1、吉林省延边州吉林省延边州 2020 届高三下届高三下 4 月教学质量检测数学（理）试题月教学质量检测数学（理）试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知全集 I1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合 A3，4，5，6，集合 B5，6， 7，8，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A3，4，7，8 B3，4，5，6，7，8 C1，2，9 D5，6 2复数 1 1+ +（1i）2的实部为 a，虚部为 b，则 a+b（ ） A3
2、 B2 C2 D3 3 已知向量 = （x， 1） ， = （2， y） ， = （4， 2） ， 满足 ， （ + ） ， 则 yx （ ） A81 B9 C9 D81 4 九章算术均输中有如下问题： “今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，上下 人差均等，问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 10 钱，甲、乙两 人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五 人各得多少钱？” （ “钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，乙所得为（ ） A4 3钱 B7 3钱 C8 3钱 D10 3 钱 5要得到 ysin（2x 3）的图象，只需将 ycos
3、2x 的图象（ ） A向右平移 6个单位长度 来源:学科网 B向右平移 3个单位长度 C向右平移5 6 个单位长度 D向右平移5 12个单位长度 6命题“対x1，2，ax2x+a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A 1 2 B 1 2 Ca1 D 1 3 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E、F、G 分别为棱 A1D1、A1A、A1B1的中点，给出 下列四个结论： EFB1CBC1平面 EFG； 异面直线 FG， B1C 所成角的大小为 4； A1C平面 EFG其中所有正确结论的序号为（ ） A B C D来源:学_科_网 8已知圆 C： （x1）2+（y+2）22，若直
4、线 ykx4 上总存在点 P，使得过点 P 的圆 C 的两条切线互相垂直，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak 4 3或 k0 Bk 3 4 Ck 3 4或 k1 Dk1 92013 年 5 月，华人数学家张益唐教授发表论文素数间的有界距离 ，破解了“孪生素 数猜想”这一世纪难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式孪生素数就是指相差 2 的素 数对，最小的 6 对孪生素数是3，5，5，7，11，13，17，19，29，31，41， 43现从这 6 对孪生素数中取 2 对进行研究，则取出的 4 个素数的和大于 100 的概率为 （ ） A1 3 B1 5 C1 6 D2 5 10已知 F1，F2是双曲
5、线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的两个焦点，以线段 F1F2为边作 正三角形 MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为（ ） A4+22 B3 1 C3+1 2 D3 + 1 11三棱锥 PABC 内接于半径为 2 的球中，PA平面 ABC，BAC= 2，BC22，则三 棱锥 PABC 的体积的最大值是（ ） A42 B22 C4 3 2 D 3 4 2 12已知函数 f（x）= |2( 1)|，1 3 2 8 + 16，3 若方程 f（x）m 有 4 个不同的实根 x1， x2，x3，x4，且 x1x2x3x4，则（ 1 1 + 1 2） （x3+x
6、4）（ ） A6 B7 C8 D9 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13在（1x） 5+（1x）6+（1x）7+（1x）8 的展开式中，含 x5的项的系数是 14在等比数列an中，若 a5+a74（a1+a3） ，则6 2 = 15若函数 f（x）与 g（x）满足：存在实数 t，使得 f（t）g（t） ，则称函数 g（x）为 f （x）的“友导”函数已知函数 g（x）= 1 2kx 2x+3 为函数 f（x）x2lnx+x 的“友导” 函数，则 k 的取值范围是 16 数学中有许多形状优美、 寓意美好的曲线， 曲线 C： x2+
7、y21+|x|y 就是其中之一 （如图） 给 出下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ； 曲线 C 上存在到原点的距离超过2的点； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有错误结论的序号是 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分分 17 在锐角ABC
8、 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 asinBcosB+bcosAsinB= 3 2 c （1）若 2a3c6，求边 b 的大小； （2）若 cosAcosC= 1 4，且 b23，求ABC 的面积 18已知ABC 中，ABC90，AC26，BC22，D，E 分别是 AC，AB 的中点， 将ABC 沿 DE 翻折，得到如图所示的四棱锥 PBCDE，且PEB120，设 F 为 PC 的中点 （1）证明：BCDF； （2）求直线 PD 与平面 PBC 所成角的的正弦值 19某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是水养培育 的品种为了了解养殖
9、两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取 500 只麻鸭统计了它们 一个季度的产蛋量（单位：个） ，制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产蛋量在 85，105的频率为 0.66 （1）求 a，b 的值； （2）已知本次产蛋量近似服从 XN（，2） （其中 近似为样本平均数，2似为样 本方差） 若本村约有 10000 只麻鸭，试估计产蛋量在 110120 的麻鸭数量（以各组区 间的中点值代表该组的取值） （3）若以正常产蛋 90 个为标准，大于 90 个认为是良种，小于 90 个认为是次种根据 统计得出两种培育方法的 2x2 列联表如下， 请完成表格中的统计数据， 并判断是否有 99.5% 的把
10、握认为产蛋量与培育方法有关 良种 次种 总计 旱养培育 160 260 水养培育 60 总计 340 500 附： XN （， 2） ， 则 P （X+） 0.6827， P （2X+2） 0.9545， P（3X+3）0.9973 K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20已知函数() = + + （1）若 a1，求曲线 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）对
11、任意的 (1 2， + )，xf（x）ex+x2恒成立，请求出 a 的取值范围 21已知椭圆 c： 2 2 + 2 3 =1（a10）的右焦点 F 在圆 D： （x2）2+y21 上，直线 l： xmy+3（m0 交椭圆于 M、N 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）若 （O 为坐标原点） ，求 m 的值； （） 设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1（N1与点 M 不重合） ， 且直线 N1M 与 x 轴交于点 P， 试问PMN 的面积是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值； 若不存在， 请说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题
12、作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） ，曲线 C2的参 数方程为 = 3 = 1 + 3 （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系 （1）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （2）若射线 l：（0）分别交 C1，C2于 A，B 两点，求| |的最大值 23设函数 f（x）|2x+3|+|x1| （1）解不等式 f（x）4； （2）若存在 x0 3 2，1使不等式|a+1|f（x0）成立，求实数 a 的取值范围 参考答案解析参考答
13、案解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知全集 I1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合 A3，4，5，6，集合 B5，6， 7，8，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A3，4，7，8 B3，4，5，6，7，8 C1，2，9 D5，6 由图象可知阴影部分对应的集合为 （AB） I（AB） ， 然后根据集合的基本运算即可 全集 I1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合 A3，4，5，6，集合 B5，6，7， 8， AB
14、3，4，5，6，7，8，AB5，6， I（AB）1，2，3，4，7，8，9， 由图象可知阴影部分对应的集合为（AB）I（AB）3，4，7，8， 故选：A 本题主要考查集合的基本运算， 利用图象先确定集合关系是解决本题的关键， 比较基础 2复数 1 1+ +（1i）2的实部为 a，虚部为 b，则 a+b（ ） A3 B2 C2 D3 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 a 与 b 的值得答案 1 1+ +（1i）2= 1 (1+)(1) 2 = 1 2 1 2 2 = 1 2 5 2 ， a= 1 2，b= 5 2， 则 a+b= 1 2 5 2 = 2 故选：B 本题考查复数代数形式的乘除运
15、算，考查复数的基本概念，是基础题 3 已知向量 = （x， 1） ， = （2， y） ， = （4， 2） ， 满足 ， （ + ） ， 则 yx （ ） A81 B9 C9 D81 由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，求出结果 向量 =（x，1） ， =（2，y） ， =（4，2） ，满足 ， 4 = 1 2，x2 （ + ） ，（ + ） = 2 + =22+12+22+1y0，y9， 则 yx（9）281， 故选：D 本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题 4 九章算术均输中有如下问题： “今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等
16、，上下 人差均等，问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 10 钱，甲、乙两 人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五 人各得多少钱？” （ “钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，乙所得为（ ） A4 3钱 B7 3钱 C8 3钱 D10 3 钱 设甲、 乙、 丙、 丁、 戊所得依次成等差数列an， 公差为 d 由题意可得： a1+a2a3+a4+a5， a1+a2+a3+a4+a510，利用通项公式解出即可得出 设甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列an，公差为 d 由题意可得：a1+a2a3+a4+a5，a1+a2+a3+a4+a510
17、， 2a1+d3a1+9d，2a1+d5， 联立解得：a1= 8 3，d= 1 3 a2= 8 3 1 3 = 7 3钱 故选：B 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5要得到 ysin（2x 3）的图象，只需将 ycos2x 的图象（ ） A向右平移 6个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向右平移5 6 个单位长度 D向右平移5 12个单位长度 由于平移前后两个函数名称不一致，故可先将函数 ycos2x 的图象向右平移 4（即 4）个 单位得到函数 ysin2x 的图象，再由正弦函数的图象平移变换法则，继续平移得到函数 = (2 3)的图象，最后将两个平移
18、量累加即可得到答案 要想得到函数 = (2 3)的图象， 可先将函数 ycos2x 的图象向右平移 4个单位得到函数 ysin2x 的图象 再将函数 ysin2x 的图象向右平移 6个单位得到函数 = (2 3)的图象 故将函数 ycos2x 的图象向右平移5 12个单位可得到函数 = (2 3)的图象 故选：D 本题考查的知识点是函数 yAsin（x+）的图象变换，当平移前后两个函数名称不一 致时，可先将函数 ycosx 的图象向右平移 4个单位得到函数 ysinx 的图象 6命题“対x1，2，ax2x+a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A 1 2 B 1 2 Ca1 D 1
19、3 根据命题为真命题求出命题的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行判断即可 因为x1，2，ax2x+a0 等价于x1，2， 2+1， 记() = 2+1，所以 h（x）= 2+1 = 1 +1 2 5， 1 2， 则 a 1 2， 则 a 1 2成立的一个充分不必要条件可以是 a1， 故选：C 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的 关键 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E、F、G 分别为棱 A1D1、A1A、A1B1的中点，给出 下列四个结论： EFB1CBC1平面 EFG； 异面直线 FG， B1C 所成角的大小为 4； A1C平面 EF
20、G其中所有正确结论的序号为（ ） A B C D 由正方体的性质可知，EFAD1BC1，而 BC1B1C，所以 EFB1C； EFBC1，结合线面平行的判定定理即可得证； 用平移的思想，把异面直线的夹角变成平面角，因为 FGAB1，所以 AB1与 B1C 所成 角就是 FG 与 B1C 所成角，也就是AB1C 即为所求； 由三垂线定理可知，A1CEF，A1CEG，再利用线面垂直的判定定理即可得证 根据题意，作出如图所示的图形， E、F 分别为 A1D1、A1A 的中点，EFAD1BC1， BC1B1C，EFB1C，即正确； EFBC1，EF平面 EFG，且 BC1平面 EFG，BC1平面 EF
21、G，即正确； 连接 AB1，FGAB1，AB1与 B1C 所成角就是 FG 与 B1C 所成角，也就是AB1C 即 为所求，显然AB1C= 3，即错误； 由三垂线定理可知，A1CEF，A1CEG， 又 EF、EG平面 EFG 且 EFEGE，A1C平面 EFG，即正确 正确的有， 故选：D 本题考查立体几何中的综合，含空间线与面的位置关系、异面直线的夹角，熟练掌握空 间中线与面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和 推理论证能力，属于基础题 8已知圆 C： （x1）2+（y+2）22，若直线 ykx4 上总存在点 P，使得过点 P 的圆 C 的两条切线互相垂直，则实
22、数 k 的取值范围是（ ） Ak 4 3或 k0 Bk 3 4 Ck 3 4或 k1 Dk1 直接利用直线和圆的位置关系由于存在点 P 使圆的两切线垂直，得到四边形为正方形， 进一步利用点到直线的距离公式的应用求出 k 的取值范围 已知圆 C： （x1）2+（y+2）22，若直线 ykx4 上总存在点 P，使得过点 P 的圆 C 的两条切线互相垂直， 如图所示： 根据过点 P 的圆 C 的两条切线互相垂直，所以四边形 APBC 为正方形， 所以 PC=(2)2+ (2)2= 2，所以只需圆心（1，2）到直线 ykx4 的距离 d= |+24| 1+2 2， 解得 4 3或 0 故选：A 本题考
23、查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题 92013 年 5 月，华人数学家张益唐教授发表论文素数间的有界距离 ，破解了“孪生素 数猜想”这一世纪难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式孪生素数就是指相差 2 的素 数对，最小的 6 对孪生素数是3，5，5，7，11，13，17，19，29，31，41， 43现从这 6 对孪生素数中取 2 对进行研究，则取出的 4 个素数的和大于 100 的概率为 （ ） A1 3 B1 5 C1 6 D2 5 先找出符合题意得所有事件，再找符合题意的事件，可求概率 从 6 对中选两对
24、共有 15 种事件， 符合题意取出的 4 个素数的和大于 100 的共有 3 种事件， 如： 29， 31和41， 43， 17， 19和41，43，11，13和41，43， 则取出的 4 个素数的和大于 100 的概率为 3 15 = 1 5， 故选：B 本题考查古典概率，注意事件的无漏无缺，属于基础题 10已知 F1，F2是双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的两个焦点，以线段 F1F2为边作 正三角形 MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为（ ） A4+22 B3 1 C3+1 2 D3 + 1 先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式， 进而可求
25、得三角形的高， 则点 M 的坐标可得， 进而求得其中点 N 的坐标，代入双曲线方程求得 a，b 和 c 的关系式化简整理求得关于 e 的方程求得 e 依题意可知双曲线的焦点为 F1（c，0） ，F2（c，0） F1F22c 三角形高是3c M（0，3c） 所以中点 N（ 2， 3 2 c） 代入双曲线方程得： 2 42 32 42 =1 整理得：b2c23a2c24a2b2 b2c2a2 所以 c4a2c23a2c24a2c24a4 整理得 e48e2+40 求得 e2423 e1， e= 3 +1 故选：D 本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线的基础知识的把握 11三棱锥 PAB
26、C 内接于半径为 2 的球中，PA平面 ABC，BAC= 2，BC22，则三 棱锥 PABC 的体积的最大值是（ ） A42 B22 C4 3 2 D 3 4 2 利用已知条件求出三棱锥的高， 然后求解三棱锥的体积的表达式， 然后求解最大值即可 由题意三棱锥 PABC 内接于半径为 2 的球中，PA平面 ABC，BAC= 2，BC22， 棱锥的高为 PA，可得 168+PA2，所以 PA22， 所以三棱锥的体积为：1 3 1 2 = 2 3 ABAC 2 3 2+2 2 = 42 3 ，当 且仅当 ABAC2 时，三棱锥的体积取得最大值 故选：C 本题考查三棱锥的体积的求法，基本不等式的应用，
27、几何体的外接球的半径的求法，是 中档题 12已知函数 f（x）= |2( 1)|，1 3 2 8 + 16，3 若方程 f（x）m 有 4 个不同的实根 x1， x2，x3，x4，且 x1x2x3x4，则（ 1 1 + 1 2） （x3+x4）（ ） A6 B7 C8 D9 画出 f（x）的图象，由对称性可得 x3+x48，对数的运算性质可得 x1x2x1+x2，代入要 求的式子，可得所求值 作出函数 f（x）= |2( 1)|，1 3 2 8 + 16，3 的图象如图， f（x）m 有四个不同的实根 x1，x2，x3，x4且 x1x2x3x4，可得 x3+x48， 且|log2（x11）|l
28、og2（x21）|， 即为 log2（x11）+log2（x21）0， 即有（x11） （x21）1， 即为 x1x2x1+x2， 可得（ 1 1 + 1 2） （x3+x4）x3+x48 故选：C 本题考查分段函数的图象和应用，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13在（1x） 5+（1x）6+（1x）7+（1x）8 的展开式中，含 x5的项的系数是 84 利用二项式定理求得 x5的项的系数的表达式，再利用组合数公式求得结果 由题知：含 x5的项的系数为 C 5 5（1）5+C 6 5
29、（1）5+C 7 5（1）5+C 8 5（1）5 84 故填：84 本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题 14在等比数列an中，若 a5+a74（a1+a3） ，则6 2 = 4 由等比数列的性质得5+7 1+3 =q44，再由6 2 =q4，能求出结果 在等比数列an中，a5+a74（a1+a3） ， 5+7 1+3 =q44， 6 2 =q44 故答案为：4 本题考查等比数列的两项的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 15若函数 f（x）与 g（x）满足：存在实数 t，使得 f（t）g（t） ，则称函数 g（x）为 f （x）的“友导”函数已知函数
30、g（x）= 1 2kx 2x+3 为函数 f（x）x2lnx+x 的“友导” 函数，则 k 的取值范围是 2，+） 首先求出 g（x）的导数，由题意可知 kx1x2lnx+x 有解，即 kxlnx+1+ 1 有解，令 h （x）xlnx+1+ 1 ，求 h（x） 的最值即可求得 a 的取值范围 由 g（x）= 1 2kx 2x+3 可得 g（x）kx1， 函数 g（x）= 1 2kx 2x+3 为函数 f（x）x2lnx+x 的“友导”函数， kx1x2lnx+x 有解，即 kxlnx+1+ 1 有解， 令 h（x）xlnx+1+ 1 ， 则 h（x）1+lnx 1 2， 再另 （x）1+ln
31、x 1 2， （x）= 1 + 2 3 0， （x）1+lnx 1 2在（0，+）上单调递增， h（1）（1）0， x1 时，h（x）0， 0x1 时，h（x）0， h（x） 在（0，1）上单调递减，在（1，+） 上单调递增， h（x）minh（1）2， 所以 a2来源:Zxxk.Com 故答案为：2，+） 本题考查了函数的新定义，考查了导函数在研究函数单调性中的应用以及分离参数法求 参数的取值范围，综合性比较强 16 数学中有许多形状优美、 寓意美好的曲线， 曲线 C： x2+y21+|x|y 就是其中之一 （如图） 给 出下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数
32、的点） ； 曲线 C 上存在到原点的距离超过2的点； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有错误结论的序号是 结合曲线与方程，找出所有的整数点，只有（1，0） ， （0，1） ， （1，1） ，共 6 个； 令 x0，y0，则 x2+y21+xy，结合基本不等式的性质有， 2+2 2 ，从而算得 x2+y22，进而得证； 采用放缩的思维，先算出规则图形五边形 ABCDE 的面积，再结合图形即可判断 曲线 C 经过的整点有（1，0） ， （0，1） ， （1，1） ，恰有 6 个，即正确； 根据曲线 C 的对称性，不妨令 x0，y0，则 x2+y21+xy， 由基本不等式的性质
33、可知， 2+2 2 ， x2+y21+xy 1 + 2+2 2 ，x2+y22， 故曲线 C 到原点的距离 = 2+ 2 2，即错误； 如图所示，图中五边形 ABCDE 的面积为 12+ 1 2 2 1 = 3， 显然“心形”区域的面积大于五边形 ABCDE 的面积，即错误 故答案为： 本题考查曲线与方程，解题时用到了基本不等式、放缩法等，处理这类问题，通常可从 曲线的中心对称、 轴对称、 极限等方面着手思考， 考查学生的转化能力和推理论证能力， 属于中档题 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.第
34、第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分分 17 在锐角ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 asinBcosB+bcosAsinB= 3 2 c （1）若 2a3c6，求边 b 的大小； （2）若 cosAcosC= 1 4，且 b23，求ABC 的面积 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换与余弦定理的应用求出结果 （2）利用正弦定理和三角形面积公式的应用求出结果 （1）asinBcosB+bcosA
35、sinB= 3 2 c，利用正弦定理的应用 sinAsinBcosB+sinBcosAsinB= 3 2 ， 整理得 sinBsin（A+B）= 3 2 ， 由于 sinC0，所以 = 3 2 ，cosB= 1 2， 由于 a3，c2， 利用余弦定理得：b2a2+c22accosB，解得 b= 7 （2）由于 cosAcosC= 1 4，所以( + ) = = 1 2， 整理得 = 1 2，故 = 1 4 由正弦定理 = = ， 所以 = 2 2， 所以 1 4 = 2 3 4 ，整理得 b23ac， 由于 b212，所以 ac4 所以= 1 2 = 1 2 4 3 2 = 3 本题考查的知识
36、要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公 式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 18已知ABC 中，ABC90，AC26，BC22，D，E 分别是 AC，AB 的中点， 将ABC 沿 DE 翻折，得到如图所示的四棱锥 PBCDE，且PEB120，设 F 为 PC 的中点 （1）证明：BCDF； （2）求直线 PD 与平面 PBC 所成角的的正弦值 （1）取 BC 的中点 G，连接 DG，FG，得四边形 BGDE 是平行四边形，得 DGBE，再 由三角形中位线定理可得 DEBC， 结合已知得到 DEPE， 进一步得到 DE平面 PBE， 则 B
37、C平面 PBE，有 BCPB，再证明 BCDG，利用线面垂直的判定可得 BC平面 DFG，从而得到 BCDF； （2）由（1）知，DE平面 PBE，以 E 为坐标原点，ED、EB 所在直线分别为 x、y 轴建 立如图所示空间直角坐标系，由已知求解三角形可得所用点的坐标，再求出平面 PBC 的 法向量与 的坐标， 再由两向量所成角的余弦值可得直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦 值 （1）证明：取 BC 的中点 G，连接 DG，FG，DEBG，且 DEBG， 四边形 BGDE 是平行四边形，得 DGBE D，E 分别是 AC，AB 的中点，DEBC ABC90，DEBE，DEPE， PEBE
38、E，又 PE，BE平面 PBE， DE平面 PBE，则 BC平面 PBE， PB平面 PBE，BCPB， FGPB，BCFG，BCBE，DGBE，BCDG， FGDGG，又 FG，DG平面 DFG，BC平面 DFG， DF平面 DFG，BCDF； （2）解：由（1）知，DE平面 PBE， 以 E 为坐标原点，ED、EB 所在直线分别为 x、y 轴建立如图所示空间直角坐标系 PEB120，PEH30， 在ABC 中，ABC30，AC26，BC= 22， AB4，PE2，ED= 2，则点 P 到 z 轴的距离为 1 则 P（0，1，3） ，D（2，0，0） ，B（0，2，0） ，C（22，2，0）
39、 ， = (0，3， 3)， = (22，0，0)， = (2，1， 3) 设平面 PBC 的法向量为 = (，)， 由 = 3 3 = 0 = 22 = 0 ，取 y1，得 = (0，1，3) 设直线 PD 与平面 PBC 所成角为 ， = (2，1， 3)， 则 sin|cos ， |= | | | | | = 2 26 = 6 6 即直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 6 6 本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查 空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题 19某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种
40、，另一种是水养培育 的品种为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取 500 只麻鸭统计了它们 一个季度的产蛋量（单位：个） ，制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产蛋量在 85，105的频率为 0.66 （1）求 a，b 的值； （2）已知本次产蛋量近似服从 XN（，2） （其中 近似为样本平均数，2似为样 本方差） 若本村约有 10000 只麻鸭，试估计产蛋量在 110120 的麻鸭数量（以各组区 间的中点值代表该组的取值） （3）若以正常产蛋 90 个为标准，大于 90 个认为是良种，小于 90 个认为是次种根据 统计得出两种培育方法的 2x2 列联表如下， 请完成表格中的统计
41、数据， 并判断是否有 99.5% 的把握认为产蛋量与培育方法有关 良种 次种 总计 旱养培育 160 260 水养培育 60 总计 340 500 附： XN （， 2） ， 则 P （X+） 0.6827， P （2X+2） 0.9545， P（3X+3）0.9973 K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （1）由频率分布直方图计算对应的频率值，从而求得 a、b 的值； （2
42、）根据题意计算 、2的值，求出 P（110X120） ，再求对应的数值； （3）根据题意补充列联表，计算 K2，对照临界值得出结论 （1）由产蛋量在85，105的频率为 0.66，可得产蛋量在85，105的数量为 5000.66330（只） ， 所以产蛋量在75，85的数量为 0.0061050030（只） ； 产蛋量在85，95的数量为 0.02410500120（只） ； 产蛋量在115，125的数量为 0.0081050040（只） ； 所以 a（330120）500100.042， b（5003303040）500100.02； （2）计算 = 1 500 （8030+90120+100210+110100+12040）100， 2= 1 500 30（10080）2+120（10090）2+210（100100）2+100（100 110）2+40（100120）210，