1、广东省深圳市南山区育才二中广东省深圳市南山区育才二中 2020 年年中考中考一模数学试卷一模数学试卷 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1与的积为 1 的数是（ ） A2 B C2 D 2战狼2 中 “犯我中华者， 虽远必诛” ， 令人动容， 热血沸腾 其票房突破56亿元 （5600000000 元） ，5600000000 用科学记数法表示为（ ） A5.6109 B5.6108 C0.56109 D56108 3下列运算正确的是（ ） A B C3a+5b8ab D3a2b4ba2a2b 4等腰三角形的一边为 4，另一边为 9，则这个三角形的周长为（ ） A17 B22 C13
2、 D17 或 22 5下列立体图形中，主视图是矩形的是（ ） A B C D 6下列各数中，为不等式组解的是（ ） A1 B0 C2 D4 7在 RtABC 中，C90，BC1，AB4，则 sinB 的值是（ ） A B C D 8如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，ADBC，DAB48，则AOC 的度数是（ ） A48 B96 C114 D132 9某中学随机调查了 15 名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，列表如下： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 2 6 5 2 则这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（ ） A6，7 B7，7 C7，6 D6，6
3、10 已知关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有实数根， 若 k 为非正整数， 则 k 等于 （ ） A B0 C0 或1 D1 11已知：如图，直线 l 经过点 A（2，0）和点 B（0，1） ，点 M 在 x 轴上，过点 M 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 C，若 OM2OA，则经过点 C 的反比例函数表达式为（ ） A B C D 12如图，等腰直角三角形 ABC，BAC90，D、E 是 BC 上的两点，且 BDCE，过 D、E 作 DM、EN 分别垂直 AB、AC，垂足为 M、N，交与点 F，连接 AD、AE其中 四边形 AMFN 是正方形； ABEACD； CE2+BD2DE
4、2； 当DAE45时， AD2DECD正确结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 13若分式的值为 0，则 x 的值为 14把多项式 am29a 分解因式的结果是 15如图，在ABCD 中，AB2cm，AD4cm，ACBC，则DBC 比ABC 的周长 长 cm 16如图，正方形 ABCO 的边长为，OA 与 x 轴正半轴的夹角为 15o，点 B 在第一象限， 点 D 在 x 轴的负半轴上，且满足BDO15，直线 ykx+b 经过 B、D 两点，则 bk 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 17计算（）03tan30+（） 2+|
5、1 | 18先化简：，再从3、2、3 中选择一个合适的数作为 a 的值代入求 值 19某社区踊跃为“抗击肺炎”捐款，根据捐款情况（捐款数为正数）制作以下统计图表， 但工作人员不小心把墨水滴在统计表上，部分数据看不清楚 （1）共有多少人捐款？ （2）如果捐款 050 元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为 72，那么捐款 51100 元的有多少人？ 捐款 人数 050 元 51100 元 101150 元 151200 元 6 200 元以上 4 20如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 PQ，测得杆顶端点 P 的仰角是 45，向 前走 9m 到达 B 点，测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q
6、的仰角分别是 60和 30 （1）求BPQ 的度数； （2）求该电线杆 PQ 的高度 （结果保留根号） 21六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个 50 元销售，一个月能售 出 500 个，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 个，这款玩具的进价为每个 40 元， 请回答以下问题： （1）若月销售利润定为 8000 元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？ （2）由于资金问题，在月销售成本不超过 10000 元、且没有库存积压的情况下，问销售 单价至少定为多少元？ 22 如图， 点 A、 B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， 以线段 AB 为边在第一象限作等边A
7、BC， ，且 CAy 轴 （1）若点 C 在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式； （2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点 N，使四边形 ABCN 是菱形，若存在请 求出点 N 坐标，若不存在，请说明理由 （3）点 P 在第一象限的反比例函数图象上，当四边形 OAPB 的面积最小时，求出 P 点 坐标 23如图 1 所示，已知直线 ykx+m 与抛物线 yax2+bx+c 分别交于 x 轴和 y 轴上同一点， 交点分别是点 B（6，0）和点 C（0，6） ，且抛物线的对称轴为直线 x4； （1）试确定抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PBC 是直角三角形？
8、若存在请直接写出 P 点坐标，不存在请说明理由； （3）如图 2，点 Q 是线段 BC 上一点，且 CQ，点 M 是 y 轴上一个动点，求 AQM 的最小周长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1与的积为 1 的数是（ ） A2 B C2 D 【分析】根据乘积是 1 的两数互为倒数，进行求解 【解答】解：的倒数是 2， 与乘积为 1 的数是 2， 故选：A 2战狼2 中 “犯我中华者， 虽远必诛” ， 令人动容， 热血沸腾 其票房突破56亿元 （5600000000 元） ，5600000000 用科学记数法表示为（ ） A5.6109 B5.
9、6108 C0.56109 D56108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：56000000005.6109， 故选：A 3下列运算正确的是（ ） A B C3a+5b8ab D3a2b4ba2a2b 【分析】分别根据有理数的混合运算法则，幂的定义，合并同类项法则逐一判断即可 【解答】解：A，故本选项不合题意； B.，故本选项不合题意； C.3a 与 5b 不是同类项，所以不
10、能合并，故本选项不合题意； D.3a2b4ba2a2b，正确 故选：D 4等腰三角形的一边为 4，另一边为 9，则这个三角形的周长为（ ） A17 B22 C13 D17 或 22 【分析】本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三 角形的周长 【解答】解：当腰长为 4 时，则三角形的三边长为：4、4、9； 4+49，不能构成三角形； 因此这个等腰三角形的腰长为 9，则其周长9+9+422 故选：B 5下列立体图形中，主视图是矩形的是（ ） A B C D 【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得 到答案 【解答】解：A此几何体的主
11、视图是等腰三角形； B此几何体的主视图是矩形； C此几何体的主视图是等腰梯形； D此几何体的主视图是圆； 故选：B 6下列各数中，为不等式组解的是（ ） A1 B0 C2 D4 【分析】分别求出两个不等式的解集，再找到其公共部分即可 【解答】解：， 由得，x， 由得，x4， 不等式组的解集为x4 四个选项中在x4 中的只有 2 故选：C 7在 RtABC 中，C90，BC1，AB4，则 sinB 的值是（ ） A B C D 【分析】根据勾股定理求出 AC，根据余弦的定义计算即可 【解答】解：由勾股定理得，AC 则 sinB， 故选：C 8如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，ADBC，DAB
12、48，则AOC 的度数是（ ） A48 B96 C114 D132 【分析】根据平行线的性质求出B，根据圆内接四边形的性质求出D，根据圆周角定 理解答 【解答】解：ADBC， B180DAB132， 四边形 ABCD 内接于圆 O， D180B48， 由圆周角定理得，AOC2D96， 故选：B 9某中学随机调查了 15 名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，列表如下： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 2 6 5 2 则这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（ ） A6，7 B7，7 C7，6 D6，6 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可 【解答】解
13、：共有 15 个数，最中间的数是 8 个数， 这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是 6； 6 出现的次数最多，出现了 6 次，则众数是 6； 故选：D 10 已知关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有实数根， 若 k 为非正整数， 则 k 等于 （ ） A B0 C0 或1 D1 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 k0 且（2）24k （1）0，然后求出两不等式的公共部分后找出非正整数即可 【解答】解：根据题意得 k0 且（2）24k（1）0， 解得 k1 且 k0， k 为非正整数， k1 故选：D 11已知：如图，直线 l 经过点 A（2，0）和点
14、B（0，1） ，点 M 在 x 轴上，过点 M 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 C，若 OM2OA，则经过点 C 的反比例函数表达式为（ ） A B C D 【分析】设直线 l 的解析式为 ykx+b，列方程组求得 yx+1，根据已知条件得到点 C （4，3） ，设反比例函数表达式为 y，把 C 的坐标代入即可得到结论 【解答】解：设直线 l 的解析式为：ykx+b， 直线 l 经过点 A（2，0）和点 B（0，1） ， ， 解得：， 直线 l 的解析式为：yx+1， 点 A（2，0） ， OA2， OM2OA， OM4， 点 C 的横坐标为 4， 当 x4 时，y3， 点 C（4，3） ，
15、 设反比例函数表达式为 y， m12， 反比例函数表达式为 y， 故选：B 12如图，等腰直角三角形 ABC，BAC90，D、E 是 BC 上的两点，且 BDCE，过 D、E 作 DM、EN 分别垂直 AB、AC，垂足为 M、N，交与点 F，连接 AD、AE其中 四边形 AMFN 是正方形； ABEACD； CE2+BD2DE2； 当DAE45时， AD2DECD正确结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由三个角是直角的四边形是矩形，先判定四边形 AMFN 是矩形，再证明 AM AN，从而可判断；利用 SAS 可判定ABEACD，从而可判断；在没有DAE 45时，无法证
16、得 DEDE，故可判断；由DAEC，ADECDA 可判定 ADECDA，从而可判定 【解答】解：DM、EN 分别垂直 AB、AC，垂足为 M、N， AMFANF90， 又BAC90， 四边形 AMFN 是矩形； ABC 为等腰直角三角形， ABAC，ABCC45， DMAB，ENAC， BDM 和CEN 均为等腰直角三角形， 又BDCE， BDMCEN（AAS） ， BMCN AMAN， 四边形 AMFN 是正方形，故正确； BDCE， BECD， ABC 为等腰直角三角形， ABCC45，ABAC， ABEACD（SAS） ，故正确； 如图所示， 将ACE绕点A顺时针旋转90至ABE， 则C
17、EBE， EBAC45， 由于BDMCEN，故点 N 落在点 M 处，连接 ME，则 D、M、E共线， EBA45，ABC45， DBE90， BE2+BD2DE2， CE2+BD2DE2， 当DAE45时，DAEDAM+EAN904545， AEAE，ADAD， ADEADE（SAS） ， DEDE， 在没有DAE45时，无法证得 DEDE，故错误； ABAC，ABDC，BDCE， ABDACE（SAS） ， ADAE， 当DAE45时，ADEAED67.5， C45， DAEC，ADECDA， ADECDA， ， AD2DECD，故正确 综上，正确的有，共 3 个 故选：C 二填空题（共二
18、填空题（共 4 小题）小题） 13若分式的值为 0，则 x 的值为 2 【分析】根据分式的值为 0 的条件和分式有意义条件得出 4x20 且 x+20，再求出即 可 【解答】解：分式的值为 0， 4x20 且 x+20， 解得：x2， 故答案为：2 14把多项式 am29a 分解因式的结果是 a（m+3） （m3） 【分析】直接提取公因式 a，再利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：am29aa（m29） a（m+3） （m3） 故答案为：a（m+3） （m3） 15如图，在ABCD 中，AB2cm，AD4cm，ACBC，则DBC 比ABC 的周长 长 4 cm 【分析】根据平行四边形的
19、性质得到 ABCD2cm，ADBC4cm，AOCO，BO DO，根据勾股定理得到 OC3cm，BD10cm，于是得到结论 【解答】 解： 在ABCD 中， ABCD2cm， ADBC4cm， AOCO， BODO， ACBC， AC6cm， OC3cm， BO5cm， BD10cm， DBC 的周长ABC 的周长BC+CD+BD （AB+BC+AC） BDAC1064cm， 故答案为：4 16如图，正方形 ABCO 的边长为，OA 与 x 轴正半轴的夹角为 15o，点 B 在第一象限， 点 D 在 x 轴的负半轴上，且满足BDO15，直线 ykx+b 经过 B、D 两点，则 bk 2 【分析】
20、连接 OB，过点 B 作 BEx 轴于点 E，根据正方形的性质可得出AOB 的度数 及 OB 的长， 结合三角形外角的性质可得出BDODBO，利用等角对等边可得出 OD OB， 进而可得出点 D 的坐标， 在 RtBOE 中， 通过解直角三角形可得出点 B 的坐标， 由点 B，D 的坐标，利用待定系数法可求出 k，b 的值，再将其代入（bk）中即可求出 结论 【解答】解：连接 OB，过点 B 作 BEx 轴于点 E，如图所示 正方形 ABCO 的边长为， AOB45，OBOA2 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 15o， BOE451530 又BDO15， DBOBOEBDO15， BDODBO
21、， ODOB2， 点 D 的坐标为（2，0） 在 RtBOE 中，OB2，BOE30， BEOB1，OE， 点 B 的坐标为（，1） 将 B（，1） ，D（2，0）代入 ykx+b，得：， 解得：， bk42（2）2 故答案为：2 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 17计算（）03tan30+（） 2+|1 | 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的 代数意义计算即可求出值 【解答】解：原式13+4+1 1+4+1 4 18先化简：，再从3、2、3 中选择一个合适的数作为 a 的值代入求 值 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后
22、在3、2、3 中选择一个使 得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： a+2， 当 a3 时，原式3+21 19某社区踊跃为“抗击肺炎”捐款，根据捐款情况（捐款数为正数）制作以下统计图表， 但工作人员不小心把墨水滴在统计表上，部分数据看不清楚 （1）共有多少人捐款？ （2）如果捐款 050 元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为 72，那么捐款 51100 元的有多少人？ 捐款 人数 050 元 51100 元 101150 元 151200 元 6 200 元以上 4 【分析】 （1）根据捐款 200 元以上的人数和所占的百分比，可以求得本次共有多少人捐 款； （2）根据
23、（1）中的结果和扇形统计图中的数据， 统计表中的数据，可以计算出捐款 51 100 元的有多少人 【解答】解： （1）48%50（人） ， 答：共有 50 人捐款； （2）50505032%64 50101664 14（人） 答：捐款 51100 元的有 14 人 20如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 PQ，测得杆顶端点 P 的仰角是 45，向 前走 9m 到达 B 点，测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60和 30 （1）求BPQ 的度数； （2）求该电线杆 PQ 的高度 （结果保留根号） 【分析】 （1）延长 PQ 交直线 AB 于点 E，根据直角三角形两锐角互余求
24、得即可； （2）设 PEx 米，在直角APE 和直角BPE 中，根据三角函数利用 x 表示出 AE 和 BE，根据 ABAEBE 即可列出方程求得 x 的值，再在直角BQE 中利用三角函数求得 QE 的长，则 PQ 的长度即可求解 【解答】解：延长 PQ 交直线 AB 于点 E，如图所示： （1）BPQ906030； （2）设 PEx 米 在直角APE 中，A45， 则 AEPEx 米； PBE60， BPE30， 在直角BPE 中，BEPEx 米， ABAEBE9 米， 则 xx9， 解得：x 则 BE米 在直角BEQ 中，QEBE米 PQPEQE9+3（米） 答：电线杆 PQ 的高度为（9
25、+3）米 21六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个 50 元销售，一个月能售 出 500 个，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 个，这款玩具的进价为每个 40 元， 请回答以下问题： （1）若月销售利润定为 8000 元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？ （2）由于资金问题，在月销售成本不超过 10000 元、且没有库存积压的情况下，问销售 单价至少定为多少元？ 【分析】 （1）根据“销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 件” ，可知：月销售量500 （销售单价50）10，然后根据月销售利润每件的利润销售的数量列出方程并 解答； （2） 设销售单价定
26、为 a 元， 根据 “在月销售成本不超过 10000 元” 列出不等式， 并解答 【解答】解： （1）设销售单价应定为 x 元， 由题意，得（x40）50010（x50）8000， 解得 x160，x280， 尽可能让利消费者， x60 答：消费单价应定为 60 元 （2）设销售单价定为 a 元， 由题意，得 4050010（a50）10000， 解得 a75 答：销售单价至少定为 75 元 22 如图， 点 A、 B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， 以线段 AB 为边在第一象限作等边ABC， ，且 CAy 轴 （1）若点 C 在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式； （2）在（1
27、）中的反比例函数图象上是否存在点 N，使四边形 ABCN 是菱形，若存在请 求出点 N 坐标，若不存在，请说明理由 （3）点 P 在第一象限的反比例函数图象上，当四边形 OAPB 的面积最小时，求出 P 点 坐标 【分析】 （1）如图 1 中，作 CDy 轴于 D首先证明四边形 OACD 是矩形，利用反比例 函数 k 的几何意义解决问题即可 （2）如图 2 中，作 BDAC 于 D，交反比例函数图象于 N，连接 CN，AN求出 D2 你 的坐标，证明四边形 ABCN 是菱形即可 （3）如图 3 中，连接 PB，PA，OP设 P（a，） 可得 S四边形OAPBSPOB+SPOA 1a+a+（）2
28、+，由此即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，作 CDy 轴于 D CAy 轴，CDy 轴， CDOA，ACOD， 四边形 OACD 是平行四边形， AOD90， 四边形 OACD 是矩形， kS矩形OACD2SABC2， 反比例函数的解析式为 y （2）如图 2 中，作 BDAC 于 D，交反比例函数图象于 N，连接 CN，AN ABC 是等边三角形，面积为，设 CDADm，则 BDm， 2mm， m1 或1（舍弃） ， B（0，1） ，C（，2） ，A（，0） ， N（2，1） ， BDDN， ACBN， CBCN，ABAN， ABBC， ABBCCNAN， 四边形 ABCN 是
29、菱形， N（2，1） （3）如图 3 中，连接 PB，PA，OP设 P（a，） S四边形OAPBSPOB+SPOA1a+a+（）2+， 当a时，四边形 OAPB 的面积最小， 解得 a或（舍弃） ， 此时 P（，） 23如图 1 所示，已知直线 ykx+m 与抛物线 yax2+bx+c 分别交于 x 轴和 y 轴上同一点， 交点分别是点 B（6，0）和点 C（0，6） ，且抛物线的对称轴为直线 x4； （1）试确定抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PBC 是直角三角形？若存在请直接写出 P 点坐标，不存在请说明理由； （3）如图 2，点 Q 是线段 BC 上一点，且
30、CQ，点 M 是 y 轴上一个动点，求 AQM 的最小周长 【分析】 （1）求得点 A 的坐标，根据抛物线过点 A、B、C 三点，从而可以求得抛物线的 解析式； （2） ）ABP 为直角三角形时，分别以三个顶点为直角顶点讨论：根据直角三角形的性 质和勾股定理列方程解决问题； （3）求出点 Q 的坐标为（，） ，在 x 轴上取点 G（2，0） ，连接 QG 交 y 轴于点 M，则此时AQM 的周长最小，求出 QG+AQ 的值即可得出答案 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B 两点，对称轴为直线 x4， 点 A 的坐标为（2，0） 抛物线 yax2+bx+c 过
31、点 A（2，0） ，B（6，0） ，C（0，6） ， ， 解得 a，b4，c6 抛物线的解析式为：y； （2）设 P（4，y） ， B（6，0） ，C（0，6） ， BC262+6272，PB222+y2，PC242+（y6）2， 当PBC90时，BC2+PB2PC2， 72+22+y242+（y6）2， 解得：y2， P（4，2） ； 当PCB90时，PC2+BC2PB2， 42+（y6）2+7222+y2， 解得：y10， P（4，10） ； 当BPC90时，PC2+PB2BC2 42+（y6）2+22+y272， 解得：y3 P（4，3+）或 P（4，3） 综合以上可得点 P 的坐标为（4，2）或（4，10）或（4，3+）或 P（4，3） （3）过点 Q 作 QHy 轴于点 H， B（6，0） ，C（0，6） ， OB6，OC6， OCB45， CQHHCQ45， CQ， CHQH， OH6， 点 Q 的坐标为（，） ， 在 x 轴上取点 G（2，0） ，连接 QG 交 y 轴于点 M，则此时AQM 的周长最小， AQ， QG， AQ+QG， AQM 的最小周长为 4