1、第二讲 整除问题进阶 例题1. 答案：120087 详解：能被 9 和 11 整除可以看作是能被 99 整除，可以两位截断求数段和，那么有 208是 99 的倍数，只能是 99两个空中先后要填 1 和 7 例题2. 答案：123483789 详解：设这个九位数为1234789ab，两位截断求和1234789160abba是 99 的倍数，只能是 198所以 a=8，b=3 例题3. 答案：6 详解：利用 7 的整除特性，895930能被 7 整除，只能填 6 例题4. 答案：5 详解：555555、999999 能被 13 整除，前面依次去掉 555555，后面一次去掉 999999 后 仍然
2、是 13 的倍数所以只需要满足13|59就可以了空格中要填 5 例题5. 答案：768768 详解： 形如abcabc一定能被 7 整除， 可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数， 三位数由 6、7、8 组成又可知这个六位数一定能被 3 整除，所以只要保证后三位能被 8 整除就可以了答案不唯一 例题6. 答案：20999 详解：利用数字谜，从后往前逐位确定 练习1. 答案：6237 简答：两位截断后的和是 99 练习2. 答案：12327678 9 1 3 2 3 7 3 9 2 6 9 9 9 1 3 2 3 3 9 2 6 9 9 9 3 2 3 9 6 9 9 9 2 3 9 9 9
3、 简答：两位截断后的和是 198 练习3. 答案：5712 或 5782 简答：利用 7 的整除特性，72与 5 的差是 7 的倍数，空格中可以填 1 或 8 练习4. 答案：0 简答：前面依次去掉 111111，后面依次去掉 333333，最后剩下它是 13 的倍数， 那么空格中只能填 0 作业1. 答案：7 的倍数有 7315，58674，360360；13 的倍数有 325702，360360 简答：牢记 7 和 13 的判断方法 作业2. 答案：6336 简答：这个四位数是 99 的倍数，两位截断后求和即可 作业3. 答案：2758 简答：应用三位截断法，可知能被 7 整除，框中填 5
4、 满足条件 作业4. 答案：9 简答：应用三位截断，可知能被 7 和 13 整除，即是 91 的倍数，框中填 9 满足条件 作业5. 答案：3 简答：应用三位截断，可知能被 7 整除，框中填 3 满足条件 第二讲 整除问题进阶 13 8181 76 上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法， 如利用末位数字判断、 利用数字和判 断等现在我们再来学习一些新的判断方法 一、截断作和 能被 99 整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可 以是一位数）之和能被 99 整除 六位数2008能同时被 9 和 11 整除这个六位数是多少？ 例 题 1 1 【分析】能同时被 9 和
5、 11 整除，说明这个六位数能被 99 整除想一想，99 的整除特性是 什么？ 四位数能同时被 9 和 11 整除，这个四位数是多少？ 【分析】这个九位数是 99 的倍数，说明两位截断以后，各段之和是 99 的倍数这个 99 的 倍数可能是多少呢？ 已知八位数能被 99 整除，这个八位数是多少？ 二、截断作差 能被 7、11、13 整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和 的差能被 7 或 11 或 13 整除 【分析】 根据能被 7 整除的数的特征： 末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被 7 整除，我们可以由此将问题简化 阿呆写了一个两位数 59，阿瓜写了一个
6、两位数 89，他们让小高写一个一位数放在 59 与 89 之间 拼成一个五位数5989，使得这个五位数能被 7 整除请问：小高写的数是多少？ 例 题 3 3 123678 练 习 2 2 已知九位数1234789能被 99 整除，这个九位数是多少？ 例 题 2 2 23 练 习 1 1 四位数572能被 7 整除，那么这个四位数可能是多少？ 接下来我们处理一些较复杂的问题 【分析】在本题中， 255259 555 999 个个 能被 13 整除这个数的位数太多，我们可以想办法使它 变得简短一些因为 1001 是 13 的倍数，而 555555、999999 分别是 555、999 与 1001
7、 的乘 积，说明它们都是 13 的倍数那我们是不是可以去掉这个 51 位数上的一些 5 和 9，并仍然 保证它能被 13 整除？ 已知多位数 2010120103 111333 个个 能被 13 整除，那么中间方格内的数字是多少？ 【分析】 能被 6， 7， 8 整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被 7 整除， 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被 7 整除呢？题目只要求我们 写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可 用数字 6，7，8 各两个，要组成能同时被 6，7，8 整除的六位数请写出一个满足要求的六位数 例 题 5 5 练 习 4 4 已
8、知 51 位数 255259 555999 个个 能被 13 整除，中间方格内的数字是多少？ 例 题 4 4 练 习 3 3 【分析】 我们没有学过能被 23 整除的数的特征， 而且 23 也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被 23 整除，就是说它能写成 23 与另一个数的乘积接下来，大家想到该怎么办了吗？ 一个五位数，它的末三位为 999如果这个数能被 23 整除，那么这个五位数最小是多少？ 例 题 6 6 自古成功在尝试 枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用当看到一个问题很难下手时，不 妨先从简单情形出发试一试，也许能找出
9、规律和思路 胡适（学者，诗人，19461948 年任北京大学校长） ，在他的作品尝试集的 序言中写到： “尝试成功自古无，放翁这话未必是我今为下一转语，自古成功在尝 试” 这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能 成功而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一 定能够成功 我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试 课 堂 内 外 作业 1. 在 7315，58674，325702，96723，360360 中，7 的倍数有哪些？13 的倍数有哪些？ 2. 四位数33能同时被 9 和 11 整除，这个四位数是多少？ 3. 四位数278能被 7 整除，那么这个四位数是多少？ 4. 已知多位数 2012258 81 258258258 个 （2012 个 258）能同时被 7 和 13 整除，方格内的数字是 多少？ 5. 已知多位数 2011120113 111333 个个 能被 7 整除，那么中间方格内的数字是多少？