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高斯小学奥数五年级上册含答案_公约数与公倍数初步

1、第十四讲 公约数与公倍数初步 公约数就是几个数公共的约数, 其中最大的一个称为最大公约数最大公约数; 公倍数就是几个数公 共的倍数,其中最小的一个称为最小公倍数最小公倍数特别的,1 为所有数的公约数 24 : 1 2 3 4 6 8 12 24 30 : 1 2 3 5 6 10 15 30 1、2、3 和 6 都是 24 和 30 的公约数,6 是最大公约数可以发现 1、2、3 和 6 都是 6 的约数 12 : 12 24 36 48 60 72 84 96 108 18 : 18 36 54 72 90 108 12 和 18 的公倍数有 36、72、108、,36 是最小公倍数可以发现

2、 36、72、108 及 其他公倍数都是 36 的倍数 通常,我们把两个数 a,b 的最大公约数记为a b,;a,b 的最小公倍数记为a b,三 个数 a,b,c 的最大公约数记为a b c, ,;a,b,c 的最小公倍数记为abc, ,如:14 和 21 的最大公约数是 7,记作:14 217,;14 和 21 的最小公倍数是 42,记作: 14 2142, 15、10、21 的最大公约数是 1,记作:15 10 211, ,;15、10、21 的最小 公倍数是 210,记作:15 10 21210 , , 在现实生活中我们常常关心几个数的最大公约数和最小公倍数, 那么我们怎样来求几个 数的

3、最大公约数和最小公倍数呢?除了直接枚举之外,还有以下几种:短除法短除法、分解质因数分解质因数 法法、辗转相除法辗转相除法 计算两个数的最大公约数及最小公倍数,最常用的方法是短除法 例题 1用短除法计算: (1) (54,90) ,54,90; (2) (45,75,90) 分析分析熟练掌握短除法即可 用短除法计算: (1) (36,48) ,36,48; (2) (28,42,70) 分解质因数法比较实用,也利于我们分析数的构成 练 习 1 1 2 12 18 3 6 9 2 3 (12,18)= 2 3 12,18 = 2 3 2 3 例题 2利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小

4、公倍数 (1)144 和 250 (2)240、80 和 96 分析分析熟练掌握分解质因数法即可 利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数 (1)1024 和 72 (2)60、84、90 和 700 如果两个数都比较大,不容易看出来它们的质因数那我们还有第三种方法:辗转相除 法 练 习 2 2 34 35 24 35 3 35 2 35 最大公约数 取相同质因数中指 数较小的一个 最小公倍数 取相同质因数中指 数较大的一个 例 3利用辗转相除法求下列各组数的最大公约数 (1)377 和 221 (2)511 和 1314 分析分析熟练掌握辗转相除法即可 利用辗转相除法求出 30

5、09 和 2537 的最大公约数 例题 4老师在墨莫的班上发水果,一共有 59 个苹果,97 个梨,平均分给班上的学生,最 后剩下 5 个苹果,7 个梨请问班里一共有多少名学生? 分析分析 因为每个学生分到的苹果和梨都是一样多的, 可知学生数是分到的苹果数和梨数的 公约数 小高把 62 个奶糖和 75 个水果糖平均分给他的朋友们,最后剩下 2 个奶糖, 3 个水果糖请问小高把糖分给了多少个朋友? 练 习 4 4 练 习 3 3 272 323 272 51 17 51 17 0 323272151 27251517 51 1730 (272,323)= 17 在计算三个数的最大公约数时, 还可

6、以先求出两个数的最大公约数, 然后再 求出这个最大公约数与第三个数的最大公约数 最后求出的就是三个数的最大公 约数求三个数的最小公倍数也可以使用这个方法 计算多个数的最大公约数和最小公倍数的方法依次递推即可 例题 5计算(1573,1547,1859) 分析分析这些数看上去都不好分解质因数,那我们不妨利用辗转相除法来求最大公约数求 三个数的最大公约数, 可以先求其中两个的最大公约数, 再求这个公约数与第三个数的最大 公约数 例题 6有些自然数既能够表示成连续 9 个整数之和,又能够表示成连续 11 个整数之和, 还能够表示成连续 12 个整数之和,则所有这样的数中最小的一个是多少? 分析分析能

7、表示乘 9 个连续整数的和,说明这个自然数是中间数的 9 倍,是 9 的倍数根据 后面两个条件,我们还能知道这个自然数是多少的倍数呢? 画蛇添足 战国时代,楚王派大将昭阳率军攻打魏国,得胜后又转而攻打齐国。齐王派 陈轸为使者去说服昭阳不要攻齐。陈轸作为说客,向昭阳讲了个故事: 楚国有个人在春祭时把一壶酒赏给门客。由于人多酒少,门客们商定,大家 在地上画蛇,先画好的人就喝酒。有个门客把蛇画好了,端起酒壶想喝;但他看 别人画得很慢,就想再露一手,显显自己的本领。于是,他便左手拿酒壶,右手 拿画笔,边画边得意洋洋地说:“我还能给蛇添上脚呢!” 正在他添画蛇足时, 另一个门客已把蛇画好了。 这个门客一

8、面把他的酒壶夺 了过去,一面说:“蛇本来没有脚,你怎么能给它添上脚?添上脚就不是蛇了, 所以第一个画好蛇的人是我不是你! ”说完, 就毫不客气地把那壶酒统统喝光了。 在现实生活中,这类事情还真不少。让我们再来看一个例子。 有人开了家饭店,由于博采众长,京、粤、川、淮扬各派名菜兼收并蓄,再 加上菜肴价格比较公道, 所以生意很好, 天天顾客盈门, 把个老板笑得合不拢嘴。 光顾这家饭店的人除了散客以外还有不少常客,原来,这家饭店的菜单是 极有特色的,一年当中任何2天的菜单决不重复。该店的伙食分成4大类:主食、 特色菜、蔬菜、水果。下面便是其中的细目: 主食 : 花卷 薯条 刀切面 大米饭 特色菜 :

9、 烤鸭 叫化鸡 神仙鱼 佛跳墙 镇江肴肉 蔬菜 : 青菜 菠菜 萝卜 花菜 卷心菜 四季豆 豆芽 水果 : 西瓜 香蕉 水果羹 第一天的菜单可根据每一类的第一种排出,即第一天的菜单是花卷、烤鸭、 青菜、西瓜,次日就换到第二种。当某一类的所有项目统统轮过一遍之后,便从 最上面一种重新开始。 比如, 某一天的菜单是大米饭、 佛跳墙、 卷心菜和水果羹, 那么,下一天的菜单便是花卷、镇江肴肉、四季豆与西瓜。 试问:这种菜单要经过多久才会出现完全重复? 生意太好了,原有的人手有点忙不过来,于是老板重金招聘了一名厨师。后 者为了讨好老板,就自作主张,在特色菜项目中增加了甲鱼,蔬菜类项目中加入 了北方人爱吃

10、的韭菜。 不料这名厨师反而被老板炒了鱿鱼。有人认为,这是因为甲鱼价格高,增加 了菜肴成本,触怒了老板。其实,近年来人工养殖的甲鱼价格已一降再降,在价 位上已经同家常菜平起平坐,难分高下了。 你知道厨师被老板解雇的真正原因吗? 原来,按照老板的设计,菜单要隔420天才会重复一次。这一点,我们可以 从4、5、7、3的最小公倍数得知。这4个数的最小公倍数是它们的乘积420,也就 是说,要一年多菜单才会出现完全重复。 但厨师擅自加菜后,4、6、8、3这4个数的最小公倍数仅仅等于24!周期大 大缩短了,连一个月都不到。精明的老板大光其火,又怪厨师自作主张,于是便 叫他下岗了。 1. 计算: 28 72,

11、 ,28 72,,28 44 260, ,,28 44 260, , 2. 计算: 36 99, ,36 99,,24,28 42,24 28 42, , 3. 计算: (1)10851178,,10851178,,3553,3910 1411, 4. 有一个电子钟,每走 9 分钟亮一次灯,每到整点响一次铃,中午 12 点整,电子钟既响 铃又亮灯问:下一次既响铃又亮灯是几点钟? 5. 将一块长 90 厘米,宽 42 厘米的长方形铁板,剪成面积相等的小正方形而无剩余,问至 少可以剪出多少块小正方形? 第十四讲 公约数与公倍数初步 例题1. 答案: (1) (54,90)=18,54,90=270

12、 (2) (45,75,90)=15 例题2. 答案: (1) (144,250)=2,144,250=18000; (2) (240,80,96)=16, 240,80,96=480 例题3. 答案: (1) (377,221)=13; (2) (511,1314)=73 例题4. 答案:9 名或 18 名 详解:分出去了59554个苹果,97790个梨,班里的学生数是 54 和 90 的公约 数,也就是 54 和 90 的最大公约数的约数,但要注意人数一定要大于 7,否则就不会剩 7 个梨(还能再分) 54 9018, ,18 的约数中比 7 大的有 9 和 18,所以班里有 9 名 或

13、18 名学生 例题5. 答案:13 详解: (1573,1547)=13, (13,1859)=13 例题6. 答案:198 详解:根据等差数列的性质可知,满足条件的自然数既得是 9 的倍数,也得是 11 的倍 数同时还得是 6 的奇数倍这样的数中最小的是 198 练习1. 答案: (1) (36,48)=12,36,48=144; (2) (28,42,70)=14 练习2. 答案: (1) (1024,72)=8,1024,72=9216; (2) (60,84,90,700)=2, 60,84,90,700=6300 练习3. 答案: (3009,2537)=59 练习4. 答案:4 个、6 个或 12 个 详解: 分出去了60个奶糖和72个水果糖, 那么朋友们的个数应该是60和72的公约数, 而且要比 3 大所以只能是 4 个、6 个或 12 个 作业1. 答案: (1)4,504; (2)4,20020 作业2. 答案: (1)9,396; (2)2,168 作业3. 答案: (1)31,41230; (2)17 作业4. 答案:下午 3 点 简答:9,60=180,再过 180 分钟既响铃又亮灯 作业5. 答案:105 简答: (90,42)=6(厘米) , 9042 105 66 (个)