1、共 8 页 第 1 页 2 2020020 年山东省新高考预测年山东省新高考预测数学数学试试卷卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，将第 I 卷选择题的正确答案选项填涂 在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回.考试时间120 分钟，满分150 分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置， 不能写在试题卷上； 如需改动， 先划掉原来的答案
2、，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求 作答的答案无效. 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题： （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.设复数 z(2i)(32i)，则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为( ) A.(4，1) B.(8，1) C.(4，1) D.(8，1) 2.已知集合 Ax|yln(x1)，Bx|x240，则 AB( ) A.x|x2 B.x|1x2 C.x|1x2 D.x|x2 3.“直线 l 与平面 内的无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 垂直”的( ) A.充分
3、不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数 f(x)2sin|x|在，上的图象大致是( ) 5.如图， 在直角梯形 ABCD 中， AB4， CD2， ABCD， ABAD， E 是 BC 的中点， 则AB (AC 共 8 页 第 2 页 AE )( ) A.8 B.12 C.16 D.20 6.宁波古圣王阳明的传习录专门讲过易经八卦图，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、 坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴 线).从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为( ) A. 5 14 B. 3 14 C. 3
4、 28 D. 5 28 7.已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 A p 4，a (a0)在 C 上，|AF|3.若直线 AF 与 C 交于另一点 B，则|AB|( ) A.12 B.10 C.9 D.4.5 8.三棱锥 PABC 的所有顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上.若PAC 是等边三角形，平面 PAC平面 ABC，ABBC，则三棱锥 PABC 体积的最大值为( ) A.2 B.3 C.2 3 D.3 3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项是符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的
5、 0 分. 9.已知等比数列an的公比为 q，前 4 项的和为 a114，且 a2，a31，a4成等差数列，则 q 的值可能为( ) A.1 2 B.1 C.2 D.3 10.某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式 主要有：A结伴步行，B自行乘车，C家人接送，D其他方式.并将收集的数据整理绘 共 8 页 第 3 页 制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，下列说法正确的是( ) A.扇形统计图中 D 的占比最小 B.条形统计图中 A 和 C 一样高 C.无法计算扇形统计图中 A 的占比 D.估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送 11.若将函数 f(
6、x)cos 2x 12 的图象向左平移 8个单位长度，得到函数 g(x)的图象，则下列说 法正确的是( ) A.g(x)的最小正周期为 B.g(x)在区间 0， 2 上单调递减 C.x 12不是函数 g(x)图象的对称轴 D.g(x)在 6， 6 上的最小值为1 2 12.已知 f(x)2m（x 21） ex 1，g(x)(m2)(x21)2.若 (x)ex f(x)g（x） ex 有唯一的零点， 则 m 的值可能为( ) A.2 B.3 C.3 D.4 第卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 f(x) x2，x0，b0)，则2
7、b a 1 b的最小值等于_. 15.已知(2x2)(1ax)3的展开式的所有项系数之和为 27，则实数 a_，展开式中含 x2的项的系数是_.(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 16.已知圆 M：(xx0)2(yy0)28，点 T(2，4)，从坐标原点 O 向圆 M 作两条切线 OP， OQ，切点分别为 P，Q，若切线 OP，OQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1 k21，则|TM|的取 值范围为_. 共 8 页 第 4 页 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)在等差数列an中，已知 a612，a1836. (1)求数
8、列an的通项公式 an； (2)若_，求数列bn的前 n 项和 Sn. 在bn 4 anan1，bn(1) n a n，bn2an an这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并 对其求解. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.(12 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cos C，2b 3c)，n (cos A， 3a)，mn. (1)求角 A 的大小； (2)若ABC 的面积为3 3 2 ，且 b2a21 2c 2，求 b 的值. 19.(12 分)如图，在等腰梯形 ABCD 中，BCAD，AB 2，BC1，AD3，BPAD，将 ABP
9、 沿 BP 折起，使平面 ABP平面 PBCD，得到如图所示的四棱锥 ABCDP，其中 M 为 AD 的中点. (1)试分别在 PB，CD 上确定点 E，F，使平面 MEF平面 ABC； (2)求二面角 MPCA 的余弦值. 20.(12 分)某企业进行深化改革，使企业的年利润不断增长.该企业记录了从 2014 年到 2019 共 8 页 第 5 页 年的年利润 y(单位：百万)的相关数据，如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 年利润 y/百万 3 5 8 11 13 14 (1)根据表中数据，以年份代号 t 为横坐标，
10、年利润 y 为纵坐标建立平面直角坐标系，根据所 给数据作出散点图； (2)利用最小二乘法求出 y 关于 t 的线性回归方程(保留 2 位小数)； (3)用y i表示用正确的线性回归方程得到的与年份代号 t 对应的年利润的估计值，yi为与年份 代号 t 对应的年利润数据，当y iyib0)经过点 M(2，1)，且右焦点 F( 3，0). 共 8 页 第 6 页 (1)求椭圆 的标准方程； (2)过 N(1，0)且斜率存在的直线 AB 交椭圆 于 A，B 两点，记 tMA MB ，若 t 的最大值和 最小值分别为 t1，t2，求 t1t2的值. 22.(12 分)已知函数 f(x)ex aln x
11、(其中 e2.718 28，是自然对数的底数). (1)当 a0 时，求函数 f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程； (2)求证：当 a11 e时，f(x)e1. 20202020 年山东省新高考数学预测卷年山东省新高考数学预测卷 共 8 页 第 7 页 参考答案及解析参考答案及解析 参考答案：参考答案： 1-4：DCBA 5-8：DBCB 9：AC 10：ABD 11：ACD 12：ACD 13：14 14：2 22 15：2 23 16：2 54，2 54 解析：解析： 1、z(2i)(32i)8i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(8，1)，故选 D. 2、由题意得，Ax|yl
12、n(x1)x|x1，Bx|x 240x|2x2，所以 A Bx|10，符合题意. 当m4 时，方程(*)为 2t 28t10，得 t43 2 2 ，只有43 2 2 0，符合题意.故选 A，C，D. 13、根据题意得：f(2)(2) 24， 则f(f(2)f(4)2 4216214. 14、由题意得2b a 1 b 2b a a2b b 2b a a b22 2b a a b22 22，当且仅当 a 2b 21 时，等号成立，所以2b a 1 b的最小值为 2 22. 15、由已知可得(21 2)(1a)327，则 a2，(2x 2)(1ax)3(2x2)(12x)3(2 x 2)(16x12
13、x28x3)，展开式中含 x 2的项的系数是 212123. 16、由题意可知，直线OP的方程为yk1x，OQ的方程为yk2x，因为OP，OQ与圆M相切， 所以|k 1x0y0| 1k 2 1 2 2，|k 2x0y0| 1k 2 2 2 2， 分别对两个式子进行两边平方，整理可得k 2 1(8 x 2 0)2k1x0y08y 2 00，k 2 2(8x 2 0)2k2x0y08y 2 00，所以k1，k2是方程k 2(8x2 0)2kx0y0 8y 2 00 的两个不相等的实数根，所以k1k28y 2 0 8x 2 0.又 k1k21，所以8y 2 0 8x 2 01，即 x 2 0y 2
14、016.又|TO| 4162 5，所以|TO|4|TM|TO|4，所以 2 54|TM| 2 54. 答案 2 54，2 54 17. (1)由题意， a15d12， a117d36， 解得d2，a12. an2(n1)22n. 共 8 页 第 10 页 (2)选条件：bn 4 2n2（n1） 1 n（n1）， Sn 1 12 1 23 1 n（n1） 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n1 n n1. 选条件：an2n，bn(1) na n， Sn2468(1) n2n， 当n为偶数时， Sn(24)(68)2(n1)2n n 22n；当 n为奇数时，n1 为偶数，
15、Sn(n1)2nn1. Sn n，n为偶数， n1，n为奇数. 选条件：an2n，bn2anan，bn2 2n2n2n4n， Sn24 14426432n4n， 4Sn24 24436442(n1)4n2n4n1， 由得， 3Sn24 124224324n2n4n1 8（14 n） 14 2n4 n1 8（14 n） 3 2n4 n1， Sn8 9(14 n)2n 3 4 n1. 18. (1)法一 因为m mn n，所以 3acos C(2b 3c)cos A， 由正弦定理得 3sin Acos C2sin Bcos A 3cos Asin C， 得 3sin(AC)2sin Bcos A，
16、 所以 3sin B2sin Bcos A，因为 sin B0，所以 cos A 3 2 ，又A(0，)，所以A 6 . 法二 因为m mn n，所以 3acos C(2b 3c)cos A， 易知 cos Ca 2b2c2 2ab ，cos Ab 2c2a2 2bc ，代入上式得， 3aa 2b2c2 2ab (2b 3c) 共 8 页 第 11 页 b 2c2a2 2bc ， 整理得， 3bcb 2c2a2，所以 cos Ab 2c2a2 2bc 3 2 ， 又A(0，)，所以A 6 . (2)由(1)得 3bcb 2c2a2，又 b 2a21 2c 2，所以 c 2 3b，又 SABC1
17、 2bcsin A 1 2b 2 3b 1 2 3 3 2 ，得b 29，所以 b3. 19. (1)E，F分别为BP，CD的中点，证明如下： 连接ME，MF，EF，M，F分别为AD，CD的中点， MFAC.又E为BP的中点， 且四边形PBCD为梯形， BCEF.MF平面ABC，AC平面ABC， MF平面ABC，同理EF平面ABC， 又MFEFF，MF，EF平面MEF， 平面MEF平面ABC. (2)由题意知AP，BP，DP两两垂直，以P为坐标原点，PB，PD，PA所在的直线分别为x轴， y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 在等腰梯形ABCD中，AB 2，BC1，AD3，BPAD，AP1
18、，BP1，PD2， M 0，1，1 2 ，P(0，0，0)，C(1，1，0)，A(0，0，1)， (1，1，0)， 0，1，1 2 . 设平面MPC的法向量为n n1(x，y，z)， 则即 xy0， y1 2z0， 令z2，则y1，x1，n n1(1，1，2)为平面MPC的一个法向量. 同理可得平面PAC的一个法向量为n n2(1，1，0). 设二面角MPCA的平面角为， 共 8 页 第 12 页 由图可知 0， 2 ， 则 cos n n1n n2 |n n1|n n2| 2 6 2 3 3 . 二面角MPCA的余弦值为 3 3 . 20. (1)根据表中数据，描点如图： (2)由已知数据得
19、 123456 6 3.5， 358111314 6 9， 6 i1tiyi31024446584230， 6 i1t 2 i14916253691， 6 i1tiyi6t y 6 i1t 2 i6t 2 23063.59 9163.5 22.34， 92.343.50.81， 所以y关于t的线性回归方程为2.34t0.81. (3)由(2)可知，当t1 时，13.15；当t2 时，25.49；当t3 时，37.83；当t4 时，410.17；当t5 时，512.51；当t6 时，614.85. 与年利润数据yi对比可知，满足iyi3. 又椭圆过点M(2，1)， 4 a 2 1 a 231，又
20、a 23，a26.椭圆的标准方程为x 2 6 y 2 3 1. (2)设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 x 2 6 y 2 31， yk（x1） 得x 22k2(x 1) 26，即(12k2)x24k2x2k260，点 N(1，0)在椭圆内部，0， x1x2 4k 2 12k 2， x1x22k 26 2k 21， 则t(x12)(x22)(y11)(y21) x1x22(x1x2)4(kx1k1)(kx2k1) (1k 2)x 1x2(2k 2k)(x 1x2)k 22k5 ， 将代入得， t(1k 2)2k 26 2k 21(2k 2k) 4k 2 2
21、k 21k 22k5， t15k 22k1 2k 21，(152t)k 22k1t0，kR R， 则12 24(152t)(1t)0， (2t15)(t1)10，即 2t 213t160， 由题意知t1，t2是 2t 213t160 的两根， t1t213 2 . 22.(1) a0 时，f(x)e xln x，f(x)ex1 x(x0)，f(1)e，f(1)e1， 函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程为：ye(e1)(x1)，即(e1)xy1 0. (2)证明 f(x)e xa1 x(x0)， 设g(x)f(x)，则g(x)e xa1 x 20， g(x)是增函数， 共 8 页 第 14 页 e xaea，由 ea1 xxe a， 当xe a时，f(x)0； 若 00， f(x)递增； f(x)minf(x0)ex0aln x0， 而f(x0)ex0a1 x00ex 0a 1 x0aln x 0x0， 记h(x)ln xx， 则f(x0)1 x0ln x 0h 1 x0 ， a11 ea 1 e1h(x 0)h(e)e1. 综上，当a11 e时，f(x)e1.