1、江苏省常熟市江苏省常熟市 2020 届高三阶段性抽测三数学试题届高三阶段性抽测三数学试题 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上 ）置上 ） 1已知集合 Ax|x2，Bx|x（x4）0，则（RA）B 2复数（a+i） （1+2i）是纯虚数（i 是虚数单位） ，则实数 a 3某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150，150，400，300 名学生为了解学生的就业 倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取 60 名学生进行调查，则应从丁专业抽 取的学生人数为 4根
2、据如图所示的伪代码，可知输出的结果 I 为 5将一枚质地均匀且各面分别标有数字 1，2，3，4 的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的 数字依次为 a 和 b，则点（a，b）在直线 y2x 上的概率为 6已知 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn2an2，则 S5S4 7阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年） ，伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家， 他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的 体积是圆柱体积的2 3，并且球的表面积也是圆柱表面积的 2 3”这一完美的结论已知某圆 柱的轴截面为正方形，其表面积为 24，则该圆柱的内切球体积为 8已知 x
3、 轴为曲线 f（x）4x3+4（a1）x+1 的切线，则 a 的值为 9 如图， 已知正方形ABCD的边长为2， 点P是半圆O上一点 （包括端点A， D） ， 则 的取 值范围是 10已知函数() = ;:2， ， 的最小值为 e（e 为自然对数的底数） ，则 f（2）+f（ln2） 11已知正实数 a，b 满足 + 1 = 1，且1 + 22 7恒成立，则实数 t 的取值范围 为 12已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的焦点为 F1，F2，如果椭圆 C 上存在一点 P， 使得1 2 = 0，且PF1F2的面积等于 4，则 ab 的取值范围为 13如图，把半椭圆： 2 2 +
4、 2 2 = 1（x0）和圆弧： （x1）2+y2a2（x0）合成的曲线 称为“曲圆” ，其中点 F（1，0）是半椭圆的右焦点，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与 x 轴，y 轴的交点，已知B1FB2120，过点 F 的直线与“曲圆”交于 P，Q 两点，则 A1PQ 的周长的取值范围是 14已知实数 a0，函数 ysinx 在闭区间0，a上最大值为 M，在闭区间a，2a上的最大 值为 N，若 M= 2N，则 a 的值为 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、
5、证明过程或演算步骤 ）字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （14 分）如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，平面 ABC平面 BCC1B1，BC1B1D （1）求证：A1C平面 AB1D； （2）求证：AB1BC1 16 （14 分）已知ABC 是锐角三角形，向量 =（cos（A+ 3） ，sin（A+ 3） ） ， =（cosB， sinB） ，且 （1）求 AB 的值 （2）若 cosB= 3 5，AC8，求 BC 的长 17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2+y2r2（r0） ，点 M（ 1 2， 3 2） ， N（1，3） ，
6、点 A 在圆 O 上， =2 （1）求圆 O 的方程； （2）直线 x2 与圆 O 交于 E，F 两点（E 点在 x 轴上方） ，点 P（m，n） （0m 1 2）是 抛物线 y22x 上的动点，点 Q 为PEF 的外心，求线段 OQ 长度的最大值，并求出当线 段 OQ 长度最大时，PEF 外接圆的标准方程 18 （16 分）把一块边长为 a（a0）cm 的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虛线与正六边形 的对应边垂直）剪去六个全等的四边形（阴影部分） ，折起六个矩形焊接制成一个正六棱 柱形的无盖容器（焊接损耗忽略） ，设容器的底面边长为 xcm （1）若 a16，且该容器的表面积为603cm2时，
7、在该容器内注入水，水深为 5cm，若 将一根长度为 10cm 的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于 A 处，另一端置于侧 棱 DD1上，忽略铁皮厚度，求玻璃棒浸入水中部分的长度； （2）求该容器的底面边长 a 的范围，使得该容器的体积始终不大于 9000cm3 19 （16 分）已知数列an、bn中，a11，b12，且:1+ (1)= ，nN*，设数 列an、bn的前 n 项和分别为 An和 Bn （1）若数列an是等差数列，求 An和 Bn； （2）若数列bn是公比为 2 的等比数列求 A2n1；是否存在实数 m，使 A4nm a4n对任意自然数 nN*都成立？若存在，求 m 的值；若不
8、存在，说明理由 20 （16 分）已知函数() = 1 + （aR） （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调减区间； （2）若不等式 f（x）x 对 x（0，1恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）当 a2 时，试问过点 P（0，2）可作 yf（x）的几条切线？并说明理由 参考答案参考答案 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上 ）置上 ） 1已知集合 Ax|x2，Bx|x（x4）0，则（RA）B （2，4 【分析】由补集的运算求出UA，再由交集的运算求出（R
9、A）B 【解答】解：因为集合RAx|x2，Bx|x（x4）0x|0x4， 则（RA）Bx|2x4， 故答案为： （2，4 【点评】本题考查了交、补集的混合运算，属于基础题 2复数（a+i） （1+2i）是纯虚数（i 是虚数单位） ，则实数 a 2 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 0 且虚部不等于 0 求解即 可得答案 【解答】解：（a+i） （1+2i）a2+（1+2a）i 是纯虚数， 2 = 0 1 + 2 0，解得 a2 故答案为：2 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150，150，40
10、0，300 名学生为了解学生的就业 倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取 60 名学生进行调查，则应从丁专业抽 取的学生人数为 18 【分析】利用分层抽样的性质直接求解 【解答】解：某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150，150，400，300 名学生 为了解学生的就业倾向， 用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查， 则应从丁专业抽取的学生人数为：60 300 150+150+400+300 =18 故答案为：18 【点评】本题考查抽取的学生数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 4根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 I 为 16
11、【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序 的作用是累加并输出不满足条件 S10 时 I 的值，模拟程序的运行，即可求解 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S1，I1 满足条件 S10，执行循环体，S3，I4 满足条件 S10，执行循环体，S5，I7 满足条件 S10，执行循环体，S7，I10 满足条件 S10，执行循环体，S9，I13 满足条件 S10，执行循环体，S11，I16 不满足条件 S10，退出循环，输出 I 的值为 16 故答案为：16 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型， 其处理方法是：分析流程图（或伪代
12、码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的 类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据 进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解 模 5将一枚质地均匀且各面分别标有数字 1，2，3，4 的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的 数字依次为 a 和 b，则点（a，b）在直线 y2x 上的概率为 1 8 【分析】基本事件总数 n4416，点（a，b）在直线 y2x 上包含的基本事件有（1， 2） ， （2，4） ，共两个，由此能求出点（a，b）在直线 y2x 上的概率 【解答】 解： 将一枚质地均匀且各面分别标有数字 1， 2， 3，
13、4 的正四面体连续抛掷两次， 记面朝下的数字依次为 a 和 b， 基本事件总数 n4416， 点（a，b）在直线 y2x 上包含的基本事件有（1，2） ， （2，4） ，共两个， 则点（a，b）在直线 y2x 上的概率为 p= 2 16 = 1 8 故答案为：1 8 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 6已知 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn2an2，则 S5S4 32 【分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论 【解答】解：因为 Sn为数列an的前 n 项和， 若 Sn2an2， 则 a12a12a12； 则 Sn12
14、an12， 得：an2an2an1an2an1数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列； 故 an2n； S5S42532 故答案为：32 【点评】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目 7阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年） ，伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家， 他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的 体积是圆柱体积的2 3，并且球的表面积也是圆柱表面积的 2 3”这一完美的结论已知某圆 柱的轴截面为正方形，其表面积为 24，则该圆柱的内切球体积为 32 3 【分析】设圆柱的底面半径为 r，则圆柱的高为 2r，利用圆
15、柱的表面积可得 r2，进而 可求出圆柱的体积，再根据阿基米德的结论，即可求出该圆柱的内切球体积 【解答】解：设圆柱的底面半径为 r，则圆柱的高为 2r， 所以圆柱的表面积为：2r2r+2r224， 解得：r2， 所以圆柱的体积为：r22r16， 根据阿基米德的结论，该圆柱的内切球体积为：16 2 3 = 32 3 ， 故答案为：32 3 【点评】本题主要考查了圆柱的结构特征，以及球的体积公式，是基础题 8已知 x 轴为曲线 f（x）4x3+4（a1）x+1 的切线，则 a 的值为 1 4 【分析】先对 f（x）求导，然后设切点为（x0，0） ，由切线斜率和切点在曲线上得到关 于 x0和 a 的
16、方程，再求出 a 的值 【解答】解：由 f（x）4x3+4（a1）x+1，得 f（x）12x2+4（a1） ， x 轴为曲线 f（x）的切线，f（x）的切线方程为 y0， 设切点为（x0，0） ，则(0) = 120 2 + 4( 1) = 0， 又(0) = 40 3 + 4( 1)0+ 1 = 0， 由，得0= 1 2， = 1 4， a 的值为1 4 故答案为：1 4 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题 9 如图， 已知正方形ABCD的边长为2， 点P是半圆O上一点 （包括端点A， D） ， 则 的取 值范围是 0，2 + 22 【分析】 以O为原
17、点， OD和 AD 的中垂线为x、 y轴建立平面直角坐标系， 设点P为 （cos， sin） ，0，可写出 A，B 两点的坐标，再通过坐标运算可表示出 ，然后结 合辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解 【解答】解：以 O 为原点，OD 和 AD 的中垂线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标 系，则 A（1，0） ，B（1，2） ， 设点 P 为（cos，sin） ，0， =（1cos，sin） （1cos，2sin） （1cos）2sin（2sin） 1+cos2+2cos+2sin+sin2 = 2 + 22( + 4)， 0， + 4 4 ， 5 4 ，( + 4) 2 2 ，1，
18、 的取值范围为0，2 + 22 故答案为：0，2 + 22 【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，在规则平面多边形中通过建立坐标系，利 用平面向量的坐标运算是常用手段，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题 10已知函数() = ;:2， ， 的最小值为 e（e 为自然对数的底数） ，则 f（2）+f（ln2） 2e+ 1 2 2 【分析】先根据函数 f（x）的单调性确定最小值，即可解出 a，再利用分段函数求值即可 得出 【解答】解：因为当 xa 时，函数 f（x）e x+2 递减，当 xa 时，函数 f（x）ex 递 增， 所以函数 f（x）的最小值为 f（a）eae 且 e a+2ea
19、，解得 a1， f（2）+f（ln2）2e+e ln2+22e+1 2e 2 故答案为：2e+ 1 2e 2 【点评】 本题主要考查分段函数的单调性以及分段函数求值， 涉及对数运算性质的应用， 属于基础题 11已知正实数 a，b 满足 + 1 = 1，且1 + 22 7恒成立，则实数 t 的取值范围为 1 2，4 【分析】由题意可得 2t27t（b+ 1 ）min，由乘 1 法和基本不等式，计算可得最小值， 再由二次不等式的解法可得所求范围 【解答】解：1 + 22 7恒成立，即为 2t27t（b+ 1 ）min， 由 b+ 1 =（b+ 1 ） （a+ 1 ）ab+ 1 +22 1 =24，
20、 当且仅当 ab1，又 a+ 1 =1，可得 a= 1 2，b2，上式取得等号， 则 2t27t4，解得 1 2 t4， 可得 t 的取值范围是 1 2，4 故答案为： 1 2，4 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，运用基本不等式求最值是解决的关键，考查 运算能力和推理能力，属于基础题 12已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的焦点为 F1，F2，如果椭圆 C 上存在一点 P， 使得1 2 = 0，且PF1F2的面积等于 4，则 ab 的取值范围为 42，+） 【分析】设 P 的坐标代入椭圆可得横纵坐标之间的关系，再由1 2 = 0，可得（c x，y） （cx，y）0，所以
21、 x2c2+y20，解得 P 的纵坐标的值，再由PF1F2 的面积等于 4 可得 b 的值，再由 P 的纵坐标的取值范围求出 a 的范围，进而求出 ab 的取 值范围 【解答】解：由椭圆的方程可得 F1，F2的坐标分别为（c，0） ， （c，0） ， 设 P（x，y） ，设 y0，则 2 2 + 2 2 = 1， 再由1 2 = 0，可得（cx，y） （cx，y）0，所以 x2c2+y20， 由可得 y2= 4 2 又因为PF1F2的面积等于 4，所以1 22cy4，即 cy4，即 c 2y216， 由可得 b2， 再由 y2（0，b2， 所以 4 2 b2，可得 c2b2， 所以 a2b2b
22、2，即 a22b28， 所以 a 22， 所以 ab 42， 故答案为：42，+） 【点评】本题考查椭圆的性质及数量积与三角形面积的应用，属于中档题 13如图，把半椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（x0）和圆弧： （x1）2+y2a2（x0）合成的曲线 称为“曲圆” ，其中点 F（1，0）是半椭圆的右焦点，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与 x 轴，y 轴的交点，已知B1FB2120，过点 F 的直线与“曲圆”交于 P，Q 两点，则 A1PQ 的周长的取值范围是 （6，8 【分析】由椭圆的焦点坐标及B1FB2120，可得椭圆和圆的方程，可得 A1相当于椭 圆的左焦点，过椭圆的右焦点 F
23、的直线与曲圆的解得 P，Q，在直线转动的过程中由 P， Q 的位置可得三角形的周长的取值范围 【解答】解：由（x1） 2+y2a2（x0） ，令 y0，可得 x1a，及即 A1（1a，0） 再由椭圆的方程及题意可得 A2（a，0） ，B2（0，b） ，B1（0，b） ， 由B1FB2120，可得 =3，由 F（1，0）可得 b= 3，所以 a2， 所以半椭圆及圆弧的方程分别为： 2 4 + 2 3 =1， （x0） ， （x1）2+y24， 所以 A1（1，0） ，A2（2，0） ，B1（0，3） ，B2（0，3） ， 可得 A1相当于椭圆的左焦点，A1PQ 的周长为 PF+PA1+A1Q+Q
24、F， 当 P 从 A2（不包括 A2）向 B2运动时，PA+PF2a4，当 Q 在 y 轴右侧时，A1Q+QF 2a4，所以这时三角形的周长为 8， 当 P 从 B2向 A1运动时，Q 在第四象限，则 A1Q+QF2a4，PF+PA12r+A1B22+a 4， 这时三角形的周长小于 8， 当 P 运动到 A1时 Q 在 A2处，构不成三角形，三角形的周长接近 2A1A26， 由曲圆的对称性可得 P 运动到 x 轴下方时，与前面一样， 综上所述，A1PQ 的周长的取值范围是（6，8， 故答案为： （6，8 【点评】本题考查求椭圆和圆的方程，及椭圆的性质及直线与曲圆的综合，分类讨论的 思想，属于中
25、档题 14已知实数 a0，函数 ysinx 在闭区间0，a上最大值为 M，在闭区间a，2a上的最大 值为 N，若 M= 2N，则 a 的值为 3 4 或9 8 【分析】根据 a 的范围讨论，由正弦函数的单调性即可求出 ysinx 在闭区间0，a上最 大值和在闭区间a，2a上的最大值，列式即可求出 【解答】解：当 02a 2时，即 0a 4时，函数 ysinx 在区间0，2a上递增，显然 不符合题意； 当 4 a 2时，由正弦函数的单调性可知，Mf（a）f（ 2）1，N1，不符合题意； 当 2 a 5 4 时，由正弦函数的单调性可知，M1，Nmaxf（a） ，f（2a） 若 Nf（a） ，则 s
26、ina= 2 2 ，解得 a= 3 4 ，此时 f（2a）sin3 2 = 1f（a） ，符合题意； 若 Nf（2） ，则 sin2a= 2 2 解得 a= 9 8 ，此时 f（a）sin9 8 0f（2a） ，符合题意； 当 a 5 4 ，由正弦函数的单调性可知，M1，N1，不符合题意 故答案为：3 4 或9 8 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性的应用以及最值的求法，考查分类讨论思想的 应用，属于中档题 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算
27、步骤 ）字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （14 分）如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，平面 ABC平面 BCC1B1，BC1B1D （1）求证：A1C平面 AB1D； （2）求证：AB1BC1 【分析】 （1）连结 A1BAB1于点 O，连结 OD，ABB1A1是平行四边形，从而 O 为 A1B 的中点，推导出 ODA1C，由此能证明 A1C平面 AB1D （2） 推导出 ADBC， AD平面 BCC1B1， ADBC1， ADBC1， 从而 BC1平面 AB1D， 由此能证明 AB1BC1 【解答】解： （1）证明：连结 A1BAB1于点 O，连结
28、OD， ABCA1B1C1是三棱柱，ABB1A1是平行四边形， O 为 A1B 的中点， D 为 BC 中点，ODA1C， A1C平面 AB1D，OD平面 AB1D， A1C平面 AB1D （2）解：ABAC，D 为 BC 中点，ADBC， 平面 ABC平面 BCC1B1，平面 ABC平面 BCC1B1BC，AD平面 ABC， AD平面 BCC1B1， BC1平面 BCC1B1，ADBC1， BC1平面 BCC1B1，ADBC1， BC1B1D，ADB1DD，BC1平面 AB1D， AB1平面 AB1D，AB1BC1 【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置
29、 关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题 16 （14 分）已知ABC 是锐角三角形，向量 =（cos（A+ 3） ，sin（A+ 3） ） ， =（cosB， sinB） ，且 （1）求 AB 的值 （2）若 cosB= 3 5，AC8，求 BC 的长 【分析】 （1）由向量垂直的条件：数量积为 0，结合两角和差的余弦公式，化简整理，可 得所求值； （2）求得 sinB，再由两角和的正弦公式，计算可得 sinA，再由正弦定理，计算即可得到 所求值 【解答】解： （1）因为 ， 所以 =cos（A+ 3）cosB+sin（A+ 3）sinBcos（A+ 3 B）0， 又 A，B（0， 2）
30、 ， 所以 A+ 3 B（ 6， 5 6 ） ， 所以 A+ 3 B= 2， 即 AB= 6； （2）cosB= 3 5，可得 sinB= 1 9 25 = 4 5， sinAsin（B+ 6）= 3 2 4 5 + 1 2 3 5 = 3+43 10 ， 则 BC= =8 3+43 10 5 4 =3+43 【点评】本题考查向量垂直的条件：数量积为 0，考查两角和差的余弦公式的运用，考查 正弦定理的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题 17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2+y2r2（r0） ，点 M（ 1 2， 3 2） ， N（1，3） ，点 A 在圆 O
31、上， =2 （1）求圆 O 的方程； （2）直线 x2 与圆 O 交于 E，F 两点（E 点在 x 轴上方） ，点 P（m，n） （0m 1 2）是 抛物线 y22x 上的动点，点 Q 为PEF 的外心，求线段 OQ 长度的最大值，并求出当线 段 OQ 长度最大时，PEF 外接圆的标准方程 【分析】 （1）设 A（a，b） ，代入圆的方程得 a2+b2r2，因为 =2AN22AM2 （a+1）2+（b+3）22（a+ 1 2） 2+（b+3 2） 2，整理得 a2+b2r25，即可得圆 O 的方 程 （2）根据题意可得 E（2，1） ，F（2，1） ，PEF 的外心 Q 为 PE 的垂直平分线
32、 l 与 x 轴的交点，先写出直线 l 的方程，再令 y0 时，x= 2+25 2(2) ，又因为点 P（m，n）在 抛物线y22x上， 所以n22m， 由0m 1 2得xQ= 2+25 2(2) 0， 所以OQ= 2+25 2(2)（0 m 1 2） ，化简根据基本不等式即可得出 OQ 的最大值，及 m 的值，Q 的坐标，半径 r， 即可得出答案 【解答】解： （1）设 A（a，b） ，则 a2+b2r2， 因为 =2AN22AM2， 所以（a+1）2+（b+3）22（a+ 1 2） 2+（b+3 2） 2， 由式得：a2+b25， 所以 r25， 所以圆 O 的方程为 x2+y25， （2
33、）把 x2 代入圆 O 的方程得 y1，所以 E（2，1） ，F（2，1） ， 作出线段 PE 的中垂线 l，则PEF 的外心 Q 为直线 l 与 x 轴的交点， 直线 l 的方程为：y +1 2 = 2 1（x +2 2 ） ， 当 y0 时，x= 2+25 2(2) ， 因为点 P（m，n）在抛物线 y22x 上，所以 n22m， 所以 x= 2+25 2(2) ， 由 0m 1 2得 xQ= 2+25 2(2) 0， 所以 OQ= 2+25 2(2) （0m 1 2） ， OQ= 2+25 2(2) = 1 2 （2m+ 3 2） 1 2 2(2 ) 3 2 +333，（0m 1 2）
34、， 当且仅当 2m= 3 2时，即 m23时 OQ 取到最大值 33， 此时点 Q 坐标为（33，0） ，所以PEF 外接圆的半径 rQE=5 23， 所以PEF 外接圆的标准方程为（x+3 3）2+y2523 【点评】本题考查圆的方程，直线与圆的相交问题，属于中档题 18 （16 分）把一块边长为 a（a0）cm 的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虛线与正六边形 的对应边垂直）剪去六个全等的四边形（阴影部分） ，折起六个矩形焊接制成一个正六棱 柱形的无盖容器（焊接损耗忽略） ，设容器的底面边长为 xcm （1）若 a16，且该容器的表面积为603cm2时，在该容器内注入水，水深为 5cm，若 将
35、一根长度为 10cm 的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于 A 处，另一端置于侧 棱 DD1上，忽略铁皮厚度，求玻璃棒浸入水中部分的长度； （2）求该容器的底面边长 a 的范围，使得该容器的体积始终不大于 9000cm3 【分析】 （1）由题意，ABx，则 0xa，设该容器的高为 h，则 h= 3 2 ( )当 a 16 时，容器底面积1= 6 ( 3 4 2) = 33 2 2，侧面积2= 6 = 33(16 )，由容 器的表面积得 x232x+1120从而 x4，当玻璃棒放入容器内，一端置于 A 处，另一 端置于侧棱 DD1上时，设玻璃棒在 DD1 上的交点为 P，玻璃棒与水面交于 Q
36、，四边形 A1ADD1 为矩形，在平面 A1ADD1 中，过 Q 作 QHAD 交 AD 于 H，推导出 PD6，OH PD，得 10 = 5 6，由此能求出玻璃棒浸入水中部分的长度 （2） 该容器的体积VS1h= 33 2 2 3 2 ( ) = 9 4 2（ax） ， 由V= 9 4 2( ) 9000 对（0，a）成立，得 x2（ax）4000 对 x（0，a）恒成立，令 h（x）x2（ax） ， h（x）x2（ax） ，h（x）3x2+2ax，利用导数性质能求出该容器底面边长 a 满 足 0a30 时，容器的体积始终不大于 9000cm3 【解答】解： （1）由题意，ABx，则 0xa
37、，设该容器的高为 h，则 h= 3 2 ( ) 当 a16 时，容器底面积1= 6 ( 3 4 2) = 33 2 2，侧面积2= 6 = 33(16 )， 容器的表面积 S= 33 2 2+ 33(16 ) =1683，整理得 x232x+1120 解得 x4 或 x28（舍） 当玻璃棒放入容器内，一端置于 A 处，另一端置于侧棱 DD1上时， 如图，设玻璃棒在 DD1 上的交点为 P，玻璃棒与水面交于 Q， ABCDEFA1B1C1D1E1F1为正六棱柱，四边形 A1ADD1 为矩形， 在平面 A1ADD1 中，过 Q 作 QHAD 交 AD 于 H，如图， AP10，AD8，PD6， O
38、HPD， = ，即 10 = 5 6， 解得玻璃棒浸入水中部分的长度 AQ= 25 3 cm （2）设该容器的体积为 V， VS1h= 33 2 2 3 2 ( ) = 9 4 2（ax） ， 该容器的体积始终不大于 9000cm3， V= 9 4 2( ) 9000对（0，a）成立， 即 x2（ax）4000 对 x（0，a）恒成立， 令 h（x）x2（ax） ，h（x）x2（ax） ，h（x）3x2+2ax， 令 h（x）0，得 = 2 3 ，则 h（x）随 x 变化的表格如下： x （0，2 3 ） 2 3 （2 3 ，a） h（x） + 0 h（x） 增 最大值 减 h（x）maxh（
39、2 3 ）= 43 27 ， 4 3 27 4000，得 a30， 该容器底面边长 a 满足 0a30 时，容器的体积始终不大于 9000cm3 【点评】本题考查玻璃棒浸入水中部分的长度、容器体积的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题 19 （16 分）已知数列an、bn中，a11，b12，且:1+ (1)= ，nN*，设数 列an、bn的前 n 项和分别为 An和 Bn （1）若数列an是等差数列，求 An和 Bn； （2）若数列bn是公比为 2 的等比数列求 A2n1；是否存在实数 m，使 A4nm a4n对任意自然数 nN*都成立？若存在，
40、求 m 的值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由等差数列的通项公式和求和公式，求得 an，An，讨论 n 为奇数和偶数， 结合已知递推式，可得所求 Bn； （2）由 A2n1a1+a2+a2n1a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a2n2+a2n1） ，结合 等比数列的通项公式和求和公式，可得所求； 分别求得 b2nb2n1，b2n+1+b2n，可得 A4n，运用等比数列求和公式，计算可得所求 m 的值 【解答】解： （1）由题意可得 a2a1b1，即 a2a1+b13，又数列an是等差数列，设 公差为 d，则 d2， 所以 an2n1，所以 An= 1+21 2 nn2， 当 n 为
41、奇数时，Bnb1+b2+bn（a2a1）+（a3+a2）+（a4a3）+（an+1an） a1+2（a2+a4+an1）+an+11+2（3+7+2n3）+2n+11+21 2（3+2n3） ;1 2 +2n+1n2+n， 当 n 为偶数时，BnBn1+bnn2+n+2n+1+2n1n2+3n， 所以 Bn= 2 + ，为奇数 2+ 3，为偶数； （2）A2n1a1+a2+a2n1a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a2n2+a2n1） a1+b2+b4+b2n21+ 4(141) 14 = 41 3 ； b2nb2n1（a2n+1+a2n）（a2na2n1）a2n1+a2n+1， b2n
42、+1+b2n（a2n+2a2n+1）+（a2n+1+a2n）a2n+a2n+2， 所以 A4na1+a2+a4n3+a4n2+a4n1+a4n （a1+a3）+（a5+a7）+（a4n3+a4n1）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a4n2+a4n） （b2b1）+（b6b5）+（b4n2b4n3）+（b2+b3）+（b6+b7）+（b4n2+b4n 1） （b2b1） 1;2 4 1;24 +（b2+b3） 1;2 4 1;24 = 14(24;1) 15 ， 由 A4nma4n可得 A4nm（A4nA4n1）即;1 A4nA4n1对任意的 nN*恒成立， 即;1 14(2 4;1) 15 = 42;1 3 恒成立，解得 m= 14 9 ，即存在 m= 14 9 ，A4nma4n对任意 自然数 nN*都成立 【点评】本题考查了数列递推关系、等差和等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方 法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20 （16 分）已知函数() = 1 + （aR） （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调减区间； （2）若不等式 f（x）x 对 x（0，1恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）当 a2 时，试问过点 P（0，2）可作 yf（x）的几条切线？并说明理由 【分析】 （1） a1 时， 求出原函数的导函数， 由导函数小于 0 可得原函数