1、第四讲 环形路线 为什么会出现最后一名超过第一名的现象呢？同学们可能已经想清楚了， 这是因为跑道 是一个圆今天我们就来学习一下环形路线问题 顾名思义，环形路线的运动路径是一个封闭的曲线，这就意味着从一个点出发，跑完一 圈之后会回到出发点，这是完全不同于直线运动的同样的，环形中的相遇问题与直线形问 题也是略有不同的 如图所示， 从一个点出发， 背向而行的两人， 会在圆周上的一点相遇 这 时他们走过的路程和为一个圆周 而如果他们从同一个点出发同向而行， 慢的那个人会在圆 周上的一点被快的那人追上这时他们走过的路程之差是一个圆周 这里要特别说明，在圆周上两点之间的距离是这样定义： 两点间较短一段圆弧
2、的长度如右图，AB 两点间的距离就是 AB 间粗实线的长度 起点 甲 乙 路程和是跑道的周长 相遇时间周长 （甲速乙速） 相向而行 同向而行 起点 甲 乙 路程差是跑道的周长 追及时间周长 （乙速甲速） B A 例题例题1. 黑、 白两只小猫沿着周长为 300 米的湖边跑，黑猫的速度为每秒 5 米，白猫 的速度为每秒 7 米若两只小猫同时从同一 点出发，背向而行，那么多少秒后第 1 次相 遇？如果它们继续不停跑下去， 2 分钟内一共 会相遇多少次？最后一次相遇时距离出发点多远？ 分析分析请同学们在右边的圆上，画出两只猫运动的过程 两只小猫第一次相遇需要多长时间？第二次相遇需要多长 时间？那两分
3、钟之内相遇多少次呢？ 练习练习 1 在 420 米的圆形跑道上，甲、乙两人从同一点出发，背向而行甲的速度是 8 米/ 秒，乙的速度是 6 米/秒，那么两人第 8 次相遇时，距离出发点多远？ 从例题 1 可以看出，两只小猫从出发到第一次相遇需要 25 秒第一次相遇时两只小猫 在一起，继续出发的话，到下一次相遇仍然需要 25 秒由此可见，环形路线上的相遇问题 也具有周期性 同样的， 环形路线上的追及问题也具有周期性 若甲、 乙两人同地同向出发， 甲快乙慢， 那么甲第一次追上乙时， 恰好比乙多跑一整圈； 从此刻开始， 甲想要再次追上乙， 就必须再多跑一整圈如此反复不断地追下去，甲每次追上乙都恰好要多
4、跑一整圈，所以每 次追及的路程差是一样的如果两人的速度差保持不变，那每次追上的时间也就相同了 在环形路线问题中， 善用周期性会使一些问题变得简单， 特别是一些多次相遇和多次追 及的问题 例题例题2. 有一个周长是 40 米的圆形水池甲沿着水池散步，每秒钟走 1 米；乙沿着水 池跑步，每秒跑 3.5 米，甲、乙从同一地点同时出发，同向而行当乙第 8 次追上甲时，他 还要跑多少米才能回到出发点？ 分析分析 在环形路线上， 快的每追上一次慢的， 就要多跑一圈 本题乙第 8 次追上甲时， 就比甲多跑了 8 圈，这时怎么确定两人的位置？ 练习： 2 环形跑道周长 400 米，甲、乙两名运动员同时顺时针自
5、起点出发，甲每分钟跑 300 米，乙每分钟跑 275 米甲第 4 次追上乙时距离起点多少米？ 如果不是同地出发，这样的环形路线问题还具有周期性吗？ 例题例题3. 甲、乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步甲以每分钟 300 米的速度从起点跑 出1 分钟后，乙以每分钟 280 米的速度从起点同向跑出请问：甲出发后多少分第一次追 上乙？如果追上后他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第 10 次追上乙？ 分析分析从乙出发到甲第一次追上乙，跟从甲第一次追上乙到第二次追上乙，间隔的时 间一样吗？从第几次追上开始就具有周期性了？ 练习： 3 周长为 400 米的圆形跑道上，有相距 100 米的 A
6、，B 两点甲、乙两人分别从 A、B 两点同时相背而跑，速度分别是 3 米/秒和 2 米/秒多少秒后两人第一次相遇？如果相遇后 两人的速度保持不变，再过多少秒两人第 10 次相遇？ 总的来说，环形上的行程问题比直线上的情况变化更多，更繁琐在运动过程较复杂的 题目中，我们必须认真画图，仔细分析每一段运动过程 例题例题4. 如图，甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点开始，同时匀速反向绕此圆 形路线运动当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相 遇求此圆形场地的周长 分析分析题目中的已知条件很少，只知道两个与路程有关的 量，我们很难直接计算周长，先画图分析一下运动
7、过程 观察你所画出的示意图， 题目给出的 100 米和 60 米是图中的 哪一段？如何利用这两段长度？ 练习 4 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从 A、B 两地出 发相向而行，第一次相遇在距离 A 点 100 米处的 C 点，第二次相 遇在距离 B 点 200 米处的 D 点已知 AB 长是跑道总长的四分之 一，请问跑道周长为多少米？ 例题例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步， 小鹿比小山羊稍快 如果从同一起 点出发背向而行，1 小时后正好第 5 次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小 时才第一次追上请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？ 【分析】 题目中并没有
8、告诉环形跑道的周长是多少 想一想， 跑道的周长是一个确定的数吗？ 如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？ 【分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，一定是刚到达某个墙角的时候应该是哪个墙角呢？ 如图，一个正方形房屋的边长为 12 米阿呆、阿瓜两人 分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行 5 米，阿瓜每 秒钟行 3 米问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发 点多少米？ 例 题 6 6 B D C A 华罗庚爷爷的故事 温室里难开出鲜艳芬芳耐寒傲雪的花儿。 人只有经过苦难磨练才有望获得成 功！ 我国著名的数学家华罗庚爷爷的成功就得益于他的坎坷经历。少年时代的华 罗庚家境贫寒， 疾病缠身。 18
9、岁那年， 华罗庚初中时代的王老师从外国学成归来， 出任金坛中学校长。华罗庚是他得意的门生。他一心要接济华罗庚。不久，经王 校长介绍，华罗庚到金坛中学做了个勤杂工，负责收发信件、报纸做杂务。华罗 庚做勤杂工时，手脚勤快，每天忙忙碌碌地干完事就捧起数学课本学习。王校长 看在眼里，喜在心里。他为这位勤奋肯学的年轻人而感到骄傲。真是天有不测风 雨。 华罗庚被一场伤寒病拖垮， 医生作出 “无法医救” 的诊断。 全家人悲痛万分， 王校长更是觉得十分惋惜。 但是死神终究没有把他拽走， 他又奇迹般地活了过来， 只是左腿僵硬，落下了终身残疾。华罗庚一瘸一跛地又去上工了，做的还是老本 勤杂工。一天的劳累，双腿已疼
10、痛难忍，但是他咬咬牙，仍然沉浸在数学王国的 遨游中，把疼痛抛到九霄云外去了。对华罗庚来说，枯燥无味的阿拉伯数字就象 一组奇妙无比的音符，草稿纸的运算符号好比音乐演奏一样，给他带来了无穷的 乐趣。他坚信，只要顽强地坚持下去，自学也能摘取数学王冠。由于他信心百倍 地不懈努力，终于有一天，他的一篇数学论文发表了。机遇垂青这位下苦工夫的 热心人。清华大学的数学教授熊庆来得知华罗庚的研究成果和不幸遭遇后，邀请 华罗庚到清华大学工作，这就是为他成为数学家提供了广阔舞台。这就是至今成 为人们美谈的熊庆来睿智识英才的故事。1985年， 75岁的华罗庚爷爷带着一丝微 笑和欣慰离开了他追求了一生的数学事业。 他曾
11、叮嘱人们不要忘记他曾是一位勤 杂工。 作业： 1. 甲、 乙两人在 600 米长的环行跑道上以各自不变的速度慢跑 如果两人同时从同地 相背而跑，4 分钟后两人第一次相遇已知甲跑一周需 6 分钟，那么乙跑一周需多少分钟？ 2. 甲、乙两人在一个周长为 180 米的圆形跑道上跑步甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米如果两人从同一点同时出发反向跑步，多少秒后第一次相遇？再过多少秒，两人第二次 相遇？在 10 分钟内两人相遇多少次？ 3. 有一个圆形跑道，甲、乙二人同时从同一点沿同一方向出发当甲跑完 7 圈到达出 发点时恰好第二次追上乙如果甲的速度是 14 米/秒，那么乙每秒跑多少米？ 4. 有一个周长
12、是 80 米的圆形水池甲沿着水池散步，速度为 1/米 秒；乙沿着水池 跑步，速度为 2.2/米 秒，并且与甲的方向相反如果他俩从同一点同时出发，那么当乙第 8 次遇到甲时，还要跑多少米才能回到出发点？ 5. 甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点A、B开始，同时匀速反向绕此圆形路 线运动当甲走了160米以后，他们第一次相遇；在乙走过A后20米的D处又第二次相遇求 此圆形场地的周长 甲 乙 A B D 第四讲 环形路线 例题1. 答案：25 秒；4 次；100 米 详解：如图所示两只小猫的速度和是5712/米 秒两只小猫跑 过的路程和是环形路线的周长，所以它们一共跑了3001225秒， 以后每隔
13、 25 秒相遇一次由于 2 分钟共 120 秒，12025420， 因此 2 分钟内两只小猫一共相遇 4 次最后一次相遇是在 100 秒 的时候，此时黑猫跑过了5 100500米，距离出发点 100 米 例题2. 答案：32 米 解答：乙第 8 次追上甲时，比甲多跑了40 8320米两人的速度 差是3.5 12.5/ 米 秒，因此从出发到乙第 8 次追上甲，一共经过了 3202.5128秒这段时间内乙一共跑了3.5 128448米而由 44840118可知，则乙一共跑了 11 圈还多 8 米，那么还要跑 40832米才回到出发点 黑猫 白猫 第一次相遇 黑猫 白猫 第一次相遇 第二次相遇 例题
14、3. 答案：6 分钟，180 分钟 详解： 乙出发时， 甲已经跑了 300 米， 距离出发点只剩 100 米 追 上乙需要1003002805分钟，算上 甲先跑的一分钟，共 6 分钟接下来 甲每追上乙一次都要比乙多跑一圈， 需要40030028020分，到第 10 次 追上乙共 180 分 例题4. 答案：480 米 详解：如图所示，乙第二阶段用的时间是第一阶段的 2 倍，所以 他第二阶段所走的路程也是第一阶段所走路程的 2 倍，也就是说 CD 是 BC 的 2 倍所以 1002200CD 米那么乙一共走了 1001002300米从图看出，这段路程比场地的半周长多 60 米， 那么场地的周长就
15、是300602480米 例题5. 答案：20 分钟；30 分钟 详解：背向而行时，它们 1 小时合走了 5 圈，速度和是51=5（圈 /时） ； 同向而行时， 小鹿 1 小时比小山羊多走 1 圈， 速度差是1 1 1 （圈/时） ；因此小鹿的速度是 3 圈/时，跑一圈需要 20 分钟；小山 甲 乙 A B C D 羊的速度是 2 圈/时，跑一圈需要 30 分钟 例题6. 答案：21.6 详解： 阿呆要见到阿瓜， 他至少要比阿瓜多走一条边长， 即 12 米； 多走一个边长所需时间是12536秒， 此时阿呆走了 30 米， 阿 瓜走了 18 米；两人不在顶点上，因此阿呆还要走到下一个顶点才 能见到
16、阿瓜，总路程是 36 米；此时阿瓜走了 3 3621.6 5 米 练习1. 答案：180 米 简答： 每次相遇需要4208630秒， 那么 8 次相遇的时候共用了 240 秒，甲走了240 81920米可知此时，甲距离出发点 180 米 练习2. 答案：0 米 简答：每次追上需要40030027516分，第 4 次追上时需要 64 分这时甲跑了 19200 米，正好是 48 圈这时他距离起点 0 米 练习3. 答案：60 秒，720 秒 简答：由于是相背而行，两人需要共跑 300 米才能相遇，需要 3003260秒接下来每相遇一次，两人都要共跑一圈，需要 4003280秒那么从第 1 次相遇到
17、第 10 次相遇，共需要 720 秒 练习4. 答案：1200 米 简答：从出发到第一次相遇，两人共行跑道周长的四分之一从 第一次相遇到第二次相遇， 两人共行一个周长， 是前面的 4 倍 由 此可知 DC 是 AC 的 4 倍，长 400 米那么 BD 长为 200 米，AB 长为 300 米跑道周长为 1200 米 作业1. 答案：12 分钟 简答：先计算出甲的速度，然后计算出速度和，即可计算出乙的速度 作业2. 答案：20 秒；20 秒；30 次 简答：如果反向跑，那么他们是相遇运动，所以过1804520秒相遇；每相遇一次，两人合 跑一圈，所以第二次相遇又过了 20 秒；10 分钟等于 3
18、0 个 20 秒，所以 10 分钟内相遇 30 次 作业3. 答案：10 米 简答：甲跑 7 圈第二次追上乙，说明这段时间内乙跑了 5 圈，所以甲的速度是乙的 1.4 倍，乙每秒跑 14 1.410米 作业4. 答案：40 米 简答：乙第 8 次遇到甲，两人一共跑了 8 圈，共 640 米需要64012.2200秒这段时间乙 跑了2.2200440米，44080540，所以乙还要跑804040米才能回到出发点 作业5. 答案：500 米 简答：如图，设第一次相遇于 C，第二次相遇于 D甲第一次相遇走了 160 米，而第二次相遇的总路程是第一次相遇总路程的 3 倍，所以从出 发到第二次相遇甲走了 480 米而 AD 段长 20 米，也就是周长为 48020500米 甲 乙 A B C D