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高斯小学奥数五年级下册含答案第04讲_计算综合一

1、第四讲 计算综合一 看完前面的故事, 同学们可能有些疑问, 真的需要那么多麦子吗?同学们可以试着算一 算:从第一个棋盘开始,需要的麦子数分别为:1 粒、2 粒、4 粒、8 粒、16 粒、32 粒、64 粒、128 粒、256 粒、512 粒、1024 粒、2048 粒、写到这里,同学们可以看出,开始的 时候麦粒数量并不大,但越到后面数量越多,最终会达到全世界都无法承受的程度我们的 直觉往往是正确的,但有的时候我们也会被直觉所欺骗 麦粒数量形成的这串数列,就叫做等比数列等比数列等比数列就是按照相同的倍数增加(或减 少)的数列,例如“麦粒数列”就是按照 2 倍的速度增加的,这个相同的倍数就是公比公

2、比,“麦 粒数列”的公比就是 2 同等差数列一样,等比数列同样有首项,末项及项数,同学们可以想一想如何通过首项 和公比将等比数列的每一项都表示出来 等差数列求和是利用“倒序相加”或“配对求和”的方 法,那么等比数列如何求和呢?我们来看一个例题 例题 1 计算: (1)1248163264128256; (2)2618541624861458 分析:这是一个等比数列求和的问题.如果一个一个的计算会有点复杂,那么该如何简便地 算出数列的和呢? 练习 1 (1) 3456789 2222222; (2) 237 3333 ( 8 36561 ) 等比数列求和,最常用的是“错位相减”法.其基本步骤是:

3、 1. 设等比数列的和为 S; 2. 等式两边同时乘以公比(或者公比的倒数) ; 3. 两式对应的项相减,消去同样的项,求出结果 有关等比数列的知识, 同学们到中学以后还会继续学习, 在这里只需掌握简单的等比数 列求和即可 下面我们看一些技巧性比较强的分数计算的题目, 首先我们先来看一个整体约 分的题目 例题 2 计算: 1 232464 8 127 1421 1 3 526 104 1220721 35 分析:注意到246是123的 3 2倍,48 12 是123的 3 4倍,7 1421是123的 3 7倍,那么可以把123都提出来分母也可以同样处理 练习 2 计算: 23446 869

4、128 12 16 3456 8 109 12 1512 1620 除了整体约分, 有时候我们也可以对计算中的某些数进行适当的拆分, 从而避免很多冗 繁的计算使得计算过程呈现出“四两拨千斤”的效果 例题 3 计算: 113114115 151617 131414151516 分析:把算式里的某些数适当拆分,可以简化计算的过程 练习 3 计算: 115116117 333537 151616171718 例题 4 计算: 201111 20112011227 201262013 分析:利用前面两道题目用过的技巧,就可以解决这道题目了 练习 4 计算: 19811 198 198649 19917

5、200 例题 5 定义新运算ab为 a 与 b 之间 (包含 a, b) 所有与 a 奇偶性相同的自然数的平均数, 例如: 71479 11 13410 , 181018 16 14 12 10514 (1)计算:1019; (2)在算式 199980 的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立,请问:所 填的数是什么? 分析:根据题意,可知ab是公差为 2 的等差数列的平均数想一下,等差数列的平均数 有什么简便算法吗? 最后我们来看一下数列数表的问题, 数列数表的问题一般难度比较大, 需要我们仔细观 察,寻找规律 例题 6 观察数列1 12123 1234 122333 4444 , , , ,

6、 , , , , , ,的规律,求: (1) 1 50 是数列中第几项? (2)数列中第 100 个分数是多少? 分析:观察数列,你找到什么规律了吗?又如何来利用这些规律呢? 心算能力超强的数学家 “欧拉进行计算看起来毫不费劲儿,就像人进行呼吸,像鹰在风中盘旋一样”(数学 家阿拉戈语) 欧拉是历史上最多产的数学家,写下了浩如烟海的书籍和论文他心算能力极强,如果 你问他前一百个质数中任何一个数的六次方, 他都可以瞬间告诉你结果 有一次欧拉的两个 学生算无穷级数求和, 算到第 17 项时两人在小数点后第 50 位数字上发生争执, 欧拉这时进 行心算,迅速给出了正确答案 莱昂哈德欧拉(Leonhar

7、d Euler)约翰 冯 诺依曼(John Von Neumann) (1707 年 4 月 15 日1783 年 9 月 18 日)(1903 年 12 月 28 日1957 年 2 月 8 日) 约翰 冯 诺依曼,被誉为“现代电子计算机之父”,也是公认的数学天才据说:六 岁时他能心算八位数乘除法,八岁时掌握微积分,十二岁就读懂领会了波莱尔的大作 函数论要义 有一次,美国物理学家塞格雷(诺贝尔奖获得者)和同事(也是个诺贝尔奖牛人) 为一个积分问题奋斗了一个下午,却毫无进展这时他们从开着的门缝中看到冯 诺依 曼正沿着走廊朝他们的办公室走来,于是他们问冯 诺依曼:“您能帮我们解决这个积分 问题吗

8、?”困扰他们的积分问题就写在移动黑板上, 冯 诺依曼走到门口, 看了一眼黑板, 立即给出了答案(大概花了 3 秒钟) 1. 计算: 212 222 2. 计算:361224384 3. 计算: 111112 2527 11121213 4. 计算: 1 232465 10 15 1 2524 105 1025 5. 数列 2 3 、 2 5 、 4 5 、 2 7 、 4 7 、 6 7 、 2 9 、中,第 100 项是多少?100 105 是数列的第几项? 第四讲 计算综合一 例题1. 答案: (1)511; (2)2186 详解: (1)设1248 163264128256S , 224

9、8 163264128256512S ,二式相减得5121511S (2)设261458S ,36184374S ,两式相减得2437424372S ,2186S 例题2. 答案: 2 5 详解:整体约分,原式 333 333 1 2 3 1 2 3 21 2 3 41 2 3 7 1 3 5 1 3 5 21 2 3 41 2 3 7 333 333 1 2 31247 1 3 51247 () () 2 5 例题3. 答案:45 详解: 113114115 14+115+116+1 131414151516 原式 ()()() 131413141514151615 =14+15+16+ 1

10、41314151415161516 =13+1+14+1+15+1 =45 例题4. 答案: 1 4 6 详解: 171 =1 1+(21+)7+ 201262013 原式 201217 =+217+7 201320136 1 =4 6 例题5. 答案: (1)14; (2)101 或 100 详解: (1)10191018214(); (2)19991999259();方框里有两种填法, 80259101或者80260=100 例题6. 答案: (1)1226; (2) 9 14 详解: (1) 1 50 是 1494921=1226 项 (2)因为 1 1313291 , 1 14 是第

11、92 个数那么 第 100 个数就是从 1 14 开始数的第 9 个,是 9 14 练习1. 答案: (1)1016; (2)3279 简答: (1)原式 93 2221016; (2)原式 8 33 3279 2 练习2. 答案: 2 5 简答:原式 2342 3455 练习3. 答案:99 简答:原式 115116117 321341361 151616171718 30132134199 练习4. 答案: 2 817 简答:原式 111199212 1 163 1978 199172002001720017 作业1. 答案:8190 简答:原式 作业2. 答案:765 简答:原式38423765 作业3. 答案:48 简答:原式 111112 24126122124148 11121213 作业4. 答案: 3 5 简答:原式 1 233 1 255 作业5. 答案: 18 29 ,第 1376 项 简答:把数列改写成一个三角形的数表,然后再做就可以了 12 2228190