1、第四讲 计算综合一 看完前面的故事， 同学们可能有些疑问， 真的需要那么多麦子吗？同学们可以试着算一 算：从第一个棋盘开始，需要的麦子数分别为：1 粒、2 粒、4 粒、8 粒、16 粒、32 粒、64 粒、128 粒、256 粒、512 粒、1024 粒、2048 粒、写到这里，同学们可以看出，开始的 时候麦粒数量并不大，但越到后面数量越多，最终会达到全世界都无法承受的程度我们的 直觉往往是正确的，但有的时候我们也会被直觉所欺骗 麦粒数量形成的这串数列，就叫做等比数列等比数列等比数列就是按照相同的倍数增加（或减 少）的数列，例如“麦粒数列”就是按照 2 倍的速度增加的，这个相同的倍数就是公比公
2、比，“麦 粒数列”的公比就是 2 同等差数列一样，等比数列同样有首项，末项及项数，同学们可以想一想如何通过首项 和公比将等比数列的每一项都表示出来 等差数列求和是利用“倒序相加”或“配对求和”的方 法，那么等比数列如何求和呢？我们来看一个例题 例题 1 计算： （1）1248163264128256； （2）2618541624861458 分析：这是一个等比数列求和的问题.如果一个一个的计算会有点复杂，那么该如何简便地 算出数列的和呢？ 练习 1 （1） 3456789 2222222； （2） 237 3333 （ 8 36561 ） 等比数列求和，最常用的是“错位相减”法.其基本步骤是：
3、 1. 设等比数列的和为 S； 2. 等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数） ； 3. 两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果 有关等比数列的知识， 同学们到中学以后还会继续学习， 在这里只需掌握简单的等比数 列求和即可 下面我们看一些技巧性比较强的分数计算的题目， 首先我们先来看一个整体约 分的题目 例题 2 计算： 1 232464 8 127 1421 1 3 526 104 1220721 35 分析：注意到246是123的 3 2倍，48 12 是123的 3 4倍，7 1421是123的 3 7倍，那么可以把123都提出来分母也可以同样处理 练习 2 计算： 23446 869
4、128 12 16 3456 8 109 12 1512 1620 除了整体约分， 有时候我们也可以对计算中的某些数进行适当的拆分， 从而避免很多冗 繁的计算使得计算过程呈现出“四两拨千斤”的效果 例题 3 计算： 113114115 151617 131414151516 分析：把算式里的某些数适当拆分，可以简化计算的过程 练习 3 计算： 115116117 333537 151616171718 例题 4 计算： 201111 20112011227 201262013 分析：利用前面两道题目用过的技巧，就可以解决这道题目了 练习 4 计算： 19811 198 198649 19917
5、200 例题 5 定义新运算ab为 a 与 b 之间 （包含 a， b） 所有与 a 奇偶性相同的自然数的平均数， 例如： 71479 11 13410 ， 181018 16 14 12 10514 （1）计算：1019； （2）在算式 199980 的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所 填的数是什么？ 分析：根据题意，可知ab是公差为 2 的等差数列的平均数想一下，等差数列的平均数 有什么简便算法吗？ 最后我们来看一下数列数表的问题， 数列数表的问题一般难度比较大， 需要我们仔细观 察，寻找规律 例题 6 观察数列1 12123 1234 122333 4444 ， ， ， ，
6、 ， ， ， ， ， ，的规律，求： （1） 1 50 是数列中第几项？ （2）数列中第 100 个分数是多少？ 分析：观察数列，你找到什么规律了吗？又如何来利用这些规律呢？ 心算能力超强的数学家 “欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样”(数学 家阿拉戈语) 欧拉是历史上最多产的数学家，写下了浩如烟海的书籍和论文他心算能力极强，如果 你问他前一百个质数中任何一个数的六次方， 他都可以瞬间告诉你结果 有一次欧拉的两个 学生算无穷级数求和， 算到第 17 项时两人在小数点后第 50 位数字上发生争执， 欧拉这时进 行心算，迅速给出了正确答案 莱昂哈德欧拉（Leonhar
7、d Euler）约翰 冯 诺依曼（John Von Neumann） （1707 年 4 月 15 日1783 年 9 月 18 日）（1903 年 12 月 28 日1957 年 2 月 8 日） 约翰 冯 诺依曼，被誉为“现代电子计算机之父”，也是公认的数学天才据说：六 岁时他能心算八位数乘除法，八岁时掌握微积分，十二岁就读懂领会了波莱尔的大作 函数论要义 有一次，美国物理学家塞格雷（诺贝尔奖获得者）和同事（也是个诺贝尔奖牛人） 为一个积分问题奋斗了一个下午，却毫无进展这时他们从开着的门缝中看到冯 诺依 曼正沿着走廊朝他们的办公室走来，于是他们问冯 诺依曼：“您能帮我们解决这个积分 问题吗
8、？”困扰他们的积分问题就写在移动黑板上， 冯 诺依曼走到门口， 看了一眼黑板， 立即给出了答案（大概花了 3 秒钟） 1. 计算： 212 222 2. 计算：361224384 3. 计算： 111112 2527 11121213 4. 计算： 1 232465 10 15 1 2524 105 1025 5. 数列 2 3 、 2 5 、 4 5 、 2 7 、 4 7 、 6 7 、 2 9 、中，第 100 项是多少？100 105 是数列的第几项？ 第四讲 计算综合一 例题1. 答案： （1）511； （2）2186 详解： （1）设1248 163264128256S ， 224
9、8 163264128256512S ，二式相减得5121511S （2）设261458S ，36184374S ，两式相减得2437424372S ，2186S 例题2. 答案： 2 5 详解：整体约分，原式 333 333 1 2 3 1 2 3 21 2 3 41 2 3 7 1 3 5 1 3 5 21 2 3 41 2 3 7 333 333 1 2 31247 1 3 51247 （） （） 2 5 例题3. 答案：45 详解： 113114115 14+115+116+1 131414151516 原式 （）（）（） 131413141514151615 =14+15+16+ 1
10、41314151415161516 =13+1+14+1+15+1 =45 例题4. 答案： 1 4 6 详解： 171 =1 1+(21+)7+ 201262013 原式 201217 =+217+7 201320136 1 =4 6 例题5. 答案： （1）14； （2）101 或 100 详解： （1）10191018214（）； （2）19991999259（）；方框里有两种填法， 80259101或者80260=100 例题6. 答案： （1）1226； （2） 9 14 详解： （1） 1 50 是 1494921=1226 项 （2）因为 1 1313291 ， 1 14 是第
11、92 个数那么 第 100 个数就是从 1 14 开始数的第 9 个，是 9 14 练习1. 答案： （1）1016； （2）3279 简答： （1）原式 93 2221016； （2）原式 8 33 3279 2 练习2. 答案： 2 5 简答：原式 2342 3455 练习3. 答案：99 简答：原式 115116117 321341361 151616171718 30132134199 练习4. 答案： 2 817 简答：原式 111199212 1 163 1978 199172002001720017 作业1. 答案：8190 简答：原式 作业2. 答案：765 简答：原式38423765 作业3. 答案：48 简答：原式 111112 24126122124148 11121213 作业4. 答案： 3 5 简答：原式 1 233 1 255 作业5. 答案： 18 29 ，第 1376 项 简答：把数列改写成一个三角形的数表，然后再做就可以了 12 2228190