1、1 2019201920202020 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研研（二二） 数学试题 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1已知集合 A1，2，B1，a，若 AB1，a，2，则 a 2若复数 z 满足(1i)z1i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 3某校 100 名学生参加知识竞赛的成绩均在50，100内，将学生成绩分成50，60)，60， 70)，70，80)，80，90)，90，100五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在 80，9
2、0)内的学生人数是 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 y 的值为 5某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生” 的概率是“选到男生”的概率的 1 2 ，则这个班级的男生人数与女生人数的比值 为 6函数( )2lnf xxx的定义域为 7在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y24x 的焦点是双曲线 22 2 1 4 xy aa 的顶点，则 a 8已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 42 5SS， 2 2a ，则 4 a 9 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 6， 点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1的三等分点， 则
3、三棱锥 CMBD 的体积为 10 已知定义在 R 上的奇函数( )f x的周期为 2， 且 x0， 1时， 1 2, 0 2 ( ) 11 , 1 12 x ax f x bx x x ， 2 则 ab 11已知锐角满足sin22cos21，则tan() 4 12如图，在ABC 中，ABC 2 ，AB1，BC3，以 AC 为一边在ABC 的另一侧 作正三角形 ACD，则BD AC 13 在平面直角坐标系 xOy 中， AB 是圆 O： x2y21 的直径， 且点 A 在第一象限； 圆 O1： (xa)2y2r2(a0)与圆 O 外离，线段 AO1与圆 O1交于点 M，线段 BM 与圆 O 交于
4、 点 N，且 1 OMO N0，则 a 的取值范围为 14已知 a，bR，abt（t 为常数） ，且直线 yaxb 与曲线exyx（e 是自然对数的 底数，e2.71828）相切若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数 t 的取 值范围为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 已知ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 bsin2AasinB （1）求 A； （2）求 cos(B 6 )sin(C 3 )的最大值 16 （本小题满分 14 分） 已知在四
5、棱柱ABCDA1B1C1D1中， 底面ABCD是菱形， 且平面A1ADD1平面ABCD， DA1DD1，点 E，F 分别为线段 A1D1，BC 的中点 （1）求证：EF平面 CC1D1D； （2）求证：ACEBD 3 17 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 1 2 ，右焦点到右 准线的距离为 3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 P(0，1)的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A，B己知在椭圆 C 上存在点 Q，使得 四边形 OAQB 是平行四边形，求 Q 的坐标 18 （本小题满分 16 分） 某地开
6、发一片荒地，如图，荒地的边界是以 C 为圆心，半径为 1 千米的圆周已有两 条互相垂直的道路 OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A，B现规划修建一 条新路（由线段 MP，PQ，线段 QN 三段组成） ，其中点 M，N 分别在 OE，OF 上，且使 得 MP，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 P，Q，PQ所对的圆心角为 6 记PCA2（道路宽度均忽略不计） （1）若 5 12 ，求 QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值 4 19 （本小题满分 16 分） 已知各项均为正数的数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 2a ，且对任意 nN， 111 22 nn
7、nnnn a SaSaa 恒成立 （1）求证：数列 2 n n S a 是等差数列，并求数列 n a的通项公式； （2）设43 nn ban，已知 2 b， i b， j b(2ij)成等差数列，求正整数 i，j 20 （本小题满分 16 分） 已知函数( )(1)lnf xmxx， 2 ( )(2)(3)2g xmxnx，m，nR （1）当 m0 时，求函数( )f x的极值； （2）当 n0 时，函数( )( )( )F xg xf x在(0，)上为单调函数，求 m 的取值范 围； 5 （3）当 n0 时，判断是否存在正数 m，使得函数( )f x与( )g x有相同的零点，并说明 理由
8、第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知点 M(2，1)在矩阵 A 1 2 a b 对应的变换作用下得到点 N(5，6)，求矩阵 A 的特 征值 B选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2cos sin x y (为参数)以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为sin()10 4 （1）求曲线 C 和直线 l 的普通方程； （2）点 P 是曲线
9、 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离的最小值 6 C选修 45：不等式选讲 已知 a，b，c 是正数，求证：对任意xR，不等式21 bca xx abc 恒成立 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，AB2，AD AP3，点 M 是棱 PD 的中点 （1）求二面角 MACD 的余弦值； （2）点 N 是棱 PC 上的点，已知直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 3 22 22 ，求 PN PC 的
10、值 7 23 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a中， 1 6a ， 2 1 1 3 3 nnn aaa ( nN) （1）分别比较下列每组中两数的大小： 2 a和 3 6 2 ； 3 a和 3 3 6 ( ) 2 ； （2）当 n3 时，证明： 2 2 3 ()2( )3 62 n i n i i a 江苏省 20192020 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学试题 第 I 卷（必做题，共 160 分） 1已知集合 A1，2，B1，a，若 AB1，a，2，则 a 答案：1 考点：集合并集运算 解析：集合 A1，2，B1，a，且 AB1，a，2， a1 2若复数 z 满足(1
11、i)z1i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 答案：0 考点：复数 解析： 22 2 1(1)1 2 1(1)(1)1 iiii zi iiii ，z 的实部为 0 3某校 100 名学生参加知识竞赛的成绩均在50，100内，将学生成绩分成50，60)，60， 70)，70，80)，80，90)，90，100五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在 80，90)内的学生人数是 8 答案：30 考点：频率分布直方图 解析：1 (0.0050.02 20.025) 10 10030 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 y 的值为 答案：1 考点：伪代码 解析：第一步：y2
12、，x2； 第一步：y1，x1；故最后输出的 y 的值为1 5某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生” 的概率是“选到男生”的概率的 1 2 ，则这个班级的男生人数与女生人数的比值 为 答案：2 考点：随机变量的概率 解析：“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 1 2 ， 男生人数与女生人数的比值为 2 6函数( )2lnf xxx的定义域为 答案：(0，2 考点：函数的定义域 9 解析： 20 02 0 x x x ，故与函数的定义域为(0，2 7在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y24x 的焦点是双曲线 22 2 1 4 xy aa 的顶点，则 a
13、 答案：1 考点：抛物线与双曲线的简单性质 解析：抛物线 y24x 的焦点是(1，0)， 双曲线 22 2 1 4 xy aa 的顶点为(1，0)，故 a1 8已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 42 5SS， 2 2a ，则 4 a 答案：2 或 8 考点：等比数列的简单性质 解析： n a为等比数列， 42 5SS， 123412 5()aaaaaa， 3412 4()aaaa， 当 12 0aa时，1q ，此时 4 a2； 当 12 0aa时， 2 4q ，此时 2 42 2 48aa q， 综上所述， 4 a2 或 8 9 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 6，
14、 点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1的三等分点， 则三棱锥 CMBD 的体积为 答案：24 考点：棱锥的体积 解析： 23 1 1121 =624 3239 CMBD VBCAA 10 10 已知定义在 R 上的奇函数( )f x的周期为 2， 且 x0， 1时， 1 2, 0 2 ( ) 11 , 1 12 x ax f x bx x x ， 则 ab 答案：0 考点：函数的奇偶性与周期性 解析：( )f x为定义在 R 上的奇函数，( 1)(1)ff ，(0)0f， 函数( )f x的周期为 2，( 1)(1)ff，由，得( 1)(1)0ff 0 (0)20 1 0 1 1 (1)0
15、 2 fa a ab b b f 11已知锐角满足sin22cos21，则tan() 4 答案：2 考点：三角恒等变换 解析：sin22cos21， 2222 2sincos2(cossin)sincos0， 化简得 22 3sin2sincoscos0，两边同时除以 2 cos得， 2 3 t a n2 t a n10 ，为锐角，tan0 解得 1 tan 3 ， 1 1tantan 34 tan()2 1 4 1 tantan11 43 12如图，在ABC 中，ABC 2 ，AB1，BC3，以 AC 为一边在ABC 的另一侧 作正三角形 ACD，则BD AC 11 答案：4 考点：平面向量
16、的数量积 解析：取 AC 中点 E，则 1 B D AC( B EE D ) ACB E AC( B AB C ) ( B CB A ) 2 22 22 11 (BCBA )(31 )4 22 13 在平面直角坐标系 xOy 中， AB 是圆 O： x2y21 的直径， 且点 A 在第一象限； 圆 O1： (xa)2y2r2(a0)与圆 O 外离，线段 AO1与圆 O1交于点 M，线段 BM 与圆 O 交于 点 N，且 1 OMO N0，则 a 的取值范围为 答案：(2 2，4) 考点：圆与圆的位置关系 解析： 1 OMO N0四边形 ONO1M 为平行四边形，即 ONMO1r1， 且 ON
17、为ABM 的中位线AM2ON2AO13， 故点 A 在以 O1为圆心，3 为半径的圆上，该圆的方程为： 22 ()9xay， 故 22 ()9xay与 x2y21 在第一象限有交点，即 2a4， 求得 2 8 02 2 2 A a xa a ，故 a 的取值范围为(2 2，4) 14已知 a，bR，abt（t 为常数） ，且直线 yaxb 与曲线exyx（e 是自然对数的 底数，e2.71828）相切若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数 t 的取 值范围为 答案：(， 2 5 e )e 考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程 解析：设切点为( 0 x， 0 0 x x e) 12
18、 (1) e x yx ， 0 0 0 0 2 0 00 (1)e e e x x x ax bx xaxb ， 0 2 000 e (1)() x abxxf xt有唯一解， 0 000 ()e (2)(1) x fxxx ， 0 x (，2) 2 (2，1) 1 (1，) 0 ()fx 0 0 0 ()f x 递减 2 5 e 递增 e 递减 故 0 ()f xt有唯一解时 t 的取值范围为(， 2 5 e )e 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 已知ABC 中，a，b，
19、c 分别为角 A，B，C 的对边，且 bsin2AasinB （1）求 A； （2）求 cos(B 6 )sin(C 3 )的最大值 解： （1）bsin2AasinB，2bsinAcosAasinB， 由正弦定理 sinsin ab AB ，得2cosbaAab， 0ab， 1 cos 2 A， 又三角形内角 A (0)，A 3 ； （2）由（1）A 3 ，又 ABC，得 C 2 3 ABB ，B 2 (0) 3 ， cos(B 6 )sin(C 3 )coscossinsinsin() 66 BBB 13 13 sincossin() 223 BBB B 2 (0) 3 ，() 33 B
20、，当= 32 B ， 即 6 B 时，sin() 3 B 取最大值 1， cos(B 6 )sin(C 3 )的最大值为 1 16 （本小题满分 14 分） 已知在四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 底面ABCD是菱形， 且平面A1ADD1平面ABCD， DA1DD1，点 E，F 分别为线段 A1D1，BC 的中点 （1）求证：EF平面 CC1D1D； （2）求证：ACEBD 证明： （1）连结 CD，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，A1B1C1D1，BB1C1C 是平行四边形， A1D1/ B1C1，BC/B1C1，且 A1D1B1C1，BCB1C1， 又点 E，F 分别为线段 AD，B
21、C 的中点， ED1 / FC，ED1FC， 所以四边形 ED1CF 是平行四边形， EF /CD1，又EF平面 CC1D1D，CD平面 CC1D1D， EF /平面 CC1D1D （2）四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，四边形 AA1D1D 是平行四边形， AD / A1D1，在DA1D1中，DA1DD1，点 E 为线段 A1D1的中点， DEA1D1，又AD/ A1D1，DEAD， 又平面 A1ADD1平面 ABCD， 平面 A1ADD1平面 ABCDAD， DE 平面 A1ADD1， DE平面 ABCD，又 AC平面 ABCD，DEAC， 底面 ABCD 是菱形，BDAC， 又BDDE
22、D，BD，DE平面 EBD， AC平面 EBD 17 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 1 2 ，右焦点到右 14 准线的距离为 3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 P(0，1)的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A，B己知在椭圆 C 上存在点 Q，使得 四边形 OAQB 是平行四边形，求 Q 的坐标 解： （1）设焦距为 2c， 椭圆 C 的离心率为 1 2 ， 1 2 c a ， 右焦点到右准线的距离为 3， 2 3 a c c ， 由，解得 a2，c1，故 b2a2c23， 椭圆 C 的标准方程
23、为 22 1 43 xy ， （2）当直线 l 斜率不存在时，四边形 OAQB 不可能平行四边形，故直线 l 斜率存在 直线 l 过点 P(0，1)，设直线 l 为：1ykx， 设 A( 1 x， 1 1kx )，B( 2 x， 2 1kx )， 由四边形 OAQB 是平行四边形，得 Q( 12 xx， 12 ()2k xx) 22 1 34120 ykx xy ，化简得： 22 (34)880kxkx ， 12 2 2 12 2 8 8 34 82(34) 34 k xx k k x k x x k ， 12 22 86 ()2()2 3434 k k xxk kk ， Q( 2 8 34
24、k k ， 2 6 34k )，点 Q 在椭圆 C 上， 22 22 86 3()4()12 3434 k kk ，解得 1 2 k ，代入 Q 的坐标，得 Q(1， 3 2 )或(1， 3 2 ) 18 （本小题满分 16 分） 某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以 C 为圆心，半径为 1 千米的圆周已有两 15 条互相垂直的道路 OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A，B现规划修建一 条新路（由线段 MP，PQ，线段 QN 三段组成） ，其中点 M，N 分别在 OE，OF 上，且使 得 MP，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 P，Q，PQ所对的圆心角为 6 记
25、PCA2（道路宽度均忽略不计） （1）若 5 12 ，求 QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值 解： （1）连接 CB，CN，CM，OMON，OM，ON，PM，QN 均与圆 C 相切 CBON，CAOM，CPMP，CQNQ，CBCA PCA2 5 6 ，PCQ 6 ，QCB 5 2 6622 ， 此时四边形 BCQN 是正方形，QNCQ1， 答：QN 的长度为 1 千米； （2）PCA2，可得MCP，NCQ 2 3 ， 则 MPtan，PQ 6 ，NQ 2 tantan 2tan3 3 tan() 2 33tan1 1tantan 3 设新路长为( )f，其中( 6 ， 2 )，即 3
26、tan 3 tan3342 3 ( )tantan 63363tan13tan3 f ， 2 3+ 6 ，当tan3时取“” ， 16 答：新路总长度的最小值为2 3+ 6 19 （本小题满分 16 分） 已知各项均为正数的数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 2a ，且对任意 nN， 111 22 nnnnnn a SaSaa 恒成立 （1）求证：数列 2 n n S a 是等差数列，并求数列 n a的通项公式； （2）设43 nn ban，已知 2 b， i b， j b(2ij)成等差数列，求正整数 i，j 解： （1） 111 22 nnnnnn a SaSaa ， 11 (2)
27、(2) nnnn a SaS ， 数列 n a各项均为正数， 1 0 nn a a ，等式两边同时除以 1nn a a ， 得 1 1 22 0 nn nn SS aa ，故数列 2 n n S a 是等差数列，首项为 2，公差为 0， 2 2 n n S a ，即22 nn Sa， 22 22Sa，求得 2 4a ， 11 22 nn Sa (n2)，得 1 22 nnn aaa ，即 1 2 nn aa ， 又 21 42aa，对任意 nN，数列 n a是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 故数列 n a的通项公式为2n n a ； （2）43243 n nn bann， 2 9b ，2
28、43 i i bi，243 j j bj， 2 b， i b， j b(2ij)成等差数列， 2(243)9243 ij ij， 变形得 1 11 23 21 22 j i ii ij (*)， 当2ji 时， 1 1 211 2 j i i j ， 17 令 1 23 2 i i i c (i3)，则 1 1 212352 0 222 ii iii iii cc (i3)， 数列 i c单调递减，故 (max)3 3 1 4 i cc， 1 23 1 2i i ， 1 1 211 2 j i i j ，故2ji 时*式不成立， 当1ji 时，*式转化为 0 11 231 21 22 ii i
29、i ，解得 i4，故 j5 20 （本小题满分 16 分） 已知函数( )(1)lnf xmxx， 2 ( )(2)(3)2g xmxnx，m，nR （1）当 m0 时，求函数( )f x的极值； （2）当 n0 时，函数( )( )( )F xg xf x在(0，)上为单调函数，求 m 的取值范 围； （3）当 n0 时，判断是否存在正数 m，使得函数( )f x与( )g x有相同的零点，并说明 理由 解： （1）当 m0 时，( )lnf xxx ， 1 ( )1fx x ，令( )0fx，解得 x1，列表如下： x (0，1) 1 (1，) ( )fx 0 ( )f x 单调递增 单调
30、递减 当 x1 时，函数( )f x有极大值1，无极小值； （2）当 n0 时，函数 2 ( )( )( )(2)(4)ln2F xg xf xmxmxx 2 2(2)(4)1(21)(2)1 ( ) mxmxxmx F x xx ， 要使函数( )( )( )F xg xf x在(0，)上为单调函数， 则对x (0，)，( )0F x或( )0F x恒成立， 18 令( )(21)(2)1g xxmx，( )0g x 或( )0g x 恒成立 当 0m2 时，x(0， 1 2 )( 1 2m ，)时，( )0g x ，x( 1 2 ， 1 2m ) 时，( )0g x ，不符题意； 当 m0
31、 时，x(0， 1 2m )( 1 2 ，)时，( )0g x ，x( 1 2m ，1 2 )时， ( )0g x ，不符题意； 当 m2 时，x(0， 1 2 )时，( )0g x ，x( 1 2 ，)时，( )0g x ，不符题 意； 当 m0 时， 2 ( )(21)0g xx，此时( )0F x恒成立， 函数( )( )( )F xg xf x在(0，)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为0； （3）函数( )f x与( )g x有相同的零点，不妨设 0 x为相同的零点 则 00 2 00 (1)ln0 (2)(3)20 mxx mxnx ， 得 00 0 lnxx m
32、x ， 2 0000 ln(3)20xxxnx， 有（1）知( )ln(1)10f xxxf ，故 00 ln0xx， 00 0 ln 0 xx m x ， 令 2 00000 ()ln(3)2h xxxxnx ， 又(1)0hn，( +3)(3)ln(3)20h nnn ， 故当 0 x (1，n3)时， 0 ()0h x，式有解，且能满足 00 0 ln 0 xx m x ， 存在正数 m，使得函数( )f x与( )g x有相同的零点 第 II 卷（附加题，共 40 分） 19 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写
33、出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知点 M(2，1)在矩阵 A 1 2 a b 对应的变换作用下得到点 N(5，6)，求矩阵 A 的特 征值 解：点 M(2，1)在矩阵 A 1 2 a b 对应的变换作用下得到点 N(5，6)， 1 25 216 a b ，则 25 226 a b ，解得 3 2 a b ，A 1 3 2 2 ， 1 3 ()(1) (2 )6 2 2 fEA ，令( )0f， 得 2 340，解得 1 4， 2 1 ， 矩阵 A 的特征值为 4 或1 B选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2cos s
34、in x y (为参数)以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为sin()10 4 （1）求曲线 C 和直线 l 的普通方程； （2）点 P 是曲线 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离的最小值 解： （1）由题意，曲线 C 的普通方程为 2 2 1 4 x y， 直线 l 的普通方程为2 50xy （2）设 P(2cos，sin)，则 P 到直线 l 的距离 2cossin2 55sin()2 5 2 55sin() 222 d 所以当sin()1 时，dmin 10 2 所以 P 到直线 l 的距离的最小值为 10 2 C选修 45：不等式选讲 2
35、0 已知 a，b，c 是正数，求证：对任意xR，不等式21 bca xx abc 恒成立 证明：对于正数 a，b，c，由均值不等式得 3 33 bcabca abcabc ， 当且仅当 abc 时取“” ， 任意xR，由绝对值不等式得 当且仅当 x1 时取“” ， 对任意xR，都有不等式21 bca xx abc 成立 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，AB2，AD AP3，点 M 是棱 PD 的中点 （1）
36、求二面角 MACD 的余弦值； （2）点 N 是棱 PC 上的点，已知直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 3 22 22 ，求 PN PC 的值 解： （1）以AB，AD，AP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz， 21 则各点的坐标为 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0， 3 2 ， 3 2 )， AP(0，0，3)，AC(2，3，0)，AM(0， 3 2 ， 3 2 ) 因为 PA平面 ABCD，所以平面 ACD 的一个法向量为AP(0，0，3)， 设平面 MAC 的法向量为n(x，y，z)，所以 A
37、C0 AM0 n n ， 即 230 33 0 22 xy yz ，取n(3，2，2)， cos AP62 17 = 173 9+4+4 AP n n ， 二面角 MACD 的余弦值为 2 17 17 ； （2）设(0,1)PNPC，其中(2,3, 3)PC ， 3 333 (0, )(2 ,3 , 3 )(2 ,3, 3) 2 222 MNMPPN， 平面 ABCD 的一个法向量为AP(0，0，3)， 222 3 3( 3) 2 cos, 33 3 4(3)( 3) 22 AP MN AP MN AP MN 22 2 3 3 2 9 2218 2 直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值
38、为 3 22 22 ， 2 3 3 3 22 2 = 229 2218 2 ， 2 2 3 ( 3) 9 2 = 9 22 2218 2 ， 化简得41，即 1 4 ， PN1 PC4 23 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a中， 1 6a ， 2 1 1 3 3 nnn aaa ( nN) （1）分别比较下列每组中两数的大小： 2 a和 3 6 2 ； 3 a和 3 3 6 ( ) 2 ； （2）当 n3 时，证明： 2 2 3 ()2( )3 62 n i n i i a 解： （1） 2 9a ， 3 69 2 ， 2 a 3 6 2 ； 3 21a ， 3 381 6 ( )
39、24 ， 3 a 3 3 6 ( ) 2 ； （2）先用数学归纳法证明：当 n3 时， (1) 2 3 6 ( ) 2 n n n a ， 当 n3 时， 3 a 3 3 6 ( ) 2 ； 假设当 nk（k3，kN）时，结论成立，即 (1) 2 3 6 ( ) 2 k k k a ， 当 nk1 时， (1)(1) 22 22 1 1133 3(6 ( )6 ( )3 3322 k kk k kkk aaa 23 (1)(1) 2 22 133 (6 ( )6 ( ) 322 k kk k 其中 (1)(1) 2 22 (3) 1 2 (1)(1)(1) 222 133 (6 ( )6 (
40、) 3 322 2( )1 2333 6 ( )6 ( )6 ( ) 222 k kk k k k k k kk kk k a ， (1) 2 1 3 6 ( ) 2 k k k a ，当 nk1 时，结论也成立， 综上所得，当 n3 时， (1) 2 3 6 ( ) 2 n n n a ， 从而，当 n3 时， 2 1 3 ()( ) 62 n nn a ， 则 2 2 231231 22 2 3333333 ()()( )( )( )( )( )( )( ) 662222222 n i nn i i aa ， 1 3 1 ( ) 33 2 2( )3 3 22 1 2 n n ， 当 n3 时， 2 2 3 ()2( )3 62 n i n i i a