1、第十八讲 直线形计算中的比例关系 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在前面的讲次中我们已经学习了两个等高三角形之间的倍数关系， 下面我们复习一下其 中的基本结论 当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比 如图所示，对于三角形 ABD 与三角形 BDC，它
2、们有共同的高 BH，可知 ABDAD BDCDC 三角形的面积 三角形的面积 例题 1如图，AE:EB=3:2，CD:DB=7:5，三角形 ABC 的面积是 60，求三角形 AED 的面积 分析分析图中是否有等高的三角形？ 练习 1如图，:2:5CE AE ，:7:5CD DB 三角形 ABC 面积为 120，求三角形 AED 的面 积 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3、- - - 在前面的漫画中我们认识了“小黎飞镖”把“飞镖”立起来（如图） ，标好字母， 会发现两个三角形：三角形 ADE 与三角形 ABC这两个三角形有一个公共的角 A，并且 角 A 的两边 AD、 AE 分别在 AB、 AC 上 对于符合这种情况的三角形 ADE 与三角形 ABC， 我们称之为“共角三角形” B A C D H A B C D E A D C B E A D C B E 对于这两个“共角”的三角形，它们的面积之比等于对应两边长度之比的乘积，例如： 在“小黎飞镖”中，有 ADEADAE ABCABAC 三角形的面积 三角形的面积 （同学们，可以想一想如何来证明这 个结论提示：连
4、结四边形 BDEC 的一条对角线） 例如：如果在“小黎飞镖”中，D 点是 AB 上靠近 B 的 3 等分点，E 点是 AC 上靠近 A 的 3 等分点，那么 2 3 AD AB ， 1 3 AE AC ，那么三角形 ADE 的面积就是三角形 ABC 面积的 212 339 有了这个结论，在解决一些问题时，就方便很多了请看下面的问题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
5、 - 例题 2如图，在三角形 ABC 中，AD 的长度是 BD 的 3 倍，AC 的长度是 EC 的 3 倍三角 形 AED 的面积是 10，那么三角形 ABC 的面积是多少？ 分析分析ADE 占ABC 的几分之几？应该怎么利用鸟头模型来计算？ 练习 2三角形 ABC 中，BD 的长度是 AB 的 1 4 ，AE 的长度是 AC 的 1 3 三角形 AED 的面 积是 8，那么三角形 ABC 的面积是多少？ 例题 3如图，已知长方形 ADEF 的面积是 16，BE=3BD，CE=CF请问：三角形 BEC 的 面积是多少？ 分析分析鸟头模型中有两个共角的三角形，可是在本题中只有一个三角形，另外一
6、个三角形 应该怎么构造呢？ A B C D E A B C D E C A E B D F 练习 3如图，长方形 ABCD 的面积是 48，BE:CE=3:5，DF:CF=1:2三角形 CFE 的面积是 多少？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 接着，我们来看一看在任意四边形中
7、三角形之间的面积关系如图，对于一个任意的四 边形 ABCD，连结对角线 AC 和 BD，将整个四边形分成 4 个小三角形，由等高三角形的基 本结论，我们可以得到如下关系： - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 4如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成 4 个部分三角形 BOC 的面积是 2 平方千米，三角形 COD 的面积是 3
8、平方千米，三角形 AOB 的面积是 1 平 方千米如果公园由大小为 6.9 平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多 少平方千米？ 分析分析BOC、COD 和AOB 的面积都知道了，那么AOC 的面积是多少呢？ 练习 4四边形 ABCD 中，AC、BD 两条对角线交于 O 点，三角形 ABO 的面积为 6，三角 形 AOD 的面积为 8，三角形 BOC 的面积是 15，那么四边形 ABCD 的面积是多少？ A B C D O S1 S2 S3 S4 1414 2323 SSSSBO DOSSSS 1212 4343 SSSSAO COSSSS 1324 SSSS A B C D E
9、 F C A B D O A B C D O 例题 5如图， ABC 的面积是 36，并且 1 3 AEAC， 1 4 CDBC， 1 5 BFAB，试求 DEF 的面积 分析分析同学们能从图形中发现“共角三角形”吗？如何利用这些三角形来计算呢？ 例题 6图中四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 O 点，如果ABD 的面积是 30 平方厘 米， ABC 的面积是 48 平方厘米，BCD 的面积是 50 平方厘米请问：BOC 的面积是 多少？ 分析分析 题目中给出了 3 个大三角形的面积， 能不能找出四个小三角形之间的面积关系呢？ A B C D E F C D A O B 三角形中
10、的五心 重心：三角形各边上的中线交于一点，称为三角形重心； 垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心； 外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心； 内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心； 旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，称为三 角形旁心 1. 如图，ABC 中，BD 的长度是 AB 的 2 3 ，如果ABC 的面积为 15，那么 ADC 的面积是多少？ 2. 如图，:4:3AE EB ，:3:1CD DB ，三角形 ABC 的面积是 84，三角 形 AED 的面积是多少？ 3. 如图，:1:4AD DB ，:1:5AE EC ，如果A
11、BC 的面积是 120，那么 ADE 的面积是多少？ 4. 如图所示，在长方形 ABCD 中，DECE，2CFBF，如果长方 形 ABCD 的面积为 18，那么阴影部分的面积是多少？ 5. 如图，四边形 ABCD 中，AC、BD 两条对角线交于 O 点，ADO 的面积为 30， ABO 的面积为 6， DOC 的面积是 20， 那么四边形 ABCD 的面积是多少？ A B C D E A B C D O A D C B E C B F A D E A B C D 第十八讲 直线形计算中的比例关系 例题1. 答案：15 详解：因为三角形 ACD 与三角形 ADB 同高，所以:7:5 ACDADB
12、 SSCD DB ，所以 三 角 形 ADB 面 积为 25 ； 同 理 ， 三 角形 AED 与 三 角形 BED 等高 ， 所 以 :3:2 AEDBED SSAE EB ，所以三角形 AED 面积为 15 例题2. 答案：20 详解：AD 是 AB 的 3 4 ，AE 是 AC 的 2 3 根据鸟头模型，有ADE 面积是ABC 面积的 321 432 那么ABC 的面积是 20 例题3. 答案：3 详解：连结 DF，根据鸟头模型，可知BCE 面积是DEF 面积的 313 428 那么 BCE 的面积是 13 163 28 例题4. 答案：0.6 详解：由题意，: BOCCODBOADOA
13、 SSBO ODSS ， 三角形 BOC 面积为 2 平方千米， 三角形 COD 面积为 3 平方千米，三角形 BOA 面积为 1 平方千米，则三角形 AOD 面积 是 1.5 平方千米，陆地总面积 6.9 平方千米，则人工湖面积为231 1.56.90.6 平 方千米 例题5. 答案：15 详 解 ： 由 鸟 头 模 型 可 得 ， 4148 36 535 AEF S， 1327 36 545 BFD S， 12 366 43 CDE S， 4827 36615 55 DEF S 例题6. 答案：30 详解：:3:5 ABDBCD AO COSS ，所以 5 30 8 BOCABC SS 平
14、方厘米 练习1. 答案：50 简答：ACD 的面积是12075770，AED 的面积是7025550 练习2. 答案：32 简答： 31 832 43 练习3. 答案：10 简答： 152 4810 283 练习4. 答案：49 简答：COD 的面积是8 15620，四边形 ABCD 的面积为68152049 作业1. 答案：5 简答：由 BD 的长度是 AB 的 2 3 得:1:3AD AB ，那么三角形 ADC 的面积为 1 155 3 作业2. 答案：12 简答：由于:3:1CD DB，三角形 ABC 的面积是 84，可知三角形 ADB 的面积为 84(3 1)21，又由于:4:3AE EB ，可知三角形 AED 的面积为21 (43)412 作业3. 答案：4 简答：由已知条件得:1:5,:1:6AD ABAE AC，利用“共角三角形”得三角形 AED 的面积是 11 1204 56 作业4. 答案：6 简答：由于长方形 ABCD 的面积为 18，可知三角形 BCD 的面积为 9，三角形 CEF 为三 角形 BCD 的 121 233 ，那么阴影部分的面积是 1 916 3 （） 作业5. 答案：60 简答： 利用任意四边形的结论得三角形BOC的面积是：620304， 所以四边形ABCD 的面积是62030460