1、 高三理科数学 第 1 页 共 9 页 宜宾市高宜宾市高 20172017 级高三第三次诊断测试级高三第三次诊断测试 理科数学理科数学 注意事项注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题 卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置 贴好条形码. 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后,将答题卡交回. 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 1212 小
2、题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 6060 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的一项是符合要求的. . 1.已知集合 2 40, 1,0,2,3,4Ax xB ,则BA A.2 , 0 , 1 B.3 , 2 , 0 , 1 C.3 , 2 , 0 D.4 , 3 , 2 , 0 , 1 2.) i2)(i1 (z,则z A. 10 B. 5 C. 2 D. 3 3.某商场推出消费抽现金活动,顾客消费满 1000 元可以参与一次抽奖,该活动设置了一等奖、 二等奖、三等奖以及参与奖,奖金分别为:一等奖 200 元、二等奖 100 元、三等
3、奖 50 元、 参与奖 20元,具体获奖人数比例分配如图,则下列说法中错误 的是 A. 获得参与奖的人数最多 B. 各个奖项中一等奖的总金额最高 C. 二等奖获奖人数是一等奖获奖人数的两倍 D. 奖金平均数为元 4.已知 n a是公差为 1 3 的等差数列, n S为 n a的前n项和.若 2517 ,a a a成等比数列,则 7 S A. 7 3 B. 9 2 C. 9 D. 7 5.设P是椭圆 22 1 259 yx 上一点,M,N分别是两圆: 2 2 41yx 和 2 2 41xy 上的点,则PMPN的最小值为 A.8 B. 14 C. 16 D.20 46 参与奖55% 三等奖30%
4、二等级10% 一等奖5% 高三理科数学 第 2 页 共 9 页 6.已知函数( )f x是奇函数,当0x 时, ln(1)x f x x ,则 曲线 yf x在点 1,1f处切线的斜率为 A. 1 ln2 2 B. 1 ln2 2 C. 1 ln2 2 D. 1 ln2 2 7. 在ABC中,点D为BC延长线上的一点,且 2 3 ABC ABD S S ,则 A. 41 33 ADABAC B. 31 22 ADABAC C. 13 22 ADABAC D. 14 33 ADABAC 8. 已知三棱锥BCDA-的三视图均为边长为 1 的正方形,如图所示,此三棱锥的所有顶点 都在一个球面上,则此
5、球的表面积是 A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 4 9. 在新高考改革中,学生可先从物理、历史两科中任选一科,再从化学、生物、政治、地 理四门学科中任选两科参加高考,现有甲、乙两名学生若按以上选科方法,选三门学 科参加高考,则甲乙二人恰有一门学科相同的选法有 A.24 B.30 C.48 D.60 10.在区间01 ,内随机取两个数分别为, a b,则使得关于x的方程 22 2(1)(2 )=0xaxbb有实 数根的概率为 A.1 4 B. 4 C. 1 2 D. 1 8 11.已知抛物线C: 2 4yx的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于,A B两点, 若在以线段AB为直径
6、的圆上存在两点,M N,在直线l:2 30xym 上存在一点Q,使 得 90MQN,则实数m的取值范围 A. 3 23,3 23 B. 4 26,4 26 C. 134 ,134 D. 11,11 12.已知函数 2 e31 x f xxx ,则关于x的方程 2 5e0f xmf x (m R )的实根 个数 A.3 B.3 或4 C. 4或 5 D. 3或 5 高三理科数学 第 3 页 共 9 页 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 5 分,共分,共 2020 分分. . 13.设 , x y满足约束条件 220 2 2 xy x y ,则2z
7、xy的最小值是_. 14.已知函数 axxxxf 2 cos2cossin32)( 0的最小正周期为,最大值为4, 则 ( )= 6 f _. 15.记 n S为数列 n a的前n项和.若 1 1a , 2 2a , 11 211 nnn nSnSnS (n2), 则 n a的通项公式= n a_. 16.点D是Rt ABC斜边AB上异于, A B的一动点,1,2ACBC,连结CD,将BCD 沿着CD翻折到B DC,使B DC与ADC所在平面构成直二面角,则翻折后 AB 的最小值是_. 三、解答题:共三、解答题:共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、
8、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题,每题为必考题,每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答. . (一)必考题:共(一)必考题:共 6060 分分. . 17.(本题满分 12 分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 33coscos cos baAB cC . (1)求 a b 的值; (2)若D为线段AB的中点,2c ,2CD ,求b. 18.(本题满分 12 分)如图,在多面体ABCDEF中,正方形ABCD 与梯形ADEF所在平面互相垂直,已知/AF DE
9、,ADAF, 1 1 2 AFADDE. (1)求证:EFCDF平面 ; (2)求平面CDF与平面BCE所成角的正弦值 19.(本题满分 12 分)设抛物线C: 2 2(0)xpy p的准线被圆O: 22 4xy所截得的弦 长为2 3 (1)求抛物线C的方程; (2)设点F是抛物线C的焦点,过F的直线l交C于,A B两点,已知ABO的面积为 2 3,求直线l的方程. E F C D B A 高三理科数学 第 4 页 共 9 页 20.(本题满分 12 分)某科研团队对1050例新冠肺炎确诊患者的临床特征进行了回顾性分 析。其中130名吸烟患者中,重症人数为30人,重症比例约为23.1%;920
10、名非吸烟患 者中,重症人数为120人,重症比例为13.0%.根据以上数据绘制22列联表,如下: 吸烟人数 非吸烟人数 总计 重症人数 30 120 150 轻症人数 100 800 900 总计 130 920 1050 (1)根据列联表数据,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为新冠肺炎重症和吸 烟有关? (2)已知每例重症患者平均治疗费用约为15万元,每例轻症患者平均治疗费用约为1.7万 元.现有吸烟确诊患者 20 人,记这20名患者的治疗费用总和为X,求EX. 附: 2 (P K )k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2 2 n adb
11、c K abcdacbd 21.(本题满分 12 分)已知函数 2 e2 x f xa x,0a , fx 为 f x的导函数. (1)讨论 fx的单调性,设 fx的最小值为m,并求证: 2 em (2)若 f x有三个零点,求a的取值范围. (二)选考题:共(二)选考题:共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中选一题作答题中选一题作答. .如果多做如果多做, ,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分. . 22.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线1 49 : 22 1 yx C,曲线 sin3 cos33 : 2
12、y x C(为参数),以坐 标原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 21,C C的极坐标方程; (2)射线l的极坐标方程为0,若l分别与 21,C C交于异于极点的BA,两点,求 OA OB 的最大值. 23.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知, ,a b cR,且 222 1abc. (1)求2abc的最大值; 高三理科数学 第 5 页 共 9 页 (2)若21abc ,证明: 2 1 3 c 宜宾市普通普通高中 2017 级高三第三次诊断 理科数学 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B D
13、 A B C C D A B A 二、填空题 13.-6 14.3 15. 1,1 4 ,2 (1) n n a n n n 16.3 三、解答题 17. 解(1)由题得: sin3sin3coscos sincos BAAB CC ,化简整理得, sin()3sin()BCAC,sinA=3sinB,得3ab,即3 a b 6 分 (2)在ABC中, 222222 4912 cos 24 bcabbb A bcbb 在ACD中, 22 121 cos 22 bb A bb ,则 22 112 2 bb bb ,解得 15 5 b . 12 分 18. (1)证明:ADCD, 又平面ABCD平
14、面ADEF,平面ABCD平面ADEFAD,CD 平面ABCD, CD 平面ADEF, EF 平面ADEF,CDEF, 取DE的中点M,连接MF,易得四边形ADMF为正方形, 1 1 2 MFDE ,则 2 DFE , 即EFDF, 又CDDFD,则EF 平面CDF. 6 分 (2)AFDE且ADAF,DEAD,又CD 平面ADEF,易知,AD CD DE两两垂直, 高三理科数学 第 6 页 共 9 页 以D为原点以,DA DC DE射线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示, 易得(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,0,1)BCEF,由(1)得( 1,0,
15、1)EF 为平面CDF的一个法向量, 令n( , , )x y z为平面BCE的一个法向量,则nBC0,nBE 0,得 0 2 x xyz ,不妨令 1z ,则2y ,故n(0,2,1),令所求二面角为, 10 cos 10 ,则 3 10 sin 10 12 分 19. (1)准线方程 2 p y ,圆的半径2r ,半弦长为3,则 2 22 23() 2 p ,2p ,所以 抛物线C的方程为 2 4xy 4 分 (2)由题知,(0,1)F,当直线l垂直x轴时,不符合题意,则直线l一定不垂直x轴, 令直线l方程为1ykx,联立 2 1 4 ykx xy ,消y得 2 440xkx, 令 112
16、2 ( ,), (,)A x yB xy,则 12 4xxk, 1 2 4x x . 8 分 则ABO的面积为 222 1212121 2 111 ()()4212 3 222 OF xxxxxxx xk,解得 2k ,故直线l方程为21yx . 12 分 20. 解:(1)根据列联表中的数据,得到 2 1050(30 800120 100)2800 =9.3656.635 150 900 130 920299 k 3 分 因此,在犯错的概率不超过0.01的前提下认为新冠肺炎重症和吸烟有关. 4 分 (2)令Y表示 20 位吸烟确诊患者中的重症人数, 由题知(20,0.231)YB, 6 分
17、1.7(20)15XYY,即3413.3XY, . 8 分 所以(34 13.3 )34 13.395.446EXEYEY . 14 分 21.(1)( )2 (2) x fxea x 令( )( )2 (2) x g xfxea x 所以( )2 x g xea 高三理科数学 第 7 页 共 9 页 令( )0,ln2g xxa解得 所以:,ln2,( )0, ( )xag xg x 单调递减; ln2 ,( )0, ( )xag xg x 单调递增; 所以( )g x的最小值(ln2 )62 ln2mgaaaa 2 分 令( )62 ln2h aaaa ( )42ln2h aa, 令 2
18、( )0, 2 e h aa解得 所以 2 0,( )0, ( ) 2 e xh ah a 单调递增; 2 +,( )0, ( ) 2 e xh ah a , 单调递减, 所及 2 2 ( )() 2 e h ahe,命题得证。 . 4 分 (2)由(1)若( )fx的最小值(ln2 )62 ln20mgaaaa 即 3 0 2 e a时,( )0fx,此时( )f x在 R 上单调递增, ( )f x在 R 上单调递增,不可能有三个零点 . 6 分 所以 3 2 e a ,此时0m 又由(1)因为,ln2,( )xafx 单调递减; ln2 ,( )xafx 单调递增,其中ln23a 且 2
19、 (2)0fe,(ln2 )0fam,所以存在(2,ln2 )a,使得( )0f 存在ln2 , a,使得( )0f 所以( )f x在区间,上单调递增, 在区间, 上单调递减, 在区间,+上单调递增。 8 分 其中在,中2,有 2 (0)140, (2)0fafe ,存在 1 0,2 ,x 使得 1 0f x 高三理科数学 第 8 页 共 9 页 在区间 +, ,上要有两个零点,必须2( )20fea 其中,( )220fea 使得成立,即=22ea 代入式, 得22 (2)20,4aa解得 10 分 由得2 2 e a ,令( ) 2 e , 2 (3) ( )0 2 e 所以( ) 2
20、e 在4单调递增, 4 2(4) 22 ee a 所以 4 4 e a . 12 分 注:本题也可考虑分离参数结合洛必达法则求解。 22. 解:(1)因为cos ,sinxy 1 49 : 22 1 yx C可化为1 4 sin 9 cos : 2222 1 C, 整理得36sin54 22 )(, sin3 cos33 : 2 y x C化为普通方程为06 22 xyx , 极坐标方程cos6 1 C的极坐标方程是36sin54 22 )(, 2 C的极坐标方程是cos6. . 5 分 (2)由(1)知 由 36sin54 22 )( 得 2 2 sin54 36 OA , 由 cos6 得
21、 2 2 cos36OB , 2 2 OB OA 20 81 ) 10 9 (cos5cos9cos5)sin54(cos 222422 , 当 2 9 cos 10 时 2 2 OA OB 最大值为 20 81 , OA OB 最大值为 10 59 . 10 分 高三理科数学 第 9 页 共 9 页 23. 解 2 (2)abc 222 4424abcabacbc 2222222 (4)(4)()abcabac 22222 (4)6()6cbacb, 当且仅当22abc时,即 66 , 63 acb等号成立, 所以 2abc 的最大值为 6. . 5 分 (用柯西不等式参照给分) (2)因 222 1abc ,21abc ,所以 222 1abc ,21abc , 2222 ()(1 2 )(2 )abab,当且仅当2ab时,等号成立. 有 22 5(1)(1)cc,即 2 320cc, 故 2 1 3 c. . 10 分