1、第三讲 行程问题综合提高 漫画 第一幅图，一个主席台，上面有横幅，写着“高思运动会” 左图，100 米跑比赛的现场，直线跑道，小高和墨莫在比赛； 右图，3000 米跑比赛的现场，环形跑道，萱萱和卡莉娅在比赛 赛艇比赛的现场，阿呆和阿瓜在比赛 在小学数学中，行程问题占了很大的分量行程问题主要考查学生对于运动三要素：速 度、时间和路程的认识学习行程问题对于学生认识世界，以及以后理科课程的学习都有很 大的帮助 行程问题中最基本的内容是相遇和追及在与相遇追及相关的行程问题中，找出“路程 和”与“路程差”是解题的关键 练一练 1. 东、西两镇相距 45 千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相向而行，甲比乙
2、每小时多 行 1 千米，5 小时后两人相遇，那么甲、乙两人的速度分别是多少/千米 时？ 2. 甲、乙两地相距 350 千米，一辆汽车在早上 8 点从甲地出发，以每小时 40 千米的速度 开往乙地2 小时后另一辆汽车以每小时 50 千米的速度从乙地开往甲地那么两车相 遇的时刻是多少？ 例题1. 甲、乙两人从 A、B 两地同时出发相向而行，相遇地点距离 AB 的中点 10 千米已 知甲每小时走 4 千米，乙每小时走 6 千米则 AB 两地相距多少千米？ 练习1. 甲、乙两人从 A、B 两地同时出发相向而行，相遇地点距离 AB 的中点 2 千米已 知甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米则 AB
3、 两地相距多少千米？ 例题2. 一列火车于中午 12 时离开 A 地驶往 B 地，另一列火车则于 40 分钟后离开 B 地驶 往 A 地若两列火车以相同的均速在同一路线上行驶，全程各需要 3.5 小时则这两列 火车在几点几分相遇？ 练习2. 一列火车于下午 4 点离开 A 地驶往 B 地，1 个小时后另一列火车离开 B 地驶往 A 地已知两车速度相同，且下午 6 点 20 分时两车相遇那么火车走完全程需要多长时 间？ 大部分行程问题中，人或车都是在笔直的平路上运动不过在有些问题中，运动的场所 会比较特殊，有时候会在水上，有时候运动的路线会是环形的 练一练 1. 甲、乙两地相距 160 千米，一
4、只小船在静水中的速度为每小时 24 千米它从乙地逆水 航行到甲地用了 8 小时，在从甲地返回到乙地时，由于涨水，水速变为原来的 2 倍，则 返回时需用多少小时？ 2. 有一个周长是 80 米的圆形水池 甲沿着水池散步， 速度为 1/米 秒； 乙沿着水池跑步， 速度为 2.2/米 秒，并且与甲的方向相反如果他俩从同一点同时出发，那么当乙第 8 次遇到甲时，还要跑多少米才能回到出发点？ 例题3. 甲、乙两船分别从距离 120 千米的 A、B 两码头同时出发，在 A、B 之间往返，A 在 B 的上游两船在静水中的速度为每小时 25 千米，水流速度为每小时 5 千米那么 甲、乙两船第二次相遇的地点距离
5、 A 多少千米？ 练习3. 甲、乙两船分别从距离 120 千米的 A、B 两码头同时出发，在 A、B 之间往返，A 在 B 的上游两船在静水中的速度为每小时 16 千米，水流速度为每小时 4 千米那么 甲、乙两船第二次相遇的地点距离 A 多少千米？ 例题4. 甲乙二人在一个环形跑道的起点同时开始跑步结果发现：若甲沿顺时针方向，乙 沿逆时针方向，从出发到第一次迎面相遇需要 2 分钟；若甲乙都沿逆时针方向，则从出 发到甲第一次追上乙要用 9 分钟 已知相遇地点与追及地点相距 130 米， 那么整条环形 跑道的长度是多少？ 练习4. 甲乙二人在一个环形跑道的起点同时开始跑步结果发现：若甲沿顺时针方向
6、，乙 沿逆时针方向，从出发到第一次迎面相遇需要 3 分钟；若甲乙都沿逆时针方向，则从出 发到甲第一次追上乙要用 5 分钟 已知相遇地点与追及地点相距 100 米， 那么整条环形 跑道的长度是多少？ 多次往返问题是一类很重要的行程问题 多次往返问题有很强的周期性， 解决这类问题 时一定要注意 例题5. 小明和小刚的速度分别为每分钟 90 米和每分钟 70 米早上 8:00 他们分别从 A、B 两站同时出发，相向而行，第一次迎面相遇后两人继续前进，分别到达 B、A 后返回并 在途中第二次迎面相遇第二次迎面相遇地点距离 A、B 两站的中点 450 米从两人同 时出发到第二次迎面相遇总共经历了多少分钟
7、？A、B 两站的距离为多少米？他们第一 次迎面相遇是在几点几分？ 例题6. 甲、乙二人同时从 A、B 两地相向出发，在 AB 之间折返而行，甲的速度比乙快已 知两人第一次迎面相遇点距 AB 中点 2 千米，第二次迎面相遇点距 A 地 4 千米那么 AB 之间的距离是多少？ 长征 长征，指中国工农红军主力从长江以南各革命根据地向陕甘革命根据地会合的战略转 移1934 年 10 月，中央红军主力开始长征同年 11 月和次年 4 月，在鄂豫皖革命根据地 的红二十五军和川陕革命根据地的红四方面军分别开始长征1935 年 11 月，在湘鄂西革命 根据地的红二、六军团也离开根据地开始长征1936 年 6
8、月，第二、六军团组成第二方面 军同年 10 月，红军第一、二、四方面军在甘肃会宁胜利会合，结束了长征 参加长征的红军有以下四支： 第一支是中央红军(后改称红一方面军)， 于 1934 年 10 月 10 日由江西的瑞金等地出发， 1935 年 10 月 19 日到达陕西的吴起镇(今吴旗县)，行程达二万五千里； 第二支是红二十五军(后编入红一方面军)，于 1934 年 11 月 16 日由河南罗山何家冲出 发，1935 年 9 月 15 日到达陕西延川永坪镇，同陕甘红军会师，合编为红十五军团，行程近 万里； 第三支是红四方面军，于 1935 年 5 月初放弃川陕苏区，由彰明、中坝、青川、平武等
9、地出发，向岷江地区西进，1936 年 10 月 9 日到达甘肃会宁，与红一方面军会师，行程一万 余里； 第四支是红二、红六军团(后同红一方面军第三十二军合编为红二方面军)，于 1935 年 11 月 19 日由湖南桑植刘家坪等地出发， 1936 年 10 月 22 日到达会宁以东的将台堡， 同红一 方面军会师，行程两万余里 长征粉碎了国民党反动派扼杀中国工农红军的罪恶计划， 它的胜利表明中国共产党和中 国工农红军是一支不可战胜的力量 作业1. 甲、乙两船分别从 A、B 两港口出发相向而行，在 AB 的中点相遇已知甲船的静 水速度是乙船静水速度的 2 倍，那么甲船静水速度与水速之比是多少？ 作业
10、2. 上午 10:20， 甲、 乙两辆汽车同时分别从 A、 B 两地相对开出， 在 AB 之间折返前进， 甲车每小时行 42 千米，乙车每小时行 45 千米下午 1:20 时两车第二次迎面相遇，那 么 AB 之间的距离是多少千米？ 作业3. 东西两镇相距 240 千米，一辆客车在上午 8 点从东镇开往西镇，一辆货车在上午 9 点从西镇开往东镇到正午 12 点，两车正好在两镇间的中点相遇如果两车上午 8 点 同时分别由两镇出发相向而行，那么上午 10 点时两车相距多少千米？ 作业4. 甲车的速度是 40 千米/时，乙车的速度是 60 千米/时甲车从 A 地、乙车从 B 地同 时出发相向而行两车相
11、遇 4.5 小时后，甲车到达 B 地A、B 两地相距多少千米？ 作业5. 甲、乙两人从 400 米的环形跑道上的同一点同时出发相背而行，8 分钟后两人第三 次相遇已知甲每秒钟比乙每秒钟多行 0.1 米，那么两人第三次相遇的地点与出发点之 间的距离是多少？ 第三讲 行程问题综合提高 例题1. 答案：100 详解： 由 “相遇地点距离 AB 的中点 10 千米” 可知， 乙比甲多走了 20 千米 两人共走了206410（） 小时A、B 两地相距4610100（）千米 例题2. 答案：14 点 05 分 详解：3.5 小时是 210 分钟第一列火车出发 40 分钟后，即 12 点 40 分时，第二列
12、火车出发可知这 时两车间的路程需要走 170 分钟因为两车速度相同，可知两车相遇需要 85 分钟，那么相遇的时刻 是 14 点 05 分 例题3. 答案：48 详解：如图，甲、乙在到达码头后各自返回第二次相遇乙从 B 到 A 逆流而行，共用120255)6（ 小时 在这 6 小时中， 甲顺流而行120255)4（小时， 逆流而行 2 小时， 行了2(255)40千米， 甲、乙还相距 80 千米， 8 80(3020) 5 小时后第二次相遇此时距离 A 地 8 3048 5 千米 例题4. 答案：360 详解：可知跑道的周长既是 2 的倍数，也是 9 的倍数那么设周长为 36 米，两人速度和为
13、18 米/分， 速度差为 4 米/分甲的速度为 11 米/分，乙的速度是 7 米/分相遇时乙沿逆时针方向跑了 14 米，追 及时沿逆时针方向跑了 63 米，即跑了 1 圈后又跑了 27 米可知相遇地点与追及地点相距 13 米所 以跑道的长度应该是130 13 36360米 例题5. 答案：45 分钟，2400 米，8 点 15 分 详解：第二次相遇时甲共比乙多行了450 2900米，可求出两人共用时900907045分钟又 知两人共走了 3 个全程，A、B 两站距离为90704532400米第一次相遇用时 2400907015分钟因此第一次相遇时是 8 点 15 分 例题6. 答案：20 千米
14、 详解：这道题目分两种情况第一种，第二次相遇时乙尚未到达 A 点第二次相遇所用时间是第一次 相遇所用时间的 3 倍 第一次相遇时甲比乙多行 4 千米， 那么第二次相遇时甲应比乙多行 12 千米 对 照线段图，发现如果这样的话，第一次相遇时甲走 4 千米，乙走 0 千米甲的速度是无穷大！ ！ 第二种情况，第二次相遇时乙已经到达 A 点同样第二次相遇时甲比乙多行 12 千米对照线段 图可知全程为 20 千米 练习1. 答案：36 简答：相遇点距离中点 2 千米，说明相遇时甲比乙多走了 4 千米4544，45436千 米 练习2. 答案：200 分 简答： 5 点钟第二列火车出发， 到相遇需要 80
15、 分钟， 那么第一列火车走完全程需要6080 2200分 钟 练习3. 答案：45 简答： 甲、 乙在到达码头后各自返回第二次相遇 乙从 B 到 A 逆流而行， 共用120164)10（小时 在 这 10 小时中，甲顺流而行120164)6（小时，逆流而行 4 小时，行了4(164)48千米，甲、 乙还相距 72 千米， 9 72(20+12)= 4 小时后第二次相遇此时距离 A 地 9 2045 4 千米 练习4. 答案：750 简答：设跑道周长为 15 米，然后计算出两人的速度即可 作业1. 答案：4:1 简答：可知甲船逆水，乙船顺水甲逆：乙顺=1:1，甲静：乙静=2:1因为甲逆与乙顺的和
16、等于甲静 与乙静的和，这就是一个比例中的“和不变”问题甲逆：乙顺=3:3，甲静：乙静=4:2，可求出水速 是 1 份，所以甲静和水速的比是 4:1 作业2. 答案：87 简答：从出发到两车第二次迎面相遇，两车共行驶了42453261千米，正好是 3 个全长所以 AB 之间的距离是 87 千米 作业3. 答案：100 简答：客车的速度是 30 千米/时，货车的速度是 40 千米/时如果两车同时出发，到 10 点时共行 140 千米，相距 100 千米 作业4. 答案：300 简答：因为两车的速度比是 2:3，那么相遇点距 A、B 两地的距离之比也是 2:3那么甲车在这两段路 程上所用的时间之比也是 2:3而甲车在后一段路程行驶了 4.5 小时，所以甲车一共行驶了 23 4.5=7.5 3 小时AB 两地相距 300 千米 作业5. 答案：176 米 简答：8 分钟后两人一共走了 3 圈即 1200 米，则两人的速度之和是 2.5 米/秒又因为甲比乙每秒多行 0.1 米， 可求出甲的速度是 1.3 米/秒， 乙的速度是 1.2 米/秒 到第三次相遇时， 甲走了480 1.3624米， 与出发点的距离是400224176米