1、第十五讲 数字谜中的计数 上一讲我们讲解了一些与数论相关的计数问题， 这一讲我们来研究一下数字谜中的计数 问题，首先我们来看竖式问题 例1 如图，请在方框中填入 04 中的数字，使竖式成立小高的填法如下中图，卡莉娅的 填法如下右图，墨莫说，还有很多种填法同学们你能判断出一共有多少种不同的填法 吗？ 分析分析观察可知竖式中没有进位，个位、十位、百位上的数字和均为 4，本题难度一 般，但是同学做题时要注意准确性 练习 1、如图，方框中都是 03 中的数字，使竖式成立，一共有多少种填法？ 例2 如图， 方框中都是36中的数字， 求出所填九个数字之和为多少？一共有多少种填法？ 分析分析注意题目要求只能
2、填入 3 至 6 中的数字，能不能确定每一位的数字和？ 练习 2、如图，方框中都是 47 中的数字，一共有多少种填法？ + 4 4 4 4 1 3 + 3 1 4 4 4 4 2 1 + 2 3 4 4 4 + 3 3 3 + 4 9 9 5 + 5 3 7 数字谜中的计数问题， 不仅要求填出的方案能满足数字谜的要求， 还要把所有情况考虑 周全，这也是此类问题比较难的原因在解决此类问题时，往往分成两步：首先找到所有不 同类的填法， 然后再考虑每一类填法有多少种即可 但要注意在做这两步时都要做到不重不 漏 例3 将 1 到 6 填入下图，使得每两个相邻的空格中都有 1 个奇数 1 个偶数，那么有
3、多少种 填法？ 分析分析抛开 16 这六个数字的具体数值，只按奇、偶性分析题目是解题关 键 练习 3、 将 14 填入方框中， 使得每相邻的 2 格都既有奇数又有偶数， 那么共有多少种填法？ 例4 在图 1 的空格内各填入一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大，同一列内上 面的数比下面的数小，并且方格内的 6 个数字互不相同，例如图 2 为一种填法那么一 共有多少种不同的填法？ 分析分析对于这类表格填数问题，我们常常用分步的思想分析：先考虑某几个方格中所 填的数会是哪些，再考虑这些数在这些方格中的位置有几种可能 练习 4、在 17 中选出 6 个互不相同的数字填入下图的的表中，使得相邻的两
4、个方框内，下 面的数字比上面大，右边的数字比左边大一共有多少种填法？ 2 6 4 2 3 7 5 3 图 1 图 2 以前在填写数阵图时，一般都需要先找到突破口，再顺藤摸瓜填满所有空格现在对 于数阵图中的计数问题，同样也要先找到数阵图的突破口 例5 在 19 中选出 6 个互不相同的数字填入下图的表中，使得相邻的两个方框内， 下面的数字比上面大，右边的数字比左边大一共有多少种填法？ 分析分析首先填出可能性比较少的位置或数字， 例6 将数字 1 至 6 分别填入图中各个圆圈，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比 下面的大，那么符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？ 分析分析这个数阵图中，我
5、们首先应该考虑的位置是哪个？ 节日问候 特里格教授在洛杉矶城市学院时提出了如下的问题(美国数学月刊问题El241，1956 年)： 节日问候“MERRY XMAS TO ALL”是一个数字谜，每个字母代表惟一的数字，而每个 词是一个平方数求所有解 结果只有两个解： 27556 3249 81 400和34225 7396 81 900 罗森菲尔德(Azriel Rosenfeld)发现，如果加一个条件，要求每个词的数字之和是一个完 全平方数，则解是惟一的 卡斯特(Edgar Karst)发现，同一句问候的方程 MERRY+XMAS= TOALL 也是一个数字 谜 其中每个字母代表惟一的数字，
6、而每个词能被 3 整除 这时有惟一解： 84771+5862=90633 作业 1. 在右边的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字这个竖式 有多少种不同的填法？ 2. 如图，方框中都是 69 内的数字，为使竖式成立，一共有多少种填法？ 3. 将 1 到 9 填入图中， 使得每两个相邻的空格中都有 1 个奇数和 1 个偶数， 有多少种填法？ 4. 从数字 16 种选 5 个填入图中，使每相邻两格中，下边的数字比上边的大，右边的数字 比左边的大，有多少种填法？ 5. 如图，在 110 中选 6 个数字填入图中，使得上面的数比下面的数大，那么有种填法？ + 7 6 5 A B
7、+ C A 1 2 3 第十五讲 数字谜中的计数 例题： 例7 答案：答案：20 种 详解：详解：首先可以确定三位数的首位为 4，个位的两个数字，从上到下依次可为（0，4） ， （1，3） ， （2， 2） ， （3，1） ， （4，0） ，共 5 种填法注意到两位数的首位不能为 0，十位的两个数字可为（0，4） ， （1， 3） ， （2，2） ， （3，1） ，共 4 种填法，由乘法原理，共有5 420种填法 例8 答案答案： 45；30 详解：详解： 首先可以判断出四位数的首位为 4， 个位的三个数字和不能为 5 或 25， 只能为 15， 向十位进 1 十 位 三 个 数字 的 和只
8、能 为 18 ， 百位 两 个数 字 的和 只能 为 8 因 此 所填 九 个数字 之 和 为 48 18 1545 百位上两个数的和是 8，有35和44这两种情况其中 3 和 5 分别填入两个 方框，有 2 种方法；而 4 和 4 则只有 1 种填法，因此百位上的填法有 3 种个位上三个数的和是 15， 有366，456 ，555这三种情况其中 3，6，6 填入三个方框中有 3 种填法；4，5，6 有 3 3 A6种填法；5，5，5 只有一种填法因此个位上的填法有36 1 10 种千位和十位上的数字都 是确定的由乘法原理，总共的填法有3 1030种 例9 答案答案：72 种 详解：详解： 首
9、先考虑奇偶性， 如下图所示，共有两种填法一共有 33 33 AA272种填法 和是 8 和是 15 4 6 6 + 6 4 9 9 5 偶 偶 偶 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 奇 例10 答案答案：30 种 详解：详解：由于方格内 6 个数字互不相同，因此四个空格的数是从 49 中选择 4 个不同的数有 4 6 C种选 法例如：所选数字为 5，6，7，8，如下图所示，可以确定 5 和 8 的位置，6 和 7 可以互换，有 2 种 填法，故共有 42 66 C2C230种填法 例11 答案答案：420 种 详解：详解：从 19 中选择 6 个不同的数有 6 9 C种选法例如：所选数字为 1，
10、2，3，4，5，6，如下图所 示，首先可以确定 1 和 6 的位置，2，3，4，5 这四个数填入余下的部分，与专属 3 中第四个图相同， 有 5 种填法，故共有 63 99 C5C5420种填法 例12 答案答案：20 种 详解：详解：首先可以确定 1 的位置，在最下面然后选 3 个数填在左边的部分，有 3 5 C种选法，剩下的 2 个数填在右边，位置确定注意到，左边部分上面的 2 个圆圈可以交换位置故共有 3 5 C220种填 法 练习： 1. 答案：答案：12 种 简答：没有进位，所以，百位一定填 3，1203，所以，个位有 4 种填法，十位考虑首位不为 0， 所以，有 3 种填法，竖式共
11、有：3 412种填法 2. 答案答案：15 种 简答： 解法同例 2 3. 答案答案：8 简答：填法如图： 或者 ，共计 8 种 4. 答案：答案：14 种 简答简答：从 17 中选择 6 个不同的数有 6 7 C种选法例如：所选数字为 1，2，3，4，5，6，如下图所 示，首先可以确定 1 和 6 的位置，然后可以确定 2 和 5 的位置，3 和 4 可以互换，有 2 种填法，故共 有 61 77 C2C214种填法 7 5 2 6 5 2 8 6 3 8 7 3 1 6 奇 偶 奇 偶 偶 奇 偶 奇 作业 1. 答案： 7 简答： 把个位上的A和B调换一下， 那么有 123AACB ，
12、可以是3390123，4479123， 5568123，6657123，7746123，8835123，9924123一共有 7 种不同的填法 2. 答案：16简答：个位数字之和是 15，十位数字之和也是 15，百位填 615 可以拆成 69和78所 以一共有 16 种填法 3. 答案：2880简答：19 中有 5 奇 4 偶，奇数要填在四角和中心，其余地方填偶数有 54 54 AA2880 种 4. 答案：12简答：先选 5 个数字出来，有 6 种选法选好之后有 2 种填法，一共有 12 种填法 5.5. 答案： 1260 简答： 首先选 6 个数字出来，有 6 10 C210种选法设选出的 6 个数字由小到大依次是 A、 B、C、D、E、F，那么 A 填最下面，F 在最上面有 2 4 C6种填法一共有6 2101260种填法 1 2 5 3 4 6 1 2 5 4 3 6