1、第五讲 分数基本计算 一、分数的定义一、分数的定义 实际生活中，人们在进行测量和计算时往往不能得到整数的结果，为了 适应实际的需要，人们发明了分数来表示这些非整数的结果 一般来说，把一个整体分成若干等份，取其中的一份或几份所表示的数就 叫做分数分数注意，一个物体或一些物体都可以看做一个整体如图所示，如 果将一个圆平均分成四份，那么取其中的一份用分数表示就是 1 4 ，取另外 的三份用分数表示就是 3 4 ，如果将四份都取出，那用分数表示就是 4 4 ，也 就是单位“1”了 1 4 3 4 二、分数的分类及转化二、分数的分类及转化 所有分数可以分成三类：真分数真分数，假分数假分数和带分数带分数
2、我们把分母比分子大的分数称为真分数真分数，例如： 1 2 、 7 23 、 4 9 、； 把分子比分母大或分子分母相等的分数称为假分数假分数，例如： 32 21 、 7 7 、 23 9 、； 把包含整数部分的分数称为带分数带分数，例如： 5 9 6 、 3 1 7 、 3 10 4 、 注意：注意： （1）在书写分数的时候不要将带分数与假分数混淆起来，即不能出现所谓的“带 假分数”如： 5 2 3 ，正确的写法是 2 3 3 或 11 3 ； （2）带分数都可以写成一个整数与一个真分数相加的形式 假分数转化成带分数假分数转化成带分数： 非常简单，只需做一个带余除法 分母不变，分子除以分母所得
3、整数为带分 数左边整数部分，余数作分子例如：将 52 21 化为带分数，5221210，则 5210 2 2121 有的时候会发现假分数的分子除以分母之后，刚好除尽没有余数，那么这时 假分数就转换成了整数例如： 28 4 7 、 9 1 9 带分数转化成假分数带分数转化成假分数： 刚好是带余除法的逆运算 分母不变，用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为 分子例如： 102211052 2 212121 【分析】熟练掌握假分数与带分数的转化法则即可 （1）将下面的假分数转化成带分数或整数 7 4 ， 32 15 ， 78 13 ， 10 7 ， 29 19 （2）将下面的带分数转化成假分数 1
4、 5 4 ， 5 19， 2 6 3 ， 9 7 13 ， 7 115 三、分数的基本性质及约分、通分三、分数的基本性质及约分、通分 在学习分数的运算之前，我们要先学会分数的基本性质分数的基本性质： 分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0 除外） ，分数的大小不变 利用分数的这种性质，我们可以把分数的分子、分母同时除以某个数，使得分数的大小 不变，这个过程叫作约分约分例如： 75155 90186 5 6 不能再约分了，像这样的，不能再约分 的分数叫做最简分数最简分数 根据分数基本性质，把几个分母不同的分数分别化成与原分数相等的同分母分数，叫 做通分通分如：将 1 3 ， 3 8 这两个分数通
5、分，可以分别变为： 18 324 ， 39 824 练 习 1 1 （1）将下面的假分数转化成带分数或整数 353 321 4128 ， 97 1 1427 ， 155 3216 ， 741 21 81122 ， 72 12 （2）将下面的带分数转化成假分数 1 3 3 ， 3 2 7 ， 1 1 2 ， 1 1111， 5 1012 例 题 1 1 【分析】在进行约分和通分时，一定要注意分子和分母要同时 乘或除以一个数，否则分数的 大小就会发生改变 （1）将下列分数约分成最简分数： 80 14 ， 91 77 ， 39 69 ， 34 15 （2）将下面几组分数进行通分： 3 4 ， 2 5
6、 ； 1 4 ， 1 6 ， 5 8 ； 1 2 ， 3 4 ， 2 5 ， 7 10 四、分数的四则运算四、分数的四则运算 首先，先来看一下分数的加减法： 分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数 练 习 2 2 （1）将下列分数约分成最简分数： 28 36 ， 35 24 ， 38 57 ， 91 84 ， （2）将下面几组分数进行通分： 1 6 ， 3 8 ； 2 3 ， 3 4 ， 5 12 ； 7 9 ， 3 4 ， 1 6 ， 7 12 例 题 2 2 【分析】前面练习过通分的方法，现在终于能派
7、上用场了 计算下列各式： （1） 45 56 ； （2） 131 306 ； （3） 352 642 4129 ； （4） 249 326 51510 然后来看一下分数的乘法分数的乘法计算起来比加减法更方便，但同学们要注意，计 算时要把带分数化为假分数要把带分数化为假分数再计算 分数乘法：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，其中能约分的可以先约分分数乘法：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，其中能约分的可以先约分 在介绍分数的除法之前，我们先要介绍一下倒数倒数顾名思义，倒数就是倒过来的分数， 将一个分数的分子和分母倒过来得到的新的分数就叫做原分数的倒数， 例如 2 3 的倒数就是
8、3 2 注意： （1）一个整数的倒数就是这个整数分之一例如，5的倒数就是 1 5 （2）带分数需要化成假分数，才能计算倒数例如， 1 1 2 的倒数就是 2 3 （3）倒数与原数的乘积为 1 知道了倒数的概念，就可以计算分数的除法了 分数除法：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数分数除法：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数 练 习 3 3 计算下列各式： （1） 51 73 ； （2） 71 204 ； （3） 2775 321 481224 ； （4） 749 465 121520 例 题 3 3 【分析】熟练掌握乘除法的运算法则即可 （1） 73 1214 ； （2）15 31 3 8149
9、 ； （3） 157 11 8188 ； （4） 3221 12 4332 掌握了分数运算的基本方法之后， 我们就可以来做分数的混合运算了 分数混合运算的 顺序与整数混合运算的顺序是一样的如果有括号要先算括号里边的，先乘除后加减，同级 运算就按照从左到右的顺序计算 练 习 4 4 计算下列各式： （1） 8549 21720 ； （2） 27168 3 48219 ； （3） 791 11 151421 ； （4） 221 14 772 例 题 4 4 【分析】熟练掌握分数加减乘除的运算法则即可同整数计算一样，也要先乘除后加减 【分析】 这个新的运算 “*” 看起来很是陌生， 还是赶紧转化成我
10、们比较熟悉的运算方式吧 定义新运算“*”如下：对于两个整数 a 和 b，有* ab a b ba ，比如 121 1*22 212 （1）计算： 2*43*12 _ （2）_ 1 93 * 3 例 题 6 6 15 3217 412 _； 85510 1516279 _； 1211 53513 _； 291 41 1583 _ 例 题 5 5 古代的分数 在历史上，分数几乎与自然数一样古老。早在人类文化发明的初期，由于 进行测量和均分的需要，引入并使用了分数。 在许多民族的古代文献中都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。早 在公元前 2100 多年，古代巴比伦人（现处伊拉克一带）就使用了分母
11、是 60 的分数。 公元前 1850 年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数，不过那时候古 埃及的分数只是分数单位。 我国春秋时代（公元前 770 年前 476 年）的左传中，规定了诸侯的 都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一， 小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又 四分之一。这说明：分数在我国很早就出现了，并且用于社会生产和生活。 最早的分数表示方式和现在的有很大的差异。在阿拉伯人发明分数线之 后，分数的写法才一直沿用下来。 春秋三传之一，春秋时左丘明所作 课 堂 内 外 作业 1. 将下面的假分数转化成带分数或整数 7 4 ，
12、37 16 ， 25 13 ， 10 7 ， 36 9 2. 将下面的带分数转化成假分数 1 4 5 ， 2 3 7 ， 4 6 11 ， 1 13 6 ， 5 9 8 3. 计算下列各式： （1） 37 48 ； （2） 53 1210 ； （3） 353 321 4128 4. 计算下列各式： （1） 97 1 1427 ； （2） 155 3216 ； （3） 741 21 81122 5. 计算下列各式： （1） 149510 272899 ； （2） 1311 84611 ； 第五讲 分数基本计算 例题1. 答案： （1），6； （2）， ， 例题2. 答案： （1） ， ，； （2
13、），；，； ， 例题3. （1）； （2）； （3）； （4） 例题4. （1）； （2） ； （3）； （4） 例题5. 答案：60； 1 3 ；3； 2 5 例题6. 答案： （1） 10 17 ； （2）3 或 27 练习1. 答案： （1），6，； （2）， 100 13 20 3 14 9 21 4 10 119 3 1 7 2 2 15 3 1 4 4 81 9 10 5 3 2 3 23 3 30 15 4 16 1 10 22 21 21 36 6 36 27 36 28 36 5 12 9 12 8 12 9 24 4 24 13 12 2 3 35 24 7 9 125 1
14、2 122 11 3 2 17 7 10 3 1 18 4 4 15 5 2 21 2 1 3 练习2. 答案： （1），； （2）， ；， ；， 练习3. 答案： （1）； （2）； （3）； （4） 练习4. 答案： （1） ； （2）； （3） ； （4）1 作业1. 答案：；4 作业2. 答案：； 作业3. 答案：； 简答：提示，对于带分数加减法可以将整数与分数分开计算 作业4. 答案：；1 作业5. 答案： ； 简答：提示，分数四则混合运算与整数四则混合运算的运算法则 相同，都是先乘除后加减，有括号的先算括号内的 1 1 2 2 3 1 1 2 17 21 19 4 24 7 60 5 18 77 8 79 6 70 11 23 7 21 5 3 1 7 12 113 5 216 3 1 4 1 6 5 4 1 8 1 8 30 17 8 18 4 15 49 30 14 20 8 20 15 20 10 20 15 24 4 24 6 24 8 20 15 20 34 15 13 23 13 11 40 7 22 15