1、第二十二讲 物不知数与同余 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 故事中的余数问题就是我们今天要研究的 “物不知数” 问题， 也称为中国古余数问题 简 单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题通常在不同的题目中，余 数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足 - - -
2、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 （1）一个数除以 21 余 17，除以 20 也余 17这个数最小是多少？第二小是多少？ （2）一个数除以 11 余 7，除以 10 余 6这个数最小是多少？第二小是多少？ 分析分析 （1）这个数除以 21 和 20 都余 17，那么减去 17 以后得到的差跟 2
3、1 和 20 有什么关 系呢： （2）除以 11 和 10 的余数不一样，所以不能同时减去一个数了反方向考虑一下？ 练习 1 （1）一个自然数除以 4 余 3，除以 5 也余 3，这个自然数最小是多少？ （2）一个自然数除以 5 余 1，除以 7 余 3，这个自然数最小是多少？ 例题 2 （1）一个三位数除以 8 余 3，除以 12 也余 3这个三位数最小是多少？ （2）一个三位数除以 6 余 1，除以 10 余 5这个三位数最小是多少？ 分析分析看起来和例题 1 没有太多区别不过要小心哦，8 和 12 的最小公倍数是8 1296 吗？ 练习 2 一个三位数除以 4 余 3，除以 6 也余 3
4、这个三位数最大是多少？ 例题 3 （1）一个数除以 7 余 2，除以 11 余 1这个数最小是多少？ （2）有一队解放军战士，人数在 150 人到 200 人之间，从第一个开始依次按 1，2，3， 9 的顺序报数，最后一名战士报的数是 3；如果按 1，2，3，7 的顺序报数，最后一名 战士报的数是 4请问：一共有多少名战士？ 分析分析所求自然数要满足两个余数条件，直接处理并不容易，但我们可以先让它满足其中 一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件 练习 3 一个三位数除以 5 余 2，除以 7 余 3这个三位数最小是多少？ 如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余例如 19
5、5 除以 9 余 6，15 除以 9 也余 6，我们就说“195 和 15 除以 9 同余” 我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如 195 与 它的数字和除以 9 是同余的，1135 与它的末两位数字除以 4 是同余的而处理余数问题的 方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用 的手段：转化成整除问题！195 与 15 除以 9 的时候同余，19515180则是 9 的倍数；1135 与 35 除以 4 的时候同余，则1135351100是 4 的倍数也就是说： 如果两个数除以第三个数余数相同，则这两个数的差能被第三个数整
6、除反之亦然 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 4 （1）1024 除以一个两位数，余数为 23，那么这个两位数可能是多少？ （2）100 和 84 除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为 0这个除数可能是多少？ 分析分析 （1）由被除数 除数商余数，被除数是 1024，余数是
7、23，说明除数和商要满 足什么条件？（2）利用同余的定义就可以解决这个问题 练习 4 （1）用 150 除以一个整数，所得余数是 15，请问：这个除数可能是多少？ （2）80 和 56 除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为 0这个除数可能是多少？ 例题 5 刘叔叔养了 400 多只兔子如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2 只； 如果每 5 只兔子关在一个笼子里， 那么最后一个笼子里也有 2 只； 如果每 7 只兔子关在一个 笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？ 分析分析兔子数量要满足哪些余数条件？ 例题 6 把63个苹果， 90个桔子，
8、 130个梨平均分给一些同学， 最后一共剩下25个水果没有分出去 请 问：剩下个数最多的水果剩下多少个？ 分析分析这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？ 未来的数学家 节选自怎样解题乔治波利亚 未来的数学家应该是一个聪明的解题者， 但仅仅做一个聪明的解题者是不够的 在适当 的时候， 他应该去解答重大的数学题目， 而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型 的题目 对他来说， 工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答 通过考察他的工作过 程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷他可以深思题目的 困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了
9、他，又是什么最后帮助了他他 可以注意寻找简单直观的念头： 你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法： 你能 以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较 以使当前的题目更加清晰 他可以尝试创造一些新题目， 而这些新题目可以根据他刚刚完成 的工作解答出来： 你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题 目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用 和其他所有人一样， 未来的数学家通过模仿和练习来学习 他应该注意寻找正确的模范； 他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛然后，可能最重要的 是，他
10、不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式 是他天生倾向于模仿的 他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西 他应 该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目他应该通过这些 方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现： 他应该发现自己的好恶、 趣味以及自 己的思路 陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者13 岁成为国际奥林匹克数学金牌得主20 岁获得普林斯顿大学博士学位 24 岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授 2006 年，31 岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖目前已发表超过 230 篇
11、学术论文 作业1. 在小于 50 的数中，与 67 除以 11 同余的数有哪些？ 作业2. 一个自然数除以 7 余 3，除以 27 余 5，这个自然数最小是多少？ 作业3. 2025 除以一个两位数，余数是 75，这个两位数是多少？ 作业4. 1986 和 2011 这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数，这个两位数是多少？ 作业5. 韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五那么这队 兵有多少人？ 第二十二讲 物不知数与同余 例题1. 答案： （1）17；437 （2）106；216 详解： （1）这是一道余同的问题这个数最小是 17，第二小是21,20 17437 （
12、2） 这是一道缺同的问题这个自然数加上 4 即可被 11 和 10 整除，11,10110，因此这 个数最小为1104106第二小的是11024216 例题2. 答案： （1）123 （2）115 详解： （1）这是一道余同的问题满足条件的数可表示为8,123n，其中 n 为自然 数要求满足条件的最小三位数，应令 n 为 5，即8,12 53123 （2）这是一道缺 同的问题满足条件的数可表示为6,105n，其中 n 为自然数要求满足条件的最 小三位数，应令 n 为 4，即6,10 45115 例题3. 答案： （1）23； （2）165 详解： （1）采用逐步满足条件法满足第二个条件的数为
13、1，12，23，发现 23 同 时满足第一个条件，因此这个数最小是 23； （2）战士的人数除以 9 余 3，除以 7 余 4， 满足这两个条件最小的数是 39，不断加 63，直到满足限制条件，最后得到 165 例题4. 答案： （1）77、91； （2）16、8 详解： （1）1024231001， 可知除数是 1001 的约数 其中大于 23 的有 77 和 91； （2） 1008416，可知除数是 16 的约数，可能是 1、2、4、8 和 16但因为余数不为 0， 只能是 16 和 8 例题5. 答案：467 详解： 兔子数除以3余2， 除以5余2， 除以7余5 所有满足前两个条件的数
14、为23,5 n， 其中 n 为自然数，即 2，17，32，47，其中 47 同时满足第三个条件所有满足条 件的数为473,5,7 n，其中 n 为自然数n 取 4 时满足条件，为 467 例题6. 答案：20 详解：从整体的角度出发考虑问题，水果总数减去没有分出去的水果数，得到的数应为 学生数的倍数639013025258，258 的约数有 1、2、3、6、43、86、129、258， 其中 43 满足条件苹果剩下 20 个，桔子剩下 4 个，梨剩下 1 个，因此剩下个数最多的 水果剩下 20 个 练习1. 答案： （1）3 （2）31 简答： （1）这个自然数减去 3 以后是 4 和 5 的
15、公倍数，所以最小是 3； （2）这个自然数 加上 4 以后是 5 和 7 的公倍数，所以最小是 31 练习2. 答案：999 这是一道余同的问题满足条件的数可表示为4,63n，其中 n 为自然数要求满 足条件的最大三位数，应令 n 为 83，即4,6 833999 练习3. 答案：122 简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为 2、7、12、17，17 正好除以 7 余 3，那么同时满足两个条件的数最小是 17然后依次为 52、87、122最小是三位 数是 122 练习4. （1）27、45、135； （2）24、12、6、3 简答： （1）15015135，除数是 135 的约数
16、其中大于 15 的有 135、45 和 27； （2） 805624，除数是 24 的约数，可能是 1、2、3、4、6、8、12 和 24但要满足余数 不为 0，除数只能是 3、6、12 和 24 作业1. 答案：1，12，23，34，45 简答：除以 11 的余数都是 1 作业2. 答案：59 简答：除以 27 余 5 的数有 5、32、59、，其中除以 7 余 3 的第一个数是 59 作业3. 答案：78 简答：这个两位数是2025751950的约数，其中比 75 大的只有 78 作业4. 答案：25 简答：这个两位数是2011 198625的约数，只能是 25 作业5. 答案：473 简答：先列出除以 9 余 5 的数，从中找除以 7 余 4 的数，再从剩下的数中找除以 5 余 3 的数