1、第七讲 位值原理 在十进制中， 每个数都是由 09 这十个数字中的若干个组成的， 而每个数字在数中都占 一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的比如一个数由 1、2、3 三个数字组成， 我们并不能确定这个数是多少， 因为 1、 2、 3 能组成很多数， 例如 213、 321、 123、但如果说 1 在百位，2 在十位，3 在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道 这个数应该是 123 从这个例子可以看出， 一个数的大小由数位和数位上的数字共同决定， 一个数字在不同 的数位上表示不同的大小： 个位上的数字代表几个 1； 十位上的数字代表几个 10； 百位上的数字代表几个 10
2、0； 那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如1231 1002 103 1 ，这个结论被 称为位值原理有的时候，为了分析问题方便，我们并不将多位数逐位展开，而是采用整体 展开的办法，如2345623 100045 106，我们将在后面的例题中看到这些方法的具 体应用 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3、- - - - - - - - 例题 1 一个两位数等于它的数字和的 6 倍，求这个两位数 练习 1 一个两位数等于它的数字和的 7 倍，这个两位数可能是多少？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 通常我们在利用位置原理的过程中， 要利用字母来表示数， 所以同学们一定要熟练和
4、掌 握这种表示方法，并能利用位值原理将字母表示的数展开 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 123 1 个 100 2 个 10 3 个 1 例题 2 在一个两位数的两个数字中间加一个 0，所得的三位数比原数大 8 倍，求这个两位数 分析：我们可以将两位数设为ab，如果 a、
5、b 中间加一个 0，这个数就变成了0a b接下来 我们就可以将新三位数和原两位数用位值原理展开，然后解方程求出两位数 练习 2 在一个两位数的两个数字之间加一个 0，所得的三位数是原数的 6 倍，求这个两位数 例题 3 一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三 位数的差的个位数字是 7试求两个数的差 分析：设原来的三位数是abc，个位百位调换位置后，得到的新的三位数就是cba这两个 数的差有什么样的性质？ 练习 3 把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原来数大 792，那么原来的三位数最大可 以是多少？ - - - - - - - - - - -
6、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在一些位数较多的位值原理问题中，如果将每一个数位都拆开，再进行分析，往往会出 现太多的字母， 让人觉得无从下手 这个时候我们就要将多位数中的一部分作为一个整体来 考虑，这样就能避免不必要的计算，从而更轻松地解决问题 - - - - - - - - - - - - - - - - -
7、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 4 若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式 58学习好勤动脑勤动脑学习好 中， “学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？ 分析：如果本题我们逐位展开，那么题目会变得十分复杂但注意到题目中的两个六位数都 是由“学习好”和“勤动脑”两部分构成，我们可以将这两部分作为展开的最小单位，那 这两个六位数该展开成怎样的算式呢？ 练习 4 若用相同汉字表示
8、相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式 25用微信交作业交作业用微信 中， “用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？ 例题 5 在等式“祝福母亲节母亲节祝福 五 月”中，相同的汉字代表相同的数字，不同汉字表 示不同数字，其中“五”代表“5” ， “月”代表“8” ，那么“祝福母亲节”所代表的五位数 是多少？ 分析：在本题中，我们应该把什么作为展开的最小单位呢？ 例题 6 在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后， 得到的四位数恰好是原三位数的 9 倍， 那 么这样的三位数最小是多少？最大是多少？ 分析：假设原来的三位数是abc，在百位和十位之间加入一个数字d，得到的四位数就是 adbc那
9、我们该如何进行展开才能简化计算呢？ 神奇的杠杆 上图是一杆秤，平时如果陪家长买过菜的同学应该见到过，秤杆的一边是一个秤砣， 另一边是要称重的物体， 仅仅凭借移动秤砣在撑杆上的位置， 就可以与很多重量不同的物品 保持平衡，从而根据秤杆上的刻度来确定物品的重量 这也与位值原理有类似的地方，秤砣放在不同的位置，可以与不同的重量保持平衡而 欲使杠杆保持平衡，只要满足一个简单的比例式就可以了： 支点与秤砣距离物品重量 支点与物品距离秤砣重量 所以，阿基米德曾经说过： “给我一个支点，我可以撬起地球！ ”这句话不仅是激励我 们奋进的格言，更是有科学根据的 作业1. （1）851_ 100_ 10_ 1；
10、（2）55984_ 1000_ 10_ 1； （3）_ 100_ 10_ 1nba ；（4）352_ 10000_ 100_ 1下 除 作业2. 在一个两位数的两个数字中间加一个 0，所得到的三位数是原数的 7 倍，这个两位 数是多少？ 作业3. 将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置， 得到一个新的两位数 它比原来的 两位数小 54，那么原来的两位数最小是多少？ 作业4. 将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置， 得到一个新的两位数 它与原来的 两位数的和是 187，那么原来的两位数是多少？ 作业5. 在等式“6雪含思青山映青山映雪含思”中，相同汉字代表相同数字，不同汉 字代表不同数字那
11、么， “青山映雪含思”这个六位数等于多少？ 第七讲 位值原理 例题1. 答案：54 简答：设这个两位数为ab，根据题意得106abab，化简得45ab，由于 a、b 都是 09 之间 的数字且 a 不能为 0，所以只有 a=5、b=4 例题2. 答案：45 简答：由题意，09a bab，即：100109abab，化简得：45ba由于 a 是 1 至 9 中的 某个数字，b 是 0 至 9 中的某个数字，那么只能是4a ，5b 因此原来的两位数就是 45 例题3. 答案：297 简答： 100101001099abccbaabccbaac ，所以差为 99 的倍数，并且差的个位是 7，所以两数差
12、为：297 例题4. 答案：410256 简答： 整体考虑， 设学习好为 x，勤动脑为 y则有1000510008xyyx， 4992x=7995y约 39 得 128x=205y，因为 6 个数字不能重复，经检验只有 410256 和 615384 两个符合要求而问题求的 是最少，不要被阴到哦！ 例题5. 答案：24390 简答： 设祝福为 a， .母亲节.为 b， 则有：85abba ， 即：800085005abba， 化简得：654ab， 并且 a，b 中没有重复数字，尝试得知：五位数是 24390 例题6. 答案：125，675 简 答：根据分析， 设bc为 x，由位值原理得：100
13、01009100adxax，化简得： 252adx其中 x 有 25、50、75 三种情况 当25x 时，2ad，那么当1a 时，三位数最小，为 125；当2a 时，三位数最大，为 225 当50x 时，4ad，那么当1a 时，三位数最小，为 150；当4a 时，三位数最大，为 450 当75x 时，6ad，那么当1a 时，三位数最小，为 175；当6a 时，三位数最大，为 675 综上所述，可知所有这样的三位数中，最小的是 125，最大的是 675 练习1. 答案：21，42，63，84 简答：设这个两位数为ab，根据题意得107abab，化简得2ab，由于 a、b 都是 09 之间 的数字
14、且 a 不能为 0，所以这个两位数可能是 21、42、63 或 84 练习2. 答案：18 简答：由题意，06a bab，即：100106abab，化简得：8ba由于 a 是 1 至 9 中的某 个数字，b 是 0 至 9 中的某个数字，那么只能是1a ，8b 因此原来的两位数就是 18 练习3. 答案：199 简答： 设原来的三位数为abc， 根据题意有792cbaabc， 化简后得到99792ca，8ca 那 么 a 和 c 只能分别是 1 和 9，b 的取值是任意的那么原来的三位数最大就是 199 练习4. 答案：476190 简答： 设 “用微信” 为 x，“交作业” 为 y， 根据题
15、意有2000250005xyyx， 化简后得95238xy 考 虑到 x 和 y 都是三位数，且没有重复数字，可求出 x 最小是 476，y 最小是 190 作业1. 答案： （1）8、5、1； （2）55、98、4； （3）n、b、a； （4）3、下5、除2 简答：略 作业2. 答案：15 简答：70aba b，利用位值原理展开解方程即可 作业3. 答案：71 简答：54abba，化简后有6ab，最小是 71 作业4. 答案：89 或 98简答：187abba，化简后有17ab，只能是 89 作业5. 答案：857142 简答：600061000雪含思青山映青山映雪含思，化简后有857142雪含思青山映，那 么有142雪含思，=857青山映