1、第十九讲 行程问题中的变速 行程问题是小学应用题中很重要的一部分， 从同学们刚刚接触行程问题开始， 同学们已 经学习了很多类型的行程问题，例如：火车问题、流水行船问题、环形路线问题等几年的 积累， 相信同学们已经对行程问题已经有了一定的认识 但我们仅仅见识到了行程问题中的 冰山一角，我们以后还会在学习数学和物理的过程中，更深入的了解行程问题的本质 行程问题来源于生活在现实的生活中，不可能以同样的速度一直朝同一个方向走，经 常会出现变向和变速的情况我们将利用两次课的时间来深入的研究一下这类问题 首先我们来介绍一个概念平均速度平均速度平均速度是一种特殊的速度，它衡量的是一 段时间内物体在所有路程上
2、运动的平均快慢程度，体现在公式中： = 总路程 平均速度 总时间 关于平均速度，尤其值得大家注意的是平均速度不是速度的平均比如：在一段长为 480 米的跑道上，前一半路程速度为每秒 4 米，后一半路程速度为每秒 6 米，那么平均速度 就为：480240424064.8/ 米 秒，而速度的平均为：4625/米 秒，这两 个值是不等的 例1 邮递员早晨 7 点出发送一份邮件到对面的村里，从邮局开始先走 12 千米的上坡路， 再走 6 千米的下坡路上坡的速度是 3 千米/时，下坡的速度是 6 千米/时，请问： （1） 邮递员去村里的平均速度是多少？ （2） 邮递员返回时的平均速度是多少？ （3） 邮
3、递员往返的平均速度是多少？ 分析分析一定严格按照平均速度的公式解题 练习 1、阿瓜要去小高家玩一共要走 1200 米，前 400 米阿瓜的速度是 5 米/秒，后面 800 米的速度是 2.5 米/秒那么他全程的平均速度是多少？ 例2 如图所示，一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，在三条边上它每分钟分别爬行 60 厘米、20 厘米、30 厘米蚂蚁由 A 点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？ 如果顺时针爬行了一周半，平均速度又是多少？ 分析分析对于等边三角形的边长，不妨采用设数法 A 60 20 30 练习 2、如果例题中的这只蚂蚁逆时针爬行 2 周半，平均速度是多少？ 在很多行程问题中，
4、我们并不能一下子弄清楚整个过程， 特别是在运动过程中有变向和 变速的时候，那就需要分段来考虑整个过程下面就来看一个这样的问题 例3 男、女两名田径运动员在长 120 米的斜坡上练习跑步（如图所示，坡顶为 A，坡底为 B） 两人同时从 A 点出发，在 A、B 之间不停地往返奔跑已知男运动员上坡速度是每 秒 3 米， 下坡速度是每秒 5 米， 女运动员上坡速度是每秒 2 米， 下坡速度是每秒 3 米 请 问： 两人第一次迎面相遇的地点离A 点多少米？第二次迎面相遇的地点离A 点多少米？ 分析分析本题可采用分段计算，一些速度发生变化或方 向发生变化的位置可作为分段计算的线索 练习 3、在 30 世纪
5、的某一天，卡莉娅和墨莫两人在地球和火星间进行往返旅行如果 卡莉娅从地球飞向火星的速度是 300 万公里/天，而从火星返回地球的速度是 400 万公 里/天；墨莫从地球飞向火星的速度是 200 万公里/天，而从火星返回的速度是 300 万公 里/天现两人同时从地球出发，在地球和火星间往返，请问两人第二次迎面在太空中 相遇时距离地球多少万公里？（已知地球和火星间的距离约为 6000 万公里） 通过例题 3，我们对于变速和变向问题有了基本的解题思路，那就是分段考虑分段 考虑就是把一个大的问题进行分割，化整为零，各个击破将复杂的问题简单化，不仅在行 程问题中， 在很多其他的问题中都有应用， 特别是对于
6、一些过程复杂的问题具有很好的效果 例4 在一条南北走向的公路上有 A、B 两镇，A 镇在 B 镇北面 4.8 千米处甲、乙两人分 别同时从 A 镇、B 镇出发向南行走，甲的速度是每小时 9 千米，乙的速度是每小时 6 千米甲在运动过程中始终不改变方向，而乙向南走 3 分钟后，便转身往回走 2 分钟， 接着按照先向南走 3 分钟，再向北走 2 分钟的方式循环运动请问：两人相遇的地点距 B 镇多少千米？ 分析分析注意分析两人路程差的变化规律 A B 练习 4、 在东西方向上的 A、 B （A 地在 B 的西面） 两地相距 6 千米 甲乙分别同时从 A、 B 两地出发向东走，甲的速度是每小时 12
7、千米，乙的速度是每小时 6 千米甲在运动 的过程中始终不改变方向，而乙向东走了 2 分钟后，便转身往回走 1 分钟，再转向东走 2 分钟，再转身走 1 分钟，那么甲、乙两人相遇的地点距 B 地多远？ 例5 龟兔赛跑，全程 1.04 千米兔子每小时跑 4 千米，乌龟每小时爬 0.6 千米乌龟不停 地爬，但兔子却边跑边玩，兔子先跑了 1 分钟然后玩 15 分钟，又跑 2 分钟然后玩 15 分钟，再跑 3 分钟然后玩 15 分钟，请问：先到达终点的比后到达终点的快多少 分钟？ 分析分析首先可确定乌龟到达终点的时间，然后再确定兔子到达终点的时间，两个时间 直接对比即可得出答案 例6 如图所示，正方形边
8、长是 1200 米，甲、乙两人于 8:00 同时从 A，B 沿图中所示的方 向出发，甲每分钟走 120 米，乙每分钟走 100 米，且两人每到达一个顶点都需要休息 1 分钟求甲从出发到第一次看见乙所用的时间 分析分析 注意甲与乙的路程差是一个边长， 且恰好到达拐角处时甲即 可看见乙 A B 田径比赛障碍跑 障碍跑作为田径项目，始于英国它和越野跑可算是一对“孪生兄弟” 越野跑 是从儿童游戏脱胎而来的有人设想把越野跑搬到运动场上来于是，运动场上出现 了篱笆、栅栏、水坑等人工障碍物1837 年，在英国乐格比高等学校里，首创了一 种叫做“障碍跑”的比赛项目从此，这项活动在英国普遍开展起来随后又相继传
9、到其他国家，这才逐渐被人们所接受 19 世纪，障碍跑在英国兴起最初在野外进行，跨越的障碍是树枝、河沟，各障 碍间的距离也长短不一，19 世纪中叶开始在跑道上进行有研究报告指出：19 世纪 时障碍跑的距离不统一，具有很大的随意性，短的 440 码，长的可达 3 英里 1900 年第 2 届奥运会首次设立障碍跑，分 2500 米和 4000 米两个项目从 1904 年第 3 届奥运会起将障碍跑的距离确定为 3000 米，并沿用至今全程必须跨越 35 次 障碍，其中包括 7 次水池障碍架高 91.191.7 厘米，宽 3.96 米，重 80100 公斤4 00 米的跑道可摆放 5 个障碍架，各障碍架
10、的间距为 80 米运动员可跨越障碍架，也 可踏上障碍架再跳下，或用手撑越国际田联直到 1954 年才开始承认其世界纪录 作业 1. 如图所示，一个蜗牛从 A 点出发沿着一个三角形的三边爬行，速度如图所示（单位：厘 米/分） ，那么这个蜗牛顺时针爬行一周的平均速度是多少厘米/分？顺时针爬行一周半的 平均速度是多少厘米/分？ 2. 小山羊去山上吃草，前一半路程速度为每秒 4 米，后一半路程开始跑步，速度为每秒 6 米那么整段路程的平均速度是多少米/秒？ 3. 山谷和森林相距 2000 米，小老虎从森林出发去山谷，速度为 5 米/秒它每走 120 米都 会休息 10 秒钟，那么走完全程一共需要多少秒
11、？ 4. 如图，B 地是 AC 两地的中点，AC 之间的距离是 12 千米人在 AB 上的速度是 3 千米/ 时，在 BC 上的速度是 2 千米/时现在甲、乙二人分别从 A、C 两地同时出发，几时几 分后两人相遇？ 5. 在一条河的相距 24 千米的两个码头 A、B 之间，客船和货船同时从上游的 A 码头出发， 在 A、B 之间不停的往返运动已知，水速是每小时 2 千米，客船的速度是每小时 6 千 米， 货船的速度是每小时 4 千米， 那么两船第一次迎面相遇的地点距离 A 码头多少千米？ 第二次迎面相遇的地点距离 A 码头多少千米？ A B C A 60 30 40 第十九讲 行程问题中的变速
12、 例题： 例7 答案：答案： （1）3.6 千米/时； （2）4.5 千米/时； （3）4 千米/时 详解：详解： （1）去的时候，上坡路走了1234小时，下坡路走了661小时根据平均速度的定义， 平均速度为(126)(41)3.6千米/时 （2）返回的时候，上坡路走了632 小时，下坡路走了 1262小时根据平均速度的定义，平均速度为(126)(22)4.5千米/时 （3）往返的平均速 度为(126)2(54)4千米/时 例8 答案答案： 30 厘米/分； 13 3117厘米/分 详解：详解：设等边三角形边长为 60 厘米，则平均速度为603(60606020+6030)30厘米/分如 果顺
13、时针爬行了一周半，平均速度为 13 180 1.5(6+6060+3020)3117厘米/分 例9 答案答案：96 米； 3 517米 详解：详解： 如图所示，男运动员到达 B 点的时候用了 24 秒，这时女运动员 走了 72 米距离 B 点 48 米然后两人做一个相遇运动，会在 48338秒后相遇，这时两人距离 A 点是 96 米男运动员跑到 A 点，又用了 32 秒，而女运动员跑到 B 点需要 8 秒，可知当男运动员走 到 A 点的时候，女运动员又向上走了 24 秒，走了 48 米，距离 A 点还有 72 米然后两人又做一个相遇运动，会在 72 72(52) 7 秒后相遇， 可计算出这时两
14、人相距 A 点 3 517米 例10 答案答案：0.96 千米 详解：详解： 如图所示， 甲每分钟可以走 150 米， 乙每分钟可以走 100 米 每过 5 分钟， 甲都向南走 750 米， 乙只向南走 100 米， 那么每 5 分钟， 两人的距离都拉近 650 米，48006507250， 所以在5 735 分钟以后，两人相距 250 米此时，甲继续向南，乙向南走 3 分钟，这 3 分钟两人的距离拉近了 1501003150米，这时两人相距 100 米甲继续向南，而乙则返回往北走，两人在 1001501000.4分钟后相遇， 那么甲总共走了3530.438.4 分钟， 共走了38.4 150
15、5760米， 所以相遇地点距离 B 地57604800960米，即 0.96 千米 例11 答案答案：420 种 详解：详解：首先可以计算出乌龟用时 11 1.040.6115小时，合 104 分钟兔子跑的时间为1.0440.26小 时，合 15.6 分钟1234515 ，可知兔子休息了 5 次，休息了5 1575分钟，共用时 A B 男 女 第 1 次相遇 第 2 次相遇 15.67590.6分钟，兔子比乌龟先到达10490.613.4分钟 例12 答案答案：65 分钟 详解：详解：甲若追上乙至少要多走一个边长，至少用时120012010060（）分钟甲每走1200 12010 分钟，休息一
16、分钟，60 分钟内至少休息 5 次，共用时 65 分钟乙每走1200 10012分钟，休息一 分钟，60 分钟内至少休息 4 次，共用时 64 分钟，第 65 分钟恰好也在休息，因此甲恰好可以看见乙 练习： 1. 答案：答案：3 米/秒 简答：120040058002.53米/秒 2. 答案答案： 1 29 31 厘米/分 简答：仍设等边三角形边长为 60 厘米，逆时针爬行两周用时 12 分钟，逆时针爬行半周用时 603030203.5分钟，平均速度为 1 1802.5(123.5)29 31 厘米/分 3. 答案答案：2250 万公里 简答：做法同例 3，分段计算 4. 答案：答案：1200
17、 米 简答简答：做法同例 4，以 3 分钟为周期 作业 1. 答案：40； 540 13 简答：设边长为 120 厘米，36024340厘米/分； 540 54024322 13 厘米/分 2. 答案：4.8 简答：设全长为 24 米，平均速度为24324.8米/秒 3. 答案：560 简答：小老虎走路的时间是 400 秒2000 1201680，一共要休息 16 次，即 160 秒一共需要 560 秒 4. 答案：2 小时 30 分 简答：出发 2 小时后，甲到达中点处，乙距离中点还有 2 千米再过 0.5 小时两人相遇，所以一共 2 小时 30 分钟 5. 答案：21.6；11.2 简答：分段计算即可