1、专题专题 08 数学归纳法与极限数学归纳法与极限 专题点拨专题点拨 1数学归纳法证明问题有两个步骤：先证当 n 取第一个值 n0时命题成立，然后假设当 nk(kN*，kn0) 时命题成立，并利用假设证明当 nk1 时命题也成立，这两步缺一不可，要完整地书写 用数学归纳法证明的问题有：可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，整除性和平面几 何问题等 2数列的极限的四则运算，特别是掌握只有在数列an和bn的极限存在的条件下，才有四则运算，且数 列运算性质是针对有限项数列运算的性质，不能推广至无限项 数列的三个基本极限：limncc，lim 1 n0，limnq n0(|q|1)，它们是极限
2、运算的基础，但是 要区别，如果 q 是收敛的等比数列的公比时，0|q|1. 计算数列极限的类型也有两种：一是根式型；二是分式型，它们都有自己的运算特点 无穷等比数列各项和的公式 S a1 1q，可用于化循环小数为分数和解相应的应用题，这时关键是找出等 比数列的首项和公比，然后代入公式计算 真题赏析真题赏析 1(2016 上海)已知无穷等比数列的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且 SnS.下列条件中，使得 2Sn0, 0.61 2不恒成 立，舍去；当 a15. 例题剖析例题剖析 【例 1】已知数列 n a满足： * 21 1007(1)2018(1)() nnn nanana nN ，且 1
3、1a ， 2 2a ，若 1 lim n n n a A a ，则A 【答案】1009 【解析】 21 1007(1)2018(1) nnn nanana ， 1 1a ， 2 2a ， 0 n a，1n 时， 2 11 2018(1) 1007 (1)(1) nn nn nana nana ， 1 lim0 n n n a A a ，对于上式两边取极限可得： 2018 1007A A ， 化为：(1009)(2)0AA，解得1009A 故答案为： 1009 【例 2】在无穷等比数列 n a中， 12 1 lim() 2 n n aaa ，则 1 a的取值范围是 【答案】 11 (0, )(
4、,1) 22 【解析】 因为无穷等比数列 n a中， 12 1 lim() 2 n n aaa ，所以| 1q ， 1 1 12 a q ，所以 1 1 (1) 2 aq，11q 且0q 1 01a 且 1 1 2 a 故答案为： 11 (0, )( ,1) 22 【例 3】观察下列式子： 1 1 22 3 2， 1 1 22 1 32 5 3， 1 1 22 1 32 1 42 7 4， 根据上述规律，第 n 个不等式应该为_ 【答案】 1 1 22 1 （n1）2 2n1 n1 . 【解析】根据上面例子的观察比较后得到 1 1 22 1 （n1）20. 对于 k 从 51 到 100 的情
5、况同上可知 Sk都是正数. 综上,可选 D. 三、解答题三、解答题 8.是否存在常数，使等式对一切正整数 成立？证明你的结论. 25 sin 1n n an nn aaaS 2110021 ,SSS 25 k k 25 )50sin(sinkk sin 1 1 k S2sin 2 1 23sin 23 1 24sin 24 1 26sin 26 1 27sin 27 1 k ksin 1 sin 1 1 2sin 2 1 24sin)( 26 1 24 1 23sin)( 27 1 23 1 )50sin()( 1 50 1 k kk kk 500 0 1 50 1 kk 24)50(0k0)
6、50sin(k x y 2 12 13 24 23 26 27 49 48 38 37 【解析】 假设存在常数, ,a b c，使此等式成立. 那么 当1n 时，得0abc ；当2n时，得3 164abc；当1n 时，得18819abc 解方程组 0 1643 81918 abc abc abc ，得 1 4 1 4 0 a b c 猜想： 22222242 11 1 (1 )2 (2 )() 44 nnn nnnn 证明：(1)当1n 时，左边0，右边 11 0 44 ，等式成立 (2)假设nk命题成立即 22222242 11 1 (1 )2 (2 )() 44 kkk kkkk 当1nk
7、时，左边 222222 1 (1)1 2 (1)2 (1)(1)(1) kkkkk 22222222 1 (21 1 )2 (21 2 )21(1)21 (1) kkkkkkkkkkkk 222222 1 (1 )2 (2 )() 1 (21)2 (21)(21)kkkkkkkkk 42 11(1)(21) 442 k kk kk 432 151 442 kkkk 而 424322 1111 (1)(1)(4641)(21) 4444 kkkkkkkk 432 151 442 kkkk 左边=右边即1nk时，等式成立. 由(1)(2)知，对n * N等式 22222242 11 1 (1 )2
8、 (2 )() 44 nnn nnnn 都成立. 故存在常数 11 ,0 44 abc ， 使等式 22222242 1 (1 )2 (2 )()nnn nnanbnc 对一切 正整数n成立. 9.若和分别表示数列和前n项的和， 对任意正整数， (1)求数列的通项公式； (2)设有抛物线列，抛物线()的对称轴平行于y轴，顶点为，且通 过点，求点且与抛物线相切的直线斜率为，求极限 【解析】(1) 1 5 2 a ， 1 232(1)3 1 22 nn nn aa 数列 n a是以 5 2 为首项，1为公差的等差数列 523 () (4) 22 22 n n n n n A 由41213 nn B
9、An， 得 2 1312611 44 n n nAnn B 1nnn bBB 125 4 n (2)设抛物线 n C的方程为 2 23125 () 24 nn ya x ，又过点 2 (0,1) n Dn 22 (23)1yxnxn， 直线l： 2 1 n yk xn，联立 2 23125 () 24 nn ya x ，得23 n kn 2 12 41 limlim 35 3 ()( 3) 24 n nn nn kkknn a b nn (3)对任意n * N，223 n an ，41252(61)3 n bnnX YX，故可得XYY 1 C是XY中最大的数， 1 17C 设等差数列 n C的
10、公差为d，则 10 179Cd 26517 9125d得 5 2712 9 d ， 而4 n b是一个以12为公差的等差数列， 12dm(m * N)，24d ，724 n Cn(n * N) 10.(2019 浦东新区三模)已知数列*+满足+1= 2 + 2, ,且0 1 1 (1)求证：0 1； (2)令= lg(1 ),且1= 9 10,试求无穷数列* 1 +的所有项和； (3)求证： ,当 2时,2(1 3 + 2 3 + 3 3 + + 3) (122 + 2 23 + + 1 2 + 21) 【解析】解：(1)当 = 1时,0 1 1成立； 假设当 = 时,0 1, 当 = + 1
11、时,+1= 1 (1 )2,由0 1,可得0 +1 1, 即 = + 1时,不等式成立 综上可得对 时,0 0,可得1 0, 3 1 0, 可得1 3 + 3 1 2 1, 由 3 + 1 3 21 1 = 1(1 )(1+ ) + 3 1 0, 可得 3 + 1 3 21 1, 则1 3 + 2 3 1 22 1,2 3 + 3 3 2 23 1,1 3 + 3 1 2 1, 3 + 1 3 21 1, 上面各式相加可得 ,当 2时,2(1 3 + 2 3 + 3 3 + + 3) (122 + 2 23 + + 1 2 + 21) 新题速递新题速递 1(2020闵行区一模)计算： 2 3
12、lim 13(21) n n n 【分析】由等差数列的前n项和求得1 3(21)n ，得到 22 2 33 3 13(21) nn nn ，再由常数的极限 是本身得答案 【解答】解： 2 1(21) 13(21) 2 nn nn ， 22 2 33 3 13(21) nn nn ， 2 3 limlim33 13(21) nn n n 故答案为：3 2(2020奉贤区一模)计算： 32 lim 21 n n n 【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可 【解答】解： 2 3 323 limlim 1 212 2 nn n n n n 故答案为： 3 2 3(2020浦东新区一模) 2
13、2 2 lim 31 n n n 【分析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可 【解答】解： 2 2 2 222 limlim 1 313 3 nn n n n 故答案为： 2 3 4(2020静安区一模)计算lim(10.9 ) n n 【分析】直接利用数列的极限的运算法则，求解即可 【解答】解：lim(10.9 )1lim0 9101 nn nn 故答案为：1 5(2020普陀区一模) 1 32 lim 31 nn n n 【分析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可 【解答】解： 1 2 3( ) 3230 3 limlim3 1 3110 1( ) 3 n nn n nn n 故答案为
14、：3 6(2020青浦区一模)已知数列 n a中， 1 1a ， 1 1 1 (*) 2 nn n aanN ，则lim n n a 【分析】利用累加法求解数列的通项公式，然后求解数列的极限即可 【解答】解：数列 n a中， 1 1a ， 1 1 1 (*) 2 nn n aanN ， 可得 21 3 1 2 aa， 32 4 1 2 aa， 43 5 1 2 aa， 1 1 1 2 nn n aa ， 累加可得： 3451 1111 1 2222 n n a ， 则 3 1 5 2 lim1 1 4 1 2 n n a 故答案为： 5 4 7(2020杨浦区一模)已知数列 n a的通项公式为
15、 * 1 (2) () 1 ( )(3) 2 n n nn anN n ， n S是数列 n a的前n项和， 则lim n n S 【分析】由题意可得数列 n a自第三项起是以 1 4 为首项，以 1 2 为公比的等比数列，再由无穷递缩等比数列 的极限求解 【解答】解：由 * 1 (2) () 1 ( )(3) 2 n n nn anN n ， 知数列 n a自第三项起是以 1 4 为首项，以 1 2 为公比的等比数列， 则 1231234 limlim()lim() nnn nnn Saaaaaaaaa 1 7 4 12 1 2 1 2 故答案为： 7 2 8(2020松江区一模)在无穷等比数列 n a中，若 12 1 lim() 3 n n aaa ，则 1 a的取值范围是 【分析】利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出 1 a的取值范围 【解答】解：在无穷等比数列 n a中， 12 1 lim() 3 n n aaa ， 可知| 1q ，10q 或01q则 1 1 13 a q ， 1 1 (1)(0 3 aq， 11 )( 33 ， 2) 3 故答案为：(0， 11 )( 33 ， 2) 3