1、第八讲 水管问题 在工程问题中还有更复杂的一类问题，称为水管问题一般来说，一个水池 里既有进水管，也有排水管进水管可以看成是一个“灌水”的工程队，而每根 排水管可以看成是一个“帮倒忙”的“排水”工程队，因此水管问题就是既有人 做事情，也有人“帮倒忙”的工程问题 水管问题虽然比普通工程问题更复杂一些，但是基本解题思路还是一样，关 键在于求水管的工作效率 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 一个水池有若干相同的进水管和若干相同的排水管，如果单独打开一个进水管，那么 24 小 时可以将空水池灌满；如果单独打开一个排水管，那么 36 小时可以将满池的水排光请根 据题意，回答下列问题： （1）同时打开 2 个进水管，多少小时可以将空水池灌满？ （2）同时打开 3 个进水管和 1 个排水管，多长时间可以将空水池灌满？ （3）同时打开 1 个进水管和 2 个排水管，多长时间可以将满池的水排光？ 分析：就像课文中所说，排水管就相当一个“帮倒忙”的工程队，那么在计算效率的时候， 就需要将排水管的效率减掉
3、但注意，如果整个工作要求的是排水，那么进水管反而变成了 “帮倒忙” ，那就计算效率时，就用排水管的效率减去进水管效率 练习 1 一个水池有若干相同的进水管和若干相同的排水管，如果单独打开一个进水管，那么 12 小时可以将空水池灌满；如果单独打开一个排水管，那么 18 个小时可以将满池的水排 光那么，同时打开 2 个进水管和 2 个排水管，多长时间可以将空水池灌满？如果打开 2 个进水管和 3 个排水管呢？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在水管问题中，最重要的是考虑多个水管的效率和，注意进水管和排水管提供“相反” 的效率，在计算效率的时候，要根据情况将“帮倒忙”的减去 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
5、- - - - - - - - - - 例题 2 一水池装有两个相同的进水管和一个排水管如果开 1 个进水管，6 小时可将空池灌满；如 果开 1 个进水管和 1 个排水管，12 小时可将空池灌满现在将 2 个进水管和 1 个排水管同 时打开，请问：多少时间能灌满整个池子的二分之一？ 分析：题目只给了我们进水管的效率，没有给排水管的效率那怎么求出排水管的效率呢？ 练习 2 一水池装有两个相同的进水管和一个排水管如果只开 1 个排水管，6 小时可将一池子 水排空；如果开 1 个进水管和 1 个排水管，3 小时可以将空池灌满现在将 2 个进水管和 1 个排水管同时打开，请问：多少时间能将空池灌满？
6、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 和普通的工程问题类似，如果水管开的时间不一样，既可以把工作量按时间做划分，也 可以按不同的水管做划分，即找出甲管灌了多少水，乙管排了多少水但是要注意最后的工 作总量应该是进水管与排水管工作量的差 - - - - - - - - - - - - - -
7、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 3 蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管单开甲管需 10 小时灌满水池，单开乙管需 12 小时灌满水池，单开排水管需 20 小时排空水池上午 8 点三个管同时打开，中间排水管因 故关闭，结果到下午 2 点水池被灌满问：排水管在何时被关闭？ 分析：从上午 8 点到下午 2 点，并不是所有的水管都一直开着
8、我们可以先把一直开着的水 管灌或排的水量求出来，进而求出其他水管的水量 练习 3 蓄水池有一根进水管和一根排水管如果想灌满整池水，单开进水管需 10 小时，如果想排 空整池水，单开排水管需 15 小时，上午 6 点将两个管同时打开，中间排水管因故关闭，结 果到下午 6 点水池被灌满问：排水管在何时被关闭？ 水箱排水问题是水管问题中最难的一部分， 但是我们同样通过比较， 可以得到进水和排 水的相关效率 例题 4 如图所示，一个水箱的中间位置上有一个排水孔 A，它排水时的速度保持不变现以一 定的速度从上面向水箱中注水如果关闭排水孔 A，那么 10 个小时就可以将水箱灌满；如 果打开排水孔 A，那么
9、需要 11 个小时才能将水箱灌满现在，水箱是满的，如果单独打开 排水孔 A，那么多长时间之后，水箱里的水就只剩下一半？ 分析：孔以上的部分和孔以下的部分，排水或进水的情况不一样我们应该把水箱分成两部 分，分开考虑 练习 4 如图所示，一个水箱的中间位置上有一个排水孔 A，它排水时的速度保持不变现以一定的 速度从上面向水箱中注水如果关闭排水孔 A，那么 8 个小时就可以将水箱灌满；如果打开 排水孔 A，那么需要 10 个小时才能将水箱灌满现在，水箱是满的，如果单独打开排水孔 A，那么多长时间之后，水箱里的水就只剩下一半？ A A 例题 5 某水库建有 10 个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线
10、，上游河水还在按不变的速度流 入为了防洪，需调节泄洪速度假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开 1 个泄洪 闸，30 小时水位降至安全线；若打开 2 个泄洪闸，10 小时水位降至安全线现在抗洪指挥 部队要求在 2.5 小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开几个闸门？ 分析：题目中提到了很多“速度” ，比如河水流入“速度” ，泄洪“速度”这些速度其实 就是工程问题中的哪个量？ 例题 6 如图，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔 A 和 B，它们 排水时的速度相同且保持不变现在以一定的速度从上面往水箱注水如果打开 A 孔、关 闭 B 孔，经过 20 分钟可将水箱注
11、满；如果关闭 A 孔，打开 B 孔，经过 22 分钟可将水箱注 满如果两个孔都打开，那么注满水箱的时间是多少分钟？ 分析：打开 A 孔，关闭 B 孔的时候，A 孔以下的部分只有注水在工作，而 A 孔以上的部分， 是注水和一个排水孔同时工作打开 B 孔，关闭 A 孔的时候，B 孔以下的部分只有注水在 工作，B 孔以上的部分是注水和一个排水孔同时工作比较这两种情况，你能发现其中的不 同和联系吗？ A B 下水道城市的良心 一场暴雨，北京成了“东方威尼斯”网友仿旅游指南打趣道：“新燕京七景：陶然碧 波，安华逐浪，白石水帘，莲花洞庭，大望垂钓，二环看海，机场观澜威尼斯几百年做到 的事，武汉几天就做到了
12、；武汉几天做到的事，北京几小时就做到了” 不仅北京、武汉，5 月间，广州也因暴雨出现过严重内涝北京水务局回应称，城市建 设排水系统滞后于城市发展， 是全国普遍存在的问题 现在北京中心城区的排水管网最早还 有明代的设施但是城市管网更新面临诸多问题，老旧管网只能是打补丁，发现一处，补一 处 如果被带到一个陌生的国度或城市， 如何分辨它是否发达？台湾作家龙应台认为， 一场 大雨足矣她说，“最好来一场倾盆大雨，足足下它 3 个小时如果你撑着伞溜达了一阵， 发觉裤脚虽湿了却不脏，交通虽慢却不堵塞，街道虽滑却不积水，这大概就是个先进国家； 如果发现积水盈足，店家的茶壶头梳漂到街心来，小孩在十字路口用锅子捞
13、鱼，这大概就是 个发展中国家它或许有钱建造高楼大厦，却还没有心力来发展下水道；高楼大厦看得见， 下水道看不见” 有时候，GDP 不算数，文明的差距，只差了一条下水道而已下面是一些发达国家的 下水道照片，或许值得我们借鉴 巴黎的下水道 德国慕尼黑的地下储水设施 英国谢菲尔德的下水道 东京的下水道 作业1. 一水池装有两根出水管和一根进水管单开一个出水管 40 分钟可放完全池水；单 开一根进水管，30 分钟注满空池，如三管齐开，多少分钟可以将满池水排空？ 作业2. 一个水池有许多相同的进水管和排水管，如果打开一个进水管，那么 12 小时能将 空池灌满，如果打开一个排水管，那么 20 小时能将满池的
14、水排光，那么，同时打开 2 个进水管和 2 个排水管，多少小时能将空池灌满？ 作业3. 一批货物在商店里销售，有一个售货员和一些进货员售货员 30 天可以将摆满商 品的商店里的全部商品卖出，而 1 个进货员需要 90 天才能将空商店摆满商品，现在商 店中有一半的商品，售货员每天都卖出相同的商品，有 2 个进货员不断的给商店进货， 几天之后可以卖完商店的商品？ 作业4. 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管当打 开 4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能 注满水池现在需要在 2 小时内将水池注满，那么最少要打开几个进
15、水管？ 作业5. 如图所示，一个水箱上有 A、B 两个排水孔，两个排水孔都位于水箱侧面一条高的 四等分点上现在，以一定的速度从水箱上方向水箱内灌水如果打开 A 孔、关闭 B 孔，那么需要 26 分钟能将水箱灌满；如果打开 B 孔、关闭 A 孔，那么需要 30 分钟能 作业6. 将水箱灌满那么将两个排水孔同时打开，需要多少分钟才能将水箱灌满？ A B 第八讲 水管问题 例题1. 答案： （1）12 小时； （2） 2 10 7 小时； （3）72 小时 简答：一个进水管的效率是 1 24 ，一个排水管的效率是 1 36 （1） 1 1212 24 （）小时 （2） 112 1310 24367
16、（）小时 （3） 11 1272 3624 （）小时 例题2. 答案：2 小时 详解：进水管的效率为 1 6 ，排水管的效率为 111 61212 ，将 2 个进水管和 1 个排水管同时打开， 111 22 2612 （）小时能将灌满整个池子的一半 例题3. 答案：上午 10 点 详解：从上午 8 点到下午 2 点共 6 个小时，进水管的工作量为 111 (+)61 101210 ，多出来的工作量即 是排水管的工作量，排水管工作了 11 (11)2 1020 小时，因此排水管在上午 10 点被关闭 例题4. 答案：30 小时 详解：设满水箱的水量为单位“1”，则注水的效率为 1 10 如果打开
17、排水孔 A，灌满水箱的一半需要 5 小时，灌满剩下的一半需要1156小时由于灌满这一半时，进水管和排水管都开着，可知进水管 的效率与排水孔的效率差为 11 6 212 ，由此可求出排水孔的效率为 111 101260 ，如果水箱是满的， 则经过 30 小时剩下原来的一半 例题5. 答案：7 个 详解：将超过安全线的水量设为单位“1”，1 个泄洪闸与河水流入的效率差为 1 30 ，2 个泄洪闸与河水 流入的效率差为 1 10 ，由此可知 1 个泄洪闸的排水效率为 111 103015 ，河水流入的效率为 111 153030 若要 2.5 小时使水位降至安全线以下， 泄洪闸每小时需排出的水量为
18、113 12.5 3030 ， 需要泄洪闸 1311 6 30152 个，即至少需要 7 个泄洪闸 例题6. 答案：26 详解：以排水孔 A、B 为界，把水箱平均分成上中下三部分如果开 B 关 A，上中两部分一进一排， 下面部分只进不排，共用时 20 分钟；如果开 A 关 B，上面部分一进一排，中下两部分只进不排，共 用时 22 分钟可求出，如果一进一排，一部分需要 8 分钟灌满；如果只进不排，一部分需要 6 分钟 灌满由此可求出进水管效率为 1 18 ，排水管效率为 1 72 如果两孔都打开，上面部分一进两排，进水效率为 1 36 ，需要 12 分钟灌满；中间部分一进一排， 需要 8 分钟灌
19、满；下面部分只进不排，需要 6 分钟灌满一共需要 26 分钟才能灌满 练习1. 答案：18 小时，不能灌满 简答：进水管和排水管的效率分别是 1 12 和 1 18 如果开 2 个进水管和 2 个排水管，进水的效率是 111 22 121818 ，需要 18 小时灌满如果开 2 个进水管和 3 个排水管，进水的效率是 11 230 1218 ，永远不能灌满 练习2. 答案：1.2 小时 简答： 排水管的效率是 1 6 ， 进水管的效率是 111 362 如果开 2 进 1 排， 进水的效率是 115 2 266 ， 需要 5 11.2 6 个小时将空池灌满 练习3. 答案：上午 9 点 简答：
20、从上午 6 点到下午 6 点，进水管一直开着，灌进的水量为 16 12 105 ，超过 1 5 说明排水管一 共排出的水量是 1 5 排水管开着的时间是 11 3 515 个小时，那么在上午 9 点就关上了 练习4. 答案：12 小时 简答：设满水箱的水量为单位“1”，则注水的效率为 1 8 如果打开排水孔 A，灌满水箱的一半需要 4 小时，灌满剩下的一半需要1046小时由于灌满这一半时，进水管和排水孔都开着，可知进水管 的效率与排水孔的效率差为 11 6 212 ，由此可求出排水孔的效率为 111 81224 ，如果水箱是满的， 则经过 12 小时剩下原来的一半 作业1. 答案：60 简答：
21、三管齐开，排水的效率是 111 2 403060 60 分钟可以排空 作业2. 答案：15 简答：四管齐开，进水效率为 111 22 122015 15 个小时可以灌满 作业3. 答案：45 简答：三人同时工作，卖货的效率是 111 2 309090 11 45 290 ，需要 45 天卖完 作业4. 答案：9 简答：开 4 个进水管时，进水效率是 1 5 ；开 2 个进水管时，进水效率是 1 15 说明 1 个进水管的进水效 率是 111 2 51515 ，排水管的效率也是 1 15 要在 2 小时内把水池灌满，进水管的效率至少要达到 1117 15230 ，最少要打开 9 个进水管 作业5. 答案：34 简答：将水箱由低到高分成四等份如果只开进水管，一份需要 6 分钟灌满；如果开一个进水管，一 个排水孔，一份需要 8 分钟灌满如果设水箱的容积为单位“1” ，可求出进水管的效率是 1 24 ，一个排 水孔的效率是 1 96 如果两个排水孔同时开，最下面一部分需要 6 分钟灌满；AB 之间的部分需要 16 分 钟灌满；最上面一部分需要 111 212 42496 分钟灌满一共需要 34 分钟灌满