1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题（共 10 小题） 1若 a 与 2 互为相反数，则 a+1 的值为（ ） A3 B1 C1 D3 2响应党中央号召，连日来，全国广大共产党员继续踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控 工作的支持据统计，截至 3 月 10 日，全国已有 7436 万多名党员自愿捐款，共捐款 76.8 亿元，则 76.8 亿元用科学记数法可表示为（ ） A7.68109元 B7.681010元 C76.8108元 D0.7681010元 3如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点 A 重合的点为（ ） A点 C 和点 N B点 B 和点 M C点 C
2、 和点 M D点 B 和点 N 4如图，在框中解分式方程的 4 个步骤中，根据等式基本性质的是（ ） A B C D 5 如果关于x的一元二次方程kx22x+10有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 （ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 6下列函数中自变量的取值范围是 x2 的是（ ） Ayx2 By Cy Dy 7将一个圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀剪去其方形部分，展开后得到的多 边形的内角和角度为（ ） A180 B540 C1080 D2160 8 由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示， 则关于它的视图说法正确的是 （ ） A主视图的面积最大
3、 B俯视图的面积最大 C左视图的面积最大 D三个视图的面积一样大 9定义新运算：ab例如：45，4（5）则函数 y2x （x0）的图象大致是（ ） A B C D 10如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0），B（3，0）下列结 论：2ab0；（a+c）2b2；当1x3 时，y0；当 a1 时，将抛物线 先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，得到抛物线 y（x2）22其中正确的 是（ ） A B C D 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11因式分解：x32x2+x 12在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点 A（4，5）逆
4、时针旋转 90得到点 B，则点 B 的坐标是 13 下面 4 个图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图， 试按其一天中发生的先后顺序排 列，正确的是 14世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 基站布设， “孔夫子家”自此有了 5G 网络5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 500 兆数据，5G 网络比 4G网络快45秒， 求这两种网络的峰值速率 设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据， 依题意，可列方程是 15已知抛物线 yx2+2x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），将这条抛物线 向右平移 m（m0）个单位，平移后的抛物线与 x
5、轴交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的左 侧），若 B，C 是线段 AD 的三等分点，则 m 的值为 三、解答题（共 55 分） 16计算： 17解不等式组：，并把其解集在数轴表示出来 18某中学九（5）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足 球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建 了 4 个兴趣小组，并绘制成如图的两幅不完整的统计图（如图，要求每位学生只 能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）九（5）班的学生人数为 ，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中 n ，m ； （3）排球兴趣小
6、组 4 名学生中有 2 男 2 女，现在打算从中随机选出 2 名学生参加学校的 排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 名学生恰好是一男一女的概率 19如图，在ABCD 中，点 F 是边 BC 的中点，连接 AF 并延长交 DC 的延长线于点 E，连 接 AC、BE （1）求证：ABCE； （2）若AFC2D，则四边形 ABEC 是什么特殊四边形？请说明理由 20如图，在ABC 中，ABBC，以 AB 为直径的O 与 AC 交于点 D，过 D 作 DFBC， 交 AB 的延长线于 E，垂足为 F （1）求证：直线 DE 是O 的切线； （2）当 AB5，AC8 时，求 cosE 的值 2
7、1阅读材料，解决问题： 如图，为了求平面直角坐标系中任意两点 A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离，可以 AB 为斜边作 RtABC，则点 C 的坐标为 C（x2，y1），于是 AC|x1x2|，BC|y1y2|， 根 据 勾 股 定 理 可 得 AB ， 反 之 ， 可 以 将 代 数 式 的值看做平面内点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离 例如可将代 数式看作平面内点（x，y）到点（1，3）的距离 根据以上材料解决下列问题 （1）求平面内点 M（2，3）与点 N（1，3）之间的距离； （2）求代数式的最小值 22某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的
8、销售量 y（件） 与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使 销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多 少件？ 23如图，在直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上，点 B 的坐标是（5，2），点 P 是 CB 边上一动点（不与点 C、点 B 重合），连结 OP、AP， 过点 O 作
9、射线 OE 交 AP 的延长线于点 E，交 CB 边于点 M，且AOPCOM，令 CP x，MPy （1）当 x 为何值时，OPAP？ （2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在 x，使OCM 的面积与ABP 的面积之和等于 EMP 的面积？若存在，请求 x 的值；若不存在，请说明理由 参考答案 一、选择题：（每小题 3 分，共 30 分） 1若 a 与 2 互为相反数，则 a+1 的值为（ ） A3 B1 C1 D3 【分析】先依据相反数的定义求得 a 的值，然后再依据有理数加法法则计算即可 解：a 与 2 互为相反数， a2， a+
10、12+11 故选：B 2响应党中央号召，连日来，全国广大共产党员继续踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控 工作的支持据统计，截至 3 月 10 日，全国已有 7436 万多名党员自愿捐款，共捐款 76.8 亿元，则 76.8 亿元用科学记数法可表示为（ ） A7.68109元 B7.681010元 C76.8108元 D0.7681010元 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：76.8 亿
11、元7680000000 元7.68109元 故选：A 3如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点 A 重合的点为（ ） A点 C 和点 N B点 B 和点 M C点 C 和点 M D点 B 和点 N 【分析】根据图形，把正方体展开图折叠成正方体，观察即可得到重合的点 解：折叠成正方体时，与点 A 重合的点为 C、N 故选：A 4如图，在框中解分式方程的 4 个步骤中，根据等式基本性质的是（ ） A B C D 【分析】根据等式的性质 1，等式的两边都加或减同一个整式，结果不变，根据等式的性 质 2，等式的两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案 解：根据等式的性质 2，等
12、式的两边都乘同一个不为零的整式 x2，结果不变， 根据等式的性质 1，等式的两边都加同一个整式 3x，结果不变 故选：C 5 如果关于x的一元二次方程kx22x+10有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 （ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根下必须满足b24ac0 解：根据题意得：44k0 且 k0， 解得：k1 且 k0 故选：B 6下列函数中自变量的取值范围是 x2 的是（ ） Ayx2 By Cy Dy 【分析】当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数
13、；当函数表达式是分式时，考虑 分式的分母不能为 0；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 解：A、项中 x 的取值范围是全体实数； B、项中 x 的取值范围是 x2； C、项中 x 的取值范围是 x2； D、项根据二次根式和分式的意义得 x20，解得：x2 故选：D 7将一个圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀剪去其方形部分，展开后得到的多 边形的内角和角度为（ ） A180 B540 C1080 D2160 【分析】根据将一个圆形纸片连续对折三次之后形成的多边形是八边形解答即可 解：将一个圆形纸片连续对折三次之后形成的多边形是八边形，其内角和为：（82） 1801080， 故选：C
14、 8 由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示， 则关于它的视图说法正确的是 （ ） A主视图的面积最大 B俯视图的面积最大 C左视图的面积最大 D三个视图的面积一样大 【分析】先得出三视图：正视图为 3 个小正方形；俯视图为 3 个小正方形；左视图为 3 个小正方形；再求其面积，比较大小即可 解：正视图：3 个小正方形； 俯视图：3 个小正方形； 左视图：3 个小正方形； 则三个视图的面积一样大， 故选：D 9定义新运算：ab例如：45，4（5）则函数 y2x （x0）的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据题意可得 y2x，再根据反比例函数的性质可得函数图象 所在象限和形状，
15、进而得到答案 解：由题意得：y2x， 当 x0 时，反比例函数 y在第一象限， 当 x0 时，反比例函数 y在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此 D 选项符合 故选：D 10如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0），B（3，0）下列结 论：2ab0；（a+c）2b2；当1x3 时，y0；当 a1 时，将抛物线 先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，得到抛物线 y（x2）22其中正确的 是（ ） A B C D 【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案 解：图象与 x 轴交于点 A（1，0），B（3，0）， 二次函数的图象的对称轴
16、为 x1 1 2a+b0，故错误； 令 x1， yab+c0， a+cb， （a+c）2b2，故错误； 由图可知：当1x3 时，y0，故正确； 当 a1 时， y（x+1）（x3）（x1）24 将抛物线先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位， 得到抛物线 y（x11）24+2（x2）22，故正确； 故选：D 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11因式分解：x32x2+x x（x1）2 【分析】先提公因式 x，再利用完全平方公式，即可解答 【解答】解；x32x2+xx（x22x+1）x（x1）2， 故答案为：x（x1）2 12在平面直角坐标系中，以原点为中心，
17、把点 A（4，5）逆时针旋转 90得到点 B，则点 B 的坐标是 （5，4） 【分析】分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，可证明AOCOBD，可求 得 BD 和 OD 的长，则可求得 B 点坐标 解： 如图，分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D， A（4，5）， OC4，AC5， 把点 A（4，5）逆时针旋转 90得到点 B， OAOB，且AOB90， BOD+AOCAOC+CAO90， BODCAO， 在AOC 和OBD 中 AOCOBD（AAS）， ODAC5，BDOC4， B（5，4）， 故答案为：（5，4） 13 下面 4 个图是一根电线杆在一天中不同
18、时刻的影长图， 试按其一天中发生的先后顺序排 列，正确的是 【分析】根据北半球上，从早晨到傍晚影子的指向是：西西北北东北东，影长 由长变短，再变长的变化规律，可得先后顺序为 解：依题意，由于太阳是从东边升起，故影子首先指向西方的然后根据太阳的位置可 判断变化规律为 14世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 基站布设， “孔夫子家”自此有了 5G 网络5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 500 兆数据，5G 网络比 4G网络快45秒， 求这两种网络的峰值速率 设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据， 依题意，可列方程是 45 【分析】直接利用 5G 网络比
19、4G 网络快 45 秒得出等式进而得出答案 解：设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是： 45 故答案为：45 15已知抛物线 yx2+2x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），将这条抛物线 向右平移 m（m0）个单位，平移后的抛物线与 x 轴交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的左 侧），若 B，C 是线段 AD 的三等分点，则 m 的值为 2 或 8 【分析】分两种情况： 当 C 在 B 的左侧时， 先根据三等分点的定义得： ACBCBD， 由平移 m 个单位可知： ACBDm，计算点 A 和 B 的坐标可得 AB 的长，从而得结论 当
20、 C 在 B 的右侧时，同理可得结论 解：分为两种情况： 如图，当 C 在 B 的左侧时， B，C 是线段 AD 的三等分点， ACBCBD， 由题意得：ACBDm， 当 y0 时，x2+2x30， （x1）（x+3）0， x11，x23， A（3，0），B（1，0）， AB3+14， ACBC2， m2， 同理，当 C 在 B 的右侧时，ABBCCD4， mAB+BC4+48， 故答案为：2 或 8 三、解答题（共 55 分） 16计算： 【分析】分别进行负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函 数值，最后合并即可得出答案 解：原式12+2（2） +2 2 17解不等式组
21、：，并把其解集在数轴表示出来 【分析】首先解不等式组中的每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，即 可确定不等式组的解集 解：解第一个不等式得：x1； 解第二个不等式得：x5 则不等式组的解集是：1x5 18某中学九（5）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足 球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建 了 4 个兴趣小组，并绘制成如图的两幅不完整的统计图（如图，要求每位学生只 能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）九（5）班的学生人数为 40 ，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中 n
22、 20 ，m 10 ； （3）排球兴趣小组 4 名学生中有 2 男 2 女，现在打算从中随机选出 2 名学生参加学校的 排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 名学生恰好是一男一女的概率 【分析】（1）根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它球类项 目的人数，求出足球的人数，从而补全统计图； （2）用足球的人数除以总人数，求出 n，再用排球的人数除以总人数，即可求出 m； （3）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出选出的 2 名学生恰好是一男一女的情 况数，然后根据概率公式即可得出答案 解：（1）九（5）班的学生人数为：1230%40（人）， 足球的人数是：4041
23、2168（人），补图如下： （2）n%100%20%， 则 n20； m%100%10%， 则 m10； 故答案为：20，10； （3）根据题意画出树状图如下： 一共有 12 种情况，恰好是 1 男 1 女的情况有 8 种， 则选出的 2 名学生恰好是 1 男 1 女的概率为： 19如图，在ABCD 中，点 F 是边 BC 的中点，连接 AF 并延长交 DC 的延长线于点 E，连 接 AC、BE （1）求证：ABCE； （2）若AFC2D，则四边形 ABEC 是什么特殊四边形？请说明理由 【分析】（1）由在ABCD 中，点 F 是边 BC 的中点，易证得ABFECF，可得 CE AB 即可；
24、（2）由（1）易得四边形 ABEC 是平行四边形，又由AFC2D，易证得 AFBF， 即可得 AEBC，证得四边形 ABEC 是矩形 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， ABFECF， 点 F 是边 BC 的中点， BFCF， 在ABF 和CEF 中， ABFECF（ASA）， ABCE， （2）解：四边形 ABEC 是矩形理由如下： ABCD，ABCE， 四边形 ABEC 是平行四边形， AE2AF，BC2BF， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABFD， AFC2D，AFCABF+BAF， ABFBAF， AFBF， AEBC， 四边形 ABEC
25、是矩形 20如图，在ABC 中，ABBC，以 AB 为直径的O 与 AC 交于点 D，过 D 作 DFBC， 交 AB 的延长线于 E，垂足为 F （1）求证：直线 DE 是O 的切线； （2）当 AB5，AC8 时，求 cosE 的值 【分析】（1）连接圆心和切点，利用平行，OFCB 可证得ODF90； （2）把E 在相应的直角三角形中进行转移，求出其邻边与斜边即可 【解答】（1）证明：如图，连接 OD，BD（1 分） AB 是O 的直径， ADB90， BDAC； ABBC， ADDC； OAOB， ODBC， DEBC， DEOD 直线 DE 是O 的切线 （2）解：作 DHAB，垂足为
26、 H，则EDH+E90， 又 DEOD， ODH+EDH90 EODH ADDC，AC8， AD4 在 RtADB 中，BD3， 由三角形面积公式得：AB DHDA DB 即 5 DH34，DH 在 RtODH 中，cosODH， cosE 21阅读材料，解决问题： 如图，为了求平面直角坐标系中任意两点 A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离，可以 AB 为斜边作 RtABC，则点 C 的坐标为 C（x2，y1），于是 AC|x1x2|，BC|y1y2|， 根 据 勾 股 定 理 可 得 AB ， 反 之 ， 可 以 将 代 数 式 的值看做平面内点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离
27、 例如可将代 数式看作平面内点（x，y）到点（1，3）的距离 根据以上材料解决下列问题 （1）求平面内点 M（2，3）与点 N（1，3）之间的距离； （2）求代数式的最小值 【分析】（1）依据两点间的距离公式进行计算即可； （2）先将原式变形，即可将原式可以看作点 P（x，y）到点（3，4）和点（5，2）的 距离之和，求得 AB 的长，即可得到该代数式的最小值 解：（1）MN3； （ 2 ） 原 式 + +， 原式可以看作点 P（x，y）到点（3，4）和点（5，2）的距离之和， 当点 P（x，y）在线段 AB 上时，原式有最小值， AB2， 原式的最小值为 2 22某商店购进一批成本为每件 3
28、0 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件） 与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使 销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多 少件？ 【分析】（1）将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得 w（x30）（2x+160）2（x55）2+1250，即可求解； （3）由题意得（x
29、30）（2x+160）800，解不等式即可得到结论 解：（1）设 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为：ykx+b， 将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：， 解得：， 故函数的表达式为：y2x+160； （2）由题意得：w（x30）（2x+160）2（x55）2+1250， 20，故当 x55 时，w 随 x 的增大而增大，而 30x50， 当 x50 时，w 有最大值，此时，w1200， 故销售单价定为 50 元时，该超市每天的利润最大，最大利润 1200 元； （3）由题意得：（x30）（2x+160）800， 解得：40x70， 又y2x+16020， 则 y 的
30、最小值为2070+16020， 每天的销售量最少应为 20 件 23如图，在直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上，点 B 的坐标是（5，2），点 P 是 CB 边上一动点（不与点 C、点 B 重合），连结 OP、AP， 过点 O 作射线 OE 交 AP 的延长线于点 E，交 CB 边于点 M，且AOPCOM，令 CP x，MPy （1）当 x 为何值时，OPAP？ （2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在 x，使OCM 的面积与ABP 的面积之和等于 EMP 的面积？若存在，请求 x
31、 的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明OPCPAB，根据相似三角形的性质 列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可； （2）证明OCMPCO，根据相似三角形的性质列出比例式即可求解； （3）过 E 作 EDOA 于点 D，交 MP 于点 F，根据题意得到EOA 的面积矩形 OABC 的面积，求出 ED 的长，根据相似三角形的性质求出 PM，由（2）的解析式计算即可 解：（1）由题意知，OABC5，ABOC2，BOCM90，BCOA， OPAP， OPC+APBAPB+PAB90， OPCPAB， OPCPAB， ，即， 解得 x14，x21（不合题意，舍去） 当 x4 时，OPAP； （2）BCOA， CPOAOP， AOPCOM， COMCPO， OCMPCO， OCMPCO， ，即， ，x 的取值范围是 2x5； （3）假设存在 x 符合题意， 过 E 作 EDOA 于点 D，交 MP 于点 F，则 DFAB2， OCM 与ABP 面积之和等于EMP 的面积， ， ED4，EF2， PMOA， EMPEOA， ，即， 解得， 由（2）得， 解得（不合题意舍去）， 在点 P 的运动过程中，存在，使OCM 与ABP 面积之和等于EMP 的 面积