1、2020 年年 5 月月高考数学模拟试卷（文科）高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1设 i 是虚数单位，复数 z ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知全集为 R，集合 ， ， ， ， ， ，则 A（UB）的元 素个数为（ ） A1 B2 C3 D4 3已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbca 4某学生 5 次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其中 m0，若该学生 在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，则得分的平均数不可能为（
2、） A70 B75 C80 D85 5如图给出的是计算 1 的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入 （ ） ASS BSS CSS DSS 6用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，则该几何体体积的最大值 为（ ） A28 B21 C20 D19 7函数 f（x）|x| 的图象大致为（ ） A B C D 8已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 A（ ， ） （a0）在 C 上，|AF|3若 直线 AF 与 C 交于另一点 B，则|AB|的值是（ ） A12 B10 C9 D4.5 9设双曲线 C： 1（a0，b0）的左焦点为 F，直线 4x3y+200 过点 F
3、 且在 第二象限与 C 的交点为 P，O 为原点，若|OP|OF|，则 C 的离心率为（ ） A5 B C D 10已知 f（x）是函数 f（x）的导函数，且对任意的实数 x 都有 f（x）ex（2x+1）+f（x）， f（0）2，则不等式 f（x）4ex的解集为（ ） A（2，3） B（3，2） C（，3）（2，+） D（，2）（3，+） 11已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosCccosB，则 的最小值为（ ） A B C D 12 数学中有许多形状优美、 寓意美好的曲线， 曲线 C： x2+y21+|x|y 就是其中之一 （如图） 给 出下列三个
4、结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为 0.1，响第二声时被接 的概率为 0.3，响第三声时被接的概率为 0.4，响第四声时被接的概率为 0.1，那么电话在 响前 4 声内被接的概率是 14如图，圆 C（圆心为 C）的一条弦 AB 的长为 2，则 15我们听到的美妙弦乐，不是一个音在响，而是许多个纯音的
5、合成，称为复合音复合音 的响度是各个纯音响度之和琴弦在全段振动，产生频率为 f 的纯音的同时，其二分之 一部分也在振动，振幅为全段的 ，频率为全段的 2 倍；其三分之一部分也在振动，振幅 为全段的 ，频率为全段的 3 倍；其四分之一部分也在振动，振幅为全段的 ，频率为全 段的 4 倍；之后部分均忽略不计已知全段纯音响度的数学模型是函数 y1sint（t 为时 间，y1为响度），则复合音响度数学模型的最小正周期是 16已知三棱锥 ABCD 的棱长均为 6，其内有 n 个小球，球 O1与三棱锥 ABCD 的四个 面都相切，球 O2与三棱锥 ABCD 的三个面和球 O1都相切，如此类推，球 On与三
6、 棱锥 ABCD 的三个面和球 On1都相切 （n2， 且 nN*） ， 则球 O1的体积等于 ， 球 On的表面积等于 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第22、 23题为选考题， 考生根据要求作答（一） 必考题：共 60 分 17Sn为数列an前 n 项和，已知 an0，an2+2an4Sn+3， （1）求an的通项公式； （2）设 bn ，求数列bn的前 n 项和 18如图所示的几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且 AA1平面 ABC，AA1AC，四边形 ABCD 为平行四边形，AD2C
7、D，ADC60 （1）求证：AB平面 ACC1A1； （2）若 CD2，求四棱锥 C1A1B1CD 的体积 19某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成每件产品的非原 料成本 y（元）与生产该产品的数量 x（千件）有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用 反比例函数模型 和指数函数模型 yce dx 分别对两个变量的关系进行拟合， 已求 得： 用指数函数模型拟合的回归方程为 ， lny 与 x 的相关系数 r10.9
8、4； ， ， ， ， ， ，（其中 ui ，i1，2，3，8）； （1）用反比例函数模型求 y 关于 x 的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0.01），并用其估计产 量为 10 千件时每件产品的非原料成本 参考数据： ，e 20.135 参考公式： 对于一组数据 （u1， 1） ， （u2， 2） ， ， （un， n） ， 其回归直线 u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， ，相关系数 20椭圆 ： 的离心率是 ，过点 P（0，1）做斜率为 k 的直线 l，椭 圆 E 与直线 l 交于 A，B 两点，当直线 l 垂直于 y 轴时 （）求椭圆 E 的
9、方程； （）当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点 M（m，0），使得AMB 是以 AB 为底的等腰 三角形，若存在求出 m 的取值范围，若不存在说明理由 21已知函数 f（x）1+x2sinx，x0 （1）求 f（x）的最小值； （2）证明：f（x）e2x （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数），曲线 C 的 参数方程为 ， （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （
10、2）已知点 P 的极坐标为 ， ，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1证明： （1）a+b+c ； （2） 1 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1设 i 是虚数单位，复数 z ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出 解：因为 ， 所以复数 z 在复平面内对应的点为 ， 其位于第一象限， 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算、复数的几何意义等
11、基本知识 2已知全集为 R，集合 ， ， ， ， ， ，则 A（UB）的元 素个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据集合的基本运算即可求UB，进而可求 解：由题意可得，B（2，1）， UBx|x1 或 x2 A（UB）2，1，2，共有 3 个元素 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 3已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbca 【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得 log20.20，20.21，00.20.31，从而得 出 a，b，c 的大小关系 解：alog20.2log210， b20.2201，
12、 00.20.30.201， c0.20.3（0，1）， acb， 故选：B 【点评】 本题考查了指数函数和对数函数的单调性， 增函数和减函数的定义， 属基础题 4某学生 5 次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其中 m0，若该学生 在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，则得分的平均数不可能为（ ） A70 B75 C80 D85 【分析】由该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，得到 m80，由此能求出得分的 平均数不大于 81 解：某学生 5 次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其中 m0， 该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 8
13、0， m80， 得分的平均数： 81， 得分的平均数不可能为 85 故选：D 【点评】本题考查实数值的判断，考查中位数、平均数等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 5如图给出的是计算 1 的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入 （ ） ASS BSS CSS DSS 【分析】由已知中该程序的功能是计算 1 的值，结合等差数列的通项 公式即可求解 解：该程序的功能是计算 S1 的值， 即计算数列1， ， ， 的和， 由于其通项公式为 an ， 由程序框图可知执行框中应该填的语句是：SS 故选：D 【点评】 算法是新课程中的新增加的内容， 也必然是新高考中的一个热点， 应高度重视 程 序填空
14、也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量 的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确 理解流程图的含义而导致错误 6用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，则该几何体体积的最大值 为（ ） A28 B21 C20 D19 【分析】直接利用三视图，判断几何体的形状，推出几何体的体积的最大值即可 解：由题意可知几何体体积的最大值是底面有 16 个小正方体组成，另外有 3 个小正方体 组成， 体积的最大值为 19如图： 故选：D 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档 题 7函数 f（x）|x|
15、的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用函数的奇偶性可排除 CD，利用导数研究可知当 x0 时，其在 x1 处取得 极小值，可排除 B，由此得解 解：因为 f（x）f（x），所以 f（x）是偶函数，排除 C 和 D 当 x0 时， ， ，令 f（x）0，得 0x1；令 f（x） 0，得 x1 所以 f（x）在 x1 处取得极小值，排除 B， 故选：A 【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题 8已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 A（ ， ） （a0）在 C 上，|AF|3若 直线 AF 与 C 交于另一点 B，则|AB|的值是（ ） A12 B10 C9
16、D4.5 【分析】由抛物线的定义，解得 p，然后求解抛物线方程，A（1，a）（a0）在 C 上， 求出 a，求出直线 AF 的方程，联立抛物线方程由韦达定理，求出 AB 解：由抛物线的定义，得，|AF| 3，解得 p4， 所以 C 的方程为 y28x 得 A（1，a），因为 A（1，a）（a0）在 C 上，所以 a28， 解得 a2 故直线 AF 的方程为 y2 （x2）， 由 消去 y，得 x25x+40， 解得 x11，x24， 由抛物线的定义，得故|AB|x1+x2+p4+1+49， 故选：C 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力 9设双曲线 C： 1（
17、a0，b0）的左焦点为 F，直线 4x3y+200 过点 F 且在 第二象限与 C 的交点为 P，O 为原点，若|OP|OF|，则 C 的离心率为（ ） A5 B C D 【分析】由题设知PFN 是以 FN 为斜边的直角三角形，c5，在 RtPFN 中， tan ，FN10可得 2a2，a1，由此能求出双曲线的离心率 解：如图，设双曲线 C： 1（a0，b0）的右焦点为 N |OP|OF|ON|c，则PFN 是以 FN 为斜边的直角三角形， 直线 4x3y+200 过点 F，c5， 在 RtPFN 中，PFPN，kPF ，tan ，FN10 PN8，PF6，则 2a2，a1， 则 C 的离心率
18、为 e ， 故选：A 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查数形结 合思想、化归与转化思想，属于中档题 10已知 f（x）是函数 f（x）的导函数，且对任意的实数 x 都有 f（x）ex（2x+1）+f（x）， f（0）2，则不等式 f（x）4ex的解集为（ ） A（2，3） B（3，2） C（，3）（2，+） D（，2）（3，+） 【分析】用已知条件构造新函数 ，对 G（x）求导变成一元二次函数，然后解 不等式即可 解：令 ，则 ，可设 G（x）x 2+x+c，G（0） f（0）2，c2，所以 ， 解不等式 f（x）4ex，即 ，所以 x 2+x24，解得3x
19、2，所以不等式的解 集为（3，2）， 故选：B 【点评】本题考查新函数的构造和导数的综合应用，属于中档题 11已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosCccosB，则 的最小值为（ ） A B C D 【分析】 因为 2bcosCccosB， 由正弦定理得 2tanBtanC， 又因为 A+B+C， 所以 tanA tan（B+C）tan（B+C） ，所以 ，化简得 由基本不等式即可得出答 案 解：因为 2bcosCccosB， 所以 2sinBcosCsinccosB， 即 2tanBtanC， 又因为 A+B+C， 所以 tanAtan（B+C）tan
20、（B+C） ， 所以 ， ， 2 （当且仅当 ， 即 tanB ， 取“”） 故选：A 【点评】本题考查正弦定理，基本不等式，属于中档题 12 数学中有许多形状优美、 寓意美好的曲线， 曲线 C： x2+y21+|x|y 就是其中之一 （如图） 给 出下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】将 x 换成x 方程不变，所以图形关于 y 轴对称，根据对称性讨论 y 轴右边的图 形可得 解：将 x 换成x 方程不变
21、，所以图形关于 y 轴对称， 当 x0 时，代入得 y21，y1，即曲线经过（0，1），（0，1）； 当 x0 时，方程变为 y2xy+x210， 所以x24（x21）0， 解得 x （0， ， 所以 x 只能取整数 1，当 x1 时，y2y0，解得 y0 或 y1，即曲线经过（1，0）， （1，1）， 根据对称性可得曲线还经过（1，0），（1，1）， 故曲线一共经过 6 个整点，故正确 当 x0 时，由 x2+y21+xy 得 x2+y21xy ，（当 xy 时取等）， x2+y2 2， ，即曲线 C 上 y 轴右边的点到原点的距离不超过 ，根据 对称性可得：曲线 C 上任意一点到原点的距离
22、都不超过 ；故正确 在 x 轴上图形面积大于矩形面积122，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积 1，因此曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 2+13，故错误 故选：C 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为 0.1，响第二声时被接 的概率为 0.3，响第三声时被接的概率为 0.4，响第四声时被接的概率为 0.1，那么电话在 响前 4 声内被接的概率是 0.9 【分析】利用互斥事件概率加法公式能求出电话在响前 4 声内被接的概率 解：某家庭电话在家中有
23、人时， 打进的电话响第一声时被接的概率为 0.1， 响第二声时被接的概率为 0.3，响第三声时被接的概率为 0.4， 响第四声时被接的概率为 0.1， 那么电话在响前 4 声内被接的概率是 P0.1+0.3+0.4+0.10.9 故答案为：0.9 【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 14如图，圆 C（圆心为 C）的一条弦 AB 的长为 2，则 2 【分析】过点 C 作 CDAB 于 D，可得 AD AB1，RtACD 中利用三角函数的定义 算出 cosA ，再由向量数量积的公式加以计算，可得 的值 解：过点 C 作 CDAB 于 D，则
24、 D 为 AB 的中点 RtACD 中，AD AB1， 可得 cosA cosA 2 故答案为：2 【点评】本题已知圆的弦长，求向量的数量积着重考查了圆的性质、直角三角形中三 角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题 15我们听到的美妙弦乐，不是一个音在响，而是许多个纯音的合成，称为复合音复合音 的响度是各个纯音响度之和琴弦在全段振动，产生频率为 f 的纯音的同时，其二分之 一部分也在振动，振幅为全段的 ，频率为全段的 2 倍；其三分之一部分也在振动，振幅 为全段的 ，频率为全段的 3 倍；其四分之一部分也在振动，振幅为全段的 ，频率为全 段的 4 倍；之后部分均忽略不计已知全段纯音响
25、度的数学模型是函数 y1sint（t 为时 间，y1为响度），则复合音响度数学模型的最小正周期是 2 【分析】求出复合音响度的数学模型函数，从而得出最小正周期 解：由题意可知复合音响度的数学模型为：ysint sin2t sin3t sin4t， 2 为该函数的最小正周期， 故答案为：2 【点评】本题考查了函数解析式，函数周期计算，属于基础题 16已知三棱锥 ABCD 的棱长均为 6，其内有 n 个小球，球 O1与三棱锥 ABCD 的四个 面都相切，球 O2与三棱锥 ABCD 的三个面和球 O1都相切，如此类推，球 On与三 棱锥 ABCD 的三个面和球 On1都相切 （n2， 且 nN*）
26、， 则球 O1的体积等于 ， 球 On的表面积等于 【分析】 利用平面几何知识， 数形结合推出这些球的半径满足数列rn是以 r1 为首项， 公比为 的等比数列，代入计算即可 解：如图，设球 O1半径为 r1，球 On的半径为 rn，E 为 CD 中点，球 O1与平面 ACD、 BCD 切于 F、G，球 O2与平面 ACD 切于 H， 作截面 ABE，设正四面体 ABCD 的棱长为 由平面几何知识可得 ，解得 r1 ， 同时 ，解得 r 2 a， 把 a6 代入的 r1 ，r2 ， 由平面几何知识可得数列rn是以 r1 为首项，公比为 的等比数列， 所以 rn ，故球 O1的体积 r 1 3 （
27、 ）3 ； 球 On的表面积4rn24 2 ， 故答案为 ； 【点评】本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理 能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第22、 23题为选考题， 考生根据要求作答（一） 必考题：共 60 分 17Sn为数列an前 n 项和，已知 an0，an2+2an4Sn+3， （1）求an的通项公式； （2）设 bn ，求数列bn的前 n 项和 【分析】（1）an0，an2+2an4Sn+3，n2 时， 2a
28、n14Sn1+3，an0，相减可 得，anan120，利用等差数列的通项公式可得 an （2）bn ，利用裂项求和方法即可得出 解：（1）an0，an2+2an4Sn+3， n2 时， 2an14Sn1+3， 相减可得：an2+2an（ 2an1）4an， 化为：（an+an1）（anan12）0， an0，anan120，即 anan12， 又 4a1+3，a10，解得 a13 数列an是等差数列，首项为 3，公差为 2 an3+2（n1）2n+1 （2）bn ， 数列bn的前 n 项和 【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题
29、 18如图所示的几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且 AA1平面 ABC，AA1AC，四边形 ABCD 为平行四边形，AD2CD，ADC60 （1）求证：AB平面 ACC1A1； （2）若 CD2，求四棱锥 C1A1B1CD 的体积 【分析】（1）推导出 ABAC，ABAA1，由此能证明 AB平面 ACC1A1 （2） 连结A1C， 则CD平面CC1A1， 四棱锥C1A1B1CD的体积： V ， 由此能求出结果 解：（1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形，AD2CD，ADC60 ACDBAC90，ABAC， 几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且 AA1平面 ABC， ABAA1，
30、ACAA1A，AB平面 ACC1A1 （2）解：连结 A1C，AB平面 ACC1A1，CDAB， CD平面 CC1A1， 四棱锥 C1A1B1CD 的体积： V 8 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成每件产品的非原 料成本 y（元）与生产该产品的数量 x（千件）有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图观察散点图，两个变量
31、不具有线性相关关系，现考虑用 反比例函数模型 和指数函数模型 yce dx 分别对两个变量的关系进行拟合， 已求 得： 用指数函数模型拟合的回归方程为 ， lny 与 x 的相关系数 r10.94； ， ， ， ， ， ，（其中 ui ，i1，2，3，8）； （1）用反比例函数模型求 y 关于 x 的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0.01），并用其估计产 量为 10 千件时每件产品的非原料成本 参考数据： ，e 20.135 参考公式： 对于一组数据 （u1， 1） ， （u2， 2） ， ， （un， n） ， 其回归直线 u 的斜率和截距的最小二乘
32、估计分别为： ， ，相关系数 【分析】（1）令 ，则 可转化为 ya+bu，求出样本中心，回归直线方程 的斜率，转化求解回归方程即可 （2）求出 y 与 的相关系数，通过|r 1|r2|，说明用反比例函数模型拟合效果更好，然后 求解当产量为 10 千件时，每件产品的非原料成本估计值 解：（1）令 ，则 可转化为 ya+bu， 因为 ，所以 ， 则 ，所以 ， 所以 y 关于 x 的回归方程为 ； （2）y 与 的相关系数为： ， 因为|r1|r2|，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 把 x10 代入回归方程： 10+1121（元）， 所以当产量为 10 千件时，每件产品的非原料成本估计为 2
33、1 元 【点评】本题考查回归方程的求法，换元法的应用，相关系数的应用，是基本知识的考 查，基础题 20椭圆 ： 的离心率是 ，过点 P（0，1）做斜率为 k 的直线 l，椭 圆 E 与直线 l 交于 A，B 两点，当直线 l 垂直于 y 轴时 （）求椭圆 E 的方程； （）当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点 M（m，0），使得AMB 是以 AB 为底的等腰 三角形，若存在求出 m 的取值范围，若不存在说明理由 【分析】（）根据可得 ，求出 a，b，c 即可求椭圆的方程； （）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用根与系数 之间的关系进行求解 解：（）由已知椭圆过点
34、， ，可得 ， 解得 a29，b24 所以椭圆的 E 方程为 （）设 A（x1，y1），B（x2，y2），AB 的中点 C（x0，y0） 由 消去 y 得（4+9k 2）x2+18kx270， 所以 ， 当 k0 时， 设过点 C 且与 l 垂直的直线方程 ， 将 M（m，0）代入得： ， 若 k0，则 ， 若 k0，则 所以 或 ， 当 k0 时，m0 综上所述，存在点 M 满足条件，m 取值范围是 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用设而不 求的数学思想是解决本题的关键 21已知函数 f（x）1+x2sinx，x0 （1）求 f（x）的最小值； （2）证明
35、：f（x）e2x 【分析】（1）求导可知 ， 时 f（x）单减， ， 时 f（x）单增，进而求得 最小值； （2）即证 x0 时，g（x）（1+x2sinx）e2x1，利用导数容易得证 解：（1）f（x）12cosx，令 f（x）0，得 ， 故在区间0，上，f（x）的唯一零点是 ， 当 ， 时，f（x）0，f（x）单调递减；当 ， 时，f（x）0，f（x） 单调递增， 故在区间0，上，f（x）的极小值为 ，当 x 时， ， f（x）的最小值为 ； （2）要证 x0 时，f（x）e2x，即证 x0 时，g（x）（1+x2sinx）e2x1， g（x）2（1+x2sinx）e2x+（12cosx）
36、e2x（3+2x4sinx2cosx）e2x， 令 h（x）xsinx，x0， 则 h（x）1cosx0，即 h（x）是（0，+）上的增函数， h（x）h（0）0，即 xsinx， 3+2x4sinx2cosx3+2sinx4sinx2cosx32（sinx+cosx） ， g（x）（3+2x4sinx2cosx）e2x0， 即 g（x）是（0，+）上的增函数，g（x）g（0）1， 故当 x0 时，f（x）e2x，即得证 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力， 属于中档题 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数）
37、，曲线 C 的 参数方程为 ， （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）已知点 P 的极坐标为 ， ，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的普通方程为 x2+（y3）29，整理得 x2+y26y，所以 26sin， 即 6sin，所以曲线 C 的极坐标方程为 6sin （2）将直线 l 的参数方程代入到 x2+y26y 中，得 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，
38、t2，则 ，t1t23， 因为点 P 的极坐标为 ， ，所以点 P 的直角坐标为 ， ， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1证明： （1）a+b+c ； （2） 1 【分析】（1）作差后通分，应用二元基本不等式的性质证明； （2）作差后通分，应用三元基本不等式的性质证明 【解答】证明：（1）由条件 abc1， 得 ， 由二元基本不等式可得 a2b2+c2a22a2bc，a2b2+b2c22b2ac，b2c2+c2a22c2ab， （等号成立当且仅当 abc1）， 将上述三个不等式相加，得 ， ； （2）由条件 abc1， 得 ， 由三元基本不等式得 （等号成立当且仅当 abc1）， 从而得证 【点评】本题考查不等式的证明，训练了作差法及基本不等式性质的应用，考查逻辑思 维能力与推理论证能力，是中档题