1、专题专题 03 函数模型函数模型 专题点拨专题点拨 随着新高考改革，函数模型的应用题越来越多，新的课程标准中 6 大学科素养中，其中 2 个是数学 建模和创新能力，这在函数中体现的很明显。其中数学建模主要是指函数模型的解决，主要有一次函数模 型、二次函数模型、分段函数模型、指对数函数模型等。另外就是构造函数的能力。 真题赏析真题赏析 1(2017上海) 定义在上的函数的反函数为，若为奇 函数，则的解为_ 【答案】 8 9 【解析】 18 ( )31(2)1 99 x f xf ， 1( ) 2fx 的解为 8 9 x . 2(2018上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减， 则_ 【答案】
2、1 【解析】 由题可得0，则由( )f x为奇函数可得1 . 3 (2018 上海)已知常数， 函数的图像经过点， 若， 则_ 【答案】 6 【解析】 由题可得( )( )1f pf q，即 22 1 22 pq pq apaq ，解得 2 236 p q a pqpq ，则6a . (0,)( )yf x 1( ) yfx 31,0 ( ) ( ),0 x x g x f xx 1( ) 2fx 1 1 1 2, 1,1,2,3 2 3 2 ( )f xx(0,) 0a 2 ( ) 2 x x f x ax 6 ( , ) 5 P p 1 ( ,) 5 Q q 236 p q pq a 例题
3、剖析例题剖析 【例 1】已知函数 (1)求函数的值域；() (2)设的最大值为，求的表达式； (3)在条件(2)下，试求满足不等式的实数的取值范围 【解析】【解析】 (1)根据题意，得 22 ( )22 1fxx.于是，( )f x的值域为 2,2. (2)令 2 1tx，可得( )(1)2 1F tm ttm .进一步讨论，可得 1 2, 2 121 ( ), 222 2 2,. 2 mm g mmm m m (3)根据(2)，易求得 1 2 m . 【例 2】已知函数() (1) 判断函数的奇偶性，并说明理由； (2) 设，问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形，如果是， 求出的值； 如果
4、不是， 请说明理由； (3)设， 函数， 若函数与的图像有且只有一个公共点， 求实数的 取值范围 【解析】 (1)，若是偶函数，则，即， 所以对任意实数成立，所以； 若是奇函数，则，即，所以对任意 实数成立，所以. 综上，当时，是偶函数；当时，是奇函数；当时，既不是奇函数也不 是偶函数. ( )11f xxx ( )f x 2,2 2 ( )1( )F xmxf x( )g m( )g m 9 ()( ) 4 m gmm ( )22 xx f xk xR ( )f x 0k ( )f xxmm 1k 1 4 ( )22 3 xx h xaa ( )f x( )h xa xx kxf22)( )
5、(xf)()(xfxf xxxx kk 2222 0)22)(1( xx kx1k )(xf)()(xfxf xxxx kk 22220)22)(1( xx k x1k 1k)(xf1k)(xf1k)(xf (2)当时，若函数的图像是轴对称图形，且对称轴是直线， 则函数是偶函数，即对任意实数， 故，化简得， 因为上式对任意成立，所以， 所以，函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线 (3)由得，即，此方程有且只有一个 实数解令，则，问题转化为：方程有且只有一个正数根 当时，不合题意 当时，(i) 若，则或，若，则， 符合题意；若，则，不合题意 (ii) 若，则或，由题意，方程有一个正 根和一个负
6、根，即，解得 综上，实数的取值范围是 【变式训练 2】 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对 称点. (1) 若且，证明：函数必有局部对称点； (2) 若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围； (3) 若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围. 【解析】(1) 由得， 代入得，得到关于的方程()， 其中，由于且，所以恒成立， 所以函数()必有局部对称点. (2) 方程在区间上有解，于是， 设 ()， 其中 ， 所以 (3) ，由于， 0k)(xfmx )(xmfx)()(xmfxmf )()( 2222 xmxmxmxm kk 0)22)(22( mmxx k Rx0
7、22 mm kkm 2 log 2 1 )(xfkx 2 log 2 1 )()(xhxf0 3 4 22) 1( aa xx 012 3 4 2) 1( 2 xx aa x t20t01 3 4 ) 1( 2 atta 1a 4 3 t1a03a 4 3 3a 2 1 t 4 3 a2t03a 4 3 a 0 1 1 a 1a a),1 (3 ( )yf x 0 x 00 ()()fxf x 0 x( )f x , a bR0a 2 ( )f xaxbxa ( )2xf xc 1,2c 12 ( )423 xx f xmm Rm abxaxxf 2 )(abxaxxf 2 )( 0)()(x
8、fxf 0 22 abxaxabxaxx0 2 aax0a 2 4aRa0a0 abxaxxf 2 )(0a 0222 c xx 2 , 1 xx c 222 x t2 21x4 2 1 t t tc 1 2 4 171 2 t t1 8 17 c 324)( 21 mmxf xx 0)()(xfxf 所以， 于是(*)在上有解 令()，则， 所以方程(*)变为在区间内有解，需满足条件： ， 即，化简得. 【例 3】(2019宝山区一模)某温室大棚规定：一天中，从中午 12 点到第二天上午 8 点为保温时段，其余 4 小时为工人作业时段.从中午 12 点连续测量 20 小时，得出此温室大棚的温
9、度y(单位：度)与时间t(单位： 小时，0,20t)近似地满足函数13 +2 b yt t 关系，其中，b为大棚内一天中保温时段的通风量. (1)若一天中保温时段的通风量保持 100 个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到 0 0.1 C)； (2)若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于 0 17 C，求大棚一天中保温时段通风量的最小值. 【解析】(1) 100 13 +2 yt t ， 1=0,13) D， 2 13,20D ， 当 1 tD时， 100 13 2 yt t 是减函数， 当 2 tD时， 100 13 +2 yt t 是增函数， 所以， 0 min (13)6
10、.7yy， 因而，大棚一天中保温时段的最低温度是 0 6.7 C. (2)由题意1317 +2 b yt t ，所以(2) 1713btt ， 令 1 2 (2)(4+ ), ( )(2) 1713 (2)(30), tt tD g ttt tt tD ， 只需求( )g t的最大值， 当 1 tD时，( )g t递增，( )(13)=255g tg， 当 2 tD时，2=30tt，即=14t，( )(14)256 max gtg， 故，( )(14)256 max gtg， 所以，大棚一天中保温时段通风量的最小值为 256 个单位. ) 324(324 2121 mmmm xxxx 0) 3
11、(2)22(2)44( 2 mm xxxx R t xx 222t244 2 t xx 0822 22 mmtt), 2 2 2 )8(42 0)4(84 2 22 mm mm 2231 2222 m m 2231m 【变式训练 3】 (2019 静安区二模)某文化创意公司开发出一种玩具(单位： 套)进行生产和销售.根据以往经验， 每月生产 x 套玩具的成本 p 由两部分费用(单位：元)构成： .固定成本(与生产玩具套数 x 无关)，总计一百万元； .生产所需的直接总成本50 + 1 100 2 (1)问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多
12、少？ (2)假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着 x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也 需随着 x的增大而适当增加.设每套玩具的售价为 q元， = + (， ).若当产量为 15000套时利润最 大，此时每套售价为 300元，试求 a、b 的值.(利润=销售收入成本费用) 【解析】解：(1)由题意知，生产成本为 = 1000000 + 50 + 1 100 2， = 100 + 1000000 + 50 2 100 1000000 + 50 = 250， 当且仅当 100 = 1000000 时，即2= 100000000，解得 = 10000； 答：该公司生产 1万套玩具
13、时，使得每套平均所需成本费用最少， 且每套的成本费用为 250元； (2)利润 = ( + ) (1000000 + 50 + 1 100 2) = (1 1 100) 2 + ( 50) 1000000； 根据题意，有1 1 100 2 ， 若关于 x的方程()2+ () + = 0(， )有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a的取值范围是( ) A. ( 5 2， 1) B. ( 5 2， 9 4) C. ( 5 2， 9 4) ( 9 4， 1) D. ( 9 4， 1) 【答案】C 【解析】解：作出函数()的图象如图： 则()在(， 2)和(0，2)上递增，在(2，0)和(2，+ )上
14、递减， 当 = 2时，函数取得极大值(2) = 5 4； 当 = 0时，取得极小值 0 1 2 要使关于 x 的方程()2+ () + = 0，a， 有且只有 6个不同实数根， 设 = ()，则当 2() ( )yf x, a b(2 )( )fxaf xb( , )a b)(xfp (2 )( )fxaf xb( , )a b)(xf)(xfR (1)3f ( 2,0)( )f x1,2)x( )f x 23kx( )f x1,2 ) n (*)Nn ( )f x(2, 2)( )f x(2 ) n f 2 n (*)Nn (1)设函数1() = ，2() = (1 2) 1( 0)，求函数
15、 = ()的值域； (2)设函数1() = lg(| | + 1)(0 2()，此时() = 2() = (1 2) 1 (0，1)， 综上所述，函数 = ()的值域是0， 1 (2)由题意1() 2()，即lg(| | + ) lg 1 在0 1 2恒成立， | | 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 + 1在0 ，其中 0， 1() 0，2() 0，2 1， 当 0时， 1() 2() = 2 32 = 1 32 3， 当0 1，1() 2()， () = 2() = 3 2， 则由此可知， log23，() = 2 ， 0 2，0 23+ 2 3 2， 23+ 2 ， 故()在(，0
16、上单调递减，此时() 1， + ) ()在0， 23+ 2 上单调递增，此时() 1，3 2 ， ()在23+ 2 ，上单调递减，此时() 3，3 2 ， ()在，+ )上单调递增，此时() 3， + )， 关于 x 的方程() = (为实常数)恰有三个不同的解， = 3或 = 3 2 ， 当 = 3时，由() = 3得 = log23或 = log23或 = ，三个解的和为 p， 3 2 ， 当 = 3 2时，由() = 3 2，得 = 23+ 2 或 = 23+ 2 或 = 323 2 ，三个解的和为323 2 新题速递新题速递 1(2020虹口区一模)已知函数( ) |2|f xx，(
17、) |g xxt，定义函数 ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) f xf xg x F x g xf xg x ，若对任 意的xR，都有( )(2)F xFx成立，则t的取值为( ) A4 B2 C0 D2 【分析】根据条件得到( )F x关于1x 对称，结合绝对值函数的图象特点进行求解即可 【解答】解：若对任意的xR，都有( )(2)F xFx成立， 则函数( )F x关于1x 对称，作出函数( )f x的图象， 则( )f x关于2x 对称， 由( )F x的对应值则( )g x关于xt对称， 即 2 1 2 t ，得22t ， 得4t ， 即t的值为4， 故选：A 2 (20
18、20徐汇区一模)已知函数 2 41,1 ( ) 610,1 xx f x xxx 关于x的不等式( )220f xmxm的解集是 1 (x， 23 )(xx，)，若 123 0x x x ，则 123 xxx的取值范围是 【分析】 作出( )yf x的图象， 由题意可得( )(2)2f xm x， 作出直线(2)2ym x， 其恒过定点( 2,2)， 结合题意可得0m ，考虑直线经过点(0,1)和与直线14yx 平行的情况，再通过旋转即可得到m的范 围当1x时和当1x 时，分别解方程， 2 610220xxmxm，即 2 (6)8 20xm xm 的两 个实根 1 x， 2 x； 12 6xx
19、m；方程41220xmxm 的实根是 3 x；用m表示 123 xxx，根据m的 取值范围解出即可 【解答】解：画出函数( )yf x的图象， x的不等式( )220f xmxm， 即为( )(2)2f xm x， 作出直线(2)2ym x，其恒过定点( 2,2)， 由解集是 1 (x， 23 )(xx，)， 若 123 0x x x ， 可得 1 0x ， 2 0x ， 3 0x ， 当1x时， 1 x， 2 x，是方程 2 610220xxmxm的两个实根； 即 2 (6)820xm xm 的两个实根， 12 6xxm； 当1x 时， 3 x是方程41220xmxm 的实根； 3 21 4
20、 m x m ； 结合图象可得0m ， 当直线(2)2ym x经过(0,1)时，可得221m， 解得 1 2 m ； 当直线(2)2ym x与直线14yx 平行时， 4m 由直线(2)2ym x在( )yf x的上方，可得 1 4 2 m 40m， 2177 1236412 2 (4)122 712 444 m xxxmmm mmm ； 当且仅当 7 4 4 m m 时，即47m 时取等号； 故答案为：2 712，) 3(2020普陀区一模)若M、N两点分别在函数( )yf x与( )yg x的图象上，且关于直线1x 对称，则 称M、N是( )yf x与( )yg x的一对“伴点” (M、N与
21、N、M视为相同的一对)，已知 2 2(2) ( ) 4(4) (2) x x f x xx ，( ) | 1g xxa，若( )yf x与( )yg x存在两对“件点” ，则实数a的取值范 围为 【分析】求出( )f x关于直线1x 的对称图象所对应的函数解析式( )h x，画出图形，再由函数图象的平移结 合新定义求解实数a的取值范围 【解答】解：设曲线( )yf x关于1x 的对称图象上的点为( , )x y，( , )x y关于1x 的对称点为( ,)x y， 则2xx ，yy ，代入 2 2(2) ( ) 4(4) (2) x x f x xx ，得 2 (0) ( ) 4(2) (0)
22、 x x h x xx 作出函数 2 (0) ( ) 4(2) (0) x x h x xx 的图象如图， 函数( ) | 1g xxa的图象是把| 1yx向左(0)a 或向右(0)a 平移|a个单位得到的 由图可知，要使( )yf x与( )yg x存在两对“伴点” ，需要把( ) | 1g xxa向左平移 则0a ，设直线()1yxa，即10xya ， 由圆心( 2,0)到直线的距离为 2，得 | 21| 2 2 a ，解得32 2a 或32 2a (舍)； 设直线()1yxa，即10xya ， 由圆心( 2,0)到直线的距离为 2，得 | 21| 2 2 a ，解得12 2a 或12 2
23、a (舍) 要使( )yf x与( )yg x存在两对“伴点” ，则实数a的取值范围为(32 2，12 2) 故答案为：(32 2，12 2) 4(2020奉贤区一模)根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20 毫克/100毫升的行为属 于饮酒驾车假设饮酒后，血液中的酒精含量为 0 p毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克 /100毫升，且满足关系式 0 ( rx pp er为常数)若某人饮酒后血液中的酒精含量为 89 毫克/100毫升，2 小时后，测得其血液中酒精含量降为 61 毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车(精确 到小时) 【分析】先求出 6
24、1 89 r e ，再利用8920 xr e ，即可得出结论 【解答】解：由题意， 2 6189 r e， 61 89 r e， 8920 xr e ，8x ， 故答案为 8 5(2020奉贤区一模)某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每 1 枚的市场价 y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表： 上市时间x天 4 10 36 市场价y元 90 51 90 (1)根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并 说明理由：yaxb； 2 yaxbxc；logbyax； x yk a； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市
25、场价最低时的上市天数及最低的价格 【分析】(1)由表格中的数据可知所选函数为非单调函数，即 2 yaxbxc； (2)把三组数据代入所选函数解析式，得到关于a，b，c的方程组，求解a，b，c的值，再由配方法求最 值 【解答】解：(1)随着时间x的增加，y的值先减后增， 而所给的四个函数中yaxb、logbyax及 x yk a显然都是单调函数，不满足题意， 选取函数 2 yaxbxc； (2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入方程， 得 16490 1001051 12963690 abc abc abc ，解得 1 4 10 126 a b c 22 11 10126(20
26、)26 44 yxxx 当20x 时，y有最小值，26 min y 故该纪念章市场价最低时的上市天数为 20 天，最低价格为 26 元 6(2020浦东新区一模)某贫困村共有农户 100 户，均从事水果种植，平均每户年收入为 1.8 万元，在当地 政府大力扶持和引导下，村委会决定 2020 年初抽出5x户 * (xN，9)x从事水果销售工作，经测算，剩下 从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4 %x，而从事水果销售的农户平均每户年收入为 1 (3) 5 x万元 (1)为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于 2.4 万元，那么 2020 年初至少应抽出多少农户 从事水果销售
27、工作？ (2)若一年后，该村平均每户的年收入为( )f x(万元)，问( )f x的最大值是否可以达到 2.1 万元？ 【分析】(1)根据增长率问题可列出 3 1.8(1)2.4 25 x ，进而求得x的最小值即可； (2)根据题意可知 5 (3)1.8(1005 )(1) 525 ( ) 100 xx xx f x ，化成二次函数形式，根据对称轴可求出最大值 【解答】解：(1)根据题意，经过三年，种植户的平均收入为 3 1.8(14 %)x， 即 3 1.8(1)2.4 25 x ，解得 4 13&2.5161 253 x x所以厖， 又因为xZ，所以3x，即至少抽出 15 户贫困农户从事水
28、果销售工作； (2) 2* 5 (3)1.8(1005 )(1) 13466 525 ( )(180)(,9) 100100255 xx xx f xxxxNx ， 对称轴 * 165 34 xN，因而当5x 时，( )2.122.1 max f x，可以达到 2.1 万元 7 (2020青浦区一模)某企业生产的产品具有 60 个月的时效性， 在时效期内， 企业投入 50 万元经销该产品， 为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销 这个产品的第n个月的利润是 10,110(*) ( ) ,1160(*) nnN f n nnnN 剟 剟 (
29、单位：万元)记第n个月的当月利润率为 n g n n 第 个月的利润 截止到第 个月投入的资金总和 ，例g(3) (3) 50( (1)(2) 10% f ff (1)求第n个月的当月利润率； (2)求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率 【分析】(1)当1n 时，g(1) 1 5 ，当110n ， * nN时，则 10 ( ) 49 g n n ，进而求解； (2)当110n剟， * nN， 10 ( ) 49 g n n 是减函数，此时( )g n的最大值为g(1) 1 5 ， 当1160n剟， * nN时， 2 202020 ( ) 1090 1090
30、2 10901 1 n g n nn n n ，进而求解 【解答】解：(1)依题意得f(1)f(2)f(3)f(9)(10)10f， 当1n 时，g(1) 101 505 ，当110n ， * nN时，f(1)f(2)(1)10f n， 则 ( )10 ( ) 1 49 50( (1)(2)(1) 10 f n g n n fff n ， 1n 也符合上式，故当110n剟， * nN， 10 ( ) 49 g n n ，当1160n剟， * nN时， 2 ( )20 ( ) 1(11)(10) 50(1)(2)(10)(11)(1)1090 50(100(11)(1)60 1020 f nnn
31、n g n nn fffff nnn ff n ， 所以第n个月的当月利润率为 2 10 ,110 49 ( ) 20 ,1160 1090 n n g n n nn 剟 剟 ； (2)当110n剟， * nN， 10 ( ) 49 g n n 是减函数，此时( )g n的最大值为g(1) 1 5 ，当1160n剟， * nN时， 2 202020 ( ) 1090 10902 10901 1 n g n nn n n ， ( )g n在1133n剟， * nN单调递增，( )g n在3460n剟， * nN单调递减， 当且仅当 1090 n n ，即1090n 时，( )g n有最大值，又
32、* nN， 2 2033330 (33) 333310901073 g ， 2 2034170 (34) 34341090553 g ， 因为 3301701 10735535 ，所以当33n 时，( )g n有最大值 330 1073 ， 即该企业经销此产品期间，第 33 个月利润最大，其当月利润率为 330 1073 8(2020虹口区一模)某企业接到生产 3000 台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这 3 种 部件的数量分别为 2、2、1(单位：件)，已知每个工人可生产甲部件 6 件，或乙部件 3 件，或丙部件 2 件， 该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这 3
33、 种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比 例，比例系数为(2k k为正整数) (1)设生产甲部件的人数为x，分别写出完成甲、乙、丙 3 种部件生产需要的时间； (2)假设这 3 种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时 具体的人数分组方案 【分析】(1)直接利用题意和函数的关系式的应用，建立等量关系，进一步求出结果 (2)利用分类讨论思想的应用和函数的关系式的比较求出完成订单任务的时间最短，并求出时间最短时具体 的人数分组方案 【解答】解：(1)依题意：生产乙部件的人数为kx，生产丙部件的人数为(200)xkx，甲部件的数量为 3000260
34、00 所以生产时间为 600001000 6xx ，同理生产乙部件的数量为300026000，生产时间为 60002000 3kxkx ， 丙部件数量为3000 13000 ，生产时间为 30001500 2(200)200xkxxkx (2)依题意，在(1)的基础上同时开工，求最短时间， 由于2k，所以比较甲、乙的时间得：1000 2000 xkx (甲部件的生产时间长)， 所以完成订单任务时间由甲和丙部件中较长的决定 当1000 1500 200xxkx 时，得到 400 25 x k ， 此时，完成订单时间为1000 x ，当 400 25 x k 时，取最小值 当 10001500 2
35、00xxkx ，得到 400 25 x k 此时，完成订单时间为 1500 200xkx ，当 400 25 x k 时，取最小值 当2k 时， 400 9 x，当45x 时，此时的订单时间为 1500300 23.08 200459013 由于22073230.8，所以中计算结果耗时最短 综上所述，当2k 时，44x 时完成订单时间最短 此时，生产甲、乙、丙部件的人数为 44，88，68 人 9(2020崇明区一模)某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求 60120)x剟时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 14500 (100) 5 x x 升 (1)欲
36、使每小时的油耗不超过 9 升，求x的取值范围； (2)求该汽车行驶 100 公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值 【分析】(1)令 14500 (100) 9 5 x x ，求出解集，结合题意得出x的取值范围； (2)写出y关于x的函数，求出函数的最小值即可 【解答】解：(1)由题意，令 14500 (100) 9 5 x x ， 化简得 2 1454500 0xx，解得45100x剟； 又因为60120x剟， 所以欲使每小时的油耗不超过 9 升，x的取值范围是60，100； (2)设该汽车行驶 100 公里的油耗为y； 则 2 100 145001180 (100)90000
37、() 5909 yx xxx ，(其中60120)x剟； 由60120x剟，知 11 120 x ， 1 60 ， 所以90x 时，汽车行驶 100 公里的油耗取得最小值为 80 9 升 10(2020松江区一模)汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前 方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距 离时就自动刹车，某种算法(如图所示)将报警时间划分为 4 段，分别为准备时间 0 t、人的反应时间 1 t、系统 反应时间 2 t、制动时间 3 t，相应的距离分别为 0 d、 1 d、 2 d、 3 d，当车速为
38、v(米/秒)，且0v，33，3时， 通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑成都等路面情况而变化，0.5k，0.9) 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 0 t 1 0.8t 秒 2 0.2t 秒 3 t 距离 0 20d 米 1 d 2 d 2 3 1 20 dv k 米 (1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式( )d v，并求0.9k 时，若汽车达到报警距离时 人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到 0.1 秒)； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于 80 米，则汽车
39、的行驶速度应限制在多少米/秒 以下？合多少千米/小时？ 【分析】(1)根据题意， 0123 ddddd，根据表中数据分别代入计算即可，将0.9k 代入，结合基本不 等式即可得到所求； (2)将0.5k 代入( )d v，令( )80d v ，得到v值，换算成千米/小时即可 【解答】解：(1)根据题意， 22 0123 200.80.220 2020 vv dddddvvv kk ， 当0.9k 时， 2 202020 200.9 11 213.1 1818 v dvv t vvvvv 秒， 当且仅当 2 360v ，即6 1019/vm s时等号成立； (2)依题意，若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于 80 米， 则路况最糟糕时也需满足，即0.5k 时， 2 2080 20 0.5 v dv ， 即 2 106000vv， 解得020v米/秒，合 72 千米/小时