1、数学试题数学试题第第 1页（共页（共 6 页）页） 2019 学年第学年第二二学期高三学期高三模拟模拟考试考试 数学数学试题卷试题卷2020.5 姓名姓名准考证号准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共全卷共 6 页页，选择题部分选择题部分 2 至至 3 页页；非选择题非选择题 部分部分 4 至至 6 页。满分页。满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。 考生注意：考生注意： 1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试题卷和答题纸
2、规定的位置上。试题卷和答题纸规定的位置上。 2答题时答题时，请按照答题纸上请按照答题纸上“注意事项注意事项”的要求的要求，在答题纸相应的位置上规范操作在答题纸相应的位置上规范操作， 在本试题卷上的作答一律无效。在本试题卷上的作答一律无效。 参考公式：参考公式： 如果事件如果事件 A，B 互斥，那么互斥，那么 )()()(BPAPBAP 如果事件如果事件 A，B 相互独立，那么相互独立，那么 )()()(BPAPBAP 如果事件如果事件 A 在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是 P， 那么那么n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A恰好发生恰好发生 k次的概率次的概率 ), 2
3、, 1 , 0()1()(nkppCkP knkk nn 球的表面积公式球的表面积公式 2 4 RS ， 其中其中 R 表示球的半径表示球的半径 球的体积公式球的体积公式 3 3 4 RV ， 其中其中 R 表示球的半径表示球的半径 棱柱的体积公式棱柱的体积公式 ShV ， 其中其中S表示棱柱的底面积，表示棱柱的底面积，h表示棱柱的表示棱柱的 高高 棱锥的体积公式棱锥的体积公式 ShV 3 1 ， 其中其中S表示棱锥的底面积，表示棱锥的底面积，h表示棱锥的表示棱锥的 高高 棱台的体积公式棱台的体积公式 )( 3 1 2211 SSSShV ， 其中其中 21,S S分别表示棱台的上分别表示棱台
4、的上、 下底面积下底面积，h 表表示棱台的高示棱台的高 数学试题数学试题第第 2页（共页（共 6 页）页） （第（第 6 题图题图） 选择题部分（共选择题部分（共 4040 分分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。 1已知集合已知集合 2, 1,1,2A ，(, 12,)B ，则，则AB A 2, 1,1B 1,1,2 C 2,1,2 D 2, 1,2 2 若若y,x满足约束条件满足约束条件 23, 23, 0, 0
5、, xy xy x y 则则zxy的最大值是的最大值是 A3B2C 3 2 D1 3某某几何体的三视图如图所示几何体的三视图如图所示（单位：（单位：cm） ， 其中正视图是其中正视图是等边等边三角形，则三角形，则该该几何体的几何体的 体积体积（单位：（单位： 3 cm）是是 A 3 3 B3C 2 3 D2 4已知双曲线已知双曲线 22 4xy， 1 F是左焦点，是左焦点， 1 P， 2 P是右支上是右支上的的两个动点，两个动点，则则 111212 |F PF PP P的最小值是的最小值是 A4B6C8D16 5如果对于任意实数如果对于任意实数x，x表示不小于表示不小于x的最小整数的最小整数，
6、例如例如1.521.61 ， 那么那么“1xy”是是“ xy”的的 A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件D既既不充分也不必要条件不充分也不必要条件 6若若函数函数( )f x的图象如图所示，则的图象如图所示，则( )f x的解析式可以是的解析式可以是 A( )sinf xxx B( )cosf xxx C 2 ( )sin f xxxD 2 ( )cosf xxx （第（第 3 题图题图） 数学试题数学试题第第 3页（共页（共 6 页）页） （第第 10 题图题图） 7已知已知 1 0 2 a，随机变量随机变量 的分布如下：的分布如下： 当当a在（在
7、（ 1 0 2 ，）内）内增大时，增大时， A( )E 减小，减小，( )D 减小减小B( )E 减小，减小，( )D 增大增大 C( )E 增大，增大，( )D 减小减小D( )E 增大，增大，( )D 增大增大 8已知函数已知函数 e0 ( ) 0 x x f x xx ， ， ， （其中其中e为自然对数的底数为自然对数的底数） ，若函数若函数 2 ( )yf xax恰有恰有 三个零点，则三个零点，则 A 2 e 0 4 aB 2 e 0 2 aC 2 e 4 aD 2 e 2 a 9设设,R a b，数列，数列 n a满足满足 11 ,ln(N ) nn aa aabn ，则，则 A若若
8、2 b，则，则 2020 aaB若若2 b，则，则 2020 aa C若若2 b，则，则 2020 aaD若若2 b，则，则 2020 aa 10如图如图，在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中中， CACB，点点D为为BC的中点的中点现将现将 ACD沿沿AD 折起至折起至 1 AC D，使，使 1 BC D为钝角三角形，设直线为钝角三角形，设直线 1 DC与平面与平面ABD所成的角为所成的角为 ， 直线直线 1 BC与面与面ABD所成的角为所成的角为 ，直线，直线BD与面与面 1 AC D所成的角为所成的角为 ，则，则, 的的 大小关系为大小关系为 ABCD 1 01 P 1 2 1 2
9、aa 数学试题数学试题第第 4页（共页（共 6 页）页） 非选择题部分（共非选择题部分（共 110110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。分。 11复数复数(1i) (2i)z （i为虚数单位为虚数单位） ，则复数，则复数z的共轭复数是的共轭复数是 12若若偶函数偶函数( )sin()2cos(0)f xxx ，则，则 ，( )f x的最大值的最大值 为为. 13在二项式在二项式 6 1 (2) 3 x x 的展开式中，有理项共有的展开式中，有理项共有项，项，项的项的系数最小
10、的项系数最小的项 为为 14已知圆已知圆 22 :(1)(2)4Cxy ，若直线若直线:(21)(22)410(R)lmxmymm 与与 圆圆C交于交于,A B两点，则弦两点，则弦AB长的最小值为长的最小值为，若圆心，若圆心C到直线到直线l的距离为的距离为 3 2 ，则实数，则实数m 15设设,R x y,若若 22 2321 xxyy，则，则 xy的最小值为的最小值为， xyxy的最小的最小 值为值为 16 已知椭圆已知椭圆 2 2 1 2 x y 的左右焦点分别为的左右焦点分别为 12 ,F F，,A B是椭圆上位于是椭圆上位于x轴上方的两点轴上方的两点， 且直线且直线 1 AF与直线与直
11、线 2 BF平行平行， 若若 12 2 2 | 3 AFBF ， 则则 12 AF F 的面积为的面积为. 17已知已知平面向量平面向量 , ,a b c 满足满足| 2| 1,|2,(4 ) (4 )0baccacb ，则，则|2|ab 的取的取 值范围是值范围是 数学试题数学试题第第 5页（共页（共 6 页）页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本题满分（本题满分 14 分）已知四边形分）已知四边形ABCD中，角中，角A和角和角C互补，且互补，且,AB1 ,
12、BC2 3,4CDDA （）求）求cosA的值；的值； （）求）求tantan 22 AC 的值的值 19. （本题满分本题满分 15 分分）如图如图，在四棱锥在四棱锥PABCD 中中，PD 平面平面ABCD，四边形四边形ABCD 是菱形，是菱形，22 3ACBDE ，是是PB上任意一点上任意一点 （）求证：）求证： ACDE; （）若若二面角二面角 APBD的的平面角的平面角的余弦值为余弦值为 15 5 ，且且E是是PB的中点的中点，求求EC与与 平面平面PAB所成角的正弦值所成角的正弦值 20 （本题满分（本题满分 15 分）分）已知数列已知数列 n a满足满足 111 1(N ) nnn
13、n aaaaan ， （）求证：数列求证：数列 n a 1 为等差数列，并求为等差数列，并求 n a； （）设设 1 12 nn ba，数列，数列 n b的前的前n项和为项和为 n S，求证：，求证： 1 1 1 n Sn n （第第 19 题图题图） （第第 18 题图题图） 数学试题数学试题第第 6页（共页（共 6 页）页） 21. （本题满分（本题满分 15 分）已知抛物线分）已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点的焦点F到准线到准线l的距离为的距离为2，直线，直线 0(R)xymm 与抛物线交于不同的两点与抛物线交于不同的两点A B， （）求抛物线的方程；）求抛物线的方程； （） 是
14、否存在与是否存在与m的取值无关的定点的取值无关的定点T，使得直线使得直线,AT BT的斜率之和恒为定值？的斜率之和恒为定值？ 若存在，求出所有点若存在，求出所有点T的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请请说明理由说明理由 22 （本题满分（本题满分 15 分）分）已知函数已知函数 2 ( )e x f x（其中（其中e为自然对数的底数为自然对数的底数） （）证明：当证明：当0 x时，时， 2 ( )122f xxx； （）当当0 x时，时， 2 ( )ln() x f xxa xa 恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围 （第第 21 题图题图） 高三高三模拟考试模拟考试数学参考答
15、案数学参考答案 一、选择题：本题共 10 个小题，每题 4 分，共 40 分 1D； 2B； 3A； 4C； 5 B； 6B； 7D； 8C； 9A； 10B 第 10 题解析： 1 ,CDBDBC D=DQ为钝角三角形， 1 BDC为钝角， 1 BCBD为钝角， 又 1 ACDAC DABD SSS DD = V ， 1 C到平面ABD的距离等于B到平面 1 AC D的距离，记为d 则 11 sin,sin,sin ddd C DBDBC =，sinsinsin= 所以答案 B 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 1113i+ +； 12 2
16、 = = ,1； 134， 3 2 2 64Tx= = ； 142 3， 53 3 4 m = =； 15 29 7 , 78 ； 161； 17 214 , 22 第 17 题解析： （方法一） 2 |2|24aba b= = ，(4 ) (4 )0cacb= = ， 2 4 ()160cc aba b+= += 22 182 ()2| |2 22a bc abcabaa bb +=+=+ +=+=+ 5 182 22 4 a ba b + + ，所以 33 88 a b 2 1 7 |2|24 , 2 2 aba b= = ， 214 |2| 22 ab （方法二）设4 ,4 ,( 2,0
17、)OAa OBb OC= = ， 所以4,4caAC cbBC= = ，则由题意知AC BC ， 记矩形ACBD，则由 2222 OAOBOCOD+=+=+ 得， 3 2OD = = 1 令|2|tab= = ，所以 22 |2|24taba b= = ，所以 2 2 4 t a b = = 又| | |44 |CDABab= = ，所以 2222 |44 |48CDABabt=+ =+ 又2 2| 4 2CD ，所以 2 84832t+ ，所以 214 |2| , 22 tab= = 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （本题满分 14
18、分）已知四边形ABCD中，角A和角C互补，且1,2,ABBC=， 3,4CDDA= （ ）求cos A的值； （ ）求tantan 22 + + AC 的值 解： （1）在ABDD中，由余弦定理得 2 1 168cosBDA= + 在BCDD中，由余弦定理得， 2 49 12cosBDC=+ 因为角A和角C互补，即coscosCA= ，所以由解得 1 cos= 5 A. （2）因为角A和角C互补，所以 sincos 112 22 tantan=tantantan 22222sin tancossinsincos 22222 AA ACAAA AAAAA A +=+=+= 1 1cos= 5 A
19、由（）得，所以 2 6 sin= 5 A，所以 25 tantan=6 22sin6 AC A +=. 19. （本题满分 15 分） 在四棱锥 PABCD中， PD平面ABCD， 四边形ABCD是菱形， 2,2 3,=ACBDE是PB上任意一点 （第 18 题图） 2 （）求证： ACDE; （）已知二面角APBD的余弦值为 15 5 ，若E是PB的中点，求EC与平面 PAB所成角的正弦值 解：（1）PDABCDACABCD平面，平面， PDAC，四边形ABCD是菱形， .BDACBDPDDBDPDPBD=又，平面， .ACPBDDEPBDACDE平面，又平面， （2）在PDBD中，EOPB
20、 ， 分别为，BD的中点， / /.EOPDPDABCDEOABCD，又平面，平面 分别以,OA OB OE所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐 标系，设=0PD t t （）， 则(1,0,0), (0, 3,0),( 1,0,0),(0,0, ), (0,3, ) 2 t ABCEPt ( 13,0( 1,3,ABAPt= = ，），）， 显然由（1）知平面PBD的一个法向量为=(1,0,0)n ， 设平面PAB的一个法向量为=( , , )mx y z ， （第 19 题图） 3 则 =030, =030 m ABxy m APxytz += += ， 得 ， 令=1y，得 2 3
21、 =( 3)m t ,1,， 15 5 APBD二面角的余弦值为， 2 15315 cos, 5512 4+ mn t = ，即， 解得2 32 3tt= 或（舍去），(0,3,2 3)P 设EC与平面PAB所成的角为， =1,03)( 3,1,1ECm= （，），则 2 315 sincos 52 5 EC m= = ， 15 . 5 ECPAB与平面所成角的正弦值为 20 （本题满分 15 分）已知数列 n a满足 111 1,(N ) + + = nnnn aaaaan （ ）求数列 n a的通项公式； （ ）设 1 12 + + =+=+ nn ba，记数列 n b的前n项和为 n S
22、，求证： 1 1 1 的焦点F到准线l的距离为2，直线 0(R)xymm+=+= 与抛物线相交于不同的两点,A B 4 （ ）求抛物线的方程； （ ）问是否存在与m的取值无关的定点T，使得直线,AT BT的斜率之和恒为一 个定值？若存在，求出所有点T的坐标；若不存在，说明理由 解： （ ）由题意得(,0) 2 p F，准线方程： 2 p x = = ，所以2p = =，所以 2 4yx= = （ ）假设存在定点T满足题意，设( , )T a b， 1122 (,),(,)A xyB xy， 联立方程 2 4 0 yx xym = += = += ，消去x得 2 440yym+=+=，由韦达定理
23、得 12 12 16160 4 4 m yy yym D = += = D = += = ， 又直线,AT BT的斜率为 12 12 , ATBT ybyb kk xaxa = = 所以 121221 1212 ()()()() ()() ATBT ybybybxaybxa kk xaxaxaxa + +=+= + +=+= 22 21 22 12 1221 2222 1212 ()()()() 4()(4 )4()(4 ) 44 (4 )(4 ) ()() 44 yy ybayba ybyaybya yyyaya aa + + = + + = 22 12121212 2222 1212 2
24、1212121212 222 121212 22 4()16 ()4 ()32 ()4 ()16 4()16 ()4 ()232 ()4 ()216 2(2)22 24 y yyya yyb yyab y ya yya y yyya yyb yyy yab y yayyy ya bmabab mamaa + = + + = + + = + + = + + = + + = + 要使 ATBT kk+ +为与m无关的常数，只能 20 220 b abab += = += = ，解得1,2ab= = 此时0 ATBT kk+=+=为常数 综上所述存在定点(1, 2)T ，使得直线 ,AT BT的斜率
25、之和恒为定值 0. 22 （本题满分 15 分）已知函数 2 ( )e= = x f x（其中e为自然对数的底数） （ ）证明：当0 x时， 2 ( )122+f xxx； 5 （ ）当0 x时， 2 ( )ln()+ + + + x f xxa xa 恒成立，求实数a的取值范围 解： （ ）令 222 ( )( )122e122 x g xf xxxxx=-=-（0x ） 所以 2 ( )2e24 x g xx =-，令 2 ( )2e24 (0) x h xx x=-?，所以 2 ( )4e4(0) x h xx =-? 所以( )0h x 成立，( )h x在0,)+?单调递增，( )(
26、0)0h xh?， 即( )0g x 成立， 所以( )g x 在0,)+?单调递增，得( )g(0)0g x ?，即当0x 时， 2 ( )122f xxx +，得证 （） 因为当0x 时， 2 ( )ln() x f xxa xa + + 恒成立， 令0x =得(0)lnfa， 所以0ae?， 下证当0ae?时原不等式成立 由（）知当0x 时， 2 ( )122f xxx + 只需证明 2 2 122ln() x xxxa xa + + ， 因为当0ae?时， 2 x x xa + ，故只需证明 2 12ln()0xxxa+ ， 令 2 ( )12ln()(0)p xxxxa x= + 所以 2 14(41)1 ( )14 xaxa p xx xaxa + = += + 当1ea时，( )0p x 成立， ( )p x在0,)+? 单调递增， ( )(0)1ln0p xpa?-? 成立 当01a成立， 综上原不等式得证 6