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高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算

1、第二十一讲 余数的性质与计算 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 这一讲我们来学习余数问题在整数的除法中,只有能整除和不能整除两种情况当不 能整除时,就会产生余数 一般地,如果 a 是整数,b 是整数(b0),若有 ab=qr(也就是abqr), 0 rb; 当0r 时,我们称 a 能被 b 整除; 当0r

2、 时,我们称 a 不能被 b 整除,r 为 a 除以 b 的余数,q 为 a 除以 b 的商 余数问题和整除问题是有密切关系的, 因为只要我们去掉余数, 就能和整除问题联系在 一起了余数有如下一些重要性质 基本性质基本性质:被除数:被除数= =除数商(当余数大于除数商(当余数大于 0 0 时也可称为不完全商)时也可称为不完全商)+ +余数余数 除数=(被除数-余数)商; 商=(被除数-余数)除数 余数小于除数 理解这条性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够 被除数整除了在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较 熟悉的整除性问题,那么问题就

3、会变得简单了 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1用一个自然数去除另一个整数,商 40,余数是 16,被除数、除数的和是 877,求被 除数和除数各是多少? 分析分析如果设除数为 a,被除数可以表示为什么? 练习 1 甲、乙两数的和是 2014,甲数除以乙数商 99 余 14,求甲、乙两数

4、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 我们之前学过一些特殊数(如 2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125)的整除 特性这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法: (1)一个数除以 2 或 5 的余数,等于这个数的个位数字除以 2 或 5 的余数; 一个数除以 4 或 25

5、的余数,等于这个数的末两位数除以 4 或 25 的余数; 一个数除以 8 或 125 的余数,等于这个数的末三位数除以 8 或 125 的余数; (2)一个数除以 3 或 9 的余数,等于这个数的各位数字和除以 3 或 9 的余数; 一个数除以 99(包括 11、33)的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数; 此外,求 3 和 9 的余数还可应用乱切的方法 (3)一个数除以 11 的余数,等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以 11 的余数,如 果奇位数字和比偶位数字和小,则先加上若干个 11 再减即可 (4)一个数除以 7、11 和 13 的余数,等于将它三位截断之后,奇数段之和减去偶数段

6、之和除以 7、11 和 13 的余数,如果奇数段之和比偶数段之和小,则加上若干个 7、11 或 13 再减即可 这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法特性求余法 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 2 (1)20132013 除以 4 和 8 的余数分别是多少? (2)20142014 除以

7、3 和 9 的余数分别是多少? 分析分析根据 4、8、3、9 的特性,可以很快计算出结果 练习 2 (1)20121221 除以 5 和 25 的余数分别是多少? (2)20130209 除以 3 和 9 的余数分别是多少? 例题 3 (1)123456789 除以 7 和 11 的余数分别是多少?87654321 呢? (2)360360360 除以 99 的余数是多少? 分析分析根据 7、1、99 的特性,可以计算出结果在截断的时候要特别小心 练习 3 201420132012 除以 13 和 99 的余数分别是多少? - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 为了更好地了解余数的其它一些重要性质,我们再来做几个练习: (1)211 除以 9 的余数是_; (2)137 除以 9 的余数是_; (3)211 137的和除以 9 的余数是_; (4)211 137的差除以 9 的余数是 _; (5)211 137的积除以 9 的余数是_; (6) 2 137除以 9 的余数是_ 比较上面的结果,我们

9、发现余数还有一些很好的性质: 和的余数等于余数的和和的余数等于余数的和 ; 差的余数等于余数的差差的余数等于余数的差 ; 积的余数等于余数的积积的余数等于余数的积 这三条性质分别称为余数的可加性可加性 、 可减性可减性 和可乘性可乘性 在 计算一个算式的结果除以某个数的余数时,可以利用上述性 质进行简算 例如计算3337 1580的结果除以 7 的余数就 可以像右侧这样计算这一简算方法又称替换求余法替换求余法 需要提醒大家的是,虽然上述三条计算余数的口诀朗朗 上口,但并不严格,在使用时还需要注意: (1)如果替换之后余数的计算结果大于除数,还 需要再次计算结果的余数例如:在计算423317除以

10、 6 的余数时,利用“和的余数等于 余数的和”,结果就变成了358,86,所以还需要再次计算 8 除以 6 的余数是 2,才 是423317除以 6 最后的余数再比如:在计算423 317除以 6 的余数时,也会遇到 3 5156的情况,同样的还需要计算 15 除以 6 的余数是 3,才是最终的结果 (2)在计 算减法时,会出现余数不够减的情况,这时只要再加上除数或除数的倍数即可例如:在计 算423317除以 6 的余数时,会发现结果变成了35不够减此时,只要再加上 6,用 6354来计算即可 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

11、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 4 一年有 365 天,轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个年终将这些零件按 6 个一包的规 格打包,最后一包不够 6 个请问:最后一包有多少个零件? 分析分析最后一包的零件数实际上就是零件总数除以 19 的余数 3337 1580 52 13 每个数都用它除以 7 的 余数替换 练习练习 4 (1)123456789除以 111 的余数是多少? (2)22

12、44686678的结果除以 22 余数是多少? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合,便可大大简化余数的计算 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

13、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 5 (1)8778449235 81368除以 4、9 的余数分别是多少? (2)365366+367368 369370除以 7、11、13 的余数分别是多少? 分析分析要把结果算出来,再求余数,计算量很大看看如何利用“替换求余”以及“特性 求余”的方法来进行求解 例题 6 (1) 100 2的个位数字是多少? 2014 3除以 10 的余数是多少? (2) 2014 3除以 7 的余数是多少? 分析分析一个数的

14、个位数字就是它除以 10 的余数,大家来找一下个位数字的变化规律 小熊分粽子 今天是端午节,猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。在回家的路上,猴爸爸买 了一筐粽子准备分给孩子们。回到家,猴爸爸将粽子数了数,一共70多个。猴爸爸把9个孩 子叫到身边说: “孩子们, 今天过节, 爸爸要将这些粽子分给你们吃。 ” 说完, 就开始分粽子, 可猴爸爸怎么分也不能将粽子均分给孩子们。正在犯愁时,门铃响了,原来是小熊来串门。 小熊是出了名的小精灵,脑瓜特灵活。猴爸爸一见他就高兴地说: “小熊老弟,你来得 正好,我正有问题要找你帮忙呢。于是,猴爸爸将自己分粽子的事情告诉了小熊。小熊眼珠 一转,计上心头,笑

15、着说: “猴大哥,这件事好办,只要你答应将分剩下的粽子给我,我保 证把这些粽子均匀地分给你的孩子们。 ”猴爸爸一听小熊有办法,连想都没想就答应了小熊 的要求。 小熊将筐中的粽子一个个地分给猴儿们, 猴儿们帮分到了同样多的粽子, 谁也没有意见, 都高高兴兴地吃起了粽子。这时,猴爸爸却不高兴了,因为他发现,小熊分得的粽子个数最 多。他生气地对小熊说: “熊老弟,这就是你不对了,你明知道你得的粽子会最多,为什么 还要骗我上你的当呢?你也太不够朋友了。 ”小熊笑着说: “猴大哥,我们可是有言在先,你 可是答应了我的条件,我才帮你分粽子的,你难道想反悔吗?那才真是不够朋友呢! ”猴爸 爸自知理亏,不好再

16、争辩什么,只是埋怨自己不该轻信小熊的话,叹了叹气说: “谁叫我当 初不多读点书呢!”猴爸爸只顾着生气,猴儿们聚在一起吃得正香,谁也没有再理会小熊, 小熊见自己不再受欢迎,只好拿着分到的粽子离开了猴子山。小朋友,请你想一想,猴爸爸 一共买了多少个粽子?猴儿们和小熊各分得了多少个粽子? 作业1. 1234567 除以 3、5、9 的余数分别是多少? 作业2. 151515151515 除以 8、11、7 的余数分别是多少? 作业3. 算式20092009201020102011 2011除以 31 的余数是多少? 作业4. 自然数 2011 4除以 9 的余数是多少? 作业5. 算式1882883

17、8819882088的结果除以 9、13 的余数分别是多少? 第二十一讲 余数的性质与计算 例题1. 答案:856;21 详解:除数为(877 16)(40 1)21,被除数为87721856 例题2. 答案: (1)1;5 (2)2;5 详解: 一个数除以 4 和 8 的余数, 只要分别看这个数末两位和末三位除以 4 和 8 的余数 即可一个数除以 3 和 9 的余数,只要分别看这个数数字和除以 3 和 9 的余数即可 例题3. 答案: (1)1;56;7 (2)63 详解:(1)123789456456, 456 除以 7 和 11 的余数分别为 1 和 5, 因此 123456789 除

18、以 7 和 11 的余数分别为 1 和 5用32187654408654,发现不够减,要求除 以 7 的余数,加上 7 的倍数即可比如:408654350104,104 除以 7 余 6,因此 87654321 除以 7 余 6求除以 11 的余数,可用1357(2468)1620 ,发 现不够减,加上 11 的倍数即可,1620117,因此 87654321 除以 11 余 7 (2)一 个数除以 99 的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数容易发现 360360 可被 99 乘除,因此只要看 360 除以 99 的余数即可,因此余数为 63 例题4. 答案:2 详解:就是要求算式365

19、1234的结果除以 6 的余数利用替换求余法易知结果是 2 例题5. 答案: (1)0;2 (2)2;2;2 详解:特性求余法和替换求余法结合使用 例题6. 答案: (1)6;9 (2)4 详解: (1)2n的个位数字依次是 2、4、8、6、每四个数一个周期100 除以 4 的余 数是 0, 那么 100 2 的个位数字是周期中的第四个数 63 n 的个位数字依次是 3、 9、 7、 1、 每四个数一个周期2014 除以 4 的余数是 2,那么 2014 3 的个位数字是周期中的第二个数 9 (2)3 n 除以 7 的余数依次是 3、2、6、4、5、1、每六个数一个周期2014 除以 6 的余

20、数是 4,所以 2014 3除以 7 的余数是周期中的第四个数 4 练习1. 答案:1994;20 简答:设乙数为 a,则甲数为9914a ,那么有99142014aa,20a 可求出甲 数为 1994,乙数为 20 练习2. 答案: (1)1;21 (2)2;8 简答: (1)利用末位判别法; (2)利用数字和 练习3. 答案:8;0 简答: 三位截断后, 奇段和为42012432, 偶段和为201 132333,43233399, 除以 13 的余数是 8两位截断后,所有段的和是20142013201299,除以 99 的余数是 0 练习4. 答案: (1)36; (2)12 简答:利用替换求余法计算 作业1. 答案:1,2,1 简答:利用特征求余法求解 作业2. 答案:3,2,0 简答:利用特征求余法求解 作业3. 答案:15 简答:利用替换求余法求解 作业4. 答案:4 简答:利用周期求余法求解 作业5. 答案:8,10 简答:18828838819882088188208810,然后利用替换求余法求解