ImageVerifierCode 换一换
格式:DOCX , 页数:18 ,大小:986.57KB ,
资源ID:139998      下载积分:20 金币
快捷下载
登录下载
邮箱/手机:
温馨提示:
快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。 如填写123,账号就是123,密码也是123。
特别说明:
请自助下载,系统不会自动发送文件的哦; 如果您已付费,想二次下载,请登录后访问:我的下载记录
支付方式: 支付宝    微信支付   
验证码:   换一换

加入VIP,更优惠
 

温馨提示:由于个人手机设置不同,如果发现不能下载,请复制以下地址【https://www.77wenku.com/d-139998.html】到电脑端继续下载(重复下载不扣费)。

已注册用户请登录:
账号:
密码:
验证码:   换一换
  忘记密码?
三方登录: 微信登录   QQ登录   微博登录 

下载须知

1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。
2: 试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
3: 文件的所有权益归上传用户所有。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 本站仅提供交流平台,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

版权提示 | 免责声明

本文(2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题09 向量的性质及其应用(解析版))为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题09 向量的性质及其应用(解析版)

1、专题专题 09 向量的性质及其应用向量的性质及其应用 专题点拨专题点拨 1 能灵活运用两个重要结论解决问题: (1)2ABACAD(D 是 BC 中点). (2)已知点O A B、 、不共线,且(R)OCm OAn OB mn、,则点A BC、 、共线的充要条件 是1mn. 2运用建立坐标系的方法解决向量问题时,遵循向量的坐标易于表示的原则. 3会用向量点乘向量等式(作数量积、两边平方、向量投影的几何意义)方法解决问题. 4能熟练地运用向量运算的几何意义作图求解. 真题赏析真题赏析 1.(2019 杨浦区二模)若 的内角 A、B、C,其中 G为 的重心,且 = 0,则 cosC 的最小值为 _

2、 【答案】4 5 【解析】解:因为 G为 的重心,所以 = 2 3 1 2( + ) = 1 3(2 ); = 1 3( + ) = 1 3(2 ), 因为 = 0,所以 = 0, 即1 9(2 ) (2 ) = 0,整理得5 2 2 2 2= 0, 所以5| | | | = 2(| |2+ | |2) 4| | | |, 所以 4 5, 故答案为4 5 2.(2019 浦东新区二模)已知正方形 ABCD边长为 8, = , = 3 ,若在正方形边上恰有 6个不同的点 P,使 = ,则的取值范围为_ 【答案】(1,8) 【解析】解:以 AB所在直线为 x 轴,以 AD所在直线为 y轴建立平面直

3、角坐标系如图:如图,则(0,2),(8,4) (1)若 P 在 AB 上,设(,0),0 8 = (,2), = (8 ,4) = 2 8 + 8, 0,8, 8 8, 当 = 8时有一解,当8 8时有两解; (2)若 P 在 AD 上,设(0,),0 8, = (0,2 ), = (8,4 ) = (2 )(4 ) = 2 6 + 8 0 8, 1 24 当 = 1或8 24时有唯一解;当1 8时有两解 (3)若 P 在 DC上,设(,8),0 8 = (,6), = (8 ,4), = 2 8 + 24, 0 8, 8 24, 当 = 8时有一解,当8 24时有两解 (4)若 P 在 BC

4、 上,设(8,),0 8, = (8,2 ), = (0,4 ), = (2 ) (4 ) = 2 6 + 8 0 8, 1 24, 当 = 1或8 24时有一解,当1 8时有两解 综上,在正方形 ABCD的四条边上有且只有 6个不同的点 P,使得 = 成立,那么的取值范围是(1,8) 故答案为:(1,8) 例题剖析例题剖析 【例 1】在边长为 1 的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为 1 a, 2 a, 3 a, 4 a, 5 a, 若 i a与 j a的夹角记为 ij , 其中i,1j, 2, 3, 4,5, 且ij, 则|c o s ii j a的最大值为

5、【答案】3 【解析】由向量的投影的几何意义有: |cos iij a的几何意义为向量 i a在向量 j a方向上的投影,由图可知:AD在向量AE方向上的投影最大,且 为3, 故答案为:3 【变式训练 1】若正方形 ABCD 的边长为 1,点 P 是对角线 AC 上的一个动点,则的取值范围 是 _ 【答案】 1 2() 4 APPBPD 【解析】以点 A 与坐标原点 O 重合,AB 在x轴正半轴上建立直角坐标系,则得(0,0)(1,0)(0,1)ABD、.可 设( , )(01)P x xx,于是, 2 ()24APPBPDxx. 由 2 24(01)yxxx的图像可得, 1 2 4 y . 因

6、此, 1 2() 4 APPBPD . 【例 2】已知平面向量a、b满足条件:0a b ,| cosa,| sinb,(0,) 2 ,若向量 ( ,)cabR 且 2222 1 (21) cos(21) sin 9 ,则|c的最小值为 【答案】 1 3 【解析】由题意可设(cos ,0)a,(0,sin )b,( , )cx y,且设OCc ( cos ,sin )cab , cos sin x y ,(0,) 2 , 2222 1 (21) cos(21) sin 9 , 则 22 1 (2cos)(2sin) 9 xy, 即 22 111 (cos)(sin) 2236 xy, C 在以

7、11 ( cos ,sin) 22 D为圆心,以 1 6 为半径的圆上,(0,) 2 , 1111 | 6263 mn OCOD, 故答案为: 1 3 【变式训练 2】已知向量(cos ,sin)a,(cos ,sin )b,且 3 ,若向量c满足| 1cab, 则|c的最大值为 【答案】31 【解析】(coscos ,sinsin )ab, 222 ()(coscos )(sinsin )ab 22cos() 3, 令ODab, 则|3OD , D点轨迹为以原点为原心,半径为3的圆, 令OCc, 则| | 1OCODDC, C点轨迹是以原点为原心, 半径为31, 31的两个圆及其之间的部分,

8、 |OC最大值为31, 即|c最大值为31 故答案为:31 【 例3 】 已 知 圆 心 为O、 半 径 为10的 圆 上 有 三 点A、B、C, 6,10,2105ABACAOxAByACxy ,则cosBAC 【答案】 1 3 【解析】欲得到cos BAC,可用AC与已知等式作数量积,即AC AOxAC AByAC AC,结合投 影的几何意义,有 |cos|AOOADAD(过 O 作ODAC,则 D 是 AC 中点) 将数值代入化简,得5060 cos100xBACy.将y用x表示,可得cosBAC 1 3 . 【变式训练 3】 已知圆心为O、半径为1的圆上有三点A、B、C若0857OCO

9、BOA,则BC _ 【答案】3 【解析】方法一 758058=7OAOBOCOBOCOA 两边平方,得 1 cos 2 BOC . 因此,|3BC . 方法二 分析 设cos1,cos2,cos3xyz . 分别用OAOB OC、 、与0857OCOBOA作数量积,可得 7580, 1 75 80,|3 2 7580. xz xyyBC zy 巩固训练巩固训练 一、填空题 1. 已知点( 2,0)A ,设B、C是圆 22 :1O xy上的两个不同的动点,且向量(1)OBtOAt OC(其中t为 实数),则AB AC 【答案】3 【解析】由向量(1)OBtOAt OC(其中t为实数), 可得:A

10、,B,C三点共线, 且AB,AC同向, 设圆O与x轴正半轴交于点E, 由圆的割线定理可得,| |ABACAOAE, |cos0 | | 1 33AB ACABACABACAOAE 故答案为:3 2.如图,已知半圆O的直径4AB ,OAC是等边三角形,若点P是边AC(包含端点)AC上的动点,点Q 在弧BC上,且满足OQOP,则OP BQ的最小值为 【答案】2 【解析】OQOP, 0OP OQ , 半圆O的直径4AB ,OAC是等边三角形,且边长为 2, 由题意可得,()OP BQOP BOOQOP BOOP OQOP BOOP OA, 由数量积的几何意义可知,当P与C重合时,OP在OA上的投影最

11、短, 此时 1 ()222 2 min OP OA 故答案为:2 3.已知圆 22 :(1)1M xy, 圆 22 :(1)1N xy 直线 1 l、2l分别过圆心M、N, 且 1 1与圆M相交于A, B两点,21与圆N相交于C,D两点, 点P是椭圆 22 1 94 xy 上任意一点, 则PA PBPC PD的最小值为 【答案】3 【解析】由题意可得,(0,1)M,(0, 1)N,1 MN rr, 22 () ()()1PA PBPMMAPMMBPMPM MAMBMA MBPM, 22 () ()()1PC PDPNNCPNNDPNPN NCNDNC NDPN, P为椭圆 22 1 94 xy

12、 上的点, 2 22 22 10 22()8 9 x PA PBPC PDPMPNxy 由题意可知,33x 剟, 2 10 88 18 9 x 剟, 故答案为:8 4. 已知平面向量a、b、c满足| 1a ,| | 2bc,且0b c ,则当01剟时,|(1) |abc的取值 范围是 【答案】 21,3 【解析】设(1)nbc,则|(1) | |abcan, |naanna剟,| 1| 1nann剟, 222222 |(1) |(1) |2 (1)nbcbcb c 2222 1 44(1)8848()2 2 又01剟, 2 2 |4n 剟,2|2n剟, 21 |3an剟,即21 |(1) |3

13、abc剟 故答案为: 21,3 5.已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点,若| |ABAC,则AB AC的最小值是 【答案】 1 2 【解析】如图所示,取(1,0)OA,不妨设(cos ,sin )B,(0, ) | |ABAC,(cos , sin )C (cos1AB AC,sin ) (cos1,sin ) 22 (cos1)sin 2 11 2(cos) 22 , 当且仅当 1 cos 2 ,即 3 时,上式取得最小值 1 2 即AB AC的最小值是 1 2 故答案为: 1 2 6.已知ABC中,5BC ,6CA ,4AB ,P是ABC内一点,使得530PAPBPC,设PD垂直BC

14、 于D,PE垂直CA于E,则PD PE 【答案】 175 96 【解析】以C为坐标原点,以CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图, 在ABC中,由5BC ,6CA ,4AB ,得 2536163 cos 2564 BCA , 2 37 sin1( ) 44 BCA, (0,0)C,(5,0)B, 9 ( 2 A, 3 7 ) 2 , 设( , )P m n,则 4515 7 5(5 ,5 ) 22 PAmn,3(153 , 3 )PBmn,(,)PCmn , 由530PAPBPC,得 45 51530 2 15 7 530 2 mmm nnn , 即 25 5 7 (,) 66 P 设 9

15、3 7 (,) 22 CECA,则 925 3 75 7 (,) 2626 PECECP, 由 925 3 75 79 3 7 (,) ( ,)0 262622 PE CA,得 55 72 35 ( 48 PE , 5 7 ) 16 ,而 5 7 (0,) 6 PD , 35 ( 48 PD PE , 5 7 ) (0 16 , 5 75 75 7175175 ) 616696576 故答案为: 175 96 二、选择题二、选择题 7设, a b表示平面向量,|a,|b都是小于 9 的正整数,且满足(|)(| 3|)105abab, ()(3 )33ab ab,则a和b的夹角大小为( ) A

16、6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】C 【解析】由(|)(| 3|)105abab,得: 22 |4| | 3|105aabb, 由1053 57 ,又因为|a,|b都是小于 9 的正整数, 则| 3a ,| 4b , 又() (3 )33abab, 所以 22 |43|33aa bb, 所以6a b , 61 cos 342 又0, 所以 2 3 , 故选:C 8在平面直角坐标系中,已知向量(1,2)a ,O是坐标原点,M是曲线| 2| 2xy上的动点,则a OM的 取值范围( ) A 2,2 B5, 5 C 2 5 2 5 , 55 D 2 5 , 5 5 【答案】A 【解析】去绝

17、对值整理后知,曲线为菱形BCDE, 易知CDAN,BEAN, 故当点M在曲线上运动时, OM在a上的射影必在FN上, 且当M在CD上时得到最大值,在BE上时得到最小值, 最大值为 2 |52 5 a OF , 最小值为2, 故选:A 9已知点(1, 2)A,(2,0)B,P为曲线 2 3 3 4 yx上任意一点,则AP AB的取值范围为( ) A1,7 B 1,7 C1,32 3 D 1,32 3 【答案】A 【解析】设( , )P x y则由 2 3 3 4 x y 可得 22 1(0) 43 xy y, 令2cos3sinxy,(0, (1,2)APxy,(1,2)AB , 124232c

18、os2 3sin34sin()3 6 AP ABxyxy , 0 剟, 7 666 剟, 1 sin() 1 26 剟, 1 4sin()3 7 6 剟, 故选:A 三、解答题三、解答题 10.已知点P是ABC的中线EF上任意一点,且EFBC,实数xy、满足: 0PAxPByPC.记 ABC SS , 1PAC SS , 2PAB SS , 1 1 S S , 2 2 S S , 若乘积 12 取最大值时,求此时2xy的值. 【解析】设2BCa,PEt,则(0)PFatta 结合图形,可算得 1 1 2 Sat Sa , 2 2 2 St Sa 于是, 22 12 22 1111 ()() 4

19、164216 a attt aa 当 2 a t 时,等号成立因此,乘积 12 取最大值时,点 P 是 EF 的中点 所以,PBPCPA代入0PAxPByPC,得 (1)(1)0xPByPC又PB PC 、不平行, 所以, 1, 1. x y 所求23xy 11.已知O为坐标原点,向量(3cos ,3sin )OAxx,(3cos ,sin )OBxx,( 3OC ,0),(0,) 2 x (1)求证:()OAOBOC; (2)若ABC是等腰三角形,求x的值 【解析】(1)(0,2sin )OAOBx, ()032sin00OAOB OCx, ()OAOBOC (2)若ABC是等腰三角形,则A

20、BBC, 222 (2sin )(3cos3)sinxxx,整理得: 2 2cos3cos0xx, 解得cos0x ,或 3 cos 2 x , (0,) 2 x , 3 cos 2 x, 6 x 12.如图,在xoy平面上,点(1,0)A,点B在单位圆上,(0)AOB (1)若点 3 ( 5 B , 4) 5 ,求tan() 24 的值; (2)若OAOBOC,四边形OACB的面积用S表示,求SOA OC 的取值范围 【解析】(1) 3 4 (, ) 5 5 B ,AOB, 3 cos 5 , 4 sin 5 4 sin 5 tan2 3 21cos 1 5 1tan 12 2 tan()3

21、 2412 1tan 2 (2)|sinsinSOA OB , (1,0)OA,(cos ,sin )OB, (1cos ,sin )OCOAOB, 1cosOA OC , sincos12sin()1(0) 4 SOA OC , 5 444 , 2 sin() 1 24 , 021SOA OC 新题速递新题速递 1(2020徐汇区一模)设H是ABC的垂心,且3450HAHBHC,则cosBHC的值为( ) A 30 10 B 5 5 C 6 6 D 70 14 【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得|2HBx, 7 | 5 x HC ,由向量的夹角公式即可求解 【解答】解:由三角形垂心性质

22、可得,HA HBHB HCHC HA,不妨设HA HBHB HCHC HAx, 3450HAHBHC, 2 3450HA HBHBHC HB, |2HBx,同理可求得 7 | 5 x HC , 70 cos 14| HB HC BHC HB HC 故选:D 2(2020闵行区一模)在ABC中,已知ABa,BCb,G为ABC的重心,用向量a、b表示向量 AG 【分析】利用三角形的重心的性质即可用向量a、b表示向量AG 【解答】解:设BC边的中点为D, G为ABC的重心, 22112121 ()() 33233333 AGADABACABABACABACab, 故答案为: 21 33 ab 3(2

23、020松江区一模)已知向量(1,2)a ,( , 3)bm,若向量(2 )/ /abb,则实数m 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理,列方程求出m的值 【解答】解:向量(1,2)a ,( , 3)bm, 则2(1 2 ,8)abm, 又(2 )/ /abb, 则3(12 )80mm, 解得 3 2 m 故答案为: 3 2 4(2020普陀区一模)设P是边长为2 2的正六边形 123456 A A A A A A的边上的任意一点,长度为 4 的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦,则PM PN的取值范围为 【分析】关键把PM PN转化为含定值的形式,取MN的中点,再由Q的轨迹,可求得PQ

24、的最大值与最小 值,进而可求得取值范围 【解答】解:设正六边形外接圆的圆心为O,正六边形 123456 A A A A A A的边长为2 2,所以半径为2 2, 设MN的中点为Q,则 2 () ()()PM PNPQQMPQQNPQPQ QMQNQM QN, 因为QM与QN为相反向量,所以()0PQ QMQN,4QM QN , 所以 2 4PM PNPQ,因为| 2OQ ,所以Q在以O为圆心,以 2 为半径的圆上, |2 22 max PQ,|62 min PQ, 2 4PM PNPQ的最大值为88 2,最小值为64 2, 所以PM PN的取值范围为64 2,88 2 5(2020静安区一模)

25、如图,在平行四边形ABCD中,2AB ,1AD 则AC BD的值为 【分析】根据ABCD是平行四边形可得出 22 AC BDADAB,然后代入2AB ,1AD 即可求出AC BD 的值 【解答】解:2AB ,1AD , () ()AC BDABADBABC () ()ABADADAB 22 ADAB 14 3 故答案为:3 6(2020闵行区一模)若O是正六边形 123456 A A A A A A的中心,|1,2,3,4,5,6 i QOA i,, ,a b cQ,且a、 b、c互不相同,要使得()0ab c,则有序向量组( , , )a b c的个数为 【分析】可以画出图形,根据()0ab

26、 c可得出0ab,然后判断, ,a b c各有多少种取法,根据分布计 算原理即可求出构成( , , )a b c的个数 【解答】解:如图, ()0ab c, 据题意得,0ab, 由图形看出,a有 6 种取法,a一旦确定,b就只有一种取法,a的相反向量,c有 4 种取法, 构成向量组( , , )a b c的个数为6 1 424 故答案为:24 7(2020虹口区一模)如图所示,两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起,则OD AB 【分析】根据题意,以O为原点,边OA,OB所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,并且可求 出O,A,B,D的坐标,从而得出向量OD,AB的坐标,然后进行数量积的

27、坐标运算即可 【解答】解:以O为原点,OA、OB分别为x、y轴,建立如图所示平面直角坐标系,则: (0,0)O,(1,0)A,(0,1)B,D点横坐标的求法: 623 11 222 D x , 纵坐标: 623 222 D y , 33 (1,) ( 1,1)1 22 OD AB 故答案为:1 8(2020杨浦区一模)在直角坐标平面xOy中,( 2,0)A ,(0,1)B,动点P在圆 22 :2C xy上,则PA PB 的取值范围为 【分析】根据题意,可令( 2cos , 2sin )(0,2 )P ,从而可求出( 22cos ,2sin )PA , (2cos ,12sin )PB , 然

28、后 进 行 数 量 积 的 坐 标 运 算 , 并 根 据 两 角 和 的 正 弦 公 式 得 出 210sin()PA PB,从而可得出PA PB的取值范围 【解答】解:令( 2cos , 2sin )(0,2 )P ,且( 2,0)A ,(0,1)B, ( 22cos ,2sin ) (2cos ,12sin )PA PB 22 22 2cos22sincossin 22(2cossin ) 10sin()2,其中tan2 , PA PB的取值范围为210,210 故答案为:210,210 9(2020崇明区一模)正方形ABCD的边长为 4,O是正方形ABCD的中心,过中心O的直线l与边A

29、B交 于点M,与边CD交于点N,P为平面上一点,满足2(1)OPOBOC,则PM PN的最小值为 【分析】 建立坐标系, 根据2(1)OPOBOC, 求出P点坐标, 设出M,N坐标分别为( , 2)a ,(,2)a, 将PM PN转化为关于a,的函数,即可得到其最小值 【解答】 解:如图, 以O为坐标原点, 以过O且平行于AB的直线为x轴,以过O且垂直于AB的直线为y轴 建立坐标系, 则(2, 2)B,(2,2)C, 2(1)(2OPOBOC,2)(1)(2,2)(2,24 ),(1,12 )OP 即P点坐标为(1,12 ), 设( , 2)M a ,则(,2)Na,22a 剟, (1,23)PMa,(1,21)PNa 22 (1)(1)(23)(21)1443PM PNaaa , 当2a 且 41 242 时,PM PN有最小值7 故答案为:7