1、第二十一讲 余数的性质与计算 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 这一讲我们来学习余数问题在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况当不 能整除时，就会产生余数 一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0）,若有 ab=qr（也就是abqr）, 0 rb； 当0r 时，我们称 a 能被 b 整除； 当0r
2、 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的商 余数问题和整除问题是有密切关系的， 因为只要我们去掉余数， 就能和整除问题联系在 一起了余数有如下一些重要性质 基本性质基本性质：被除数：被除数= =除数商（当余数大于除数商（当余数大于 0 0 时也可称为不完全商）时也可称为不完全商）+ +余数余数 除数=（被除数-余数）商； 商=（被除数-余数）除数 余数小于除数 理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够 被除数整除了在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较 熟悉的整除性问题，那么问题就
3、会变得简单了 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1用一个自然数去除另一个整数，商 40，余数是 16，被除数、除数的和是 877，求被 除数和除数各是多少？ 分析分析如果设除数为 a，被除数可以表示为什么？ 练习 1 甲、乙两数的和是 2014，甲数除以乙数商 99 余 14，求甲、乙两数
4、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 我们之前学过一些特殊数（如 2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除 特性这些数的整除特性稍加改造，即可成为求解余数的一类简便算法： （1）一个数除以 2 或 5 的余数，等于这个数的个位数字除以 2 或 5 的余数； 一个数除以 4 或 25
5、的余数，等于这个数的末两位数除以 4 或 25 的余数； 一个数除以 8 或 125 的余数，等于这个数的末三位数除以 8 或 125 的余数； （2）一个数除以 3 或 9 的余数，等于这个数的各位数字和除以 3 或 9 的余数； 一个数除以 99（包括 11、33）的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数； 此外，求 3 和 9 的余数还可应用乱切的方法 （3）一个数除以 11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以 11 的余数，如 果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个 11 再减即可 （4）一个数除以 7、11 和 13 的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段
6、之和除以 7、11 和 13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个 7、11 或 13 再减即可 这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法特性求余法 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 2 （1）20132013 除以 4 和 8 的余数分别是多少？ （2）20142014 除以
7、3 和 9 的余数分别是多少？ 分析分析根据 4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果 练习 2 （1）20121221 除以 5 和 25 的余数分别是多少？ （2）20130209 除以 3 和 9 的余数分别是多少？ 例题 3 （1）123456789 除以 7 和 11 的余数分别是多少？87654321 呢？ （2）360360360 除以 99 的余数是多少？ 分析分析根据 7、1、99 的特性，可以计算出结果在截断的时候要特别小心 练习 3 201420132012 除以 13 和 99 的余数分别是多少？ - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习： （1）211 除以 9 的余数是_； （2）137 除以 9 的余数是_； （3）211 137的和除以 9 的余数是_； （4）211 137的差除以 9 的余数是 _； （5）211 137的积除以 9 的余数是_； （6） 2 137除以 9 的余数是_ 比较上面的结果，我们
9、发现余数还有一些很好的性质： 和的余数等于余数的和和的余数等于余数的和 ； 差的余数等于余数的差差的余数等于余数的差 ； 积的余数等于余数的积积的余数等于余数的积 这三条性质分别称为余数的可加性可加性 、 可减性可减性 和可乘性可乘性 在 计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性 质进行简算 例如计算3337 1580的结果除以 7 的余数就 可以像右侧这样计算这一简算方法又称替换求余法替换求余法 需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗 上口，但并不严格，在使用时还需要注意： （1）如果替换之后余数的计算结果大于除数，还 需要再次计算结果的余数例如：在计算423317除以
10、 6 的余数时，利用“和的余数等于 余数的和”，结果就变成了358，86，所以还需要再次计算 8 除以 6 的余数是 2，才 是423317除以 6 最后的余数再比如：在计算423 317除以 6 的余数时，也会遇到 3 5156的情况，同样的还需要计算 15 除以 6 的余数是 3，才是最终的结果 （2）在计 算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可例如：在计 算423317除以 6 的余数时，会发现结果变成了35不够减此时，只要再加上 6，用 6354来计算即可 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
11、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 4 一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个年终将这些零件按 6 个一包的规 格打包，最后一包不够 6 个请问：最后一包有多少个零件？ 分析分析最后一包的零件数实际上就是零件总数除以 19 的余数 3337 1580 52 13 每个数都用它除以 7 的 余数替换 练习练习 4 （1）123456789除以 111 的余数是多少？ （2）22
12、44686678的结果除以 22 余数是多少？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
13、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 5 （1）8778449235 81368除以 4、9 的余数分别是多少？ （2）365366+367368 369370除以 7、11、13 的余数分别是多少？ 分析分析要把结果算出来，再求余数，计算量很大看看如何利用“替换求余”以及“特性 求余”的方法来进行求解 例题 6 （1） 100 2的个位数字是多少？ 2014 3除以 10 的余数是多少？ （2） 2014 3除以 7 的余数是多少？ 分析分析一个数的
14、个位数字就是它除以 10 的余数，大家来找一下个位数字的变化规律 小熊分粽子 今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。在回家的路上，猴爸爸买 了一筐粽子准备分给孩子们。回到家，猴爸爸将粽子数了数，一共70多个。猴爸爸把9个孩 子叫到身边说： “孩子们， 今天过节， 爸爸要将这些粽子分给你们吃。 ” 说完， 就开始分粽子， 可猴爸爸怎么分也不能将粽子均分给孩子们。正在犯愁时，门铃响了，原来是小熊来串门。 小熊是出了名的小精灵，脑瓜特灵活。猴爸爸一见他就高兴地说： “小熊老弟，你来得 正好，我正有问题要找你帮忙呢。于是，猴爸爸将自己分粽子的事情告诉了小熊。小熊眼珠 一转，计上心头，笑
15、着说： “猴大哥，这件事好办，只要你答应将分剩下的粽子给我，我保 证把这些粽子均匀地分给你的孩子们。 ”猴爸爸一听小熊有办法，连想都没想就答应了小熊 的要求。 小熊将筐中的粽子一个个地分给猴儿们， 猴儿们帮分到了同样多的粽子， 谁也没有意见， 都高高兴兴地吃起了粽子。这时，猴爸爸却不高兴了，因为他发现，小熊分得的粽子个数最 多。他生气地对小熊说： “熊老弟，这就是你不对了，你明知道你得的粽子会最多，为什么 还要骗我上你的当呢？你也太不够朋友了。 ”小熊笑着说： “猴大哥，我们可是有言在先，你 可是答应了我的条件，我才帮你分粽子的，你难道想反悔吗？那才真是不够朋友呢！ ”猴爸 爸自知理亏，不好再
16、争辩什么，只是埋怨自己不该轻信小熊的话，叹了叹气说： “谁叫我当 初不多读点书呢!”猴爸爸只顾着生气，猴儿们聚在一起吃得正香，谁也没有再理会小熊， 小熊见自己不再受欢迎，只好拿着分到的粽子离开了猴子山。小朋友，请你想一想，猴爸爸 一共买了多少个粽子?猴儿们和小熊各分得了多少个粽子? 作业1. 1234567 除以 3、5、9 的余数分别是多少？ 作业2. 151515151515 除以 8、11、7 的余数分别是多少？ 作业3. 算式20092009201020102011 2011除以 31 的余数是多少？ 作业4. 自然数 2011 4除以 9 的余数是多少？ 作业5. 算式1882883
17、8819882088的结果除以 9、13 的余数分别是多少？ 第二十一讲 余数的性质与计算 例题1. 答案：856；21 详解：除数为(877 16)(40 1)21，被除数为87721856 例题2. 答案： （1）1；5 （2）2；5 详解： 一个数除以 4 和 8 的余数， 只要分别看这个数末两位和末三位除以 4 和 8 的余数 即可一个数除以 3 和 9 的余数，只要分别看这个数数字和除以 3 和 9 的余数即可 例题3. 答案： （1）1；56；7 （2）63 详解：（1）123789456456， 456 除以 7 和 11 的余数分别为 1 和 5， 因此 123456789 除
18、以 7 和 11 的余数分别为 1 和 5用32187654408654，发现不够减，要求除 以 7 的余数，加上 7 的倍数即可比如：408654350104，104 除以 7 余 6，因此 87654321 除以 7 余 6求除以 11 的余数，可用1357(2468)1620 ，发 现不够减，加上 11 的倍数即可，1620117，因此 87654321 除以 11 余 7 （2）一 个数除以 99 的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数容易发现 360360 可被 99 乘除，因此只要看 360 除以 99 的余数即可，因此余数为 63 例题4. 答案：2 详解：就是要求算式365
19、1234的结果除以 6 的余数利用替换求余法易知结果是 2 例题5. 答案： （1）0；2 （2）2；2；2 详解：特性求余法和替换求余法结合使用 例题6. 答案： （1）6；9 （2）4 详解： （1）2n的个位数字依次是 2、4、8、6、每四个数一个周期100 除以 4 的余 数是 0， 那么 100 2 的个位数字是周期中的第四个数 63 n 的个位数字依次是 3、 9、 7、 1、 每四个数一个周期2014 除以 4 的余数是 2，那么 2014 3 的个位数字是周期中的第二个数 9 （2）3 n 除以 7 的余数依次是 3、2、6、4、5、1、每六个数一个周期2014 除以 6 的余
20、数是 4，所以 2014 3除以 7 的余数是周期中的第四个数 4 练习1. 答案：1994；20 简答：设乙数为 a，则甲数为9914a ，那么有99142014aa，20a 可求出甲 数为 1994，乙数为 20 练习2. 答案： （1）1；21 （2）2；8 简答： （1）利用末位判别法； （2）利用数字和 练习3. 答案：8；0 简答： 三位截断后， 奇段和为42012432， 偶段和为201 132333，43233399， 除以 13 的余数是 8两位截断后，所有段的和是20142013201299，除以 99 的余数是 0 练习4. 答案： （1）36； （2）12 简答：利用替换求余法计算 作业1. 答案：1，2，1 简答：利用特征求余法求解 作业2. 答案：3，2，0 简答：利用特征求余法求解 作业3. 答案：15 简答：利用替换求余法求解 作业4. 答案：4 简答：利用周期求余法求解 作业5. 答案：8，10 简答：18828838819882088188208810，然后利用替换求余法求解