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高斯小学奥数五年级下册含答案第02讲_圆与扇形进阶

1、第二讲 圆与扇形进阶 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 自然界中,圆与方是最基本的两种图形古人认为“天圆地方”,宇宙就像一个圆形的大 锅盖在一个方形的棋盘上 中国古代的建筑也会经常采用圆形和正方形的图案 而在面积计 算中,圆与正方形也有很大的关系 关于正方形和圆,有以下的面积关系: 方中圆:正方形面积:内

2、切圆面积=4: 圆中方:圆面积:内接正方形面积=:2 由此我们可以进一步推断: 圆外切正方形面积是内接正方形面积的_倍; 正方形外接圆 面积是内切圆面积的_倍 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 (1)左图中正方形的面积是 8,那么圆的面积是多少?(取 3.14) (2)右图中正方形的面积

3、是 16,那么圆的面积是多少?(取 3.14) 分析:利用圆中方和方中圆的比例关系可以轻松求解 练习 1 如图,已知正方形的边长是 2,求大圆及小圆的面积 (取 3.14) 圆的外切正方形 与内接正方形 正方形的外接圆 与内切圆 方中圆 圆中方 例题 2 计算下面各图中阴影部分的面积,并比较大小 (取 3.14) 分析:利用方中圆的比例关系可以轻松求解 练习 2 如图,已知长方形的面积是 12,则图中阴影部分的面积是多少?(取 3.14) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 小故事 圆与方 有一天,圆形和方形碰到了一起,它们一见面就吵了个面红耳赤,不管谁劝都不听圆 形说: “我们圆形就是比你们方形用处大, 人们日常生活中用的锅呀、 碗呀, 体育中的蓝球、 排球,水果里的苹果、桔子,大到汽车轮胎、自行车轮胎,都是我的家族瞧,我们是不是 比你们用处大!”圆形得意洋洋地说完 方形“哼”了一声说:“我们方形家族才是无处不在呢,人们用的电器、冰箱、彩电、 电脑,就连学生用的课本都是我们方形的哟!”方形也自

5、豪地说 它们谁也无法说服谁, 都来到大街上 望着街上的车, 方形对着圆形的车轮喊了声: “变! ” 转眼间车轮变成了方形正当方形喜笑颜开时,人群出现了混乱,汽车开不了,自行车也只 能扛着了, 大家都在说: “这是谁干的呀! 真是害人呀! ”而圆形来到一座刚建好的大楼前, 望着由一块块方形红砖盖成的大楼,圆形生气地大声 喊了声“变!”呀,方形红砖变成圆 形了圆形还没来及高兴呢,就听“轰”一声大楼倒了下来 看到这个情景,圆形呆住了:“这是怎么回事?” 只见混乱的人群里走出了一位老人, 他来到方形和圆形面前对它们说: “其实你们都很 棒,只是你们分工不同而已,只要你们齐心协力,一定会为人类作更大的贡

6、献 在上一讲中, 我们主要使用割补的方法来计算不规则图形的面积 而对于一些比较特殊 8 2 4 4 的形状,我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分,利用容斥原理计算出它的面积 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 3 如图,求下面各图中阴影部分的面积( 取 3.14) 分析:阴影部分可以看成是哪些图形

7、的重叠部分? 练习 3 已知下图中正方形的面积是 16,那么阴影部分的面积是多少?( 取 3.14) 在生活当中,有很多旋转的物体,比如车轮、方向盘等这些物体在运动的过程中,扫 过的图形都是曲线形这些曲线形的周长和面积应该怎么计算呢? 例题 4图中正方形的边长是 4 厘米,圆形的半径是 1 厘米当圆形绕正方形滚动一周又回 到原来位置时,扫过的面积有多大?( 取 3.14) 分析:要求扫过的面积,关键在于弄清扫过的区域;而要弄清扫过的区域, 关键在于弄清区域的边界你能通过合理动态想象,画出边界来吗? 2 2 练习 4 如图,正方形的边长是 2 厘米,圆形的半径是 1 厘米当圆形绕正方形滚动一周又

8、回到 原来位置时,扫过的面积有多大?( 取 3.14) 例题 5 如图,求阴影部分的面积( 取 3.14) 分析:阴影部分可以看成是四个扇形的重叠部分,但是扇形的半径图中并没有给出,那么应 该怎么计算扇形的面积呢? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 6 (1) 如图, 一只小狗被拴在一个边长为 4

9、米的正方形的建筑物的顶点 A 处, 四周都是空地 绳 长 8 米小狗的活动范围是多少平方米? (2)如果小狗不是被拴在 A 处,而是在一边的中点 B 处,那么小狗的活动范围是多少平方 米? (建筑外墙不可逾越,小狗身长忽略不计, 取 3.14) 分析:如果没有建筑物的阻挡,小狗的活动范围应该是一个圆有建筑物的话,活动范围会 受到什么样的影响呢? 2 B A 含有“圆”字的成语 圆首方足圆首方足:出自淮南子精神训 :“头之圆也象天,足之方也象地”用来代指人 类 戴圆履方戴圆履方:出自淮南子本经训:“戴圆履方,抱表怀绳”履:踩着;圆、方: 古人以为天圆地方头顶着天,脚踩着地指生活在人间 方方枘枘圆

10、圆凿凿: 出自战国时楚国宋玉的 九辨 : “圆凿而方枘兮, 吾固知其龃龉而难入 ” 凿:榫眼;枘:榫头方枘装不进圆凿比喻格格不入,不能相合 这三个成语之外,还有很多成语中都含有“圆”和“方”这两个字,如圆孔方木、圆颅 方趾、外圆内方等这说明古人对于圆和方的认识非常深刻,已经将其应用到了生活中的很 多方面 而我们在圆与扇形的学习中, 也要注意圆形与正方形之间的联系 元方, 你怎么看? 破镜重圆破镜重圆:这个成语故事是由华阴人、隋越国公杨素的一段成人之美的佳话而来的 杨素,字处道,在辅佐隋文帝杨坚结束割据,统一天下,建立隋朝江山方面立下了汗马 功劳他不仅足智多谋,才华横溢,而且文武双全,风流倜傥在

11、朝野上下都声势显赫,颇 著声名隋开皇九年(公元 589 年)杨素与文帝杨坚的两个儿子陈后主叔宝的嫔妃、亲戚, 其中有陈叔宝的妹妹枣陈太子舍人徐德言之妻, 也就是陈国的乐昌公主 由于杨素破陈有功, 加之乐昌公主才色绝代,隋文帝就乱点鸳鸯,将乐昌公主送进杨素中,赐为杨素小妾杨素 既仰慕乐昌公主的才华,又贪图乐昌公主的美色,因此就更加宠爱,还为乐昌公主专门营造 了宅院 然而乐昌公主却终日郁郁寡欢, 默无一语 原来, 乐昌公主与丈夫徐德言两心相知, 情义深厚陈国将亡之际,徐德言曾流着泪对妻子说:“国已危如累卵,家安岂能保全,你 我分离已成必然 以你这般容貌与才华, 国亡后必然会被掠入豪宅之家, 我们夫

12、妻长久离散, 名居一方,唯有日夜相思,梦中神会倘若老天有眼,不割断我们今世的这段情缘,你我今 后定会有相见之日所以我们应当有个信物,以求日后相认重逢”说完,徐德言把一枚铜 镜一劈两半,夫妻二人各藏半边徐德言又说:“如果你真的被掠进富豪人家,就在明年正 月十五那天, 将你的半片铜镜拿到街市去卖, 假若我也幸存人世, 那一天就一定会赶到都市, 通过铜镜去打问你的消息” 一对恩爱夫妻,在国家山河破碎之时,虽然劫后余生,却受尽了离散之苦好容易盼到 第二年正月十五,徐德言经过千辛万苦,颠沛流离,终于赶到都市大街,果然看见一个老头 在叫卖半片铜镜,而且价钱昂贵,令人不敢问津徐德言一看半片铜镜,知妻子已有下

13、落, 禁不住涕泪俱下他不敢怠慢,忙按老者要的价给了钱,又立即把老者领到自己的住处吃 喝已罢,徐德言向老者讲述一年前破镜的故事,并拿出自己珍藏的另一半铜镜颤索索两半 铜镜还未吻合, 徐德言早已泣不成声卖镜老人被他们的夫妻深情感动得热泪盈眶 他答 应徐德言,一定要在他们之间传递消息,让他们夫妻早日团圆徐德言就着月光题诗一首, 托老人带给乐昌公主诗这样写道: 镜与人俱去,镜归人不归 无复嫦娥影,空留明月辉 乐昌公主看到丈夫题诗,想到与丈夫咫尺天涯,难以相见,更是大放悲声,终日容颜凄 苦,水米不进杨素再三盘问,才知道了其中情由,也不由得被他二人的真情深深打动他 立即派人将徐德言召入府中, 让他夫妻二人

14、团聚 府中上下都为徐陈二人破镜重圆和越国公 杨素的宽宏大度、成人之美而感叹不已在欢庆的感激之情宴罢,夫妻二人携手同归江南 故里这段佳话被四处传扬,所以就有了破镜重圆的典故,一直流传至今 作业1. 如图,图中较小圆的面积是 3.14,较大圆的面积是多少? 作业2. 如图,正方形的面积是 8,阴影部分的面积是多少?(取 3.14) 作业3. 如图, 一头山羊被拴在一个边长为 4 米的等边三角形的建筑物的一个顶点处, 四周 都很空旷 绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置, 山羊的活动范围有多少平 方米?(建筑外墙不可逾越,山羊身长忽略不计,取 3) 作业4. 如图,正方形 ABCD 边长为 1

15、 厘米,依次以 A、B、C、D 为圆心,以 AD、BE、 CF、DG 为半径画出四个直角扇形,那么阴影部分的面积是多少?(取 3.14) 作业5. 如图,长方形的长为 6 厘米,宽为 2 厘米,圆形的半径是 1 厘米当圆形绕长方形 滚动一周又回到原来位置时,扫过的面积有多大?(取 3.14) 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 A B C D E G H F 第二讲 圆与扇形进阶 例题1. 答案: (1)6.28; (2)25.12 详解: (1)方中圆,方与圆的比为 4:,可求出圆的面积是 6.28; (2)圆中方,圆与方的面积之比是 :2,可求出圆的面积是 25.12

16、例题2. 答案:面积都是 12.56 详解:左图中阴影部分的面积为 2 4 112.56,右图中阴影部分的面积为 2 212.56 例题3. 答案: (1)2.28; (2)2.28 详解: (1)可利用重叠求出阴影部分面积,阴影面积等于两个圆心角为 90、半径为 2 的扇形面积减 去边长为 2 的正方形面积即 2 1 22222.28 4 S; (2)将四个半径为 1 厘米的半圆叠加 起来,恰好将每块阴影各算了两遍,每块空白各算了一遍所以阴影部分面积等于 4 个半径为 1 厘米 的半圆面积之和减去边长为 2 厘米的正方形面积,即 2 1 4122242.28 2 平方厘米 例题4. 答案:4

17、4.56 详解:扫过的区域如图中阴影所示,由两类图形组成:4 个长为 4 厘米、 宽为 2 厘米的长方形,4 块半径为 2 厘米、圆心角为 90 度的扇形(恰好 拼成一个圆) 所以扫过的面积是 2 424244.56平方厘米 例题5. 答案:2.28 详解:阴影部分面积等于四块扇形面积减去正方形面积,而四块扇形恰好构成一个整圆圆的直径等 于正方形的对角线设正方形对角线为 l,圆的直径为 d,则 2 4 2 l , 2 8l , 2 8d,圆的面积为 2 26.28 4 d S =6.284=2.28S 例题6. 答案: (1)175.84 平方米; (2)163.28 平方米 详解: (1)

18、如下左图, 小狗的活动范围为圆心角为 270、 半径为 8 米的扇形, 和两个圆心角为 90、 半径为 4 米的扇形总大小为 22 31 84256175.84 44 平方米 (2)如下右图,小狗的 活动范围为半径是 8 米的半圆, 和两个圆心角为 90、 半径为 6 米的扇形, 以及两个圆心角为 90、 半径为 2 米的扇形总大小为 222 111 8622252163.28 244 平方米 练习1. 答案:6.28,3.14 简答:方中圆,方和圆的面积比为 4:,可求出小圆的面积是 3.14大圆的面积是小圆面积的 2 倍, 是 6.28 练习2. 答案:2.58 简答:长方形可以分成两个面

19、积相等的正方形,面积都是 6方中圆,方和圆的面积比为 4:,可求 出小圆的面积是 1.5那么阴影部分的面积是12 1.522.58 练习3. 答案:9.12 简答: 2 1 42169.12 4 练习4. 答案:28.56 简答:扫过的区域如图所示正方形的边长是 2 厘米,四个正方形的面积 之和是 16 平方厘米四个扇形正好可以拼成一个半径为 2 厘米的圆,圆 的面积是 12.56 平方厘米最后的结果是 28.56 平方厘米 作业1. 答案:6.28 简答:较大圆、正方形和较小圆之间的比是 2:4:,即较大圆的面积是较小圆的 2 倍 作业2. 答案:4.56 简答:四个半圆的面积之和减去正方形

20、的面积就是阴影部分的面积四个半圆可以拼成两个相同的 圆而这个圆和正方形正好是方中圆的关系,由此可求出圆的面积是 6.28那么阴影部分的面积就是 6.28 284.56 作业3. 答案:98 简 答 : 山 羊 的 活 动 范 围 如 图 所 示 , 绳 长 为6米 , 面 积 为 22 30012098 62298 3603603 平方米 A B 作业4. 答案:23.55 简答:阴影部分的面积是 222 111 3.14 13.1423.143 444 2 1 3.14423.55 4 平方厘米 作业5. 答案:44.56 简答:扫过的区域如图所示,面积为 2 226222244.56平方厘米