1、杨浦区杨浦区 2020 届高三届高三第二学期质量评估（第二学期质量评估（二模二模） 数学试卷数学试卷 2020.5 一一. 填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1. 设集合1,2,3,4A ，集合1,3,5,7B ，则AB I 2. 行列式 120 235 580 的值为 3. 函数 2 3cos1yx的最小正周期为 4. 设i是虚数单位，复数z满足(12i)43iz，则z 5. 若 n a是无穷等比数列，首项 1 1 3 a ，公比 1 3 q ，则 n a各项的和S 6. 在 3 名男生，4 名
2、女生中随机选出 2 名学生参加某次活动，则选出的学生恰为 1 男 1 女 的概率为 （结果用最简分数表示） 7. 实数x、y满足约束条件 24 23 0 0 xy xy x y ，目标函数fxy的最大值为 8. 已知曲线 1 C的参数方程为 21 2 xt yt （t是参数），曲线 2 C的参数方程为 15cos 5sin x y （是参数），则 1 C和 2 C的两个交点之间的距离为 9. 数列 n a满足 1 1a ，且 1 32 nn aan 对任意 * nN均成立，则 2020 a 10. 设 * nN，若(2)nx的二项展开式中，有理项的系数之和为 29525，则n 11. 设a r
3、 、b r 、c r 是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a bb cc a r rr rr r ， 则a b r r 的值为 12. 已知抛物线 1 与 2 的焦点均为点(2,1)F，准线方程分别为0x 与5120xy，设两 抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为 二二. 选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13. 不等式 1 0 2 x x 的解集为（ ） A. 1,2 B. 1,2) C. (,12,)U D. (,1)(2,)U 14. 设z是复数，则“z是虚数”是“ 3 z是虚数”的（ ） A. 充
4、分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 设 1 F、 2 F是椭圆 22 1 94 xy 的两焦点，A与B分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P是 该椭圆上的一个动点，O是坐标原点，记 2 12 2sOPFP F P uuu ruuu r uuu r ，在动点P在第一象限内从 A沿椭圆向左上方运动到B的过程中，s的大小的变化情况为（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 16. 设 n a是 2020 项的实数数列， n a中的每一项都不为零， n a中任意连续 11 项 110 , nnn a aa 的乘积是定值
5、（1,2,3,2010n），命题 存在满足条件的数列，使得其中恰有 365 个 1； 不存在满足条件的数列，使得其中恰有 550 个 1； 的真假情况为（ ） A. 和都是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 和都是假命题 三三. 解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+18=76 分）分） 17. 如图，线段OA和OB是以P为顶点的圆锥的底面上的两条相互垂直的半径，点M是母线BP的 中点，已知2OAOM. （1）求该圆锥的体积； （2）求异面直线OM与AP所成的角的大小. 18. 已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分
6、别为a、b、c，且5a ，7b . （1）若 3 B ，求c； （2）设点M是边AB的中点，若3CM ，求三角形ABC的面积. 19. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列 n I， n I表示第n周的虫害的严重程 度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源 有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足： 1 1.020.20 nn II ； 策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足： 1 1.080.46 nn II ； 当某周“虫害指数”小于 1 时，危机就在这周解除. （1）设第一周的虫害指数 1 1,
7、8I ，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ （2）设第一周的虫害指数 1 3I ，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？ 20. 已知双曲线 2 2 2 :1 y H x b （0b ），经过点(2,0)D的直线l与该双曲线交于M、 N两点. （1）若l与x轴垂直，且| 6MN ，求b的值； （2）若2b ，且M、N的横坐标之和为4，证明：90MON； （3）设直线l与y轴交于点E，EMMD uuuruuu r ，ENND uuu ruuu r ，求证：为定值. 21. ( )21 x m f xmx ，其中m是实常数. （1）若 1 ()18f m ，求m的取值范围
8、； （2）若0m ，求证：函数( )f x的零点有且仅有一个； （3）若0m ，设函数( )yf x的反函数为 1( ) yfx ，若 1 a、 2 a、 3 a、 4 a是公差0d 的等差 数列且均在函数( )f x的值域中，求证： 1111 1423 ()()()()fafafafa . 参考答案参考答案 一一. 填空填空题题 1. 1,3 2. 10 3. 4. 2i 5. 1 2 6. 4 7 7. 7 3 8. 6 5 5 9. 3031 10. 10 11. 13 2 12. 230xy 二二. 选择选择题题 13. B 14. B 15. B 16. D 三三. 解答题解答题 17.（1） 8 3 3 ；（2） 3 arccos 4 . 18.（1）8；（2）6 6. 19.（1）当 1 13 1,) 3 I 时，用第二种策略；当 1 13 (,8 3 I 时，用第一种策略；当 1 13 3 I 时，两种策 略效果相同；（2）第 9 周. 20.（1）3；（2）见下；（3）见下， 2 3 . 21.（1）(0,23)(23,)；（2）见下，(0)0f， 2 ()0fm m ，且( )f x递增； （3）见下.