1、第十讲 约数与倍数 在前面的章节，我们学习了数论中的整除和质数合数等知识今天，我们来学习数论中 有关约数与倍数的知识 约数和倍数的定义是这样的： 对整数 a 和 b， 如果|a b， 我们就称 a 是 b 的约数 （因数） ， b 是 a 的倍数 根据定义， 我们很容易找到一个数的所有约数， 例如对12： 因为121 122 63 4 ， 可知 12 可以被 1、2、3、4、6、12 整除，那么它的约数有 1、2、3、4、6、12，共 6 个 从上面 12 的分拆可以看出，约数具有“成对出现成对出现 ”的特征，也就是：最大约数对应最 小约数、第二大约数对应第二小约数等所以在写一个数的所有约数时
2、，可以逐对写出另 外如果计算较大约数不太方便，可以转而计算与其成对的较小约数 例题 112345654321 的第三大约数是多少？ 分析分析 第三大约数有点大， 那我们可以先求出第三小的约数， 再根据它计算第三大的约数 12345678987654321 的第二大约数是多少？ 从上面的分析知， 可以通过枚举的方法逐对写出一个数的所有约数， 从而可就算出它的 约数个数但是对很大的数，例如 20120000，用枚举来计算个数便很麻烦，所以我们要采 用新的方法计算 以 72 为例，首先采用枚举可知 72 共 12 个约数，分别为 1、72；2、36；3、24；4、18； 6、12；8、9因为 72
3、的约数能整除 72，而 72 的所有质因数也都能整除 72，所以对 72 进 行质因数分解，有： 32 7223，那么 72 的所有约数应当由若干个 2 与若干个 3 构成显 然，2 有 0 个到 3 个共 4 种选择；3 有 0 个到 2 个共 3 种选择，根据乘法原理，72 的约数共 4312个，见下表（注意 0 21、 0 31） ： 从 72 的这个例子，我们可以总结出计算约数个数的一个简单做法： 练 习 1 1 约数个数等于指数加约数个数等于指数加 1 再相乘再相乘 例题 2下列各数分别有多少个约数？ 23， 64， 75， 225， 720 分析分析熟练掌握约数个数的计算公式即可
4、下列各数分别有多少个约数？ 18， 47， 243， 196， 450 例题 3 3600 有多少个约数？其中有多少个是 3 的倍数？有多少个是 4 的倍数？有多少个不 是 6 的倍数？ 分析分析约数既然能整除 3600，那说明约数一定包含在 3600 的因数中我们知道 422 3600235， 那么 3600 的所有约数一定是由若干个 2、 若干个 3 和若干个 5 组成的 如 果约数是 3 的倍数，那么它至少要含有多少个 3？ 3456 共有多少个约数？其中有多少个是 3 的倍数？有多少个是 4 的倍数？有多少个不 是 6 的倍数？ 前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大
5、家可以发现，平方数在 进行配对时会出现两个重复的数， 所以平方数有奇数个约数， 根据上面关于约数个数的知识 我们可以知道，有奇数个约数的数一定是平方数有奇数个约数的数一定是平方数 ，有偶数个约数的数一定不是平方数有偶数个约数的数一定不是平方数 练 习 3 3 练 习 2 2 72 20 21 22 23 30 00 231 10 232 20 234 30 238 31 01 233 11 236 21 2312 31 2324 32 02 239 12 2318 22 2336 32 2372 例题 4在小于 1000 的正整数中，有多少个数有奇数个约数？ 分析分析有奇数个约数的数一定是平方
6、数，所以只要找出有多少个平方数小于 1000 即可 在 2000 到 3000 中，有多少个数有奇数个约数？ 把一个数分解质因数后， 可以知道它的约数个数， 反过来， 如果知道一个数的约数个数， 虽然并不能知道这个数是多少 （例如 6 和 10 都有 4 个约数） ， 但可以知道这个数的质因数分 解式的形式，例如有 2 个约数的数一定是质数，有 4 个约数的数是 3 a或bc（a、b、c 都是 质数） 下面以 16 个约数为例，来看一下如何反求质因数分解式： 先对 16 进行分解：162 84 42 2 42 2 2 2 所以质因数分解式为： 15 、 7 、 33 、 3 、 例题 5有 1
7、2 个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是 12 个？ 分析分析有 12 个约数的数有什么样的特点呢？ 23 10823，根据约数个数的计算方法可知 108 有 12 个约数除此之外， 32 23， 32 25，甚至形如 32 ab（a、b 为不同的质数）均 有 12 个约数想一想还有没有其他的可能？ 关于约数的另一类问题是计算约数和， 下以 72 为例， 先利用上面的表格列出 72 的所有 约数，并计算出行和： 现在把3个行和相加， 得到72的约数和是 0123012 222233315 13 195 练 习 4 4 72 20 21 22 23 行和 30 00 23 10 23
8、 20 23 30 23 01230 (2222 ) 3 31 01 23 11 23 21 23 31 23 01231 (2222 ) 3 32 02 23 12 23 22 23 32 23 01232 (2222 ) 3 根据这个例子，我们可以总结出计算约数和的一般方法： 32 abc的约数和为的约数和为 232 111aaabbc 例题 6计算下列数的约数和：108、144 分析分析熟练掌握约数和的计算公式即可 完全数（perfect number） 如果一个自然数的真因子 （除了自己以外的约数） 之和恰好等于这个数本身， 这个数就被叫做完全数 完全数又称完美数或完备数， 是一类特殊
9、的自然数 利用本讲学过的知识不 难知道 6 和 28 是最小的两个完全数 公元前 6 世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道 6 和 28 是 完全数毕达哥拉斯曾说：“6 象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部 分是完整的，并且其和等于自身”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们 的存在了 有些 圣经 注释家认为 6 和 28 是上帝创造世界时所用的基本数字， 他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数圣奥古 斯丁说：“6 这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相 反，因为这个数是一个完数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了” 完全数诞生后，
10、 吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找 它很久 以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力， 他们没完没了地找寻 这一类数字 接下去的两个完全数是公元 1 世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修 斯发现的，他在其数论一书中有一段话如下：“也许是这样：正如美的、卓 绝的东西是罕有的， 是容易计数的， 而丑的、 坏的东西却滋蔓不已； 是以盈数 （真 因子之和大于自身的数）和亏数（真因子之和小于自身的数）非常之多，杂乱无 章，它们的发现也毫无系统但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在 个位数里只有一个 6； 十位数里也只有一个 28； 第三个在百位数的深处， 是 496； 第四个却在
11、千位数的尾巴上，接近一万，是 8128它们具有一致的特性：尾数 都是 6 或 8，而且永远是偶数” 第五个完全数要大得多，是 33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十 五世纪才由一位无名氏给出这一寻找完全数的努力从来没有停止电子计算机 问世后，人们借助这一有力的工具继续探索笛卡尔曾公开预言：“能找出完全 数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事”时至今日，人们一 直没有发现有奇完全数的存在于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难 题目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条 件 作业1. 111111111 的第二大的约数是多少？ 作业2. 79、128
12、、180 分别有多少个约数？ 作业3. 在小于 200 的正整数中，有多少个数有偶数个约数？ 作业4. 36 的所有约数的和是多少？90 的所有约数的和是多少？ 作业5. 240 有多少个约数？其中有多少个奇约数？有多少个约数是 3 的倍数？ 第十讲 约数与倍数 例题1. 答案：1763664903 详解：12345654321 最小的约数是 1，第二小的约数是 3，第三小 的约数是 7，那么第三大的约数是1234565432171763664903 例题2. 答案：2；7；6；9；30 详解： 23 为质数， 质数有 2 个约数 6 642， 有6 1 7 个约数 2 753 5 ， 有1
13、1216（）（）个 约 数 22 22535， 有21219（）（）个 约 数 42 720235，有41211 130（）（）（）个约数 例题3. 答案：45；30；27；21 详解： 422 3600235，有41212145（）（）（）个约 数411 12130（）（）（），有411 12130（）（）（）个约数是 3 的倍 数 422222 36002354235（）， 有2 12 12 12 7 （）（）（）个约数是 4 的倍数 42232 3600235623 5 （），有3 11 12 124（）（）（）个约数 是 6 的倍数，不是 6 的倍数的约数有 21 个 例题4. 答案：
14、31 详解：平方数有奇数个约数1000 以内的平方数有 2222 1 , 2 , 331， 因此有 31 个数有奇数个约数 例题5. 答案：60，5 详解： 有 12 个约数的数分解质因数后， 可能是 11、5 、 23 、 2 ；对应的最小数分别是 2048、96、72、60，那么最小的 就是 60其中的两位数除了 60、72、96 之外还有 84 和 90，共 5 个 例题6. 答案： （1）280； （2）403 详 解 ：（ 1 ） 23 10823， 它 的 所 有 约 数 之 和 是 1 241 3927280 （2） 42 14423，它的所有约数之和是 124816139403
15、 练习1. 答案：4115226329218107 简答：约数是成对出现的，最大的约数对应最小的约数，第二大 的约数对应第二小的约数，12345678987654321 的第二小的约数 是 3，对应的第二大的约数是1234567898765432134115226329218107 练习2. 答案：6，2，6，9，18 简答：分解质因数后，指数加 1 连乘即可 练习3. 答案：32；24；24；11 简答： 73 345623，约数有8432个其中 3 的倍数有8 324个， 4 的倍数有6424个，6 的倍数有7321个，那么有322111个不 是 6 的倍数 练习4. 答案：10 简答：2
16、0003000 之间的平方数有 2 45、 2 46、 2 54，共 10 个， 只有这 10 个数有奇数个约数 作业1. 答案：37037037 简答：111111111 第二小的约数为 3，因此第二大的约数为 作业2. 答案：2 个；8 个；18 个 简答：提示，牢记计算约数个数的方法，并能准确分解质因数 作业3. 答案：185 个 简答：平方数有奇数个约数，小于 200 的平方数有，共 14 个，因此有偶 数个约数的数有 185 个 作业4. 答案：91；234 简答：提示，牢记求约数和的公式，并能准确分解质因数 作业5. 答案：20 个；4 个；10 个 简答： 4 24023 5 ，有411 11 120（）（）（）个约数奇约数即不含 有因子 2，有1 11 14（）（）个奇约数，有 10 个约数是 3 的倍数 2222 1 ,2 ,314 111111111337037037