1、第七讲 解方程与解方程组 方程这个词，最早见于我国古代算书九章算术 可见人们在很早以前就已经掌握了 与方程有关的知识和方法 相信同学们已经会解简单的一元一次方程 下面我们先对相关的概念做一个简要的复习 我们将用等号“”连接，表示相等关系的式子，叫做等式等式而方程方程就是含有未知数未知数的 等式等式等式有两个基本性质： 等式性质 1：等式两边加上或减去一个数，结果仍相等 如果ab，那么_acb 等式性质 2:等式两边乘上一个数，或除以一个不为 0 的数，结果仍相等 如果ab，那么_acb 如果ab，那么0 ab c cc 利用等式的性质我们可以解一些简单的方程首先我们来看一下一元一次方程 所谓一
2、元一次方程一元一次方程就是只含有一种未知数且未知数的最高次数是 1 的方程 在解一元一次方程的时候，我们需要将含有未知数的项一起算，也就是合并同类项有 的时候， 当含有未知数的项不在等式同一侧时， 我们还需要将这样的项从等式的一侧移动到 另一侧，也就是所谓的移项注意方程中的每一项都包括数值与符号两部分，移项的时候要 改变符号 例题1. 解下列方程： （1）4338xx； （2）153194xx； （3）123718xx 【分析】移项的时候记得要变号哦 （1）6 510 3xx； （2）5 617 9xx； （3）10 2511xx 有的时候，方程如果含有括号，我们要先去括号去括号的时候特别要注
3、意的是，如果 括号前面是减号，去掉括号后，原有的项要変号 练 习 1 1 例题2. 解下列方程： （1）5 31965xx（） ； （2）7 3222xx（） 【分析】去括号的时候也要注意符号 （1）16243xx（）； （2）1836xx（） 对于更为复杂的一元一次方程，还可能含有分母，这个时候我们要先去分母 例题3. 解下列方程： （1） 3575 23 xx ； （2） 1 1 35 xx 【分析】以第一个方程为例，等号左边的分母是 2，要去掉它需要左右两边都乘 2 或 2 的倍 数而要消掉右边的分母需要左右两边都乘 3 或 3 的倍数，那只需要都乘多少就可以了？ （1） 3182 25
4、 xx ； （2） 3155 1 48 xx 通过前面的练习， 相信同学们对于一元一次方程有了进一步认识 下面我们总结一下一 元一次方程的一般解法： （1）去分母（如果有分母） ：等号两边同时乘以各分母的最小公倍数； （2）去括号（如果有括号） ：由内向外去括号； （3）移项：把含有未知数的项移到等号的一边（通常是左边） ，已知数移到等号的另一边； （4）合并同类项：把方程两边分别合并，化简成0axb a的形式； （5）系数化 1：在方程两边同除以未知数系数 a，得到方程的解 b x a ； （6）把得到的解代回原方程检验 一元一次方程我们已经会解了， 在解决实际问题的过程中我们还会遇到需要设
5、两个未知 数的情形也就是可能要解二元一次方程所谓二元一次方程二元一次方程就是方程中含有两种未知数， 练 习 3 3 练 习 2 2 且未知数的次数是 1解决二元一次方程的关键就是将两个未知数变为一个未知数，也就是 所谓的消元 加减消元法加减消元法是比较常用的消元方法该方法的步骤和要点可总结如下： 1. 若有某个未知数， 它前面的系数在两个方程中恰好相反或者相同， 就可以通过把两 个方程相加或者相减的方法消去该未知数； 如果没有上述特点， 可以通过等式两边同乘以一 个数，将其凑出可以加减消元的形式； 2. 解消元后得到的一元一次方程； 3. 把得到的解带入原方程中，求出另一个未知数； 4. 代回
6、原方程检验 注意：最后方程的解要写成 xa yb 的形式 例题4. 解下列方程组： （1） 23 3429 xy xy ； （2） 27 2516 xy xy 【分析】加减消元法掌握好了吗？ 解下列方程组： （1） 35 2532 xy xy ； （2） 37 2715 xy xy 例题5. 解方程：（1） 213 1 48 yy ；（2） 213 22 x x ；（3） 2 352xxx x 【分析】熟练掌握一元一次方程的解法，向更高的难度进发吧！ 练 习 4 4 例题6. 解下列方程组： （1） 9220 351 xy xy ； （2） 5216 2313 xy xy 【分析】解二元一次方
7、程组最基本的想法就是“消元” ，想想看，对于这两个题目是消 x 还 是消 y 更好做？ 应用方程和方程组可以解决应用题、几何、数论等各种类型的题目，同学们在后续的学 习中就会体会到方程的强大威力 方程的来历 方程这个名词，最早见于我国古代算书九章算术 九章算术是在我国东汉初年编 定的一部现有传本的、 最古老的中国数学经典著作 书中收集了 246 个应用问题和其他问题 的解法，分为九章，“方程”是其中的一章这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组其 中有一个问题实际上就是求解三元一次方程组： 3239 2334 2326 xyz xyz xyz 古代是将它用算筹布置起来解的如下图所示，图中各列由上
8、而下列出的算筹表示 x、 y、z 的系数与常数项一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程 上述方程的概念，在世界上要数九章算术中的“方程”章最早出现其中解方程组 的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产这 一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族 作业1. 求下列方程的解： （1）615x ； （2）3517x 作业2. 求下列方程的解： （1）58320xx； （2）65820xx 作业3. 求下列方程的解： （1）32 1545xx（）； （2）92 2219xx（） 作业4. 解方程： 3767 45 xx 作业5.
9、解下列方程组： （1） 40 326 xy xy （2） 5433 5319 xy xy 第七讲 解方程与解方程组 例题1. 答案： （1）5； （2）4； （3）3 例题2. 答案： （1）4； （2）5 例题3. 答案： （1）5； （2）6 例题4. 答案：（1） 7 2 x y ； （2） 3 2 x y 例题5. 答案： （1） 7 3 ； （2）4； （3）5 例题6. 答案： （1） 2 1 x y ； （2） 2 3 x y 练习1. 答案： （1）2； （2）4； （3）3 练习2. 答案：（1）8； （2）6 练习3. 答案：（1）9； （2）1 练习4. 答案： （1） 11 2 x y ； （2） 4 1 x y 作业1. 答案： （1）21； （2）4 作业2. 答案： （1）6； （2）2 简答：提示，注意移项的时候要改变符号 作业3. 答案： （1）15； （2）3 简答：提示，去括号的时候注意括号前面是减号，去掉括号要变号 作业4. 答案：7 简答：首先要去分母，方程两边同时乘以 20 即可 作业5. 答案： （1） 8 2 x y ； （2） 5 2 x y 简答：提示，第一个方程组采用代入消元法较为方便，第二个方 程组采用加减消元法较为方便