1、第十七讲 比例应用题 在研究两个量之间的关系时，经常用到和的关系、差的关系以及倍数关系之前我们学 过的和差倍问题就是关于这些关系的 而倍数关系还有一种比较常见的表现形式， 就是比的 关系 比如，甲有 3 个苹果，乙有 2 个苹果，我们可以说甲的苹果是乙的 1.5 倍，也可以说甲 和乙的苹果数之比是 3:2，读作 3 比 2如果甲有 6 个苹果，乙有 4 个苹果，甲的苹果仍然 是乙的 1.5 倍， 甲和乙的苹果数之比是 6:4 我们发现， 比的关系和倍数关系可以如下转化： 由此可见，比的概念与除法的概念密切相关，我们定义：两个数相除又叫做这两个数的两个数相除又叫做这两个数的 比比在两个数的比中，
2、比号前面的数叫做比的前项前项，比号后面的数叫做比的后项后项，比的前项 除以比的后项所得的商叫做比值比值例如： 请你想一想： 比的前项、 后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？比的后项可 以是 0 吗？与除法和分数一样，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外） ，比值不 变利用这个性质，我们可以像约分一样，将比化简比如 6:4=3:2 像这种表示两个比相等的式子叫做比例（式）要判断两个比是否成比例，就要看它们 的比值是否相等两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例比例有 四个项，分别是两个内项内项和两个外项外项 在 3:4=9:12 中，其中 3 与 12 叫做比例的外
3、项外项， 4 与 9 叫做比例的内项内项比例的四个数均不能为 0在任意一个比例中，两个外项的积等 于两个内项的积即： 如果如果 ab=cd，那么，那么 a d=b c 3:7 比的后项 比号 比的前项 比值 3 37 7 比值通常用分 数表示， 也可以 用小数或整数 表示 比的关系 3:2 6:4 倍数关系 1.5 倍 1.5 倍 321.5 641.5 在表示两个量之间的关系时，可以用到和的关系、差的关系、倍数关系和分 数倍关系除了这些之外，比例也可以用来表示两个量之间的倍数关系知道了 两个量之间的比，我们可以方便的按照比例将两个对象的数量分配好，这也是本 讲要重点学习的：按比例分配 例题
4、1 （1）水果店运来了西瓜和哈密瓜共 234 个如果西瓜和哈密瓜的个数比为 5:4，那 么水果店运来西瓜和哈密瓜各多少个？ （2）阿呆和阿瓜一起去买包子，两人买的包子数之比是 13:6又知道阿呆比阿瓜多买了 21 个包子，那么两人一共买了多少个包子？ 分析分析根据比例设份数，比如西瓜和哈密瓜的个数比是 5:4，那么可设西瓜有 5 份，哈密 瓜有 4 份 （1）卡莉娅和萱萱一共买了 50 块巧克力，卡莉娅的巧克力块数和萱萱的比是 7:3，那么卡 莉娅比萱萱多多少块巧克力？ （2）小山羊和老山羊去吃草，小山羊和老山羊吃的草量比为 5:9，并且老山羊比小山羊多吃 了 200 克的草，那么小山羊吃了多
5、少克的草？ 练 习 1 1 1. 求比值：2:5 =_；7:3 =_；10:4=_ 2. 把比化成最简整数比：6:15 =_；8:12=_；0.2:0.5 =_ 3. 如果34ab，那么 a:b=（ ）:（ ） ； 4. 我国国旗法规定，国旗长宽之比为 3:2，若国旗宽是 128 厘米，则长是_ 厘米 练 一 练 例题 2红旗小学共有师生 1081 人其中老师与学生的人数之比为 2:45，男生与女生的人 数之比为 5:4请问：红旗小学的老师、男生和女生各有多少人？ 分析分析如何通过师生的人数比求出学生的总人数？又如何利用男、女比例，求出男、女生 各有多少？把这两个问题搞清楚了，本题也就解决了
6、512 名士兵分成龙、 虎两个营， 将龙营分成甲、 乙两个连， 再将乙连分成 A、 B 两个排 如 果每次都按 5:3 的人数比来分，那么 A 排有多少名士兵？ 比例除了可以表示两个量之间的倍数关系， 还可以表示多个量之间的倍数关系 我们把 两个数之间的比称为简单比简单比，多个数的比称为连比连比简单比与连比之间可以互相转化 如果甲:乙=2:3，乙:丙=5:4，那么甲:乙:丙是多少？ 例题 3机器人制造厂一月份与二月份生产机器人的个数比为 4:5后来改进生产技术，三 月份生产的机器人的个数与二月份的产量之比为 5:3 （1）请写出三个月的产量的连比； （2）如果三月份比一月份多生产了 78 个机
7、器人请问，这家工厂第一季度共生产多少个机 器人？ 分析分析 题目中给出了两个比， 这两个比之间存在什么样的关系呢？你能通过这两个比求出 一月份、二月份和三月份这三个月产量的连比吗？ 育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆第一批与第二批的人数比是 5:4，第二批 与第三批的人数比是 3:2已知第一批的人数比第二、三批的总和少 55 人请问：育才小学 练 习 3 3 甲 乙 丙 2 : 3 5 : 4 10 : 15 : 12 甲:乙:丙=10:15:12 练 习 2 2 五年级一共有多少人？ 对于数量发生变化的题，题目中比的每一份的含义往往也是不一样的，不能直接来计 算那么对于这类问题，我们通常
8、要从题中找到不变量，根据它来统一份数我们来看看下 面这道题，题中的量是如何变化的？你能找到其中的不变量吗？ 例题4 慢羊羊村长开了一间学校， 招了好多小羊和小狼， 上学期小羊和小狼的数量比为1:3， 新学期时又转来了 20 只小羊， 导致开学的时候小羊和小狼的数量比变为 3:5， 那么开学时一 共有多少只小羊？ 分析分析题目中也给出了两个比，这两个比之间存在什么样的关系？我们能像例 1 那样，把 上学期的小羊和小狼设成 1 份和 3 份，这学期的设成 3 份和 5 份吗？ 史蒂文森高中去年男生和女生的人数比为 5:3，今年转来了 200 名男生，使得女生和男 生的人数比变为 1:2，那么今年史
9、蒂文森高中一共有多少名学生？ 例题 5如下图，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是 360 厘米甲木棒在 水面上、下的长度之比为 3:1，乙木棒在水面上、下的长度之比为 4:3，丙木棒在水面上、 下的长度之比为 2:3请问：水深是多少厘米？ 分析分析题目中的三个比涉及到了甲、乙、丙三根木棒的水上部分和水下部分，它们之间有 公共的量吗？ 练 习 4 4 水面 乙 丙 甲 水深 例题 6甲、乙两包糖的重量比是 5:3，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的 重量比变为 7:5请问：这两包糖重量的总和是多少克？ 分析分析甲包少了 10 克，乙包多了 10 克什么没有变呢？ 黄金
10、分割 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分 之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是 0.618。由于按此比例 设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个数值的作用不仅 仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方 面也有着不可忽视的作用，在很多地方都可以发现黄金分割的存在。 1、1、2、3、5、8、，这个数列叫做斐波那契数列。相邻两个菲波那契 数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比。 黄金分割在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中， 采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广
11、泛，建筑物中 某些线段的比就科学采用了黄金分割， 舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央， 而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最 好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会 看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。下图是帕特农神庙，它的设计很多处 都用到了黄金分割。 作业1. 王老师班上的男生和女生之比为 7:5， 如果班上有 21 个男生， 那么有多少个女生？ 作业2. 书架上有中文书和英文书，一共有 20 本其中中文书与英文书的数量比是 2:3，那 么中文书有多少本？ 作业3. 青蛙王国共有青蛙 900 只其中大青蛙与小青蛙的只数之
12、比为 17:28，小青蛙中， 绿皮青蛙与其他青蛙的只数之比为3:1那么小青蛙中的绿皮青蛙有多少只？ 作业4. 花园里有玫瑰、百合还有兰花，其中玫瑰和百合的朵数之比为 1:2，而百合和兰花 的朵数之比为 4:3，如果玫瑰比兰花少 20 朵，那么玫瑰花有多少朵？ 作业5. 有 429 名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为 7:6后来又有一些 女生报名参赛， 这时男生和女生的人数比变成 11:10 请问： 后来报名的女生有多少人？ 第十七讲 比例应用题 例题1. 答案： （1）西瓜 130 个，哈密瓜 104 个 （2）57 详解： （1）2345426，265130，264104 （2
13、）211363， 313657 例题2. 答案：老师 46 人，男生 575 人，女生 460 人 详解：108124523，22346，45231035103554115， 5 115575，4 115460 例题3. （1）12:15:25； （2）312 详解： （1）将二月份的产量统一为 15 份，那么一月份的产量是 12 份， 三月份的产量是 25 份， 三个月的产量之比是 12:15:25；（2） 7825 126，612 1525312 例题4. 答案：45 只 详解：注意到小狼的数量并没有发生变化，所以统一两次小狼的 份数，将狼和羊的数量比化成 5:15 和 9:15求出 1
14、份代表 20955（只） ，那么开学时共有5 945只小羊 例题5. 答案：45 厘米 详解：注意到三根木棒在水下的长度是一样的，将水下部分都统 一为 3 份三个比分别转化成 9:3、4:3 和 2:3，1 份的长度为 36093432315 厘米，水下部分的长度是15345厘米 例题6. 答案：240 详解：注意到甲、乙两包糖的重量之和没有变，统一成 24 份两 个比分别转化成 15:9 和 14:10， 可求出 1 份的重量为1015 1410 克，两包糖的重量总和为10159240克 练习1. 答案： （1）20； （2）250 简答：参考例 1 即可 练习2. 答案：75 简答：参考例
15、 2 即可 练习3. 答案：385 简答：参考例 3 即可 练习4. 答案：1800 简答：注意到女生的人数没有变，统一女生的份数即可 作业1. 答案：15 简答：217515 作业2. 答案：8 简答：202328 作业3. 答案：420 简 答 ： 首 先 可 求 出 小 青 蛙 有900172828560只 再 求 出 绿 皮 青 蛙 有 560133420只 作业4. 答案：40 简答：首先可求出玫瑰、百合和兰花的朵数比是 2:4:3，那么玫瑰与兰花的朵数比是 2:3玫瑰有2032240朵 作业5. 答案：12 简答：男生的人数没有变化过，一直都是429677231人那 么后来男女生一共有231 1111 10441人，增加的 12 人就是后来 报名的女生