1、第十二讲 几何计数 漫画，共一格 一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。旁边文字描述：西周时期，道路和渠道 纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。 分割田地大概有 3 条横线、4 条竖线左右，可适当增减。人的耕作情况要符合西周时的 实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。 后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？ 几何计数， 同学们一看这一讲的名字就知道了， 我们学习的内容就是专门数几何图形的 个数可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画 好了， 一边看图一边数， 肯定不会数错的 真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？ 学完这
2、一讲后，大家就知道答案了 三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧 例题 1下列图形中各有多少个三角形？ 分析分析对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无 目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举，并注意寻找规律那么，本题应该按照怎 样的顺序去枚举呢？ 下图中有多少个三角形？ 例题 2右图中共有多少个三角形？ 练 习 1 1 分析分析对于这道题目，我们也首先想到枚举法应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现 其中的规律吗？ 练习 2:请数出这个图形中有多少个三角形 下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解 决问题的规
3、律和方法. 例题 3下列图形中，分别有多少个正方形？ 分析分析同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏 围棋棋盘是由 19 条横线和 19 条竖线组成的正方形方阵， 其中有多少个正方 形呢？ 例题 4在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形） （1）一共有多少个长方形？ （2）包含“”的长方形共多少个？ （3）包含“”的长方形共多少个？ （4）两个五角星都包含的长方形共多少个？ （5）至少包含一个五角星的长方形共多少个？ （6）两个五角星都不包含的长方形共多少个？ 练 习 3 3 分析分析如果还用枚举法处理这道题目，就会越数越复杂那有没有好一点的方法？ 我们换一个角度来思考这个
4、问题同学们可以想想看，怎样才能在 图中画出一个长方形来？当然很简单，只需要画出它的两条长和两 条宽就可以了，也就是只需要画出两条横线和两条竖线如右图所 示因此，长方形的个数就是选择两条横线和两条竖线的所有方法数 下图中是一个长为 9， 宽为 4 的长方形网格， 每一个小格都是一个正方形 那么： （1）从中可以数出多少个长方形？ （2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？ 通过上面的学习我们可以知道，几何计数与我们之前学过的有序思考、分类 枚举、 乘法原理以及排列组合都有着密切的关系同学们在学习过程中要勤于观 察，勤于思考，这样才能发现和总结出更好的方法 例题 5右图中共有多少个长方形？（注意
5、：长方形包括正方形） 分析分析我们可以考虑下方 3 5 的长方形和右边 6 2 的长方形，分别计算出两部分中长方 形的个数，这样所有的长方形都考虑到了，但是其中有重复计算的哪些重复计算了？容易 看出来重复计算的是右下角重叠的 3 2 的部分，那么把这部分中的长方形减去就能得到最 后答案 练 习 4 4 例题 6右图中有多少个平行四边形？ 分析分析 题目中要求数出平行四边形的个数， 那么你能发现图中有几类平行四边形吗？如何 数出每一种的数量呢？ 数学家的墓志铭 一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业 绩的标志 古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还
6、在叮嘱： “不要弄坏我的圆”）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图 形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之 二 德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立 志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献 甚至他在遗嘱中 曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑 16 世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后 35 位， 后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上 瑞士数学家雅 谷伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上 就刻 着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，
7、但却和原来一样”这 是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语 阿基米德（公元前287年公元前212年） 作业1. 右图中共有多少个三角形？ 作业2. 右图中共有多少个三角形？ 作业3. 右图是由12个1 1的小正方形组成的， 数一数图中一共有多少个正方形 作业4. 右图是由 15 个1 1的小正方形组成的，数一数图中一共有多少个长方 形 （长方形包括正方形 ） 作业5. 在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形） （1）包含“”的长方形共多少个？ （2）包含“”的长方形共多少个？ （3）两个五角星都包含的长方形共多少个？ 第十二讲 几何计数 例题1. 答案：16；15 详解：注意有序枚
8、举： （1）左图中由一部分组成的三角形有 6 个，由两部分组成的三角 形有3个， 由三部分组成的三角形有6个， 由六部分组成的三角形有1个， 共计16个（2） 右图中由一部分组成的三角形有 4 个， 由两部分组成的三角形有 6 个， 由三部分组成的 三角形有 2 个，由四部分组成的三角形有 2 个，由六部分组成的三角形有 1 个，共计 15 个 例题2. 答案：78 详解：恰当分类，有序枚举图中的三角形可以分为两类，一类是尖朝上的，一类是尖 朝下的 设最小的三角形边长为 1 （1） 尖朝上的： 边长为 1 的三角形有123410 个；边长为 2 的三角形有1236个；边长为 3 的三角形有12
9、3410个；边长 为 4 的三角形有1236个；边长为 5 的三角形有123个；边长为 6 的三角形有 1 个共计 56 个 （2）尖朝下的：边长为 1 的三角形有1234515个；边长为 2 的三角形有1236个；边长为 3 的三角形有 1 个共计 22 个图中一共有 78 个 三角形 例题3. 答案：91，112 详解：分别考虑边长为 1、2、3、4、5、6 的正方形各有多少个即可左图有 665 5443 3221 191 个，右图有 76655443322 1112 个 例题4. 答案： （1）756； （2）216； （3）240； （4）108； （5）348； （6）408 详解：
10、（1） 7 条横线选 2 条作为长， 9 条竖线选 2 条作为宽， 有 22 79 21 36756CC个 （2） 含的长方形上下左右边分别有 3、 4、 3、 6 种选法， 这样长方形有343 6216 个 （3） 含的长方形上下左右边分别有 4、 3、 5、 4 种选法， 这样长方形有43 54240 个 （4）两个五角星都含的长方形上下左右边分别有 3、3、3、4 种选法，长方形有 3 3 34108 个 （5）根据容斥原理，至少包含一个五角星的长方形有216240108348个 （6）用排除法，两个五角星都不包含的长方形有756348408个 例题5. 答案：135 个 详解：如图，下
11、方阴影部分中一共有长方形 22 46 90CC个；右方阴影部分中一共有长 方形 22 73 63CC个 其中右下方 3 2 长方形中的长方形被重复计算了，共有 22 43 18CC个所以图中一共 包含长方形906318135个 例题6. 答案：45 个 详解：所有平行四边形一共有三种不同的方向：尖朝右、尖朝左和尖朝上，如图： 这就提示我们可以按这个特点来分类， 因为根据图形的对称性， 这三种平行四边形的个数是 一样多的只需数出其中的一种，就能算出最后的答案了 下面我们来数尖朝上的平行四边形所有这种平行四边形的边都是斜的，没有横线，所 以要数它们的个数，可以把图中的所有横线都去掉，变成如下图形：
12、 这样一来图形就简单了，这个图里的平行四边形很容易数出来：最小的平行四边形有 10 个，两个小平行四边形拼成的有 12 个，三个小平行四边形拼成的有 6 个，四个小平行四 边形拼成的有 5 个，六个小平行四边形拼成的有 2 个，共 35 个而对于另外两种平行四边 形，也可根据同样的方法数出，都是 35 个因此原来图形中一共有35 3105个平行四边 形 练习1. 答案：8 个；12 个 简答： （1）左图中由一部分组成的三角形有 3 个，由两部分组成的三角形有 4 个，由四 部分组成的三角形有 1 个，共计 8 个 （2）右图中由一部分组成的三角形有 5 个，由两 部分组成的三角形有 4 个，
13、由三部分组成的三角形有 2 个，由五部分组成的三角形有 1 个，共计 12 个 练习2. 答案：48 个 简答：由 1 个小三角形组成的三角形有151025个；由 4 个小三角形组成的三角形 有10313个； 由 9 个小三角形组成的三角形有 6 个； 由 16 个小三角形组成的三角形 有 3 个；由 25 个小三角形组成的三角形有 1 个；共有 48 个 练习3. 答案：2470 个 简答：按正方形的大小分类，共有 2222 191817119 20 3962470个 练习4. 答案： （1）450； （2）144 简答： （1）5 条横线选 2 条作为长，10 条竖线选 2 条作为宽，有
14、22 510 10 45450CC 个 （2）含黑点的长方形上下左右边分别有 2、3、6、4 种选法，这样长方形有 23 64144 个 作业1. 答案：10 个 简答：由一个部分组成的三角形有 5 个，由两个部分组成的三角形有 4 个，由三个部分 组成的三角形有 1 个，共计 10 个 作业2. 答案：14 个 简答：边长为 1 的有 10 个，边长为 2 的有 4 个，共计 14 个 作业3. 答案：20 个 简答：正方形数目：边长为 1 的 12 个，边长为 2 的 6 个，边长为 3 的 2 个，共计 20 个 作业4. 答案：90 个 简答：长方形有 22 46 CC90个 作业5. 答案： （1）180 个； （2）192 个； （2）108 个 简答： （1）3 3 54180 个； （2）4443192 个； （3）3 343108 个