1、2020 年年 4 月月高考数学模拟试卷（文科）高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 MxZ|1x1，NxZ|x（x2）0，则 MN（ ） A1，2 B0，1 C1，0，1 D1，0，1，2 2若 z iz（i 是虚数单位），则|z|（ ） A B2 C D3 3 已知向量 ， 满足 ， ， 且 ， 则向量 与 的夹角的余弦值为 （ ） A B C D 4已知数列an是公比不为 l 的等比数列，Sn为其前 n 项和，满足 a22，且 16a1，9a4， 2a7成等差数列，则 S3（ ） A.5 B6 C7 D9 5若 ，b3log83， ，则 a，b，c 的大小关
2、系是（ ） Acba Babc Cbac Dcab 6如图 1 为某省 2018 年 14 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2018 年 14 月快递业务 收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ） A2018 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B2018 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C从两图来看，2018 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全 一致 D从 14 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 7函数 f（x）（ 1）cosx（其中 e 为自然对数的底数）图象的大致形状
3、是（ ） A B C D 8已知实数 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z3xy 的最大值为 2，则 a 的 值为（ ） A1 B C1 D2 9 已知曲线 ysin （2x ） 向左平移 （0） 个单位， 得到的曲线 yg （x） 经过点 （ ， 1），则（ ） A函数 yg（ x ） 的最小正周期 T B函数 yg（ x ） 在 ， 上单调递增 C曲线 yg（ x ） 关于直线 x 对称 D曲线 yg（ x ） 关于点（ ，0）对称 10在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为线段 CD 和 A1B1上的动点，且 满足 CEA1F，则四边形 D1FBE 所围成的
4、图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有 公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ） A有最小值 B有最大值 C为定值 3 D为定值 2 11斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列 1，1，2，3，5，画出来 的螺旋曲线 如图， 白色小圆内切于边长为 1 的正方形， 黑色曲线就是斐波那契螺旋线， 它是依次在以 1，2，3，5 为边长的正方形中画一个圆心角为 90 的扇形，将其圆弧连接 起来得到的若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A B C D 12设 F1，F2分别是椭圆 E： 1（ab0）的左、右焦点，过 F2的直线交椭圆 于 A，B 两点，
5、且 0， 2 ，则椭圆 E 的离心率为（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 某单位有 360 名职工， 现采用系统抽样方法， 抽取 20 人做问卷调查， 将 360 人按 1， 2， ， 360 随机编号，则抽取的 20 人中，编号落入区间181，288的人数为 14已知圆 C：（x3）2+（y1）23 及直线 l：ax+y2a20，当直线 l 被圆 C 截得 的弦长最短时，直线 l 的方程为 15 如图， 矩形 ABCD 中， M 为 BC 的中点， 将ABM 沿直线 AM 翻折成AB1M， 连结 B1D， N 为 B1D 的中点，则在翻
6、折过程中，下列说法中所有正确的序号是 存在某个位置使得 CNAB1； 翻折过程中，CN 的长是定值； 若 ABBM，则 AMB1D； 若 ABBM1，当三棱锥 B1AMD 的体积最大时，三棱锥 B1AMD 的外接球的表 面积是 4 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c4， ，且 C 为锐角， 则ABC 面积的最大值为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S24，S5
7、25 （1）求数列an的通项公式； （2）记 bn ，求数列bn的前 n 项和 Tn 18如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDDC2，点 E，F 分别为 AD， PC 的中点 （）证明：DF平面 PBE； （）求点 F 到平面 PBE 的距离 19近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市的交 通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在 C 省的发展情况，某调查机构从该省抽取了 5 个城市，并统计了共享单车的 A 指标 x 和 B 指标 y，数据如表所示： 城市 1 城市 2 城市 3 城市 4 城市 5 A 指标 2 4 5 6 8 B 指标
8、3 4 4 4 5 （1） 试求y与x间的相关系数r， 并说明y与x是否具有较强的线性相关关系 （若|r|0.75， 则认为 y 与 x 具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系） （2）建立 y 关于 x 的回妇方程，并预测当 A 指标为 7 时，B 指标的估计值 （3）若某城市的共享单车 A 指标 x 在区间（ 3s， 3s）的右侧，则认为该城市共享 单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直至 A 指 标 x 在区间（ 3s， 3s）内现已知 C 省某城市共享单车的 A 指标为 13，则该城市 的交通管程部门是否需要进行治理？试说明理由， 参考公
9、式；回归直线 ybx+a 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ，相关系数 r 参考数据：s 2， 0.55， 0.95 20已知椭圆 ： 的四个顶点围成的四边形的面积为 ，原点到直 线 的距离为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知定点 P（0，2），是否存在过 P 的直线 l，使 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且以 |AB|为直径的圆过椭圆 C 的左顶点？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（x） （x1） 2x+lnx（a0） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 1ae，试判断 f（x）的零点个数 选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题
10、中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分. 22在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C： 4cos，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点 （1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； （2）若点 P（3，0），求 的值 23已知函数 f（x）|1xa|+|2ax| （1）若 f（1）3，求实数 a 的取值范围； （2）若 a ，xR，判断 f（x）与 1 的大小关系并证明 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1已
11、知集合 MxZ|1x1，NxZ|x（x2）0，则 MN（ ） A1，2 B0，1 C1，0，1 D1，0，1，2 【分析】求出集合 M，N，由此能求出 MN 解：集合 MxZ|1x11，0，1， NxZ|x（x2）0xZ|0x20，1，2， MN0，1 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2若 z iz（i 是虚数单位），则|z|（ ） A B2 C D3 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由商的模等于模的商 求解 解：z iz，z（1i） ， 则 z ， |z| | 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运
12、算，考查复数模的求法，是基础的计算题 3 已知向量 ， 满足 ， ， 且 ， 则向量 与 的夹角的余弦值为 （ ） A B C D 【分析】利用已知条件，结合斜率的数量积转化求解向量 与 的夹角的余弦值 解：由题意可知 ， ，且 ，可得 3+2 4，解得 ， 向量 与 的夹角的余弦值： ， 故选：D 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力 4已知数列an是公比不为 l 的等比数列，Sn为其前 n 项和，满足 a22，且 16a1，9a4， 2a7成等差数列，则 S3（ ） A.5 B6 C7 D9 【分析】设等比数列的公比为 q，且 q 不为 1，由等差数列中项性质和等比数列的
13、通项公 式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求值 解：数列an是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a22，且 16a1，9a4，2a7成等差数列， 可得 a1q2，18a416a1+2a7，即 9a1q38a1+a1q6， 解得 q2，a11， 则则 S3 7 故选：C 【点评】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方 程思想和运算能力，属于基础题 5若 ，b3log83， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acba Babc Cbac Dcab 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 解： ， b3log83log23 ， （
14、） 01， a，b，c 的大小关系是 cab 故选：D 【点评】 本题考查三个数的大小的判断， 考查指数函数、 对数函数的单调性等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 6如图 1 为某省 2018 年 14 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2018 年 14 月快递业务 收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ） A2018 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B2018 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C从两图来看，2018 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全 一致 D从 14 月来看，该省在 2
15、018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 【分析】根据统计图，结合对应数据分别进行判断即可 解：选项 A，B 显然正确； 对于选项 C，2 月份业务量同比增长率为 53%，而收入的同比增长率为 30%，所以 C 是 正确的 ；对于选项 D，1，2，3，4 月收入的同比增长率分别为 55%，30%，60%，42%，并不 是逐月增长，D 错误 故选：D 【点评】本题主要考查合情推理的应用，结合统计数据进行判断是解决本题的关键比 较基础 7函数 f（x）（ 1）cosx（其中 e 为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ） A B C D 【分析】判断 f（x）的单调性，再根据 f（x）在（0， ）上
16、的函数值的符号得出答案 解：f（x）（ 1）cosx cosx， f（x） cos（x） cosxf（x） f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，C； 当 0x 时，e x1，cosx0， f（x） cosx0， 故选：B 【点评】本题考查了函数图象的判断，只有函数单调性、奇偶性的应用，属于中档题 8已知实数 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z3xy 的最大值为 2，则 a 的 值为（ ） A1 B C1 D2 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大 值 解：作出不等式对应的平面区域如图，A（a1，a） ，B（ ，a），C（0，1）， 由
17、z3xy，得 y3xz， 由图象可知当直线 y3xz， 经过点 B 时， 直线 y3xz 的截距最大， 此时 z 最大为 2， 即 3xy2，3 a2， 得 a1， 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方 法，要熟练掌握目标函数的几何意义 9 已知曲线 ysin （2x ） 向左平移 （0） 个单位， 得到的曲线 yg （x） 经过点 （ ， 1），则（ ） A函数 yg（ x ） 的最小正周期 T B函数 yg（ x ） 在 ， 上单调递增 C曲线 yg（ x ） 关于直线 x 对称 D曲线 yg（ x ） 关于点（ ，0）对称 【分析】利用函
18、数 yAsin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用正弦 函数的图象和性值质，可得结论 解： 把曲线ysin （2x ） 向左平移 （0） 个单位， 得到的曲线yg （x） sin （2x+2 ） ， 由于所得曲线经过点（ ，1）， sin（ 2 ）sin21， ，yg（x）sin（2x ）cos（2x ）， 故 g（x）cos（2x ） 的最小正周期为 ，故 A 错误； 在 ， 上，2x 2，故函数 yg（ x ） 在 ， 上单调递减，故 B 错误； 当 x 时，g（x）0，故 g（x）的图象关于点（ ，0）对称，故 C 错误； 当 x 时，g（x）0，故 g（x）的图象关于点
19、（ ，0）对称，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质， 属于基础题 10在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为线段 CD 和 A1B1上的动点，且 满足 CEA1F，则四边形 D1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有 公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ） A有最小值 B有最大值 C为定值 3 D为定值 2 【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可 【解答】 解：依题意，设四边形 D1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为 D，F， B
20、，E，则四边形 D1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图 所以在后面的投影的面积为 S后111， 在上面的投影面积 S上DE1DE1DE， 在左面的投影面积 S左BE1CE1CE， 所以四边形 D1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三 个面上的正投影的面积之和 SS后+S上+S左1+DE+CE1+CD2 故选：D 【点评】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力属于中档题 11斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列 1，1，2，3，5，画出来 的螺旋曲线 如图， 白色小圆内切于边长为 1 的正方形， 黑色曲线就是斐波那契螺旋线，
21、 它是依次在以 1，2，3，5 为边长的正方形中画一个圆心角为 90 的扇形，将其圆弧连接 起来得到的若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A B C D 【分析】由几何概型中的面积型得：矩形 ABCD 的长为 8，宽为 5，即面积 S矩85 40，阴影部分的面积 S 阴（1 ） 1，则 P（A） 阴 矩 ，得解 解：由由已知可得： 矩形 ABCD 的长为 8，宽为 5，即面积 S矩8540， 阴影部分的面积 S阴（1 ） 1， 设在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分为事件 A， 则 P（A） 阴 矩 ， 故选：D 【点评】本题考查了几何概型中的面积
22、型，属中档题 12设 F1，F2分别是椭圆 E： 1（ab0）的左、右焦点，过 F2的直线交椭圆 于 A，B 两点，且 0， 2 ，则椭圆 E 的离心率为（ ） A B C D 【分析】设|AB|3m，|AF2|2|F2B|，可得|AF2|2m，|F2B|m，|AF1|2a2m，|BF1 | 2am由 0，可得 ABAF1，利用勾股定理即可得出 解：设|AB|3m，|AF2|2|F2B|， |AF2|2m，|F2B|m， |AF1|2a2m，|BF1|2am 0，ABAF1， 4c2（2m）2+（2a2m）2， （2am）2（3m）2+（2a2m）2，即 m a， 4c2 a 2 a2， 9c
23、25a2， 故选：C 【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 某单位有 360 名职工， 现采用系统抽样方法， 抽取 20 人做问卷调查， 将 360 人按 1， 2， ， 360 随机编号，则抽取的 20 人中，编号落入区间181，288的人数为 6 【分析】计算出样本间隔，然后进行计算即可 解：样本间隔为 3602018， 在区间181，288内共有 288181+1108 人， 108186， 即在区间181，288内的抽取人数为 6 人， 故答案为：6 【点评
24、】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键 14已知圆 C：（x3）2+（y1）23 及直线 l：ax+y2a20，当直线 l 被圆 C 截得 的弦长最短时，直线 l 的方程为 xy0 【分析】由题得直线 l 过定点 P（2，2），当直线 l 垂直于过点 P 的圆 C 的半径时，l 被 截得的弦长最短，利用垂直关系得直线 l 的斜率即可求解方程 解：根据题意，直线 l：ax+y2a20，变形可得 a（x2）+y20， 则不论 a 取何值，直线 l 恒过点 P（2，2）， 又由（23）2+（21）23，则点 P（2，2）在圆 C 内 故当直线 l 垂直 CP 时，直线 l 被圆
25、C 截得的弦长最短， 此时 KCP 1，则 Kl1， 故直线 l 的方程为 xy0； 故答案为：xy0 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程及圆的几何性质，考查学生分析 解决问题的能力，属于中档题 15 如图， 矩形 ABCD 中， M 为 BC 的中点， 将ABM 沿直线 AM 翻折成AB1M， 连结 B1D， N 为 B1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是 存在某个位置使得 CNAB1； 翻折过程中，CN 的长是定值； 若 ABBM，则 AMB1D； 若 ABBM1，当三棱锥 B1AMD 的体积最大时，三棱锥 B1AMD 的外接球的表 面积是 4 【分析】对
26、于，取 AD 中点 E，连接 EC 交 MD 与 F，可得到 ENNF，又 ENCN， 且三线 NE，NF，NC 共面共点，不可能， 对于，可得由NECMAB1（定值），NE AB1（定值），AMEC（定值），由 余弦定理可得 NC 是定值 对于，取 AM 中点 O，连接 B1O，DO，易得 AM面 ODB1，即可得 ODAM，从而 ADMD，显然不成立 对于： 当平面 B1AM平面 AMD 时， 三棱锥 B1AMD 的体积最大， 可得球半径为 1， 表面积是 4 解：对于：如图 1，取 AD 中点 E，连接 EC 交 MD 与 F，则 NEAB1，NFMB1， 如果 CNAB1，可得到 EN
27、NF，又 ENCN，且三线 NE，NF，NC 共面共点，不可能， 故错 对于：如图 1，可得由NECMAB1（定值），NE AB1（定值），AMEC（定 值）， 由余弦定理可得 NC2NE2+EC22NE EC cosNEC，所以 NC 是定值，故正确 对于：如图 2，取 AM 中点 O，连接 B1O，DO，易得 AM面 ODB1，即可得 OD AM，从而 ADMD，显然不成立，可得不正确 对于：当平面 B1AM平面 AMD 时，三棱锥 B1AMD 的体积最大，易得 AD 中点 H 就是三棱锥 B1AMD 的外接球的球心，球半径为 1，表面积是 4故正确 故答案为： 【点评】本题主要考查了线面
28、、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能 力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c4， ，且 C 为锐角， 则ABC 面积的最大值为 4 【分析】由已知利用正弦定理可求 ，结合 C 为锐角，可求 ，利用余弦定 理，基本不等式可求 ab 的最大值，进而根据三角形面积公式即可计算得解 解：因为 c4，又 ， 所以 ， 又 C 为锐角， 所以 因为 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立， 即 ， 即当 时，ABC 面积的最大值为 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角 形中
29、的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S24，S525 （1）求数列an的通项公式； （2）记 bn ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式 （2）利用数列的通项公式的求法及应用，进一步利用裂项相消法求出数列的和 解：（1）设首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S
30、24，S525 则： ，解得 ， 所以 an1+2（n1）2n1 （2）由于 an2n1， 所以 bn 则 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDDC2，点 E，F 分别为 AD， PC 的中点 （）证明：DF平面 PBE； （）求点 F 到平面 PBE 的距离 【分析】（）取 PB 的中点 G，连接 EG、FG，由已知结合三角形中位线定理可得 DE FG 且 DEFG，得四边形 DEGF 为平行四边形，从而可得 DFEG，再
31、由线面平行的 判定可得 DF平面 PBE； （）利用等积法可得：VDPBEVPBDE，代入棱锥体积公式可得点 F 到平面 PBE 的距 离 【解答】（）证明：取 PB 的中点 G，连接 EG、FG，则 FGBC，且 FG DEBC 且 DE BC，DEFG 且 DEFG， 四边形 DEGF 为平行四边形， DFEG，又 EG平面 PBE，DF平面 PBE， DF平面 PBE； （）解：由（）知，DF平面 PBE， 点 D 到平面 PBE 的距离与 F 到平面 PBE 的距离相等， 故转化为求 D 到平面 PBE 的距离，设为 d， 利用等体积法：VDPBEVPBDE，即 ， ， ， d 【点评
32、】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用 等积法求多面体的体积，是中档题 19近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市的交 通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在 C 省的发展情况，某调查机构从该省抽取了 5 个城市，并统计了共享单车的 A 指标 x 和 B 指标 y，数据如表所示： 城市 1 城市 2 城市 3 城市 4 城市 5 A 指标 2 4 5 6 8 B 指标 3 4 4 4 5 （1） 试求y与x间的相关系数r， 并说明y与x是否具有较强的线性相关关系 （若|r|0.75， 则认为 y 与 x 具有较强的线性相关关系，
33、否则认为没有较强的线性相关关系） （2）建立 y 关于 x 的回妇方程，并预测当 A 指标为 7 时，B 指标的估计值 （3）若某城市的共享单车 A 指标 x 在区间（ 3s， 3s）的右侧，则认为该城市共享 单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直至 A 指 标 x 在区间（ 3s， 3s）内现已知 C 省某城市共享单车的 A 指标为 13，则该城市 的交通管程部门是否需要进行治理？试说明理由， 参考公式；回归直线 ybx+a 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ，相关系数 r 参考数据：s 2， 0.55， 0.95 【分析】（1）计算相关系数 r0.950
34、.25，所以 x 与 y 具有较强的线性相关关系； （2）先得线性回归方程，再代入 x7 可得； （3）由题得（ 3s， 3s）（1，11），由 1311 可得 解：（1）由题得 5， 4， 所以 （xi ）（yi ）6， （xi ）220， （yi ）22， 则 r 0.95， 因为 r0.25，所以 x 与 y 具有较强的线性相关关系 （2）由（1）得 0.3， 40.352.5， 所以线性回归方程为 0.3x+2.5， 当 x7 时， 0.37+2.54.6， 所以当 A 指标为 7 时，B 指标的估计值为 4.6 （3）由题得（ 3s， 3s）（1，11）， 因为 1311，所以该城市
35、的交通管程部门需要进行治理 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题 20已知椭圆 ： 的四个顶点围成的四边形的面积为 ，原点到直 线 的距离为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知定点 P（0，2），是否存在过 P 的直线 l，使 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且以 |AB|为直径的圆过椭圆 C 的左顶点？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由 【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出 a，b，即可得到椭圆方程 （2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，使以|AB|为直径的圆过椭圆 C 的左 顶点 ， ，则 ，转化求解 K，即可得到直线方程 解：（1）直线 的一般方程为
36、 bx+ayab0 依题意 ，解得 ，故椭圆 C 的方程式为 （2）假若存在这样的直线 l， 当斜率不存在时，以|AB|为直径的圆显然不经过椭圆 C 的左顶点， 所以可设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 ykx+2 由 ，得（3+5k 2）x2+20kx+50 由400k220（3+5k2）0，得 ， ， 记 A，B 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则 ， ， 而 y1y2（kx1+2）（kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+4 要使以|AB|为直径的圆过椭圆 C 的左顶点 ， ，则 ， 即 0， 所以 0， 整理解得 或 ， 所以存在过 P 的直线 l，使
37、l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆 C 的 左顶点，直线 l 的方程为 或 【点评】 本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法， 直线与椭圆的位置关系的综合应用， 考查转化思想以及计算能力 21已知函数 f（x） （x1） 2x+lnx（a0） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 1ae，试判断 f（x）的零点个数 【分析】（1）先对函数进行求导，然后对 a 进行分类讨论即可求解函数的单调区间； （2）由（1）知函数 f（x）在（1，+），（0， ）单调递增，在（ ，1）单调递减， 然后判断出 f（1）10，f（ ） 0 及 x0，f（x），x +时，f（x）+
38、，即可判断 解：（1）f（x） （x1） 2x+lnx（a0），定义域（0，+）， f（x）a（x1）1 ， 当 0a1 时，令 f（x）0 可得，x 或 x1， 令 f（x）0 可得， ， 函数 f（x）单调递增区间（ ， ），（0，1），单调递减区间（1， ）； a1 时，f（x）0 恒成立，故函数在（0，+）上单调递增； 当 a1 时，令 f（x）0 可得，0x 或 x1， 令 f（x）0 可得， ， 函数 f（x）单调递增区间（1，+），（0， ），单调递减区间（ ，1）； （2）若 1ae， 由（1）知函数 f（x）在（1，+），（0， ）单调递增，在（ ，1）单调递减， f（1）1
39、0，f（ ） ， 令 g（a） ，1ae， 则 0 恒成立， g（a）在（1，e）上单调递增， g（1）g（a）g（e）0，即 f（ ） 0， x0，f（x），x+时，f（x）+， 函数的图象与 x 轴只有一个交点即 f（x）的零点个数为 1 【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及利用函数的单调性判断函数的零 点个数，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性 一、选择题 22在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C： 4cos，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点 （1）写出曲线 C 和直线 l 的
40、普通方程； （2）若点 P（3，0），求 的值 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求 出结果 （2） 直接利用直接利用直线和曲线的位置关系式的应用和一元二次方程根和系数关系式 的应用求出结果 解：（1）曲线 C：4cos，整理得：24cos，根据 转换为直 角坐标方程为 x2+y24x，即（x2）2+y24， 直线 l 的参数方程为：直线 l 的参数方程为 （t 为参数， 直线 l 的普通方程为： （2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， 代入 x2+y24x，得 t2+t30， t1+t21，t1t23， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极
41、坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 23已知函数 f（x）|1xa|+|2ax| （1）若 f（1）3，求实数 a 的取值范围； （2）若 a ，xR，判断 f（x）与 1 的大小关系并证明 【分析】（1）通过讨论 a 的范围，去掉绝对值，解不等式，确定 a 的范围即可； （2）根据绝对值不等式的性质判断即可 解：（1）因为 f（1）3，所以|a|+|12a|3， 当 a0 时，得a+（12a）3，解得：a ，所以 a0； 当 0a 时，得 a+（12a）3，解得 a2，所以 0a ； 当 a 时，得 a（12a）3，解得：a ， 所以 a ； 综上所述，实数 a 的取值范围是（ ， ） （2）f（x）1，因为 a ， 所以 f（x）|1xa|+|2ax|（1xa）（2ax）|13a|3a11 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题