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河北省张家口市2020届高三5月普通高等学校招生全国统一模拟考试数学试卷(文科)含答案解析

1、2020 年高考数学模拟试卷(文科)(年高考数学模拟试卷(文科)(A 卷)(全国卷)卷)(全国卷) 一、选择题(共 12 小题) 1集合 Ax|1x0,集合 By|y2x+1,xR,则 AB( ) A(1,+) B1,+) C(0,+) D 2复数 的共轭复数是( ) A1+2i B12i C2i+1 D2i+1 3如图是 2020 年 2 月 15 日至 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图则下 列说法不正确的是( ) A2020 年 2 月 19 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果,但防控要求不能降低 C2020 年 2

2、 月 19 日至 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400 人的有 8 天 D 2020 年 2 月 15 日到 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天 多 1549 人 4等差数列an的前 n 项和为 Sn,满足 S10S727,则 ( ) A B C3 D3 5角谷猜想,也叫 3n+1 猜想,是由日本数学家角谷静夫发现的,是指对于每一个正整数, 如果它是奇数,则对它乘 3 再加 1;如果它是偶数,则对它除以 2,如此循环最终都能够 得到 1如:取 n6,根据上述过程,得出 6,3,10,5,16,8,4,2,1,共 9 个数若 n5,根据上述过程得出的整

3、数中,随机选取两个不同的数,则这两个数都是偶数的概 率为( ) A B C D 6已知函数 f(x)是偶函数,f(x+1)为奇函数,并且当 x1,2时,f(x)1|x2|, 则下列选项正确的是( ) Af(x)在(3,2)上为减函数,且 f(x)0 Bf(x)在(3,2)上为减函数,且 f(x)0 Cf(x)在(3,2)上为增函数,且 f(x)0 Df(x)在(3,2)上为增函数,且 f(x)0 7如图,在边长为 1 的正方形网格中,粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体 积为( ) A16 B C32 D8 8双曲 , 的渐近线与圆 x 2+y2a2 在第一、二象限分别交于 M,N 两点

4、,且|MN|a,则双曲线的离心率为( ) A B C D2 9已知 , , , 若 ,且 ,则 + 的 值为( ) A B C D 10 如图是函数 , , 的部分图象, 设 x0是函数 f (x) 在 , 上的极小值点,则 f(x0)+f(x0)的值为( ) A0 B3 C D 11函数 f(x)xtanxex在 , 上的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4 12把圆心角为 120的扇形铁板围成一个圆锥,则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积 之比为( ) A B C D 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,过 F 作与

5、x 轴垂直的直线交抛物线于 A,B 两点, 若|AB|3,则 p 14已知变量 x,y 满足 ,则 2xy 的最小值为 15若函数 f(x) , , 有最小值,则实数 a 的取值范围为 16已知等比数列an的公比为 q(q0),前 n 项和为 Sn,且满足 a1q,a5a1+S4若 对一切正整数n, 不等式152n2m+manmSn, 恒成立, 则实数m的取值范围为 三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(-)必考题:共 60 分 17在ABC 中,有 (1)求 B;

6、 (2)若 A45,角 B 的角平分线 BD 交 AC 于 D, ,求边 AD 的长 18如图,在三棱锥 PABC 中,PB平面 ABC,平面 PAC平面 PBC,PBBC2,AC 1 (1)证明:AC平面 PBC; (2)求点 C 到平面 PBA 的距离 19已知椭圆 : 的焦距为 4且过点 , (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 A(0,b),B(0,b),C(a,b),过 B 点且斜率为 k(k0)的直线 l 交 椭圆 E 于另一点 M,交 x 轴于点 Q,直线 AM 与直线 xa 相交于点 P证明:PQOC (O 为坐标原点) 202020 年 1 月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形

7、势严峻,避免外出是减少相互交叉感 染最有效的方式在家中适当锻炼,合理休息,能够提高自身免疫力,抵抗该种病毒某 小区为了调查“宅”家居民的运动情况,从该小区随机抽取了 100 位成年人,记录了他 们某天的锻炼时间,其频率分布直方图如图: (1)求 a 的值,并估计这 100 位居民锻炼时间的平均值 (同一组中的数据用该组区间 的中点值代表); (2)小张是该小区的一位居民,他记录了自己“宅”家 7 天的锻炼时长: 序号 n 1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长 m(单位:分钟) 10 15 12 20 30 25 35 ()根据数据求 m 关于 n 的线性回归方程; ()若 ( 是(1)中的平均

8、值),则当天被称为“有效运动日”估计小张 “宅”家第 8 天是否是“有效运动日”? 附;在线性回归方程 中, , 21已知函数 f(x)lnxax2 (1)判断函数 f(x)在点 x1 处的切线是否过定点?若过,求出该点的坐标;若不过, 请说明理由 (2)若 f(x)有最大值 g(a),证明:g(a)a 选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计 分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:y2ax(a0),曲线 C2: ( 为参数) 在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为

9、(R) , l 与 C1,C2分别交于异于极点的 A,B 两点且 2|OB|OA| (1)写出曲线 C2的极坐标方程; (2)求实数 a 的值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|xa|+2|x|(a0) (1)解不等式 f(x)2a; (2)若函数 f(x)的图象与直线 y2a 围成的图形的面积为 6,求实数 a 的值 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1集合 Ax|1x0,集合 By|y2x+1,xR,则 AB( ) A(1,+) B1,+) C(0,+) D 【分析】化简集合 A、B,

10、根据交集的定义写出 AB 解:集合 Ax|1x0x|x11,+), 集合 By|y2x+1,xRy|y1(1,+), 则 AB(1,+) 故选:A 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题 2复数 的共轭复数是( ) A1+2i B12i C2i+1 D2i+1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案 解: , 复数 的共轭复数是12i 故选:B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 3如图是 2020 年 2 月 15 日至 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图则下 列说法不正确的是( ) A2020 年 2

11、月 19 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果,但防控要求不能降低 C2020 年 2 月 19 日至 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400 人的有 8 天 D 2020 年 2 月 15 日到 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天 多 1549 人 【分析】直接利用折线图以及统计的相关知识逐一分析即可 解:对于 A, 由图可知 18 日病例 1660 人,19 日 615 人,大幅下降至三位数, 故 A 正确; 对于 B,很明显,病例人数呈大幅下降趋势,故防控取得了阶段性的成果,但防控要求 不能降低

12、,故 B 正确; 对于 C,由图得到,病例低于 400 人的有 2 月 20 日、21 日、23 日、25 日、26 日、27 日、3 月 1 日、2 日,共 8 天,故 C 正确; 对于 D, 由图病例最多一天人数 1690 人比最少一天人数 111 人多了 1579 人, 故 D 错误 故选:D 【点评】本题考查了合情推理能力,考查的折线图的提取信息能力,数形结合,属于中 档题 4等差数列an的前 n 项和为 Sn,满足 S10S727,则 ( ) A B C3 D3 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出 解:设等差数列an的公差为 d,S10S727, 3a1 d d27, 化

13、为:a1+8d9, a99 则 3 故选:D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题 5角谷猜想,也叫 3n+1 猜想,是由日本数学家角谷静夫发现的,是指对于每一个正整数, 如果它是奇数,则对它乘 3 再加 1;如果它是偶数,则对它除以 2,如此循环最终都能够 得到 1如:取 n6,根据上述过程,得出 6,3,10,5,16,8,4,2,1,共 9 个数若 n5,根据上述过程得出的整数中,随机选取两个不同的数,则这两个数都是偶数的概 率为( ) A B C D 【分析】根据上述过程得出所有的整数,从而随机选取两个不同的数,基本事件总数 n ,这两个

14、数都是偶数包含的基本事件个数 m ,由此能求出这两个数 都是偶数的概率 解:若 n5,根据上述过程得出的整数有: 5,16,8,4,2,1, 随机选取两个不同的数, 基本事件总数 n , 这两个数都是偶数包含的基本事件个数 m , 则这两个数都是偶数的概率为 p 故选:C 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 6已知函数 f(x)是偶函数,f(x+1)为奇函数,并且当 x1,2时,f(x)1|x2|, 则下列选项正确的是( ) Af(x)在(3,2)上为减函数,且 f(x)0 Bf(x)在(3,2)上为减函数,且 f(x)0 Cf(x)在(3,2)上

15、为增函数,且 f(x)0 Df(x)在(3,2)上为增函数,且 f(x)0 【分析】根据题意,分析可得 f(x+4)f(x),结合函数的解析式可得当 x(3, 2)时函数的解析式,据此分析可得答案 解:根据题意,函数 f(x+1)为奇函数,则有 f(x+1)f(x+1),即 f(x+2) f(x), 又由 f(x)为偶函数,则 f(x)f(x),则有 f(x+2)f(x), 即有 f(x+4)f(x), 当 x1,2时,f(x)1|x2|x1, 若 x(3,2),则 x+4(1,2), 则 f(x+4)(x+4)1x+3, 则当 x(3,2)时,有 f(x)x+3,则 f(x)为增函数且 f(

16、x)f(3)0; 故 f(x)在(3,2)上为增函数,且 f(x)0; 故选:C 【点评】本题考查函数奇偶性、周期性的判断,注意分析函数的周期,属于基础题 7如图,在边长为 1 的正方形网格中,粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体 积为( ) A16 B C32 D8 【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的体积即可 解:边长为 1 的正方形网格中,粗线画出的是某几何体的三视图 则该几何体是三棱柱 AD1EBC1F,底面三角形的面积为: 4,三棱柱的高为 4, 所以三棱锥的体积为:4416 故选:A 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键,是

17、基本 知识的考查,基础题 8双曲 , 的渐近线与圆 x 2+y2a2 在第一、二象限分别交于 M,N 两点,且|MN|a,则双曲线的离心率为( ) A B C D2 【分析】 将双曲线的渐近线的方程代入圆 x2+y2a2中, 解出 x 的值, 进而求出|MN|的值, 由题意可得 a,c 的关系,求出离心率 解:由双曲线的方程可得 y x,代入圆 x 2+y2a2中可得 x2a2,所以 x2 , 即 x , 所以|MN|2x a,可得 e 2, 故选:D 【点评】本题考查双曲线的性质及直线与圆的交点的求法,属于中档题 9已知 , , , 若 ,且 ,则 + 的 值为( ) A B C D 【分析

18、】 根据题意, 由向量的坐标计算公式可得 的坐标, 由向量模的公式可得 () 2+(2)25210,解可得 的值,又由向量垂直与数量积的关系可得 0,变形分析可得 3,进而可得 +4,计算可得答案 解: 根据题意, , , , , 则 (1, 2) , 则 (, 2), 若 ,则有() 2+(2)25210,解可得 , (,2), 若 ,则 (2)()+(2)(2)2+3 0,则 3, 则 +44 ; 故选:B 【点评】本题考查向量数量积的计算,涉及向量模的计算以及向量垂直的判断,属于基 础题 10 如图是函数 , , 的部分图象, 设 x0是函数 f (x) 在 , 上的极小值点,则 f(x

19、0)+f(x0)的值为( ) A0 B3 C D 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ,由五点法作图求出 的值, 可得 f(x)的解析式,再利用正弦函数的最小值, 解:根据函数 , , 的部分图象,可得 A2, ,2 再根据五点法作图可得 2 0, ,故 f(x)2sin(2x ) 设x0是函数f (x) 在 , 上的极小值点, 2x , , 故2x0 , x0 , 则 f(x0)+f(x0)2+2sin( )213, 故选:B 【点评】本题主要考查由函数 yAsin(x+)的部分图象求解析式,由函数的图象的 顶点坐标求出 A,由周期求出 ,由五点法作图求出 的值,正弦函数的最

20、小值,属于 基础题 11函数 f(x)xtanxex在 , 上的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】函数 f(x)xtanxex在 , 上的零点,显然 x0 不是零点,所以问题即 为 的根,也就是 ytanx 与 y 在( , )上图象交点的个数,ytanx 的 图象容易画出,研究 y 在( , )上的单调性,极值情况,做出图象,即可解决 问题 解:由已知得 f(x)xtanxex在 , 上的零点,由于 x0 不是零点,所以问题即 转化为 的根,也就是 ytanx 与 y 在( , )上图象交点的横坐标 ytanx 的图象容易画出 令 , , 显然 , 或 , 时,g(x)0,故

21、 g(x)在 , , , 上是减函数; 当 , 时,g(x)0,故 g(x)在(1, )上是增函数 且 ,x0(x0)时, ;x0(x0)时, +;g(1) e , 同一坐标系画出 ytanx,g(x) 在( , )上的图象: 可见,ytanx 与 yg(x)有且只有两个交点,故 f(x)xtanxex在 , 上的零 点个数为 2 个 故选:B 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值情况,然后借助于图象研究函数零 点的问题,同时考查了学生利用数形结合思想、转化思想以及函数与方程思想解决问题 的能力属于中档题 12把圆心角为 120的扇形铁板围成一个圆锥,则该圆锥的侧面积与它的外接球的表

22、面积 之比为( ) A B C D 【分析】由扇形围成一个圆锥,可得圆锥的底面半径的关系,可得圆锥的侧面积,求出 圆锥的高,底面半径,外接球的半径之间的关系求出外接球的半径,进而求出外接球的 表面积进而求出面积之比 解:设圆锥的半径为 l,围成的圆锥的底面半径为 r,底面的圆心为 O,圆锥的外接球的 半径为 R,外接球的球心为 O,如图所示, 由题意可得 2rl ,所以 r ,所以圆锥的高 PO l, 在AOO中,OA2r2+(POOP)2,而 OAOPR,所以 R2 ( lR)2, 解得 R l 所以外接球的表面积 S4R24 l 2 l 2, 圆锥的侧面积 S 2r l 所以圆锥的侧面积与

23、它的外接球的表面积之比为 , 故选:C 【点评】本题考查扇形围成的圆锥的底面半径与扇形的半径的关系,及外接球的半径的 关系,属于中档题 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,过 F 作与 x 轴垂直的直线交抛物线于 A,B 两点, 若|AB|3,则 p 【分析】由题可知, ,再结合抛物线的定义可知,|AB|xA+xB+p,代入数据 进行运算即可得解 解:由题可知, , 由抛物线的定义可知,|AB|xA+xB+p2p3, p 故答案为: 【点评】本题考查抛物线的定义,属于基础题 14已知变量 x,y 满足 ,则 2xy 的最小值为

24、 1 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z2xy 表示直线在 y 轴上的截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可 解:变量 x,y 满足 的可行域如图阴影部分, 目标函数 z2xy, 点 A( , ),B( , ),C(2,1),D(0,1) 直线在 A 处的纵截距取得最大值,此时 z 有最小值, z 的最小值:z2 ( )1, 故答案为:1 【点评】本题主要考查了简单的线性规划,将可行域各角点的值一一代入,最后比较, 即可得到目标函数的最优解,是常用的一种方法 15 若函数 f (x) , , 有最小值, 则实数 a 的取值范围为 1, +) 【分析】求出当

25、x1 时函数的值域,当 x1 时函数的值域,结合题意即可得出 a 的取 值范围 解:当 x1 时,函数 ,由复合函数的单调性可知,此时函数 f(x) 为减函数,故 f(x)1,+), 当 x1 时,函数 为减函数,此时无最小值,但当 x+时,f(x)a,故 f(x)(a,a+1), 则依题意,需 a1, 故答案为:1,+) 【点评】 本题考查函数最值以及参数的取值范围的求法, 考查分析问题解决问题的能力, 属于中档题 16已知等比数列an的公比为 q(q0),前 n 项和为 Sn,且满足 a1q,a5a1+S4若 对一切正整数 n,不等式 152n2m+manmSn,恒成立,则实数 m 的取值

26、范围为 【分析】先由已知条件求出等比数列的通项公式和前 n 项和,代入不等式中,进行参变 分离,转化为求 f(n)的最值,作差判断数列的单调性,进而可以得到最小值,即可求 出 m 的取值范围 解:若 q1,则 a1q1,即 an1,此时 a5a1+S4,与题意不符,舍去; 若 q1,由 a5a1+S4,可得 a1q4a1 , 即 a1(1q4 ) 0, a1(1q4)(1 )0 解得 qa12, 则 an2n,Sn2(2n1); 对一切正整数 n,不等式 152n2m+m 2n2m(2n1)恒成立, 化简得 152nm 2n, 分离可得 m , 设 f(n) ,则 f(n+1) , f(n+1

27、)f(n) , 当 1n8 时,f(n+1)f(n),即 f(9)f(8)f(1); 当 n9 时,f(n+1)f(n),即 f(9)f(10); 所以 f(n)的最小值为 f(9) , 故答案为:m 【点评】本题考查等比数列的通项公式与求和公式,数列的单调性判断,以及与不等式 相联系的恒成立问题,属于中档题目 三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(-)必考题:共 60 分 17在ABC 中,有 (1)求 B; (2)若 A45,角 B 的角平分线 BD 交 AC

28、于 D, ,求边 AD 的长 【分析】 (1)由已知利用两角和的正弦函数公式可得 sin(B+30)1,结合范围 30 B+30210,即可求解 B 的值 (2)根据三角形的内角和定理可求 C75,又ABD30,从而可求BDC75 C,设 BDBCx,在BDC 中,根据余弦定理求得 ,在BAD 中,根据正 弦定理即可求解 AD 的值 解:(1)由 ,知 ,可得:sin(B+30)1, 0B180, 30B+30210, B+3090,即 B60 (2)A45,B60, C75, BD 为角平分线, ABD30, 从而BDC75C, BDBC, 设 BDBCx,在BDC 中,根据余弦定理得 ,

29、求得 , 在BAD 中,根据正弦定理得 ,可得: 【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式,三角形的内角和定理,余弦定理,正 弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 18如图,在三棱锥 PABC 中,PB平面 ABC,平面 PAC平面 PBC,PBBC2,AC 1 (1)证明:AC平面 PBC; (2)求点 C 到平面 PBA 的距离 【分析】(1)推导出 PBAC 取 PC 的中点 D,连接 BD,推导出 BDPC,从而 BD平面 PAC进而 BDAC由此能证明 AC平面 PBC (2)过点 C 作 CMAB,交 AB 于 M,则 CM平面 PBA 由 AC BCA

30、B CM,能 求出点 C 到平面 PBA 的距离 解:(1)证明:PB平面 ABC,AC平面 ABC,PBAC 取 PC 的中点 D,连接 BD, PBBC,BDPC 又平面 PAC平面 PBC,平面 PAC平面 PBCPC,BD平面 PBC, BD平面 PAC 又 AC平面 PAC,BDAC PBBDB,AC平面 PBC (2)解:由题意知平面 PBA平面 ABC,AB 为交线, 在 RtABC 中,过点 C 作 CMAB,交 AB 于 M,则 CM平面 PBA 又 AC BCAB CM, , 点 C 到平面 PBA 的距离为 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空

31、间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 19已知椭圆 : 的焦距为 4且过点 , (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 A(0,b),B(0,b),C(a,b),过 B 点且斜率为 k(k0)的直线 l 交 椭圆 E 于另一点 M,交 x 轴于点 Q,直线 AM 与直线 xa 相交于点 P证明:PQOC (O 为坐标原点) 【分析】 (1) 求出 c2, 由椭圆的定义求出 a, 然后求解 b, 即可得到椭圆 E 的方程 (另 解:由题可知 ,解得 ) (2)直线 l:ykx2 与椭圆 x2+2y28 联立,求出 MQ 的坐标,直线 AM 的斜率,直线 AM 的

32、方程,然后求解直线 PQ 的斜率推出直线 OC 的斜率,即可证明 PQOC 【解答】(1)解:由题可知,2c4,c2,椭圆的左,右焦点分别为(2,0), (2,0) 由椭圆的定义知 , ,b2a2c24,椭圆 E 的方程为 (另解:由题可知 ,解得 ) (2)证明:易得 A(0,2),B(0,2), , , 直线 l:ykx2 与椭圆 x2+2y28 联立,得(2k2+1)x28kx0, ,从而 , , , 直线 AM 的斜率为 ,直线 AM 的方程为 令 得 , , 直线 PQ 的斜率 直线 OC 的斜率 , kPQkOC,从而 PQOC 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,直线与椭圆的位

33、置关系的应用,考查分析问 题解决问题的能力,属于中档题 202020 年 1 月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻,避免外出是减少相互交叉感 染最有效的方式在家中适当锻炼,合理休息,能够提高自身免疫力,抵抗该种病毒某 小区为了调查“宅”家居民的运动情况,从该小区随机抽取了 100 位成年人,记录了他 们某天的锻炼时间,其频率分布直方图如图: (1)求 a 的值,并估计这 100 位居民锻炼时间的平均值 (同一组中的数据用该组区间 的中点值代表); (2)小张是该小区的一位居民,他记录了自己“宅”家 7 天的锻炼时长: 序号 n 1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长 m(单位:分钟) 10

34、15 12 20 30 25 35 ()根据数据求 m 关于 n 的线性回归方程; ()若 ( 是(1)中的平均值),则当天被称为“有效运动日”估计小张 “宅”家第 8 天是否是“有效运动日”? 附;在线性回归方程 中, , 【分析】(1)利用频率分布直方图的面积为 1,求出 a,求出这 100 位居民锻炼时间的 平均值 即可 (2)()求出样本中心,求出回归直线方程的斜率,得到截距,然后求解回归直线方 程 ()当 n8 时,求出 m利用“有效运动日”的定义估计小张“宅”家第 8 天是“有 效运动日” 解:(1)(0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003)101,a0.0

35、3 0.0031030.2 (2)() , , (2021)+(54)(3021)+(64)(2521)+(74) (3521)113, , , m 关于 n 的线性回归方程为 ()当 n8 时, ,估计小张“宅”家第 8 天是“有效运动日” 【点评】本题考查频率分布直方图的应用,回归直线方程的求法与应用,是基本知识的 考查 21已知函数 f(x)lnxax2 (1)判断函数 f(x)在点 x1 处的切线是否过定点?若过,求出该点的坐标;若不过, 请说明理由 (2)若 f(x)有最大值 g(a),证明:g(a)a 【分析】(1) ,f(1)12a,切点坐标为(1,a),可得 f(x) 在 x1

36、 处的切线方程为 y+a(12a)(x1),化简 y(x1)+a(12x),进 而得出结论 (2)由题知,f(x)的定义域为(0,+) 对 a 分类讨论, 利用导数研究函数的单调性可得极值最值,进而证明结论 【解答】(1)解: ,f(1)12a,切点坐标为(1,a), f(x)在 x1 处的切线方程为 y+a(12a)(x1), 即 y(x1)+a(12x),令 12x0,得 , f(x)在 x1 处的切线过定点其坐标为 , (2)证明:由题知,f(x)的定义域为(0,+) 若 a0,则 f(x)0 恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增,f(x)无最大值 若 a0,令 f(x)0,得 (舍)

37、或 , 当 , ,f(x)0;当 , 时,f(x)0, 故 f(x)在 , 上单调递增,在 , 上单调递减, 故 , 即 若证 g(a)a,可证 ,令 2at, , 则有 ,即证 tlnt10 设 p(t)tlnt1(t0),则 当 t(0,1)时,p(t)0,p(t)单调递减;当 t(1,+)时,p(t)0,p(t) 单调递增, 故 p(t)minp(1)0p(t)0,即 g(a)a 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类 讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,

38、则按所做的第一题计 分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:y2ax(a0),曲线 C2: ( 为参数) 在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为 (R) , l 与 C1,C2分别交于异于极点的 A,B 两点且 2|OB|OA| (1)写出曲线 C2的极坐标方程; (2)求实数 a 的值 【分析】 (1) 直接利用转换关系, 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 (2)利用极径的应用建立等量关系,求出参数 a 的值 解: (1)曲线 C2: ( 为参数)转换为直角坐标方程为 x 2+(y2)24, 转换为极

39、坐标方程为 24sin,化简得 4sin (2)曲线 C1:y2ax(a0),转换为极坐标方程为 2sin2acos,整理得 sin2 acos 所以 ,解得 , 同理 ,解得 , 由于 2|OB|OA|, 整理得 ,解得 a4 【点评】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极径 的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础性题 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|xa|+2|x|(a0) (1)解不等式 f(x)2a; (2)若函数 f(x)的图象与直线 y2a 围成的图形的面积为 6,求实数 a 的值 【分析】(1)分类写出分段函数解

40、析式,代入 f(x)2a,求解后取并集得答案; (2)作出分段函数的图象,画出图形,由函数 f(x)的图象与直线 y2a 围成的图形的 面积为 6 列式求解 a 值 解:(1)若 xa,则 f(x)|xa|+2|x|xa+2x3xa, 由 f(x)2a,得 3xa2a,即 xa,则 xa; 若 0xa,则 f(x)|xa|+2|x|x+a+2xx+a, 由 f(x)2a,得 x+a2a,即 xa,此时 x; 若 x0,则 f(x)|xa|+2|x|x+a2x3x+a, 由 f(x)2a,得3x+a2a,即 x ,则 x 不等式 f(x)2a 的解集为x|x 或 xa; (2)由(1)知,f(x) , , , , 作出函数的图象如图: 则 ,解得 a3(a0) 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查分段函数的图象,是中档题