1、第十四讲 公约数与公倍数初步 公约数就是几个数公共的约数， 其中最大的一个称为最大公约数最大公约数； 公倍数就是几个数公 共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数最小公倍数特别的，1 为所有数的公约数 24 : 1 2 3 4 6 8 12 24 30 : 1 2 3 5 6 10 15 30 1、2、3 和 6 都是 24 和 30 的公约数，6 是最大公约数可以发现 1、2、3 和 6 都是 6 的约数 12 : 12 24 36 48 60 72 84 96 108 18 : 18 36 54 72 90 108 12 和 18 的公倍数有 36、72、108、，36 是最小公倍数可以发现
2、 36、72、108 及 其他公倍数都是 36 的倍数 通常，我们把两个数 a，b 的最大公约数记为a b,；a，b 的最小公倍数记为a b,三 个数 a，b，c 的最大公约数记为a b c, ,；a，b，c 的最小公倍数记为abc, ,如：14 和 21 的最大公约数是 7，记作：14 217，；14 和 21 的最小公倍数是 42，记作： 14 2142， 15、10、21 的最大公约数是 1，记作：15 10 211， ，；15、10、21 的最小 公倍数是 210，记作：15 10 21210 ， ， 在现实生活中我们常常关心几个数的最大公约数和最小公倍数， 那么我们怎样来求几个 数的
3、最大公约数和最小公倍数呢？除了直接枚举之外，还有以下几种：短除法短除法、分解质因数分解质因数 法法、辗转相除法辗转相除法 计算两个数的最大公约数及最小公倍数，最常用的方法是短除法 例题 1用短除法计算： （1） （54，90） ，54，90； （2） （45，75，90） 分析分析熟练掌握短除法即可 用短除法计算： （1） （36，48） ，36，48； （2） （28，42，70） 分解质因数法比较实用，也利于我们分析数的构成 练 习 1 1 2 12 18 3 6 9 2 3 （12，18）= 2 3 12，18 = 2 3 2 3 例题 2利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小
4、公倍数 （1）144 和 250 （2）240、80 和 96 分析分析熟练掌握分解质因数法即可 利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数 （1）1024 和 72 （2）60、84、90 和 700 如果两个数都比较大，不容易看出来它们的质因数那我们还有第三种方法：辗转相除 法 练 习 2 2 34 35 24 35 3 35 2 35 最大公约数 取相同质因数中指 数较小的一个 最小公倍数 取相同质因数中指 数较大的一个 例 3利用辗转相除法求下列各组数的最大公约数 （1）377 和 221 （2）511 和 1314 分析分析熟练掌握辗转相除法即可 利用辗转相除法求出 30
5、09 和 2537 的最大公约数 例题 4老师在墨莫的班上发水果，一共有 59 个苹果，97 个梨，平均分给班上的学生，最 后剩下 5 个苹果，7 个梨请问班里一共有多少名学生？ 分析分析 因为每个学生分到的苹果和梨都是一样多的， 可知学生数是分到的苹果数和梨数的 公约数 小高把 62 个奶糖和 75 个水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下 2 个奶糖， 3 个水果糖请问小高把糖分给了多少个朋友？ 练 习 4 4 练 习 3 3 272 323 272 51 17 51 17 0 323272151 27251517 51 1730 （272，323）= 17 在计算三个数的最大公约数时， 还可
6、以先求出两个数的最大公约数， 然后再 求出这个最大公约数与第三个数的最大公约数 最后求出的就是三个数的最大公 约数求三个数的最小公倍数也可以使用这个方法 计算多个数的最大公约数和最小公倍数的方法依次递推即可 例题 5计算（1573，1547，1859） 分析分析这些数看上去都不好分解质因数，那我们不妨利用辗转相除法来求最大公约数求 三个数的最大公约数， 可以先求其中两个的最大公约数， 再求这个公约数与第三个数的最大 公约数 例题 6有些自然数既能够表示成连续 9 个整数之和，又能够表示成连续 11 个整数之和， 还能够表示成连续 12 个整数之和，则所有这样的数中最小的一个是多少？ 分析分析能
7、表示乘 9 个连续整数的和，说明这个自然数是中间数的 9 倍，是 9 的倍数根据 后面两个条件，我们还能知道这个自然数是多少的倍数呢？ 画蛇添足 战国时代，楚王派大将昭阳率军攻打魏国，得胜后又转而攻打齐国。齐王派 陈轸为使者去说服昭阳不要攻齐。陈轸作为说客，向昭阳讲了个故事： 楚国有个人在春祭时把一壶酒赏给门客。由于人多酒少，门客们商定，大家 在地上画蛇，先画好的人就喝酒。有个门客把蛇画好了，端起酒壶想喝；但他看 别人画得很慢，就想再露一手，显显自己的本领。于是，他便左手拿酒壶，右手 拿画笔，边画边得意洋洋地说：“我还能给蛇添上脚呢！” 正在他添画蛇足时， 另一个门客已把蛇画好了。 这个门客一
8、面把他的酒壶夺 了过去，一面说：“蛇本来没有脚，你怎么能给它添上脚？添上脚就不是蛇了， 所以第一个画好蛇的人是我不是你！ ”说完， 就毫不客气地把那壶酒统统喝光了。 在现实生活中，这类事情还真不少。让我们再来看一个例子。 有人开了家饭店，由于博采众长，京、粤、川、淮扬各派名菜兼收并蓄，再 加上菜肴价格比较公道， 所以生意很好， 天天顾客盈门， 把个老板笑得合不拢嘴。 光顾这家饭店的人除了散客以外还有不少常客，原来，这家饭店的菜单是 极有特色的，一年当中任何2天的菜单决不重复。该店的伙食分成4大类：主食、 特色菜、蔬菜、水果。下面便是其中的细目： 主食 ： 花卷 薯条 刀切面 大米饭 特色菜 ：
9、 烤鸭 叫化鸡 神仙鱼 佛跳墙 镇江肴肉 蔬菜 ： 青菜 菠菜 萝卜 花菜 卷心菜 四季豆 豆芽 水果 ： 西瓜 香蕉 水果羹 第一天的菜单可根据每一类的第一种排出，即第一天的菜单是花卷、烤鸭、 青菜、西瓜，次日就换到第二种。当某一类的所有项目统统轮过一遍之后，便从 最上面一种重新开始。 比如， 某一天的菜单是大米饭、 佛跳墙、 卷心菜和水果羹， 那么，下一天的菜单便是花卷、镇江肴肉、四季豆与西瓜。 试问：这种菜单要经过多久才会出现完全重复？ 生意太好了，原有的人手有点忙不过来，于是老板重金招聘了一名厨师。后 者为了讨好老板，就自作主张，在特色菜项目中增加了甲鱼，蔬菜类项目中加入 了北方人爱吃
10、的韭菜。 不料这名厨师反而被老板炒了鱿鱼。有人认为，这是因为甲鱼价格高，增加 了菜肴成本，触怒了老板。其实，近年来人工养殖的甲鱼价格已一降再降，在价 位上已经同家常菜平起平坐，难分高下了。 你知道厨师被老板解雇的真正原因吗？ 原来，按照老板的设计，菜单要隔420天才会重复一次。这一点，我们可以 从4、5、7、3的最小公倍数得知。这4个数的最小公倍数是它们的乘积420，也就 是说，要一年多菜单才会出现完全重复。 但厨师擅自加菜后，4、6、8、3这4个数的最小公倍数仅仅等于24！周期大 大缩短了，连一个月都不到。精明的老板大光其火，又怪厨师自作主张，于是便 叫他下岗了。 1. 计算： 28 72,
11、 ，28 72,，28 44 260, ,，28 44 260, , 2. 计算： 36 99, ，36 99,，24,28 42，24 28 42, , 3. 计算： （1）10851178,，10851178,，3553,3910 1411， 4. 有一个电子钟，每走 9 分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午 12 点整，电子钟既响 铃又亮灯问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？ 5. 将一块长 90 厘米，宽 42 厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而无剩余，问至 少可以剪出多少块小正方形？ 第十四讲 公约数与公倍数初步 例题1. 答案： （1） （54，90）=18，54，90=270
12、 （2） （45，75，90）=15 例题2. 答案： （1） （144，250）=2，144，250=18000； （2） （240，80，96）=16， 240，80，96=480 例题3. 答案： （1） （377，221）=13； （2） （511，1314）=73 例题4. 答案：9 名或 18 名 详解：分出去了59554个苹果，97790个梨，班里的学生数是 54 和 90 的公约 数，也就是 54 和 90 的最大公约数的约数，但要注意人数一定要大于 7，否则就不会剩 7 个梨（还能再分） 54 9018, ，18 的约数中比 7 大的有 9 和 18，所以班里有 9 名 或
13、18 名学生 例题5. 答案：13 详解： （1573，1547）=13， （13，1859）=13 例题6. 答案：198 详解：根据等差数列的性质可知，满足条件的自然数既得是 9 的倍数，也得是 11 的倍 数同时还得是 6 的奇数倍这样的数中最小的是 198 练习1. 答案： （1） （36，48）=12，36，48=144； （2） （28，42，70）=14 练习2. 答案： （1） （1024，72）=8，1024，72=9216； （2） （60，84，90，700）=2， 60，84，90，700=6300 练习3. 答案： （3009，2537）=59 练习4. 答案：4 个、6 个或 12 个 详解： 分出去了60个奶糖和72个水果糖， 那么朋友们的个数应该是60和72的公约数， 而且要比 3 大所以只能是 4 个、6 个或 12 个 作业1. 答案： （1）4，504； （2）4，20020 作业2. 答案： （1）9，396； （2）2，168 作业3. 答案： （1）31，41230； （2）17 作业4. 答案：下午 3 点 简答：9，60=180，再过 180 分钟既响铃又亮灯 作业5. 答案：105 简答： （90，42）=6（厘米） ， 9042 105 66 （个）