1、第一讲 整除问题初步 从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论 什么是数论呢？ 人类从学会数数开始，就一直和整数打交道人们在对整数的应用和研究中，探索出很 多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现 了数论这门学科 确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 我们就从最基本的性质整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过： “数学是科学的皇后，数 论是数学的皇冠” 一、一、 整除的定义整除的定义 如果整数 a 除以整数 b（0b ） ，除得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除， 也可以说
2、 b 能整除 a，记作|b a 如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被 b 整除，也可以说 b 不能整除 a 二、二、 整除的一些基本性质：整除的一些基本性质： 1 尾数判断法 （1） 能被 2，5 整除的数的特征：个位数字能被 2 或 5 整除 （2） 能被 4，25 整除的数的特征：末两位能被 4 或 25 整除 （3） 能被 8，125 整除的数的特征：末三位能被 8 或 125 整除 2 数字求和法 能被 3，9 整除的数的特征：各位数字之和能被 3 或 9 整除 3 奇偶位求差法 能被 11 整除的数的特征： “奇位和 ”与“偶位和 ”的差能被 11 整除 我们把一个数从右往左数
3、的第 1、3、5 位，统称为奇数位奇数位，把一个数从右往左数 的第 2、4、6 位，统称为偶数位偶数位我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和奇位和” ， 把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和偶位和” 下面我们来看一下如何运用这些性质 例题1. 判断下面 11 个数的整除性： 23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407 （1）这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被 8 整除？ （2）哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？ （3）哪些数能被 3 整除？哪些数能被 9 整除？ （4）哪些数能被 11 整除？
4、 【分析】关于 4、8、25、125 以及 3、9、11 的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不 妨根据整除特性判断一下 练习1. 在数列 3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除， 哪些数能被 3 整除，哪些数能被 11 整除？ 如果将例题1中能被3整除的数相加或相减， 会发现得到的结果还能被3整除； 同样的， 如果将其中能被 11 整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被 11 整除从中我们可 以总结出如下规律： 和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数 a 整除，那它们的和与差也都能被 a 整除 例题2. 173是一个四位数
5、文老师说： “我在其中的方框内先后填入 3 个数字，得到 3 个四位数，依次能被 9，11，8 整除 ”问：文老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是 多少？ 【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析需要分别用到 9、11 和 8 的整除特性 练习2. 在23的方框内先后填上 3 个数字，分别组成 3 个三位数，使它们依次被 3、4、 5 整除 上面我们已经学习了如何利用“整除特征” ，解决单个数的整除问题下面我们再来看 一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决 例题3. 牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上但是记账的那张纸破了 两个洞，上面只剩下“678”，其中方框表示破了的
6、洞牛叔叔记得每名工人的工 资都一样，并且都是整数元请问：这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？ 【分析】这 45 名员工的工资都一样，所以总工资就能被 45 整除我们没有学过被 45 整除的数的特征但注意到455 9，于是678应该能同时被 5 和 9 整除，那么 先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？ 练习3. 四位数33能被 36 整除，那么这个四位数可能是多少？ 在例 3 中，我们并不知道 45 的整除特征，但是，能被 45 整除的数，也能被 5 和 9 整除，那么只需考虑 5 和 9 的整除特征即可 请同学们注意，虽然，但是在考虑能否被 45 整除时，不能只考虑被 3 和 15 整除你
7、能想明白为什么吗？ 例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话服务人员告诉他，目前只有形如 “123468”的号码可以申请也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以 随意选择， 而其余数字不得改动 王经理打算申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码 请 问：他申请的号码可能是多少？ 【分析】要被 8 整除，说明号码的后三位68是 8 的倍数想一下，这样的三位数是 唯一的吗？ 练习4. 七位数22333能被 44 整除，那么这个七位数是多少？ 有时候满足题目条件的答案会非常多 如果只要求找出最大的或最小的， 我们只需要从 极端情况考虑即可 例题5. 在所有各位数字互不相同的五位数中
8、，能被 45 整除的数最小是多少？最大是多少？ 【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是 9、8、如 果想让五位数尽量小，是不是应该依次是 1、2、呢？ 例题6. 由 1、3、4、5、7、8 这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多 少？ 【分析】要想能被 11 整除，奇位和与偶位和的差应该是 11 的倍数那么奇位和与偶位 和的和又是什么呢？ 453 15 455 9 天才未必事事都聪明 牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的一次，粮仓里闹鼠灾 了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出结果他开了两个洞大的给老 猫，小的给小猫 其实在整除性的
9、问题当中也有类似情况 比如要在200的方框中填入两个数 字使得这个五位数同时能被 4、5、8 整除，实际根本不用考虑 4，只要考虑 5 和 8 即 可，因为能被 8 整除的也必然能被 4 整除如果你还要再考虑 4 的整除性，那就多 此一举了 课 堂 内 外 作业 1. 下面有 9 个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100其中能被 4 整 除的有哪些？能被 25 整除的有哪些？ 2. 有如下 5 个自然数：12345，189，72457821，333666，54289其中能被 9 整除的有哪 些？ 3. 有如下 5 个自然数：3124，3823，45235
10、，5289，5588其中能被 11 整除的有哪些？ 4. 125是一个四位数王老师说： “我在其中的方框内先后填入 3 个数字，得到 3 个四 位数， 依次能被 9， 11， 8 整除 ” 问： 王老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少？ 5. 阿呆买了 72 支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不 全，只能认出： 11.4 元（表示不明数字） 请问总价应该是多少？ 第一讲 整除问题初步 例题1. 答案： （1） 能被 4 整除的有 3568、 5880、 6512、 864； 能被 8 整除的有 3568、 5880、 6512、864 （2）能被 25 整除
11、的有 8875、93625；能被 125 整除的有 8875、93625 （3） 能被 3 整除的有 23487、 6765、 5880、 198954、 864； 能被 9 整除的有 198954、 864 （4） 能被 11 整除的有 407、6765、6512 例题2. 答案：21 详解：要想让四位数能被 9 整除，数字和得是 9 的倍数，空格中要填 7要想让四位数 能被 11 整除，奇位和与偶位和的差得是 11 的倍数，空格中要填 8要想让四位数能被 8 整除，需要后三位即73是 8 的倍数，空格中要填 6三个数字之和是 21 例题3. 答案：67680 或 67185 详解：根据题意
12、，这个数能被 45 整除，即能同时被 5 和 9 整除，个位只能是 0 或 5， 对应的百位是 6 或 1 例题4. 答案：12345608、12341648、12348688 详解：末三位被 8 整除，十位数字只能是 0、4、8要满足号码能被 11 整除对应的千 位数字只能是 5、1、8 例题5. 答案：10395；98730 详解：要被 45 整除，五位数既得是 5 的倍数，也得是 9 的倍数那么五位数的末尾只 能是 0 或 5先来看最小的数要让前面数位上的数字尽量小，可以是105要满 足它是 9 的倍数且最小，应该是 10395再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大， 可以是985或98
13、0要满足它是 9 的倍数且最大，应该是 98730 例题6. 答案：875413 详解： 要想是 11 的倍数， 奇位和与偶位和的差得是 11 的倍数 这六个数字的和是 28， 而最大的三个数的和是 20，也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过 20，所以只 能把 28 分成两个 14，偶位为 8、5、1，奇位为 7、4、3 练习1. 答案：能被 4 整除的数有 3124、312、5588；能被 3 整除的数有 312、5289、7314； 能被 11 整除的数有 3124、5588 练习2. 答案：本题的答案不止一种，要想被 3 整除，空格中可以填 1、4、7要想被 4 整 除，空格中可填
14、 2 或 6要想被 5 整除，空格中可填 0 或 5 练习3. 答案：3132 或 3636 简答： 要想被 36 整除， 这个四位数要既是 4 的倍数， 也是 9 的倍数 要想是 4 的倍数， 个位上的空格中可填 2 或 6要想满足四位数是 9 的倍数，百位上的空格对应要填 1 或 6 练习4. 答案：2213332 或 2283336 简答：这个七位数既是 4 的倍数，也是 11 的倍数要想是 4 的倍数，个位上的空格中 可填 2 或 6，剩下的空格中对应可填 1 或 8 作业1. 答案：48，7836，4100；75，650，4100 简答：4 和 25 看末两位 作业2. 答案：189，72457821，333666 简答：被 9 整除看数字和 作业3. 答案：3124，5588 简答：被 11 整除看奇位和与偶位和的差 作业4. 答案：11 简答：填入的三个数字分别为 1，4，6，数字和为 11 作业5. 答案：811.44 元 简答：728 9 ，分别考虑 8 和 9 的整除特性