ImageVerifierCode 换一换
格式:DOCX , 页数:21 ,大小:225.68KB ,
资源ID:140550      下载积分:20 金币
快捷下载
登录下载
邮箱/手机:
温馨提示:
快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。 如填写123,账号就是123,密码也是123。
特别说明:
请自助下载,系统不会自动发送文件的哦; 如果您已付费,想二次下载,请登录后访问:我的下载记录
支付方式: 支付宝    微信支付   
验证码:   换一换

加入VIP,更优惠
 

温馨提示:由于个人手机设置不同,如果发现不能下载,请复制以下地址【https://www.77wenku.com/d-140550.html】到电脑端继续下载(重复下载不扣费)。

已注册用户请登录:
账号:
密码:
验证码:   换一换
  忘记密码?
三方登录: 微信登录   QQ登录   微博登录 

下载须知

1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。
2: 试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
3: 文件的所有权益归上传用户所有。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 本站仅提供交流平台,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

版权提示 | 免责声明

本文(江苏省常熟市2020届高三阶段性抽测数学试题(含答案解析))为本站会员(星星)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

江苏省常熟市2020届高三阶段性抽测数学试题(含答案解析)

1、江苏省常熟市江苏省常熟市 2020 届高三阶段性抽测三数学试题届高三阶段性抽测三数学试题 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上 )置上 ) 1已知集合 Ax|x2,Bx|x(x4)0,则(RA)B 2复数(a+i) (1+2i)是纯虚数(i 是虚数单位) ,则实数 a 3某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150,150,400,300 名学生为了解学生的就业 倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取 60 名学生进行调查,则应从丁专业抽 取的学生人数为 4根

2、据如图所示的伪代码,可知输出的结果 I 为 5将一枚质地均匀且各面分别标有数字 1,2,3,4 的正四面体连续抛掷两次,记面朝下的 数字依次为 a 和 b,则点(a,b)在直线 y2x 上的概率为 6已知 Sn为数列an的前 n 项和,若 Sn2an2,则 S5S4 7阿基米德(公元前 287 年公元前 212 年) ,伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家, 他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的 体积是圆柱体积的2 3,并且球的表面积也是圆柱表面积的 2 3”这一完美的结论已知某圆 柱的轴截面为正方形,其表面积为 24,则该圆柱的内切球体积为 8已知 x

3、 轴为曲线 f(x)4x3+4(a1)x+1 的切线,则 a 的值为 9 如图, 已知正方形ABCD的边长为2, 点P是半圆O上一点 (包括端点A, D) , 则 的取 值范围是 10已知函数() = ;:2, , 的最小值为 e(e 为自然对数的底数) ,则 f(2)+f(ln2) 11已知正实数 a,b 满足 + 1 = 1,且1 + 22 7恒成立,则实数 t 的取值范围 为 12已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(ab0)的焦点为 F1,F2,如果椭圆 C 上存在一点 P, 使得1 2 = 0,且PF1F2的面积等于 4,则 ab 的取值范围为 13如图,把半椭圆: 2 2 +

4、 2 2 = 1(x0)和圆弧: (x1)2+y2a2(x0)合成的曲线 称为“曲圆” ,其中点 F(1,0)是半椭圆的右焦点,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与 x 轴,y 轴的交点,已知B1FB2120,过点 F 的直线与“曲圆”交于 P,Q 两点,则 A1PQ 的周长的取值范围是 14已知实数 a0,函数 ysinx 在闭区间0,a上最大值为 M,在闭区间a,2a上的最大 值为 N,若 M= 2N,则 a 的值为 二、解答题(本大题共二、解答题(本大题共 6 小题,共计小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、

5、证明过程或演算步骤 )字说明、证明过程或演算步骤 ) 15 (14 分)如图,在三棱柱 A1B1C1ABC 中,ABAC,D 为 BC 中点,平面 ABC平面 BCC1B1,BC1B1D (1)求证:A1C平面 AB1D; (2)求证:AB1BC1 16 (14 分)已知ABC 是锐角三角形,向量 =(cos(A+ 3) ,sin(A+ 3) ) , =(cosB, sinB) ,且 (1)求 AB 的值 (2)若 cosB= 3 5,AC8,求 BC 的长 17 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2r2(r0) ,点 M( 1 2, 3 2) , N(1,3) ,

6、点 A 在圆 O 上, =2 (1)求圆 O 的方程; (2)直线 x2 与圆 O 交于 E,F 两点(E 点在 x 轴上方) ,点 P(m,n) (0m 1 2)是 抛物线 y22x 上的动点,点 Q 为PEF 的外心,求线段 OQ 长度的最大值,并求出当线 段 OQ 长度最大时,PEF 外接圆的标准方程 18 (16 分)把一块边长为 a(a0)cm 的正六边形铁皮,沿图中的虚线(虛线与正六边形 的对应边垂直)剪去六个全等的四边形(阴影部分) ,折起六个矩形焊接制成一个正六棱 柱形的无盖容器(焊接损耗忽略) ,设容器的底面边长为 xcm (1)若 a16,且该容器的表面积为603cm2时,

7、在该容器内注入水,水深为 5cm,若 将一根长度为 10cm 的玻璃棒(粗细忽略)放入容器内,一端置于 A 处,另一端置于侧 棱 DD1上,忽略铁皮厚度,求玻璃棒浸入水中部分的长度; (2)求该容器的底面边长 a 的范围,使得该容器的体积始终不大于 9000cm3 19 (16 分)已知数列an、bn中,a11,b12,且:1+ (1)= ,nN*,设数 列an、bn的前 n 项和分别为 An和 Bn (1)若数列an是等差数列,求 An和 Bn; (2)若数列bn是公比为 2 的等比数列求 A2n1;是否存在实数 m,使 A4nm a4n对任意自然数 nN*都成立?若存在,求 m 的值;若不

8、存在,说明理由 20 (16 分)已知函数() = 1 + (aR) (1)当 a1 时,求函数 f(x)的单调减区间; (2)若不等式 f(x)x 对 x(0,1恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)当 a2 时,试问过点 P(0,2)可作 yf(x)的几条切线?并说明理由 参考答案参考答案 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上 )置上 ) 1已知集合 Ax|x2,Bx|x(x4)0,则(RA)B (2,4 【分析】由补集的运算求出UA,再由交集的运算求出(R

9、A)B 【解答】解:因为集合RAx|x2,Bx|x(x4)0x|0x4, 则(RA)Bx|2x4, 故答案为: (2,4 【点评】本题考查了交、补集的混合运算,属于基础题 2复数(a+i) (1+2i)是纯虚数(i 是虚数单位) ,则实数 a 2 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简,再由实部等于 0 且虚部不等于 0 求解即 可得答案 【解答】解:(a+i) (1+2i)a2+(1+2a)i 是纯虚数, 2 = 0 1 + 2 0,解得 a2 故答案为:2 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题 3某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150,150,40

10、0,300 名学生为了解学生的就业 倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取 60 名学生进行调查,则应从丁专业抽 取的学生人数为 18 【分析】利用分层抽样的性质直接求解 【解答】解:某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150,150,400,300 名学生 为了解学生的就业倾向, 用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查, 则应从丁专业抽取的学生人数为:60 300 150+150+400+300 =18 故答案为:18 【点评】本题考查抽取的学生数的求法,考查分层抽样的性质等基础知识,考查运算求 解能力,是基础题 4根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 I 为 16

11、【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序 的作用是累加并输出不满足条件 S10 时 I 的值,模拟程序的运行,即可求解 【解答】解:模拟程序的运行,可得 S1,I1 满足条件 S10,执行循环体,S3,I4 满足条件 S10,执行循环体,S5,I7 满足条件 S10,执行循环体,S7,I10 满足条件 S10,执行循环体,S9,I13 满足条件 S10,执行循环体,S11,I16 不满足条件 S10,退出循环,输出 I 的值为 16 故答案为:16 【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型, 其处理方法是:分析流程图(或伪代

12、码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的 类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据 进行分析管理)建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型解 模 5将一枚质地均匀且各面分别标有数字 1,2,3,4 的正四面体连续抛掷两次,记面朝下的 数字依次为 a 和 b,则点(a,b)在直线 y2x 上的概率为 1 8 【分析】基本事件总数 n4416,点(a,b)在直线 y2x 上包含的基本事件有(1, 2) , (2,4) ,共两个,由此能求出点(a,b)在直线 y2x 上的概率 【解答】 解: 将一枚质地均匀且各面分别标有数字 1, 2, 3,

13、4 的正四面体连续抛掷两次, 记面朝下的数字依次为 a 和 b, 基本事件总数 n4416, 点(a,b)在直线 y2x 上包含的基本事件有(1,2) , (2,4) ,共两个, 则点(a,b)在直线 y2x 上的概率为 p= 2 16 = 1 8 故答案为:1 8 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 6已知 Sn为数列an的前 n 项和,若 Sn2an2,则 S5S4 32 【分析】根据数列的递推关系,求出数列的通项公式,然后即可求解结论 【解答】解:因为 Sn为数列an的前 n 项和, 若 Sn2an2, 则 a12a12a12; 则 Sn12

14、an12, 得:an2an2an1an2an1数列an是首项为 2,公比为 2 的等比数列; 故 an2n; S5S42532 故答案为:32 【点评】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式,属于基础题目 7阿基米德(公元前 287 年公元前 212 年) ,伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家, 他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的 体积是圆柱体积的2 3,并且球的表面积也是圆柱表面积的 2 3”这一完美的结论已知某圆 柱的轴截面为正方形,其表面积为 24,则该圆柱的内切球体积为 32 3 【分析】设圆柱的底面半径为 r,则圆柱的高为 2r,利用圆

15、柱的表面积可得 r2,进而 可求出圆柱的体积,再根据阿基米德的结论,即可求出该圆柱的内切球体积 【解答】解:设圆柱的底面半径为 r,则圆柱的高为 2r, 所以圆柱的表面积为:2r2r+2r224, 解得:r2, 所以圆柱的体积为:r22r16, 根据阿基米德的结论,该圆柱的内切球体积为:16 2 3 = 32 3 , 故答案为:32 3 【点评】本题主要考查了圆柱的结构特征,以及球的体积公式,是基础题 8已知 x 轴为曲线 f(x)4x3+4(a1)x+1 的切线,则 a 的值为 1 4 【分析】先对 f(x)求导,然后设切点为(x0,0) ,由切线斜率和切点在曲线上得到关 于 x0和 a 的

16、方程,再求出 a 的值 【解答】解:由 f(x)4x3+4(a1)x+1,得 f(x)12x2+4(a1) , x 轴为曲线 f(x)的切线,f(x)的切线方程为 y0, 设切点为(x0,0) ,则(0) = 120 2 + 4( 1) = 0, 又(0) = 40 3 + 4( 1)0+ 1 = 0, 由,得0= 1 2, = 1 4, a 的值为1 4 故答案为:1 4 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查了方程思想,属基础题 9 如图, 已知正方形ABCD的边长为2, 点P是半圆O上一点 (包括端点A, D) , 则 的取 值范围是 0,2 + 22 【分析】 以O为原

17、点, OD和 AD 的中垂线为x、 y轴建立平面直角坐标系, 设点P为 (cos, sin) ,0,可写出 A,B 两点的坐标,再通过坐标运算可表示出 ,然后结 合辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解 【解答】解:以 O 为原点,OD 和 AD 的中垂线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标 系,则 A(1,0) ,B(1,2) , 设点 P 为(cos,sin) ,0, =(1cos,sin) (1cos,2sin) (1cos)2sin(2sin) 1+cos2+2cos+2sin+sin2 = 2 + 22( + 4), 0, + 4 4 , 5 4 ,( + 4) 2 2 ,1,

18、 的取值范围为0,2 + 22 故答案为:0,2 + 22 【点评】本题考查平面向量在几何中的应用,在规则平面多边形中通过建立坐标系,利 用平面向量的坐标运算是常用手段,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题 10已知函数() = ;:2, , 的最小值为 e(e 为自然对数的底数) ,则 f(2)+f(ln2) 2e+ 1 2 2 【分析】先根据函数 f(x)的单调性确定最小值,即可解出 a,再利用分段函数求值即可 得出 【解答】解:因为当 xa 时,函数 f(x)e x+2 递减,当 xa 时,函数 f(x)ex 递 增, 所以函数 f(x)的最小值为 f(a)eae 且 e a+2ea

19、,解得 a1, f(2)+f(ln2)2e+e ln2+22e+1 2e 2 故答案为:2e+ 1 2e 2 【点评】 本题主要考查分段函数的单调性以及分段函数求值, 涉及对数运算性质的应用, 属于基础题 11已知正实数 a,b 满足 + 1 = 1,且1 + 22 7恒成立,则实数 t 的取值范围为 1 2,4 【分析】由题意可得 2t27t(b+ 1 )min,由乘 1 法和基本不等式,计算可得最小值, 再由二次不等式的解法可得所求范围 【解答】解:1 + 22 7恒成立,即为 2t27t(b+ 1 )min, 由 b+ 1 =(b+ 1 ) (a+ 1 )ab+ 1 +22 1 =24,

20、 当且仅当 ab1,又 a+ 1 =1,可得 a= 1 2,b2,上式取得等号, 则 2t27t4,解得 1 2 t4, 可得 t 的取值范围是 1 2,4 故答案为: 1 2,4 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法,运用基本不等式求最值是解决的关键,考查 运算能力和推理能力,属于基础题 12已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(ab0)的焦点为 F1,F2,如果椭圆 C 上存在一点 P, 使得1 2 = 0,且PF1F2的面积等于 4,则 ab 的取值范围为 42,+) 【分析】设 P 的坐标代入椭圆可得横纵坐标之间的关系,再由1 2 = 0,可得(c x,y) (cx,y)0,所以

21、 x2c2+y20,解得 P 的纵坐标的值,再由PF1F2 的面积等于 4 可得 b 的值,再由 P 的纵坐标的取值范围求出 a 的范围,进而求出 ab 的取 值范围 【解答】解:由椭圆的方程可得 F1,F2的坐标分别为(c,0) , (c,0) , 设 P(x,y) ,设 y0,则 2 2 + 2 2 = 1, 再由1 2 = 0,可得(cx,y) (cx,y)0,所以 x2c2+y20, 由可得 y2= 4 2 又因为PF1F2的面积等于 4,所以1 22cy4,即 cy4,即 c 2y216, 由可得 b2, 再由 y2(0,b2, 所以 4 2 b2,可得 c2b2, 所以 a2b2b

22、2,即 a22b28, 所以 a 22, 所以 ab 42, 故答案为:42,+) 【点评】本题考查椭圆的性质及数量积与三角形面积的应用,属于中档题 13如图,把半椭圆: 2 2 + 2 2 = 1(x0)和圆弧: (x1)2+y2a2(x0)合成的曲线 称为“曲圆” ,其中点 F(1,0)是半椭圆的右焦点,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与 x 轴,y 轴的交点,已知B1FB2120,过点 F 的直线与“曲圆”交于 P,Q 两点,则 A1PQ 的周长的取值范围是 (6,8 【分析】由椭圆的焦点坐标及B1FB2120,可得椭圆和圆的方程,可得 A1相当于椭 圆的左焦点,过椭圆的右焦点 F

23、的直线与曲圆的解得 P,Q,在直线转动的过程中由 P, Q 的位置可得三角形的周长的取值范围 【解答】解:由(x1) 2+y2a2(x0) ,令 y0,可得 x1a,及即 A1(1a,0) 再由椭圆的方程及题意可得 A2(a,0) ,B2(0,b) ,B1(0,b) , 由B1FB2120,可得 =3,由 F(1,0)可得 b= 3,所以 a2, 所以半椭圆及圆弧的方程分别为: 2 4 + 2 3 =1, (x0) , (x1)2+y24, 所以 A1(1,0) ,A2(2,0) ,B1(0,3) ,B2(0,3) , 可得 A1相当于椭圆的左焦点,A1PQ 的周长为 PF+PA1+A1Q+Q

24、F, 当 P 从 A2(不包括 A2)向 B2运动时,PA+PF2a4,当 Q 在 y 轴右侧时,A1Q+QF 2a4,所以这时三角形的周长为 8, 当 P 从 B2向 A1运动时,Q 在第四象限,则 A1Q+QF2a4,PF+PA12r+A1B22+a 4, 这时三角形的周长小于 8, 当 P 运动到 A1时 Q 在 A2处,构不成三角形,三角形的周长接近 2A1A26, 由曲圆的对称性可得 P 运动到 x 轴下方时,与前面一样, 综上所述,A1PQ 的周长的取值范围是(6,8, 故答案为: (6,8 【点评】本题考查求椭圆和圆的方程,及椭圆的性质及直线与曲圆的综合,分类讨论的 思想,属于中

25、档题 14已知实数 a0,函数 ysinx 在闭区间0,a上最大值为 M,在闭区间a,2a上的最大 值为 N,若 M= 2N,则 a 的值为 3 4 或9 8 【分析】根据 a 的范围讨论,由正弦函数的单调性即可求出 ysinx 在闭区间0,a上最 大值和在闭区间a,2a上的最大值,列式即可求出 【解答】解:当 02a 2时,即 0a 4时,函数 ysinx 在区间0,2a上递增,显然 不符合题意; 当 4 a 2时,由正弦函数的单调性可知,Mf(a)f( 2)1,N1,不符合题意; 当 2 a 5 4 时,由正弦函数的单调性可知,M1,Nmaxf(a) ,f(2a) 若 Nf(a) ,则 s

26、ina= 2 2 ,解得 a= 3 4 ,此时 f(2a)sin3 2 = 1f(a) ,符合题意; 若 Nf(2) ,则 sin2a= 2 2 解得 a= 9 8 ,此时 f(a)sin9 8 0f(2a) ,符合题意; 当 a 5 4 ,由正弦函数的单调性可知,M1,N1,不符合题意 故答案为:3 4 或9 8 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性的应用以及最值的求法,考查分类讨论思想的 应用,属于中档题 二、解答题(本大题共二、解答题(本大题共 6 小题,共计小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算

27、步骤 )字说明、证明过程或演算步骤 ) 15 (14 分)如图,在三棱柱 A1B1C1ABC 中,ABAC,D 为 BC 中点,平面 ABC平面 BCC1B1,BC1B1D (1)求证:A1C平面 AB1D; (2)求证:AB1BC1 【分析】 (1)连结 A1BAB1于点 O,连结 OD,ABB1A1是平行四边形,从而 O 为 A1B 的中点,推导出 ODA1C,由此能证明 A1C平面 AB1D (2) 推导出 ADBC, AD平面 BCC1B1, ADBC1, ADBC1, 从而 BC1平面 AB1D, 由此能证明 AB1BC1 【解答】解: (1)证明:连结 A1BAB1于点 O,连结

28、OD, ABCA1B1C1是三棱柱,ABB1A1是平行四边形, O 为 A1B 的中点, D 为 BC 中点,ODA1C, A1C平面 AB1D,OD平面 AB1D, A1C平面 AB1D (2)解:ABAC,D 为 BC 中点,ADBC, 平面 ABC平面 BCC1B1,平面 ABC平面 BCC1B1BC,AD平面 ABC, AD平面 BCC1B1, BC1平面 BCC1B1,ADBC1, BC1平面 BCC1B1,ADBC1, BC1B1D,ADB1DD,BC1平面 AB1D, AB1平面 AB1D,AB1BC1 【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置

29、 关系等基础知识,考查推理论证能力,是中档题 16 (14 分)已知ABC 是锐角三角形,向量 =(cos(A+ 3) ,sin(A+ 3) ) , =(cosB, sinB) ,且 (1)求 AB 的值 (2)若 cosB= 3 5,AC8,求 BC 的长 【分析】 (1)由向量垂直的条件:数量积为 0,结合两角和差的余弦公式,化简整理,可 得所求值; (2)求得 sinB,再由两角和的正弦公式,计算可得 sinA,再由正弦定理,计算即可得到 所求值 【解答】解: (1)因为 , 所以 =cos(A+ 3)cosB+sin(A+ 3)sinBcos(A+ 3 B)0, 又 A,B(0, 2)

30、 , 所以 A+ 3 B( 6, 5 6 ) , 所以 A+ 3 B= 2, 即 AB= 6; (2)cosB= 3 5,可得 sinB= 1 9 25 = 4 5, sinAsin(B+ 6)= 3 2 4 5 + 1 2 3 5 = 3+43 10 , 则 BC= =8 3+43 10 5 4 =3+43 【点评】本题考查向量垂直的条件:数量积为 0,考查两角和差的余弦公式的运用,考查 正弦定理的运用,以及化简整理的运算能力,属于中档题 17 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2r2(r0) ,点 M( 1 2, 3 2) , N(1,3) ,点 A 在圆 O

31、上, =2 (1)求圆 O 的方程; (2)直线 x2 与圆 O 交于 E,F 两点(E 点在 x 轴上方) ,点 P(m,n) (0m 1 2)是 抛物线 y22x 上的动点,点 Q 为PEF 的外心,求线段 OQ 长度的最大值,并求出当线 段 OQ 长度最大时,PEF 外接圆的标准方程 【分析】 (1)设 A(a,b) ,代入圆的方程得 a2+b2r2,因为 =2AN22AM2 (a+1)2+(b+3)22(a+ 1 2) 2+(b+3 2) 2,整理得 a2+b2r25,即可得圆 O 的方 程 (2)根据题意可得 E(2,1) ,F(2,1) ,PEF 的外心 Q 为 PE 的垂直平分线

32、 l 与 x 轴的交点,先写出直线 l 的方程,再令 y0 时,x= 2+25 2(2) ,又因为点 P(m,n)在 抛物线y22x上, 所以n22m, 由0m 1 2得xQ= 2+25 2(2) 0, 所以OQ= 2+25 2(2)(0 m 1 2) ,化简根据基本不等式即可得出 OQ 的最大值,及 m 的值,Q 的坐标,半径 r, 即可得出答案 【解答】解: (1)设 A(a,b) ,则 a2+b2r2, 因为 =2AN22AM2, 所以(a+1)2+(b+3)22(a+ 1 2) 2+(b+3 2) 2, 由式得:a2+b25, 所以 r25, 所以圆 O 的方程为 x2+y25, (2

33、)把 x2 代入圆 O 的方程得 y1,所以 E(2,1) ,F(2,1) , 作出线段 PE 的中垂线 l,则PEF 的外心 Q 为直线 l 与 x 轴的交点, 直线 l 的方程为:y +1 2 = 2 1(x +2 2 ) , 当 y0 时,x= 2+25 2(2) , 因为点 P(m,n)在抛物线 y22x 上,所以 n22m, 所以 x= 2+25 2(2) , 由 0m 1 2得 xQ= 2+25 2(2) 0, 所以 OQ= 2+25 2(2) (0m 1 2) , OQ= 2+25 2(2) = 1 2 (2m+ 3 2) 1 2 2(2 ) 3 2 +333,(0m 1 2)

34、, 当且仅当 2m= 3 2时,即 m23时 OQ 取到最大值 33, 此时点 Q 坐标为(33,0) ,所以PEF 外接圆的半径 rQE=5 23, 所以PEF 外接圆的标准方程为(x+3 3)2+y2523 【点评】本题考查圆的方程,直线与圆的相交问题,属于中档题 18 (16 分)把一块边长为 a(a0)cm 的正六边形铁皮,沿图中的虚线(虛线与正六边形 的对应边垂直)剪去六个全等的四边形(阴影部分) ,折起六个矩形焊接制成一个正六棱 柱形的无盖容器(焊接损耗忽略) ,设容器的底面边长为 xcm (1)若 a16,且该容器的表面积为603cm2时,在该容器内注入水,水深为 5cm,若 将

35、一根长度为 10cm 的玻璃棒(粗细忽略)放入容器内,一端置于 A 处,另一端置于侧 棱 DD1上,忽略铁皮厚度,求玻璃棒浸入水中部分的长度; (2)求该容器的底面边长 a 的范围,使得该容器的体积始终不大于 9000cm3 【分析】 (1)由题意,ABx,则 0xa,设该容器的高为 h,则 h= 3 2 ( )当 a 16 时,容器底面积1= 6 ( 3 4 2) = 33 2 2,侧面积2= 6 = 33(16 ),由容 器的表面积得 x232x+1120从而 x4,当玻璃棒放入容器内,一端置于 A 处,另一 端置于侧棱 DD1上时,设玻璃棒在 DD1 上的交点为 P,玻璃棒与水面交于 Q

36、,四边形 A1ADD1 为矩形,在平面 A1ADD1 中,过 Q 作 QHAD 交 AD 于 H,推导出 PD6,OH PD,得 10 = 5 6,由此能求出玻璃棒浸入水中部分的长度 (2) 该容器的体积VS1h= 33 2 2 3 2 ( ) = 9 4 2(ax) , 由V= 9 4 2( ) 9000 对(0,a)成立,得 x2(ax)4000 对 x(0,a)恒成立,令 h(x)x2(ax) , h(x)x2(ax) ,h(x)3x2+2ax,利用导数性质能求出该容器底面边长 a 满 足 0a30 时,容器的体积始终不大于 9000cm3 【解答】解: (1)由题意,ABx,则 0xa

37、,设该容器的高为 h,则 h= 3 2 ( ) 当 a16 时,容器底面积1= 6 ( 3 4 2) = 33 2 2,侧面积2= 6 = 33(16 ), 容器的表面积 S= 33 2 2+ 33(16 ) =1683,整理得 x232x+1120 解得 x4 或 x28(舍) 当玻璃棒放入容器内,一端置于 A 处,另一端置于侧棱 DD1上时, 如图,设玻璃棒在 DD1 上的交点为 P,玻璃棒与水面交于 Q, ABCDEFA1B1C1D1E1F1为正六棱柱,四边形 A1ADD1 为矩形, 在平面 A1ADD1 中,过 Q 作 QHAD 交 AD 于 H,如图, AP10,AD8,PD6, O

38、HPD, = ,即 10 = 5 6, 解得玻璃棒浸入水中部分的长度 AQ= 25 3 cm (2)设该容器的体积为 V, VS1h= 33 2 2 3 2 ( ) = 9 4 2(ax) , 该容器的体积始终不大于 9000cm3, V= 9 4 2( ) 9000对(0,a)成立, 即 x2(ax)4000 对 x(0,a)恒成立, 令 h(x)x2(ax) ,h(x)x2(ax) ,h(x)3x2+2ax, 令 h(x)0,得 = 2 3 ,则 h(x)随 x 变化的表格如下: x (0,2 3 ) 2 3 (2 3 ,a) h(x) + 0 h(x) 增 最大值 减 h(x)maxh(

39、2 3 )= 43 27 , 4 3 27 4000,得 a30, 该容器底面边长 a 满足 0a30 时,容器的体积始终不大于 9000cm3 【点评】本题考查玻璃棒浸入水中部分的长度、容器体积的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力,是中档题 19 (16 分)已知数列an、bn中,a11,b12,且:1+ (1)= ,nN*,设数 列an、bn的前 n 项和分别为 An和 Bn (1)若数列an是等差数列,求 An和 Bn; (2)若数列bn是公比为 2 的等比数列求 A2n1;是否存在实数 m,使 A4nm a4n对任意自然数 nN*都成立?若存在,

40、求 m 的值;若不存在,说明理由 【分析】 (1)由等差数列的通项公式和求和公式,求得 an,An,讨论 n 为奇数和偶数, 结合已知递推式,可得所求 Bn; (2)由 A2n1a1+a2+a2n1a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a2n2+a2n1) ,结合 等比数列的通项公式和求和公式,可得所求; 分别求得 b2nb2n1,b2n+1+b2n,可得 A4n,运用等比数列求和公式,计算可得所求 m 的值 【解答】解: (1)由题意可得 a2a1b1,即 a2a1+b13,又数列an是等差数列,设 公差为 d,则 d2, 所以 an2n1,所以 An= 1+21 2 nn2, 当 n 为

41、奇数时,Bnb1+b2+bn(a2a1)+(a3+a2)+(a4a3)+(an+1an) a1+2(a2+a4+an1)+an+11+2(3+7+2n3)+2n+11+21 2(3+2n3) ;1 2 +2n+1n2+n, 当 n 为偶数时,BnBn1+bnn2+n+2n+1+2n1n2+3n, 所以 Bn= 2 + ,为奇数 2+ 3,为偶数; (2)A2n1a1+a2+a2n1a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a2n2+a2n1) a1+b2+b4+b2n21+ 4(141) 14 = 41 3 ; b2nb2n1(a2n+1+a2n)(a2na2n1)a2n1+a2n+1, b2n

42、+1+b2n(a2n+2a2n+1)+(a2n+1+a2n)a2n+a2n+2, 所以 A4na1+a2+a4n3+a4n2+a4n1+a4n (a1+a3)+(a5+a7)+(a4n3+a4n1)+(a2+a4)+(a6+a8)+(a4n2+a4n) (b2b1)+(b6b5)+(b4n2b4n3)+(b2+b3)+(b6+b7)+(b4n2+b4n 1) (b2b1) 1;2 4 1;24 +(b2+b3) 1;2 4 1;24 = 14(24;1) 15 , 由 A4nma4n可得 A4nm(A4nA4n1)即;1 A4nA4n1对任意的 nN*恒成立, 即;1 14(2 4;1) 15 = 42;1 3 恒成立,解得 m= 14 9 ,即存在 m= 14 9 ,A4nma4n对任意 自然数 nN*都成立 【点评】本题考查了数列递推关系、等差和等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方 法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 20 (16 分)已知函数() = 1 + (aR) (1)当 a1 时,求函数 f(x)的单调减区间; (2)若不等式 f(x)x 对 x(0,1恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)当 a2 时,试问过点 P(0,2)可作 yf(x)的几条切线?并说明理由 【分析】 (1) a1 时, 求出原函数的导函数, 由导函数小于 0 可得原函数