1、第十一讲 分数与循环小数 同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况比如计算13，我们会发现商在 0 和小数点之后一直出现 3，怎么也计算不完；再比如在计算37的时候，我们会发现商在 0 和小数点之后不停的出现 428571 像这样， 从某一位起， 一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数， 叫做循环小数循环小数 例 如 0.333、0.428571428571和 1.2357357357都是循环小数 通 常我 们把 0.333 简写 成0.3， 把 0.428571428571 简写 成0.428571，把 1.2357357357简写成1.2357一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出
2、现的一段数 字，叫做这个循环小数的循环节循环节上面三个循环小数的循环节分别为 3、428571 和 357循 环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数纯循环小数，例如0.3和0.428571不是从 第一位开始的循环小数，叫做混循环小数混循环小数，例如1.2357 下面我们来学习一下分数与小数之间的互化 把分数化为小数非常简单， 直接用分子除 以分母即可例如 2 250.4 5 ， 8 8 150.53 15 将下列分数化为小数： 3 8 ， 5 6 ， 44 9 ， 2 7 ， 10 13 分析分析要把分数化小数，可以列除法竖式计算对于除不尽的情况，注意寻找循环节 将下列分数化为小数
3、：， 对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数反过来，我们怎么把 1 4 2 8 5 7 0 7 6 9 2 3 1 5 3 8 4 6 分母为 7 的循环小数可 由此产生 分母为 13 的循环小数可 由此产生 7 11 5 7 22 3 14 25 17 20 练 习 1 1 一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单，例如 123 0.12 10025 ， 749 3.74931000，每个 有限小数都可以化成分母是 10、100、1000、的分数那么循环小数呢？循环小数化分 数有以下的规律 （1）纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑 分子是由循环节所组成的多位数；
4、 而分母则由若干个 9 组成， 且 9 的个数恰好等于循环 节的位数比如 5 0.5 9 ， 70 1.70199， 1949 5.019495 99999 （2）混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑 分子是两数相减所得的差， 其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成 的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个 9 和若干个 0 组成，9 的个数等于循环节的位数，0 的个数等于小数点后不循环部分的位数比如 618661234 0.618 99099055 ， 13581351223 0.01358 9000090000 ， 209420103
5、7 0.2094 99004950 请同学们务必牢记以上方法，熟练使用 把下列循环小数转化为分数：0.4，0.24，0.185，0.56，6.36531 分析分析把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法，最后一定要注意将结果 约分成最简分数 把下列循环小数转化为分数：0.1，0.12，0.123，0.123 在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成 9、99、999 等特 殊形式来转化 把下列分数化成循环小数： 2 11 ， 14 37 ， 22 101 ， 11 45 ， 3 35 分析分析除了直接除，还可以先把分母变成特殊数后再转化11 可以扩成 99，那 3
6、7、101 可以扩成多少呢？45 和 35 呢？ 把下列分数化成循环小数： 7 33 ， 1 27 ， 90 1001 ， 3 14 ， 11 36 练 习 3 3 练 习 2 2 可以发现， 分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数 2 和 5 的个数有关 如果最简 分数的分母的质因数只有 2 和 5，会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有 2 或 5，会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有 2 或 5，也有其他质数，会 化成混循环小数 对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算 但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐要计算出正确结果，我们应该
7、多写出几位再 加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心， 再多写几位 在计算时同学们要多注意进位问题， 我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数 字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况 计算： （1）0.120.31； （2）0.670.58； （3）0.120.435； （4）0.120.434； （5）0.750.4； （6）0.3450.112 分析分析对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算那么循环小数的加法，是不是也一 样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？ 另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？ 计算：
8、 （1）0.560.876； （2）0.1230.456； （3）0.720.353 练 习 4 4 循环节有 2 位 0 1 3 1 3 1 3 1 0 2 3 4 2 3 4 2 0 3 6 5 5 4 7 3 循环节有 3 位 循环节有 6 位 0.13 0.2340.365547 由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性比如的循环节有两 位，小数部分以 4、8 为一个周期利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是 多少 把真分数 7 a 化成小数后，小数点后第 2013 位上的数字是 1a 是多少？ 分析分析 7 a 是一个真分数，所以 a 必须小于 7，只能是 1、
9、2、3、4、5、6 中的一个请同 学们，自己试着计算一下分母是 7 的各个分数，发现什么规律了吗？ 将最简真分数 7 a 化成小数后，从小数点后第一位开始的连续 n 位数之和为 9006，a 与 n 分 别为多少？ 分析分析a 是 1、2、3、4、5、6 中的一个试着计算一下 1 7 、 2 7 、 6 7 化成小数后，小 数点后连续 1000 位之和发现什么规律了吗？ 0.48 神奇的0.9 “0.9和 1 谁更大？”数学课上，老师请同学们做这样的比较 “肯定是 1 大” ，同学们异口同声地回答 “等会儿大家自己算吧”老师神秘地笑了笑 为了验证这个答案， 老师讲循环小数化分数的时候， 同学们
10、听得特别认真 老师一讲完， 他们就迫不及待的开始验证了： 由循环小数化分数的公式：0.9的循环节有一位，所以它化为分数之后，分母为 9，分 子也是 9 因此， 9 0.91 9 “咦，0.9和 1 怎么是一样的？” “0.9竟然是个假冒的循环小数！ ”这下，同学们你看看我，我看看你，都傻眼了 “对啊，0.9就等于 1大家现在不但能把循环小数化为分数，还查出了冒牌货！ ”老师 笑着鼓励大家 作业1. 将下列分数化为小数： 33 4 ， 2 3 ， 5 7 ， 5 6 作业2. 把下列循环小数转化为分数：0.27，0.148 作业3. 把下列循环小数转化为分数：0.16，0.206 作业4. 计算
11、： （1）0.010.260.62， （2）0.470.74 作业5. （1）把 6 7 化成小数后，小数点后第 2013 位上的数字是多少？ （2）把真分数 7 a 化成小数后，小数点后第 2013 位上的数字是 1a 是多少？ 第十一讲 分数与循环小数 例题1. 答案：0.375，0.83，4.8，0.285714，0.769230 例题2. 答案： 4 9 ， 8 33 ， 5 27 ， 17 30 ， 811 6 2220 ， 例题3. 答案：0.18，0.378，0.2178，0.24，0.0857142 例题4. （1）0.43； （2）1.26； （3）0.556； （4）0.5
12、55646； （5）0.31； （6） 0.2332241 例题5. 答案：4 详解：分母为 7 的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六 个数字都是 1、4、2、8、5、7（顺序不同） 2013 除以 6 余 3， 说明循环节第三位是 1，所以是 571428 循环，这个真分数是 4 7 例题6. 答案： 1 2002 a n 或者 2 2001 a n 详解：分母为 7 的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之 和都是1428572790062733315，说明在小数点后的 n 个数字中，有 333 个循环节，之后剩余的数字之和是 15，可能是 1428，对应的分数是 1 7 ，1a
13、，633342002n 也有可能是 285，对应的分数是 2 7 ，2a ，633332001n 练习1. 答案：0.85，0.56，7.3，0.714285，0.63 练习2. 答案： 1 9 ， 4 33 ， 41 333 ， 61 495 练习3. 答案：0.21，0.037，0.089910，0.2142857，0.305 练习4. 答案： （1）1.442533； （2）0.5796887； （3）0.373919 作业1. 答案： （1）8.25； （2）； （3）； （4） 作业2. 答案： 3 11 ； 4 27 简答：提示，37 是 999 的约数 作业3. 答案： 1 6 ； 34 165 简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分 作业4. 答案：0.89（ 89 99 ） ；1 . 2（11 9 ） 简答：列竖式或将循环小数化为分数均可 作业5. 答案： （1）7； （2）4 简答：（1） 6 0.857142 7 ， 利用周期问题的解决方法：201363353， 所求位上的数字是 7 （2）因为不管是 7 分之几，一定是 6 位循 0.830.714285 0.6 环节的纯循环小数，由于201363353，根据题意，说明循环节 的第 3 位上是 1，可知是 4 7