，k3； 此时不满足循环条件 k3，输出 S8 故答案为：8 【点评】 本题主要考查了程序框图的识别和判断问题， 根据条件模拟运算是解题的关键 5抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1，2，3，4 的正四面体，其底面落于桌面， 记所得的数字分别为
15、x，y，则 为整数的概率是 1 2 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四 面体，共有 44 种结果，满足条件的事件是 为整数，包括当 y1 时，有 4 种结果，以 此类推，列举出所有结果，根据古典概型概率公式得到结果 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体， 记所得的数字分别为 x，y，共有 4416 种结果， 满足条件的事件是 为整数，包括当 y1 时，有 4 种结果， 当 y2 时，有 2 种结果， 当 y3 时，有 1 种结果， 当 y4 时，有 1 种结果， 共有 4+2+1+18 种结果，
16、 根据古典概型概率公式得到 P= 8 16 = 1 2， 故答案为：1 2 【点评】本题考查古典概型，是一个与数字结合的古典概型问题，数字问题是经常出现 的概率问题，并且常考常新，是一个基础题 6函数 f（x）（x3）ex的单调递增区间是 （2，+） 【分析】先求出函数的导数，令导函数大于 0，解不等式求出即可 【解答】解：f（x）（x2）ex， 令 f（x）0，解得：x2， f（x）在（2，+）递增， 故答案为： （2，+） 【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题 7 已知双曲线 2 ;3 + 2 :5 = 1的离心率为4 3， 那么此双曲线的准线方程为 = 92 8 【分
17、析】利用双曲线 2 ;3 + 2 :5 = 1的离心率为4 3，求出 a，c，再求出双曲线的准线方 程 【解答】解：双曲线 2 ;3 + 2 :5 = 1的离心率为4 3， （m3） （m+5）0， = 4 3， 5m3，:5:3; :5 = 16 9 ， m= 1 2， a= 32 2 ，c22， 双曲线的准线方程为 = 92 8 故答案为： = 92 8 【点评】本题考查双曲线的准线方程，考查离心率，考查学生分析解决问题的能力，属 于中档题 8已知正四棱锥 PABCD 的体积为4 3，底面边长为 2，则侧棱 PA 的长为 3 【分析】设正方形 ABCD 的中心为点 O，则由题意可得 OA=
18、 2，再根据 1 32 2PO=4 3， 求得棱锥的高 PO 的值，可得 PA= 2+2 的值 【解答】解：设正方形 ABCD 的中心为点 O，则由底面边长为 2 可得 OA= 2 再根据正四棱锥 PABCD 的体积为 1 32 2PO=4 3，求得棱锥的高 PO1， 故 PA= 2+2= 1 + 2 = 3， 故答案为：3 【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，勾股定理的应用，属于基础题 9已知函数 f（x）sin（ + 6） （02） ，若 f（ 2 3 ）1，则函数 yf（x）的最小 正周期为 4 【分析】由条件求得 = 1 2，f（x）sin（ 1 2x+ 6） ，再根据函数 yAsin
19、（x+）的周期 为 ，得出结论 【解答】解：由于 f（x）sin（x+ 6） （02） ，f（ 2 3 ）sin（2 3 + 6）1， 2 3 + 6 =2k+ 2 kz，即 3k+ 1 2，= 1 2，f（x）sin（ 1 2x+ 6） ， 故函数 f（x）的最小正周期为 2 1 2 =4， 故答案为：4 【点评】本题主要考查根据三角函数的值求角，函数 yAsin（x+）的周期性，利用 了函数 yAsin（x+）的周期为 ，属于基础题 10已知等差数列an满足：a18，a26若将 a1，a4，a5都加上同一个数 m，所得 的三个数依次成等比数列，则 m 的值为 1 【分析】由题意可得公差 d
20、a2a12，从而 ana1+（n1）d2n10，设所加的这 个数为 x，根据 (4+ )2=（a1+x） （a5+x） ，解出 x 的值 【解答】解：已知等差数列an中，a18，a26， 公差 da2a12， ana1+（n1）d2n10 将 a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，设所加的这个数为 x， 则有 (4+ )2=（a1+x） （a5+x） ，即 （2+x）2（8+x） （0+x） ，解得 x1 故答案为1 【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，求等差数列的通项公式，求得 an2n 10，是解题的关键，属于中档题 11设函数 f（x）= 3sin（x+ 3）
21、和 g（x）sin（ 6 x）的图象在 y 轴左、右两侧靠近 y 轴的交点分别为 M，N，已知 O 为原点，则 = 8 9 【分析】令 f（x）g（x） ，根据题意，通过三角函数的辅助角公式，计算可得 M、N 点 坐标，再利用数量积的坐标运算即得结果 【解答】解：根据题意，令 f（x）g（x） ，即 f（x）g（x）0， 则3sin（x+ 3）sin（ 6 x）= 3sin（x+ 3）cos（x+ 3） = 2( + 3 6) = 2( + 6) =0， 所以 + 6 = ，其中 kZ， 化简，得 = 1 6，kZ， 所以 M（ 1 6， 3 2 ） ，N（5 6， 3 2 ） ， 则 =（
22、1 6， 3 2 ） （5 6， 3 2 ）= 1 6 5 6 + 3 2 （ 3 2 ）= 8 9 【点评】本题考查三角函数的辅助角公式，数量积运算，注意解题方法的积累，属于中 档题 12 设 f （x） asin2x+bcos2x （a， bR） ， 若 f （x） 的最大值为5， 则 a+b 的取值范围为 10， 10 【分析】由条件利用辅助角公式、正弦函数的最值求得 a2+b25，再利用基本不等式求 得 （a+b）210，从而求得 a+b 的取值范围 【解答】解：f（x）asin2x+bcos2x= 2+2sin（2x+） （a，bR） ， 若 f（x）的最大值为2+2= 5，a2+b
23、25， （a+b）2a2+b2+2ab2（ a2+b2 ）10， 10 a+b 10，故 a+b 的取值范围为10，10， 故答案为：10，10 【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题 13在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b2，且 cos2B+cosB+cos（A C）1，则 a+2c 的最小值为 42 【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，结合正弦定理以及基本不等式求 解即可 【解答】解：由 cos2B+cosB+cos（AC）1 12sin2B+cosB+cosAcosC+sinAsinC1 12sin2Bcos
24、AcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC1 sinAsinCsin2B， 由正弦定理得到 acb2， 而 + 2 22 = 22， 由 b2，可得( + 2)= 42 故答案为：42 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理基本不等式的应用，考查分析问题 解决问题的能力 14已知正实数 x，y 满足 + 2 + 3 + 4 = 10，则 xy 的取值范围为 1，8 3 【分析】设 xym 可得 x= ，代入已知可得关于易得一元二次方程（2+3m）y2 10my+m2+4m0，由0 可得 m 的不等式，解不等式可得 【解答】解：设 xym，则 x= ， + 2 +
25、3 + 4 = 10， + 2 +3y+ 4 =10， 整理得（2+3m）y210my+m2+4m0， x，y 是正实数，0， 即 100m24（2+3m） （m2+4m）0， 整理得 m（3m8） （m1）0， 解得 1m 8 3，或 m0（舍去） xy 的取值范围是1，8 3 故答案为：1，8 3 【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及换元的思想和一元二次方程根的存在性，属 中档题 二、 解答题 （本大题共二、 解答题 （本大题共 6 小题， 计小题， 计 90 分分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定
26、区域内）请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 （14 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 = (，)， = (1，) （1）当 = 2时，求 b 的值； （2）当 时，且 =1 2，求 tanAtanB 的值 【分析】 （1）由题意得 = + = 2，即 = 1 ，由正弦定理有： = ，联立即可得解 b 的值 （2）由平行条件得 asinAsinB，由 = 1 2 ，则可得 = 1 2 ，联立即可得 解 【解答】解： （1）由题意得： = + = 2，（2 分） 即得 = 1 ， 在三角形中由正弦定理有： = ，（4 分） 由以上两式可知：b1（6 分） （2
27、）由平行条件得 asinAsinB，（8 分） = ( + ) = = 1 2 ，（10 分） 则可得到： = 1 2 ，（12 分） = = 2（14 分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的坐标运算，两角和的余弦函数公 式的综合应用，考查了计算计算能力和转化思想，属于中档题 16 （14 分） 如图， 四棱锥 ABCDE 中， AB、 BC、 BE 两两垂直且 ABBCBE， DEBC， DE2BC，F 是 AE 的中点 （1）求证：BF面 ACD； （2）求证：面 ADE面 ACD 【分析】 （1）取 AD 的中点 M，连接 CM、MF，推导出四边形 BCMF 为平行四边形
28、，从 而 CMBF，由此能证明 BF面 ACD （2）作 DE 中点 N，连接 CN，推导出 CMAD，BFAE，CMAE，由此能证明面 ADE 面 ACD 【解答】证明： （1）取 AD 的中点 M，连接 CM、MF F、M 分别为 AE、AD 中点，DE 2MF， 又DE 2BC，FMBC， 四边形 BCMF 为平行四边形，CMBF， 又BF面 ACD，CM面 ACD， BF面 ACD（6 分） （2）作 DE 中点 N，连接 CN， DE 2BC，N 为 DE 中点 N，DNBC， 又AB、BC、BE 两两垂直，且 ABBCBE，ACCD， M 为 AD 中点，CMAD， 又F 是 AE
29、 的中点，且 ABBE，BFAE， CMBF，CMAE， 又ADAEA，AE、AD面 ADE，CM面 ADE， CM面 ACD，面 ADE面 ACD（14 分） 【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力 的培养 17 （14 分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路 MON 进行分流， 已知穿城公路 MON 自西向东到达城市中心点 O 后转向东北方向（即AOB= 3 4 ） 现准 备修建一条城市高架道路 L，L 在 MO 上设一出入口 A，在 ON 上设一出入口 B假设高 架道路 L 在 AB 部分为直线段，且要求市中心 O 与 AB 的距离
30、为 10km （1）求两站点 A，B 之间距离的最小值； （2）公路 MO 段上距离市中心 O30km 处有一古建筑群 C，为保护古建筑群，设立一个 以 C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区则如何在古建筑群 C 和市中心 O 之间设计出入 口 A，才能使高架道路 L 及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？ 【分析】 （1）过点 O 作 OEAB 于点 E，设AOE，利用三角函数的知识求得 AB 的 最小值； （2）以 O 为原点建立平面直角坐标系，求出圆 C 的方程，利用圆心到直线 AB 的距离， 列方程求出 OA 的取值范围 【解答】解： （1）过点 O 作 OEAB 于点 E，则 O
31、E10， 设AOE，则 4 2， 所以BOE= 3 4 ， 所以 ABAE+BE10tan+1+10tan（3 4 ）= 52 (3 4 )； 解得 coscos（3 4 ）= 1 2sin（2 4） 2 4 ； 所以当 = 3 8 时，AB 取得最小值为 20（2 +1） ； （2）以 O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示； 则圆 C 的方程为（x+30）2+y225， 设直线 AB 的方程为 ykx+t， （k0，t0） ； | 1:2 =10， |;30:| 1:2 5， 解得 t20k 或 t60k（舍） ， OA20， 又当 ABON 时，OA102， 所以 102OA20； 综上
32、知，当 102OA20 时，即设计出入口 A 离市中心 O 的距离在 102km 到 20km 之间时， 才能使高架道路 L 及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态） 【点评】本题主要考查了三角函数模型在解决实际问题中的综合应用问题，也考查了计 算能力和转化思想，是中档题 18 （16 分）已知点 M 是圆 C： （x+1）2+y28 上的动点，定点 D（1，0） ，点 P 在直线 DM 上，点 N 在直线 CM 上，且满足 =2 ， =0，动点 N 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）若 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦，O 为坐标原点，求AOB 面积 S 的最大值 【分析】
33、 （）由已知得 NP 为 DM 的垂直平分线，|ND|NM|，| + | = 222， 由此能求了轨迹 E 的方程 （）法一：设直线 AB 的方程为 ykx+m，由 = + 2 2 + 2= 1，得（1+2k 2）x2+4kmx+2m2 20由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知 条件能求出AOB 面积 S 的最大值 （）法二：设直线 AB 的方程为 ykx+m，由 = + 2 2 + 2= 1，得（1+2k 2）x2+4kmx+2m2 20由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出 AOB 面积 S 的最大值 【解答】 （）解：因为 =
34、 2 ， = 0， 所以 NP 为 DM 的垂直平分线， 所以|ND|NM|，又因为| + | = 22， 所以| + | = 222（4 分） 所以动点 N 的轨迹是以点 C（1，0） ，D（1，0）为焦点的长轴为22的椭圆 所以轨迹 E 的方程为 2 2 + 2= 1（7 分） （）解法一：因为线段 AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点 A、O、B 能构成三角形， 则弦 AB 不能与 x 轴垂直，故可设直线 AB 的方程为 ykx+m， 由 = + 2 2 + 2= 1，消去 y，并整理，得（1+2k 2）x2+4kmx+2m220（9 分） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，又
35、16k2m24（1+2k2） （2m22）0， 所以1+ 2= 4 1+22，12 = 2(21) 1+22 （10 分） 因为|AB|2，所以(1 + 2)(2 1)2= 2，即(1 + 2)(2+ 1)2 412 = 4 所以(1 + 2)( 4 1+22) 2 8(21) 1+22 = 4，即 1 1:2 = 2(1 2)， 因为 1+k21，所以1 2 21 （12 分） 又点 O 到直线 AB 的距离= | 1+2， 因为 = 1 2| =h， 所以 S2h22m2（1m2）= 2(2 1 2) 2 + 1 2 （14 分） 所以02 1 2，即 S 的最大值为 2 2 （15 分）
36、 （）解法二：因为线段 AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点 A、O、B 能构成三角形， 则弦 AB 不能与 x 垂直，故可设直线 AB 的方程为 ykx+m， 由 = + 2 2 + 2= 1，消去 y，并整理，得（1+2k 2）x2+4kmx+2m220 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，又16k2m24（1+2k2） （2m22）0， 所以1+ 2= 4 1+22，12 = 2(21) 1+22 （10 分） 因为|AB|2，所以(1 + 2)(2 1)2= 2 因为(1 + 2)(1+ 2)2 412 = 4， 所以(1 + 2)( 4 1+22) 2 8(21) 1+22
37、= 4， 所以2= 22+1 2(1+2)，（12 分） 又点 O 到直线 AB 的距离= | 1+2，所以 = 1 2 | =h 所以 S2h2= 2 1+2 = 22+1 2(1+2) 2 = 1 1+2 1 2(1+2) 2 设 = 1 1+2，则 2 = 1 2 2+ (0 1)，（14 分） 所以02 1 2，即 S 的最大值为 2 2 （15 分） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三有形面积的最大值的求法，解题时要注意根 的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用 19 （16 分）设首项为 a1的正项数列an的前 n 项和为 Sn，q 为非零常数，已知对任意正
38、整 数 n，m，Sn+mSm+qmSn总成立 （）求证：数列an是等比数列； （）若不等的正整数 m，k，h 成等差数列，试比较 ammahh与 ak2k的大小； （）若不等的正整数 m，k，h 成等比数列，试比较 1 1 与 2 的大小 【分析】（） 令 nm1， 得 a2qa1， 令 m1， 得 Sn+1S1+qSn（1） ， 从而 Sn+2S1+qSn+1 两式相减即可得出 an+2qan+1，进而可判断出数列an是等比数列 （） 根据 m， k， h 成等差数列， 可知 m+h2k， 进而可判定2+ 2 1 2 ( + )2= 22， 进 而根据等比数列的通项公式分 q 大于、等于和小
39、于 1 三种情况判断 （）正整数 m，k，h 成等比数列，则 mhk2，判断出 1 + 1 2 1 = 2 ，进而根 据等差根据等比数列的通项公式分 a1和 q 大于、等于和小于 1 三种情况判断 【解答】 （）证：因为对任意正整数 n，m，Sn+mSm+qmSn总成立， 令 nm1，得 S2S1+qS1，则 a2qa1 令 m1，得 Sn+1S1+qSn（1） ，从而 Sn+2S1+qSn+1（2） ， （2）（1）得 an+2qan+1， （n1） 综上得 an+1qan（n1） ，所以数列an是等比数列 （）正整数 m，k，h 成等差数列， 则 m+h2k， 所以2+ 2 1 2( +
40、) 2 = 22， 则 = 1 2;12; = 1 22:2; 当 q1 时，ammahha12kak2k 当 q1 时， = 1 22:2;1222;2 = (1;1)2= 2 当 0q1 时， = 1 22:2;1222;2 = (1;1)2= 2 （）正整数 m，k，h 成等比数列，则 mhk2，则 1 + 1 2 1 = 2 ， 所以 1 1 = (1;1) 1 (1;1) 1 = 1 1 : 1 2;1 ; 1 = 2(1 ) 1 : 1 ， 2 = 2(1 ) 2 当 a1q，即1 = 1时， 1 1 = 2 = 2= 2 当 a1q，即1 1时， 1 1 = 2(1 ) 1 : 1 2(1 ) 2 = 2 当 a1q，即1 1时， 1 1 = 2(1 ) 1 : 1 2(1 ) 2 = 2 【点评】本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的性质等比数列常与不等式一块 考查，应引起重视 20 （16 分）已知函数 f（x）ex+ax，g（x）exlnx（e 是自然对数的底数） （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线也是抛物线 y24（x1）切线，求 a 的值； （2）若对于任意 xR，f（x）0 恒成立，