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高斯小学奥数五年级下册含答案第15讲_数字谜中的计数

1、第十五讲 数字谜中的计数 上一讲我们讲解了一些与数论相关的计数问题, 这一讲我们来研究一下数字谜中的计数 问题,首先我们来看竖式问题 例1 如图,请在方框中填入 04 中的数字,使竖式成立小高的填法如下中图,卡莉娅的 填法如下右图,墨莫说,还有很多种填法同学们你能判断出一共有多少种不同的填法 吗? 分析分析观察可知竖式中没有进位,个位、十位、百位上的数字和均为 4,本题难度一 般,但是同学做题时要注意准确性 练习 1、如图,方框中都是 03 中的数字,使竖式成立,一共有多少种填法? 例2 如图, 方框中都是36中的数字, 求出所填九个数字之和为多少?一共有多少种填法? 分析分析注意题目要求只能

2、填入 3 至 6 中的数字,能不能确定每一位的数字和? 练习 2、如图,方框中都是 47 中的数字,一共有多少种填法? + 4 4 4 4 1 3 + 3 1 4 4 4 4 2 1 + 2 3 4 4 4 + 3 3 3 + 4 9 9 5 + 5 3 7 数字谜中的计数问题, 不仅要求填出的方案能满足数字谜的要求, 还要把所有情况考虑 周全,这也是此类问题比较难的原因在解决此类问题时,往往分成两步:首先找到所有不 同类的填法, 然后再考虑每一类填法有多少种即可 但要注意在做这两步时都要做到不重不 漏 例3 将 1 到 6 填入下图,使得每两个相邻的空格中都有 1 个奇数 1 个偶数,那么有

3、多少种 填法? 分析分析抛开 16 这六个数字的具体数值,只按奇、偶性分析题目是解题关 键 练习 3、 将 14 填入方框中, 使得每相邻的 2 格都既有奇数又有偶数, 那么共有多少种填法? 例4 在图 1 的空格内各填入一个一位数,使同一行内左面的数比右面的数大,同一列内上 面的数比下面的数小,并且方格内的 6 个数字互不相同,例如图 2 为一种填法那么一 共有多少种不同的填法? 分析分析对于这类表格填数问题,我们常常用分步的思想分析:先考虑某几个方格中所 填的数会是哪些,再考虑这些数在这些方格中的位置有几种可能 练习 4、在 17 中选出 6 个互不相同的数字填入下图的的表中,使得相邻的两

4、个方框内,下 面的数字比上面大,右边的数字比左边大一共有多少种填法? 2 6 4 2 3 7 5 3 图 1 图 2 以前在填写数阵图时,一般都需要先找到突破口,再顺藤摸瓜填满所有空格现在对 于数阵图中的计数问题,同样也要先找到数阵图的突破口 例5 在 19 中选出 6 个互不相同的数字填入下图的表中,使得相邻的两个方框内, 下面的数字比上面大,右边的数字比左边大一共有多少种填法? 分析分析首先填出可能性比较少的位置或数字, 例6 将数字 1 至 6 分别填入图中各个圆圈,使得每条线段两个端点处所填的数,上面的比 下面的大,那么符合上述要求的不同填数方法一共有多少种? 分析分析这个数阵图中,我

5、们首先应该考虑的位置是哪个? 节日问候 特里格教授在洛杉矶城市学院时提出了如下的问题(美国数学月刊问题El241,1956 年): 节日问候“MERRY XMAS TO ALL”是一个数字谜,每个字母代表惟一的数字,而每个 词是一个平方数求所有解 结果只有两个解: 27556 3249 81 400和34225 7396 81 900 罗森菲尔德(Azriel Rosenfeld)发现,如果加一个条件,要求每个词的数字之和是一个完 全平方数,则解是惟一的 卡斯特(Edgar Karst)发现,同一句问候的方程 MERRY+XMAS= TOALL 也是一个数字 谜 其中每个字母代表惟一的数字,

6、而每个词能被 3 整除 这时有惟一解: 84771+5862=90633 作业 1. 在右边的竖式中,相同的字母表示相同的数字,不同的字母表示不同的数字这个竖式 有多少种不同的填法? 2. 如图,方框中都是 69 内的数字,为使竖式成立,一共有多少种填法? 3. 将 1 到 9 填入图中, 使得每两个相邻的空格中都有 1 个奇数和 1 个偶数, 有多少种填法? 4. 从数字 16 种选 5 个填入图中,使每相邻两格中,下边的数字比上边的大,右边的数字 比左边的大,有多少种填法? 5. 如图,在 110 中选 6 个数字填入图中,使得上面的数比下面的数大,那么有种填法? + 7 6 5 A B

7、+ C A 1 2 3 第十五讲 数字谜中的计数 例题: 例7 答案:答案:20 种 详解:详解:首先可以确定三位数的首位为 4,个位的两个数字,从上到下依次可为(0,4) , (1,3) , (2, 2) , (3,1) , (4,0) ,共 5 种填法注意到两位数的首位不能为 0,十位的两个数字可为(0,4) , (1, 3) , (2,2) , (3,1) ,共 4 种填法,由乘法原理,共有5 420种填法 例8 答案答案: 45;30 详解:详解: 首先可以判断出四位数的首位为 4, 个位的三个数字和不能为 5 或 25, 只能为 15, 向十位进 1 十 位 三 个 数字 的 和只

8、能 为 18 , 百位 两 个数 字 的和 只能 为 8 因 此 所填 九 个数字 之 和 为 48 18 1545 百位上两个数的和是 8,有35和44这两种情况其中 3 和 5 分别填入两个 方框,有 2 种方法;而 4 和 4 则只有 1 种填法,因此百位上的填法有 3 种个位上三个数的和是 15, 有366,456 ,555这三种情况其中 3,6,6 填入三个方框中有 3 种填法;4,5,6 有 3 3 A6种填法;5,5,5 只有一种填法因此个位上的填法有36 1 10 种千位和十位上的数字都 是确定的由乘法原理,总共的填法有3 1030种 例9 答案答案:72 种 详解:详解: 首

9、先考虑奇偶性, 如下图所示,共有两种填法一共有 33 33 AA272种填法 和是 8 和是 15 4 6 6 + 6 4 9 9 5 偶 偶 偶 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 奇 例10 答案答案:30 种 详解:详解:由于方格内 6 个数字互不相同,因此四个空格的数是从 49 中选择 4 个不同的数有 4 6 C种选 法例如:所选数字为 5,6,7,8,如下图所示,可以确定 5 和 8 的位置,6 和 7 可以互换,有 2 种 填法,故共有 42 66 C2C230种填法 例11 答案答案:420 种 详解:详解:从 19 中选择 6 个不同的数有 6 9 C种选法例如:所选数字为 1,

10、2,3,4,5,6,如下图所 示,首先可以确定 1 和 6 的位置,2,3,4,5 这四个数填入余下的部分,与专属 3 中第四个图相同, 有 5 种填法,故共有 63 99 C5C5420种填法 例12 答案答案:20 种 详解:详解:首先可以确定 1 的位置,在最下面然后选 3 个数填在左边的部分,有 3 5 C种选法,剩下的 2 个数填在右边,位置确定注意到,左边部分上面的 2 个圆圈可以交换位置故共有 3 5 C220种填 法 练习: 1. 答案:答案:12 种 简答:没有进位,所以,百位一定填 3,1203,所以,个位有 4 种填法,十位考虑首位不为 0, 所以,有 3 种填法,竖式共

11、有:3 412种填法 2. 答案答案:15 种 简答: 解法同例 2 3. 答案答案:8 简答:填法如图: 或者 ,共计 8 种 4. 答案:答案:14 种 简答简答:从 17 中选择 6 个不同的数有 6 7 C种选法例如:所选数字为 1,2,3,4,5,6,如下图所 示,首先可以确定 1 和 6 的位置,然后可以确定 2 和 5 的位置,3 和 4 可以互换,有 2 种填法,故共 有 61 77 C2C214种填法 7 5 2 6 5 2 8 6 3 8 7 3 1 6 奇 偶 奇 偶 偶 奇 偶 奇 作业 1. 答案: 7 简答: 把个位上的A和B调换一下, 那么有 123AACB ,

12、可以是3390123,4479123, 5568123,6657123,7746123,8835123,9924123一共有 7 种不同的填法 2. 答案:16简答:个位数字之和是 15,十位数字之和也是 15,百位填 615 可以拆成 69和78所 以一共有 16 种填法 3. 答案:2880简答:19 中有 5 奇 4 偶,奇数要填在四角和中心,其余地方填偶数有 54 54 AA2880 种 4. 答案:12简答:先选 5 个数字出来,有 6 种选法选好之后有 2 种填法,一共有 12 种填法 5.5. 答案: 1260 简答: 首先选 6 个数字出来,有 6 10 C210种选法设选出的 6 个数字由小到大依次是 A、 B、C、D、E、F,那么 A 填最下面,F 在最上面有 2 4 C6种填法一共有6 2101260种填法 1 2 5 3 4 6 1 2 5 4 3 6