1、第二讲 圆与扇形进阶 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 自然界中，圆与方是最基本的两种图形古人认为“天圆地方”，宇宙就像一个圆形的大 锅盖在一个方形的棋盘上 中国古代的建筑也会经常采用圆形和正方形的图案 而在面积计 算中，圆与正方形也有很大的关系 关于正方形和圆，有以下的面积关系： 方中圆：正方形面积:内
2、切圆面积=4: 圆中方：圆面积:内接正方形面积=:2 由此我们可以进一步推断： 圆外切正方形面积是内接正方形面积的_倍； 正方形外接圆 面积是内切圆面积的_倍 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 （1）左图中正方形的面积是 8，那么圆的面积是多少？（取 3.14） （2）右图中正方形的面积
3、是 16，那么圆的面积是多少？（取 3.14） 分析：利用圆中方和方中圆的比例关系可以轻松求解 练习 1 如图，已知正方形的边长是 2，求大圆及小圆的面积 （取 3.14） 圆的外切正方形 与内接正方形 正方形的外接圆 与内切圆 方中圆 圆中方 例题 2 计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小 （取 3.14） 分析：利用方中圆的比例关系可以轻松求解 练习 2 如图，已知长方形的面积是 12，则图中阴影部分的面积是多少？（取 3.14） - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 小故事 圆与方 有一天，圆形和方形碰到了一起，它们一见面就吵了个面红耳赤，不管谁劝都不听圆 形说： “我们圆形就是比你们方形用处大， 人们日常生活中用的锅呀、 碗呀， 体育中的蓝球、 排球，水果里的苹果、桔子，大到汽车轮胎、自行车轮胎，都是我的家族瞧，我们是不是 比你们用处大！”圆形得意洋洋地说完 方形“哼”了一声说：“我们方形家族才是无处不在呢，人们用的电器、冰箱、彩电、 电脑，就连学生用的课本都是我们方形的哟！”方形也自
5、豪地说 它们谁也无法说服谁， 都来到大街上 望着街上的车， 方形对着圆形的车轮喊了声： “变！ ” 转眼间车轮变成了方形正当方形喜笑颜开时，人群出现了混乱，汽车开不了，自行车也只 能扛着了， 大家都在说： “这是谁干的呀！ 真是害人呀！ ”而圆形来到一座刚建好的大楼前， 望着由一块块方形红砖盖成的大楼，圆形生气地大声 喊了声“变！”呀，方形红砖变成圆 形了圆形还没来及高兴呢，就听“轰”一声大楼倒了下来 看到这个情景，圆形呆住了：“这是怎么回事？” 只见混乱的人群里走出了一位老人， 他来到方形和圆形面前对它们说： “其实你们都很 棒，只是你们分工不同而已，只要你们齐心协力，一定会为人类作更大的贡
6、献 在上一讲中， 我们主要使用割补的方法来计算不规则图形的面积 而对于一些比较特殊 8 2 4 4 的形状，我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分，利用容斥原理计算出它的面积 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 3 如图，求下面各图中阴影部分的面积（ 取 3.14） 分析：阴影部分可以看成是哪些图形
7、的重叠部分？ 练习 3 已知下图中正方形的面积是 16，那么阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14） 在生活当中，有很多旋转的物体，比如车轮、方向盘等这些物体在运动的过程中，扫 过的图形都是曲线形这些曲线形的周长和面积应该怎么计算呢？ 例题 4图中正方形的边长是 4 厘米，圆形的半径是 1 厘米当圆形绕正方形滚动一周又回 到原来位置时，扫过的面积有多大？（ 取 3.14） 分析：要求扫过的面积，关键在于弄清扫过的区域；而要弄清扫过的区域， 关键在于弄清区域的边界你能通过合理动态想象，画出边界来吗？ 2 2 练习 4 如图，正方形的边长是 2 厘米，圆形的半径是 1 厘米当圆形绕正方形滚动一周又
8、回到 原来位置时，扫过的面积有多大？（ 取 3.14） 例题 5 如图，求阴影部分的面积（ 取 3.14） 分析：阴影部分可以看成是四个扇形的重叠部分，但是扇形的半径图中并没有给出，那么应 该怎么计算扇形的面积呢？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 6 （1） 如图， 一只小狗被拴在一个边长为 4
9、米的正方形的建筑物的顶点 A 处， 四周都是空地 绳 长 8 米小狗的活动范围是多少平方米？ （2）如果小狗不是被拴在 A 处，而是在一边的中点 B 处，那么小狗的活动范围是多少平方 米？ （建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计， 取 3.14） 分析：如果没有建筑物的阻挡，小狗的活动范围应该是一个圆有建筑物的话，活动范围会 受到什么样的影响呢？ 2 B A 含有“圆”字的成语 圆首方足圆首方足：出自淮南子精神训 ：“头之圆也象天，足之方也象地”用来代指人 类 戴圆履方戴圆履方：出自淮南子本经训：“戴圆履方，抱表怀绳”履：踩着；圆、方： 古人以为天圆地方头顶着天，脚踩着地指生活在人间 方方枘枘圆
10、圆凿凿： 出自战国时楚国宋玉的 九辨 ： “圆凿而方枘兮， 吾固知其龃龉而难入 ” 凿：榫眼；枘：榫头方枘装不进圆凿比喻格格不入，不能相合 这三个成语之外，还有很多成语中都含有“圆”和“方”这两个字，如圆孔方木、圆颅 方趾、外圆内方等这说明古人对于圆和方的认识非常深刻，已经将其应用到了生活中的很 多方面 而我们在圆与扇形的学习中， 也要注意圆形与正方形之间的联系 元方， 你怎么看？ 破镜重圆破镜重圆：这个成语故事是由华阴人、隋越国公杨素的一段成人之美的佳话而来的 杨素，字处道，在辅佐隋文帝杨坚结束割据，统一天下，建立隋朝江山方面立下了汗马 功劳他不仅足智多谋，才华横溢，而且文武双全，风流倜傥在
11、朝野上下都声势显赫，颇 著声名隋开皇九年（公元 589 年）杨素与文帝杨坚的两个儿子陈后主叔宝的嫔妃、亲戚， 其中有陈叔宝的妹妹枣陈太子舍人徐德言之妻， 也就是陈国的乐昌公主 由于杨素破陈有功， 加之乐昌公主才色绝代，隋文帝就乱点鸳鸯，将乐昌公主送进杨素中，赐为杨素小妾杨素 既仰慕乐昌公主的才华，又贪图乐昌公主的美色，因此就更加宠爱，还为乐昌公主专门营造 了宅院 然而乐昌公主却终日郁郁寡欢， 默无一语 原来， 乐昌公主与丈夫徐德言两心相知， 情义深厚陈国将亡之际，徐德言曾流着泪对妻子说：“国已危如累卵，家安岂能保全，你 我分离已成必然 以你这般容貌与才华， 国亡后必然会被掠入豪宅之家， 我们夫
12、妻长久离散， 名居一方，唯有日夜相思，梦中神会倘若老天有眼，不割断我们今世的这段情缘，你我今 后定会有相见之日所以我们应当有个信物，以求日后相认重逢”说完，徐德言把一枚铜 镜一劈两半，夫妻二人各藏半边徐德言又说：“如果你真的被掠进富豪人家，就在明年正 月十五那天， 将你的半片铜镜拿到街市去卖， 假若我也幸存人世， 那一天就一定会赶到都市， 通过铜镜去打问你的消息” 一对恩爱夫妻，在国家山河破碎之时，虽然劫后余生，却受尽了离散之苦好容易盼到 第二年正月十五，徐德言经过千辛万苦，颠沛流离，终于赶到都市大街，果然看见一个老头 在叫卖半片铜镜，而且价钱昂贵，令人不敢问津徐德言一看半片铜镜，知妻子已有下
13、落， 禁不住涕泪俱下他不敢怠慢，忙按老者要的价给了钱，又立即把老者领到自己的住处吃 喝已罢，徐德言向老者讲述一年前破镜的故事，并拿出自己珍藏的另一半铜镜颤索索两半 铜镜还未吻合， 徐德言早已泣不成声卖镜老人被他们的夫妻深情感动得热泪盈眶 他答 应徐德言，一定要在他们之间传递消息，让他们夫妻早日团圆徐德言就着月光题诗一首， 托老人带给乐昌公主诗这样写道： 镜与人俱去，镜归人不归 无复嫦娥影，空留明月辉 乐昌公主看到丈夫题诗，想到与丈夫咫尺天涯，难以相见，更是大放悲声，终日容颜凄 苦，水米不进杨素再三盘问，才知道了其中情由，也不由得被他二人的真情深深打动他 立即派人将徐德言召入府中， 让他夫妻二人
14、团聚 府中上下都为徐陈二人破镜重圆和越国公 杨素的宽宏大度、成人之美而感叹不已在欢庆的感激之情宴罢，夫妻二人携手同归江南 故里这段佳话被四处传扬，所以就有了破镜重圆的典故，一直流传至今 作业1. 如图，图中较小圆的面积是 3.14，较大圆的面积是多少？ 作业2. 如图，正方形的面积是 8，阴影部分的面积是多少？（取 3.14） 作业3. 如图， 一头山羊被拴在一个边长为 4 米的等边三角形的建筑物的一个顶点处， 四周 都很空旷 绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置， 山羊的活动范围有多少平 方米？（建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，取 3） 作业4. 如图，正方形 ABCD 边长为 1
15、 厘米，依次以 A、B、C、D 为圆心，以 AD、BE、 CF、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？（取 3.14） 作业5. 如图，长方形的长为 6 厘米，宽为 2 厘米，圆形的半径是 1 厘米当圆形绕长方形 滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（取 3.14） 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 A B C D E G H F 第二讲 圆与扇形进阶 例题1. 答案： （1）6.28； （2）25.12 详解： （1）方中圆，方与圆的比为 4:，可求出圆的面积是 6.28； （2）圆中方，圆与方的面积之比是 :2，可求出圆的面积是 25.12
16、例题2. 答案：面积都是 12.56 详解：左图中阴影部分的面积为 2 4 112.56，右图中阴影部分的面积为 2 212.56 例题3. 答案： （1）2.28； （2）2.28 详解： （1）可利用重叠求出阴影部分面积，阴影面积等于两个圆心角为 90、半径为 2 的扇形面积减 去边长为 2 的正方形面积即 2 1 22222.28 4 S； （2）将四个半径为 1 厘米的半圆叠加 起来，恰好将每块阴影各算了两遍，每块空白各算了一遍所以阴影部分面积等于 4 个半径为 1 厘米 的半圆面积之和减去边长为 2 厘米的正方形面积，即 2 1 4122242.28 2 平方厘米 例题4. 答案：4
17、4.56 详解：扫过的区域如图中阴影所示，由两类图形组成：4 个长为 4 厘米、 宽为 2 厘米的长方形，4 块半径为 2 厘米、圆心角为 90 度的扇形（恰好 拼成一个圆） 所以扫过的面积是 2 424244.56平方厘米 例题5. 答案：2.28 详解：阴影部分面积等于四块扇形面积减去正方形面积，而四块扇形恰好构成一个整圆圆的直径等 于正方形的对角线设正方形对角线为 l，圆的直径为 d，则 2 4 2 l ， 2 8l ， 2 8d，圆的面积为 2 26.28 4 d S =6.284=2.28S 例题6. 答案： （1）175.84 平方米； （2）163.28 平方米 详解： （1）
18、如下左图， 小狗的活动范围为圆心角为 270、 半径为 8 米的扇形， 和两个圆心角为 90、 半径为 4 米的扇形总大小为 22 31 84256175.84 44 平方米 （2）如下右图，小狗的 活动范围为半径是 8 米的半圆， 和两个圆心角为 90、 半径为 6 米的扇形， 以及两个圆心角为 90、 半径为 2 米的扇形总大小为 222 111 8622252163.28 244 平方米 练习1. 答案：6.28，3.14 简答：方中圆，方和圆的面积比为 4:，可求出小圆的面积是 3.14大圆的面积是小圆面积的 2 倍， 是 6.28 练习2. 答案：2.58 简答：长方形可以分成两个面
19、积相等的正方形，面积都是 6方中圆，方和圆的面积比为 4:，可求 出小圆的面积是 1.5那么阴影部分的面积是12 1.522.58 练习3. 答案：9.12 简答： 2 1 42169.12 4 练习4. 答案：28.56 简答：扫过的区域如图所示正方形的边长是 2 厘米，四个正方形的面积 之和是 16 平方厘米四个扇形正好可以拼成一个半径为 2 厘米的圆，圆 的面积是 12.56 平方厘米最后的结果是 28.56 平方厘米 作业1. 答案：6.28 简答：较大圆、正方形和较小圆之间的比是 2：4：，即较大圆的面积是较小圆的 2 倍 作业2. 答案：4.56 简答：四个半圆的面积之和减去正方形
20、的面积就是阴影部分的面积四个半圆可以拼成两个相同的 圆而这个圆和正方形正好是方中圆的关系，由此可求出圆的面积是 6.28那么阴影部分的面积就是 6.28 284.56 作业3. 答案：98 简 答 ： 山 羊 的 活 动 范 围 如 图 所 示 ， 绳 长 为6米 ， 面 积 为 22 30012098 62298 3603603 平方米 A B 作业4. 答案：23.55 简答：阴影部分的面积是 222 111 3.14 13.1423.143 444 2 1 3.14423.55 4 平方厘米 作业5. 答案：44.56 简答：扫过的区域如图所示，面积为 2 226222244.56平方厘米