1、专题专题 01 不等式的性质及其应用不等式的性质及其应用 专题点拨专题点拨 1利用基本不等式的性质求解代数式或函数的最值、取值范围时，注意将已知条件转化为右边等于 1 的结构式,再把此等式的左边代数式作为整体去乘以目标代数式的各项或某几项,并遵循“一正、二定、三 相等”的条件(若是构造函数模型,则需要结合图像加以分析) 2在求参数取值范围的问题中，若能分离出参数m，比如( )mf x恒成立，则 max ( ( )mf x ；若 ( )mf x恒成立，则 min ( ( )mf x；若( )mf x可以成立，则 max ( ( )mf x 3某些非恒成立(如含有绝对值符号)不等式问题，需要运用分
2、类讨论方法求解. 4在求参数取值范围的问题中，若不能分离出参数，则尝试通过构造函数(或分类讨论)加以解决 真题赏析真题赏析 1(2018上海)已知Ra，则“a 1”是“ 1 a 1”的( ). A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 若1a ，则 1 1 a .是真命题. 若 1 1 a ，则可能0a，也可能1a .因此，若 1 1 a ，则1a .是假命题. 于是，选项 A 正确. 2(2011上海)若,Ra b，且0ab，则下列不等式中恒成立的是( ). A 22 2abab B2abab C 112 abab D2 ab ba 【答案
3、】D 【解析】排除法.也可用综合法证明 D 正确. 若ab时，可得选项 A 错误；若0,0ab时，可得选项 B 错误； 若0ab时，可得选项 C 错误. 因此，选项 D 正确. 3.(2020杨浦区一模)已知实数a，b满足ab，则下列不等式中恒成立的是( ) A 22 ab B 11 ab C| |ab D22 ab 【答案】D 【解析】解：A选项不正确，当1a ，2b 时，不等式就不成立； B选项不正确，因为1a ，2b 时，不等式就不成立； C选项不正确，因为1a ，2b 时，不等式就不成立； D选项正确，因为2xy 是一个增函数，故当ab时一定有22 ab ， 故选：D 例题剖析例题剖析
4、 【例 1】已知 + ,Rx y，且41xy，则 3y xy 的最小值是_ 方法点拨：代数变形，使之能用基本不等式的性质加以解决. 【答案】34 3 【解析】某项乘 1 方法. 3312 (4)334 3 yyxy xy xyxyyx . 当且仅当 23 2 x 时，等号成立. 【变式训练【变式训练 1 1】 已知 + ,Rm n，直线0xmyn经过点( 1,2)，则代数式 12m mn 的最小值是 . 【答案】22 2 【解析】由题设，可得2 1m n. 于是， 12212 (2)222 2 mmmn mn mnnmnm . 当且仅当 22 2 m 时，等号成立. 【例 2】已知Rx，且 1
5、 422 xxx aa 恒成立，求实数a的取值范围 方法点拨：先进行变量分离，再用函数最值确定参数范围. 【解析】 分离变量法.根据题设，可得 1 (21) 21 x x a . 令21,1 x tt且. 于是， 1 0(1)tt t 恒成立. 因此，0a. 【变式训练【变式训练 2 2】 (2020松江区一模)已知b，cR，若 2 |xbxcM对任意的0x，4恒成立，则( ) AM的最小值为 1 BM的最小值为 2 CM的最小值为 4 DM的最小值为 8 【答案】B 【解析】由题意，原问题等价为：已知 2 ( )f xx，xa，4a，若2( )( ) maxmin Mf xf x，求M的最小
6、 值， 显然，当2a 时，( )( ) maxmin f xf x最小，为f(2)(0)4f， 2 min M 故选：B 【例 3】 已知函数 2 ( )(02)f xaxbxcab对任意Rx恒有( )0f x 成立， 求代数式 (1) (0)( 1) f ff 的最小值 方法点拨：代数变形，使之能用基本不等式的性质求解. 【解析】 因 2 ( )(02)f xaxbxcab对任意Rx恒有( )0f x 成立，则 2 40bac ，即 2 4 b ac . 2 2 2 (1) 4 (0)( 1)()() b aab fabcaabac ffbaa baa ba . 令,bat则bat.于是，
7、2 2 22 (1)9693 4 3(3= ) (0)( 1)()4442 b aab faattat ta ffa baatta 时，取“ ” 因此，所求的最小值为3. 【变式训练【变式训练 3 3】 已知函数 2 3 ( )2(0) 2 a f xaxbxcb对任意Rx恒有( )0f x 成立， 求代数式 (1) (0)( 1) f ff 的 最小值 【解析】因 2 3 ( )2(0) 2 f xaxbxcab对任意Rx恒有( )0f x 成立，则 2 440bac ，即 2 acb. 222 (1)222 (0)( 1)2(2)(2) fabcaabacaabb ffbaabaaba .
8、 令2,bat则 2 at b .于是， 22 (1)9693 3(3 ,2= ) (0)( 1)4442 faattat ta ba ffatta 时，取“ ”. 因此，所求的最小值为3. 【例 4】已知 1,1m 时，不等式 2 232mxxm恒成立，求实数x的取值范围 方法点拨：先构造函数，再利用函数性质确定参数范围. 【解析】构造函数法. 由 2 232mxxm，得 2 (2)230xmx . 设 2 ( )(2)23f xxmx ，且 1,1m 时，恒有( )0f m 成立. 于是， ( 1)0, (1)0. f f 即 2 2 340, 30. xx xx 解得31x . 【变式训
9、练【变式训练 4 4】 已知 2, 1m 时，不等式 2 1 32 2 mxxm恒成立，求实数x的取值范围 【解析】构造函数法. 原不等式可化为 2 1 (2)30 2 xmx. 设 2 1 ( )(2)3 2 f mxmx，且 2, 1m 时，恒有( )0f m 成立. 于是， ( 2)0, ( 1)0. f f 即 2 2 10, 1 10. 2 xx xx 解得1313xx 或. 巩固训练巩固训练 A A 组组 ( (一一) )填空题填空题 1(2020闵行区一模)已知01x，使得(1)xx取到最大值时，x 【答案】 1 2 【解析】根据题意，当01x时， 2 (1)1 (1) 24 x
10、x xx ，当且仅当(1) xx，即 1 2 x 时等号成立； 此时(1)xx取到最大值， 则当 1 2 x 时，(1)xx取到最大值； 故答案为： 1 2 2.若10 x，则 xx 1 21 的最小值为_. 【答案】32 2 【解析】因01x，则10x.构造：(1)1xx. 于是， 12 1xx 1212 (1)()332 2 11 xx xx xxxx . 当且仅当2 1x 时，等号成立. 3.(2018七宝中学模拟)若关于 x 的不等式|2 | + 1在0,2上恒成立，则正实数 a 的取值范围为 _. 【答案】 3 【解析】解：由题意，不等式|2 | + 1在0,2上恒成立 2 0时，2
11、 + 1在区间0,2恒成立， 即 + 1在区间0,2恒成立， ( + 1)= 3， 正实数 a的取值范围为： 3； 故答案为： 3 ( (二二) )选择题选择题 4.若4x，则函数 2 54 )( 2 x xx xf的最小值是( ). A4 B 5 2 C3 D2 【答案】B 【解析】因 4x，故 2 45 ( ) 2 xx f x x 1 (2) 2 x x ，且 1 2 2 x x 不成立. 令2tx，则2t .由 1 t t 在2,)上是单调增函数，可得 min 15 () 2 t t . 于是， 5 ( ) 2 f x ，当4x 时，等号成立. 5.已知 Ryx,，且xyyx62，求y
12、x 2的最小值是( ). A8 B10 C4 D12 【答案】D 【解析】因2 6xyxy，则 2 2 2(2) 122 2 xy xyx y . 令2(0)xyt t，则 2 1 212 4 tt.解得12t . 于是， min (2)12xy. 6已知函数)0( bbay x 的图像过点(1,3)P，如图所示，求 ba 1 1 4 的最小值是( ). A5 B 9 2 C 11 2 D 7 2 【答案】B 【解析】根据题意，可知 3,0,0abab，于是， 1 1 22 ab . 因此， 414115219 ()() 11222122 abba ababab . 当且仅当 2 3 b 时，
13、等号成立. ( (三三) )解答题解答题 7.如图所示，点 A 是函数)0( 1 x x y图像上一点，点 B 是函数)0( 2 x x y图像上一点，点 A、B 在x 轴，y轴上的投影分别是 2121 ,BBAA，已知2| 11 BA，求| 22B A的最小值. 【解析】设点 11 1 12 ( , )(0)( ,)(0)A xxB xx xx 、.2| 11 BA，并结合图像，可得 11 2,2(2)xxxxx. 于是，| 22B A 12122323 ()()2 22222222 xxxx xxxxxx . y y x x A A2 2 A A1 1 O O A A y y x x B
14、B2 2 B B1 1 O O B B 当且仅当2 22x 时，等号成立. 所以， 22min 3 (|)2 2 A B. 8.已知( 1,2)a 时，不等式 2 12axax 恒成立，求实数x的取值范围. 【解析】原不等式可化为 2 (1)210xax . 令 2 ( )(1)21f axax，则( )f a在( 1,2)上，总有( )0f a 成立. 于是， 2 2 20, 2230. xx xx 解得 71 2 2 x . 因此，所求实数x的取值范围是 71 2 2 x . B B 组组 (一)填空题 1. 已知函数)0( bbay x 的图像过点)2 , 1 (，则 1 2 22 b
15、b a a 的最小值是_ _. 【答案】 2 22 3 【解析】根据题意，得2ab，即 1 1 33 ab .于是， 22 221 1 11 2112(1)2 1 ()()222. 1 3333(1)3 ab ab abab abba abab 当且仅当3 24b时，等号成立. 2已知直线1 b y a x 的图像过点) 1 , 1 (，且不经过第三象限，则 1 9 1 4 b b a a 的最小值为 . 【答案】25 【解析】根据题意，得 11 1,0,0.ab ab 进一步可得,. 11 ab ba ab 于是， 491149 (49 )()1325. 11 abba ba ababab
16、当且仅当 5 2 b 时，等号成立. 3.点ABC、 、在直线l上，点Ol，且 + (23)(1)( ,R )OBmOAnOC m n，则 12m mn 的最小值是 . 【答案】 22 10 55 【解析】 根据题意，得25,0,0.mnmn进一步可得 2 1. 55 mn 于是， 1221 22222 ()10. 555555 mmmnmn mnnmnm 当且仅当 5 1010 6 m 时，等号成立. (二)选择题 4.已知 Rba,，且直线06 byax与直线05) 3(2ybx互相平行，则ba32 的最小值是 ( ). A26 B 25 4 C 25 2 D 25 【答案】D 【解析】根
17、据题意，得 23 ,0,3. b ab ab 进一步可得 2 . 3 b a b 于是， 412 233133(3)25. 33 b abbb bb 当且仅当5b时，等号成立. 5 已知直线2axby的图像过点(1,1)M， 且图像不过第三象限， 则 21 32abab 的最小值是( ). A 5 6 B 2 C 4 5 D 4 3 【答案】C 【解析】根据题意，得2,0,0abab，则 21 1 55 ab .于是， 21111121 () () 32121255 2214 . 55(1)5(2)5 ab ababbaba ab ba 当且仅当 3 2 b 时，等号成立. 6.某种饮料分两次
18、提价，提价方案有甲乙两种，方案甲：第一次提价%p，第二次提价%q；方案乙：每 次都提价% 2 qp ，若0 qp，则提价多的方案是( ). A甲方案 B乙方案 C都可能 D无法确定 【答案】B 【解析】设饮料提价前售价为a元.根据题意，按甲方案提价后售价为(1%)(1%)pqa； 乙方案提价后售价为 2 (1%) 2 pq a . 22 1% 1% (1%)(1%)1%(). 22 pqpq pqpq 因此，乙方案提价更多. (三)解答题 7. 已 知 向 量, a b的 夹 角 为 锐 角 ， 且 满 足|3a 、|2b ， 若 对 任 意 的 ( , )( , ) | 2,0x yx yx
19、aybxy，都有| 2xy成立，求a b的最小值. 【解析】 由| 2xayb，得 22 3224xyxya b,由| 2xy，得 22 24xyxy. 于是， 22222222 4322322 1 222 xyxyxyxyxy a b xyxyxy . 由 22 22 2 1112. 22 xyxy xyxy 当2yx时，等号成立. 因此， min ()12a b . 8在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，如果对任意的实数，BABCBC恒成立， 求 cb bc 的取值范围. 【解析】 设BC边上的高为AD. BA BC 的几何意义是点A与直线BC上的任意点的联线的距
20、离， 其最 小值就是|AD. BABCBC对任意的实数恒成立，于是， 有| |BCAD.进一步得 2 11 sin 22 abcA，即 2 sin a bc A . 一方面，2 cb bc ，当bc时，等式成立. 另一方面， 222 2cos 2cossin5sin()5 cbbcabcA AAA bcbcbc . 当 2 A 时，等式成立. 所以，25 cb bc . C C 组组 (一)填空题 1. 如图所示，在ABC中，M为BC上不同于,B C的任意一点，点N满足2ANNM若 ANx ABy AC，则 3y xy 的最小值为_ 2. 【答案】 9 3 2 2 【解析】 根据题意，知 2
21、3 ANAM.于是， 2 3 AMxAByAC，且BMC、 、共线. 因此， 2 3 xy. 所以， 33 33999 ()3 2 22222 yyyx xy xyxyxy . 当 62 2 7 y 时，等号成立. 2. (2018杨浦区期中)若非零实数 a、b满足2+ 42= 1，则 2 |+2|的最大值为_. N M CB A 【答案】 2 4 【解析】解：要求 2 |+2|的最大值，可设 a， 0， 由2+ 42= 1 4， 当且仅当 = 2 = 2 2 时，上式取得等号， 即 1 4， 由 2 |+2| = 2 +2 2 22 = 2 2 2 4 ， 当且仅当 = 2 = 2 2 时，
22、 2 |+2|取得最大值 2 4 ， 故答案为： 2 4 3已知不等式 1 ()()9(0) a xyxy xy 恒成立，则正实数a的取值范围是_ 【答案】4a 【解析】一方面， 1 ()()9(0) a xyxy xy 恒成立,可知， min 1 ()()9 a xy xy . 另一方面， 1 ()()112(0,0) ayax xyaaa xya xyxy ， 当yax时， 等号成立.于是， 129aa，解得4a. (二)选择题 4如果正数abcd、 、 、满足4abcd，那么下列结论正确的是( ). A. , , ,abcda b c d 且等号成立时的取值唯一 B. , , ,abcd
23、a b c d 且等号成立时的取值唯一 C. , , ,abcda b c d 且等号成立时的取值不唯一 D. , , ,abcda b c d 且等号成立时的取值不唯一 【答案】A 【解析】 0abcd 、 、 、，4abcd， 2 () 2 ab ab ，即4ab.同理，得4cd. abcd ，当且仅当2abcd 时，等号成立，即等号成立的abcd、 、 、的取值唯一. 5的最小值为则且若cbabccbaacba2, 324)(0,( ). A. 3 1 B .31 C . 232 D.2 32 【答案】D 【解析】 由()42 3a abcbc，解得 42 3 ca ab . 于是， 4
24、2 3 2()2 32abcab ab . 当且仅当3 1ab时，等号成立. 6已知 Ryx,，满足1 yx，则求) 1 )( 1 ( y y x xz的最小值( ). A.4 B. 9 2 C.6 D. 25 4 【答案】D 【解析】根据题设条件，可得 21 2(0) 4 zxyxy xy . 又函数 2 t t 在 1 (0, 4 上单调递减， 因此， 2125 282 44 zxy xy . (三)解答题 7.解答下列问题： (1)已知,Ra b，且1ab，求证： 22 25 (2)(2) 2 ab； (2)解关于x的不等式 2 22axxax. 【解析】(1)可用代数法证明，也可以用几
25、何法证明. ,Rx y， 且1xy， 则 22 (2)(2)xy表示： 直线1xy上的点到点( 2, 2)的距离的平方. 因此， 2 22 22 22 125 (2)(2) 2 11 xy . 所以，已知,Ra b，且1ab时， 22 25 (2)(2) 2 ab成立. (2)原不等式可化为 2 (2)20axax. 若0a ，得不等式的解集为(, 1 . 若0a ，有(2)(1)0axx. 当0a 时，不等式的解集为 2 (, 1,) a ； 当2a时，不等式的解集为 2 1, a ； 当2a 时，不等式的解集为 1； 当20a 时，不等式的解集为 2 , 1 a . 8. 若xyz、 、为
26、非负实数，且满足3xyz，求代数式xxyxyz的最小值 【解析】 3xyz，且xyz、 、为非负实数， 4x . 2 2 2 2 (1) 11 3(4) 24 1 =4+(4)+(4) 4 1 =4+(4)(2)4. 4 xxyxyzxxyz yz xxxx x xx x xx 当且仅当2x 时，等号成立. min ()4xxyxyz. 新题速递新题速递 1(2020青浦区一模)设x，yR，若 1 41x y 则 x y 的最大值为 【分析】由已知条件可得 22 111 44() 81616 x xxx y ，进而得到最大值 【解答】解： 1 41x y ，x，yR， 2 4 x xx y ，
27、即 22 111 44() 81616 x xxx y ，当且仅当“ 1 ,2 8 xy”时取等号， 故答案为： 1 16 2(2020虹口区一模)设xR，则 2 1 x x 最小值为 【分析】直接利用基本不等式的应用求出结果 【解答】解：设xR，则 222 11 2 (1)12 21 11(1) xxx xxx ， 当且仅当 2 (1)2x，即2 21x 时，等号成立 故答案为：2 21 3 (2020宝山区一模)已知0ab， 那么， 当代数式 2 16 () a b ab 取最小值时， 点( , )P a b的坐标为 【分析】先根据基本不等式得到 2 2 () () 24 baba b a
28、b ；再利用一次基本不等式即可求解 【解答】解：因为0:ab 2 2 () () 24 baba b ab ； 所以 22 2 1664 2 6416 () aa b aba 厖当且仅当 4 64a bab 2 2 2 a b 时取等号， 此时( , )P a b的坐标为：(2 2，2) 故答案为：(2 2，2) 4(2020崇明区一模)已知a，bR，若直线230xy与直线(1)2axby互相垂直，则ab的最大 值等于 【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得(1)20ab，变形可得21ab，进而结合基本不等式 的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，若直线230xy与直线(1)2axby互相垂直， 则有(1)20ab，变形可得21ab， 则 2 1121 (2 )() 2228 ab abab ，当且仅当 1 2 2 ab时，等号成立； 即ab的最大值为 1 8 ， 故答案为： 1 8