1、专题专题 09 向量的性质及其应用向量的性质及其应用 专题点拨专题点拨 1 能灵活运用两个重要结论解决问题： (1)2ABACAD(D 是 BC 中点). (2)已知点O A B、 、不共线，且(R)OCm OAn OB mn、，则点A BC、 、共线的充要条件 是1mn. 2运用建立坐标系的方法解决向量问题时，遵循向量的坐标易于表示的原则. 3会用向量点乘向量等式(作数量积、两边平方、向量投影的几何意义)方法解决问题. 4能熟练地运用向量运算的几何意义作图求解. 真题赏析真题赏析 1.(2019 杨浦区二模)若 的内角 A、B、C,其中 G为 的重心,且 = 0,则 cosC 的最小值为 _
2、 【答案】4 5 【解析】解：因为 G为 的重心,所以 = 2 3 1 2( + ) = 1 3(2 )； = 1 3( + ) = 1 3(2 ), 因为 = 0,所以 = 0, 即1 9(2 ) (2 ) = 0,整理得5 2 2 2 2= 0, 所以5| | | | = 2(| |2+ | |2) 4| | | |, 所以 4 5, 故答案为4 5 2.(2019 浦东新区二模)已知正方形 ABCD边长为 8, = , = 3 ,若在正方形边上恰有 6个不同的点 P,使 = ,则的取值范围为_ 【答案】(1,8) 【解析】解：以 AB所在直线为 x 轴,以 AD所在直线为 y轴建立平面直
3、角坐标系如图：如图,则(0,2),(8,4) (1)若 P 在 AB 上,设(,0),0 8 = (,2), = (8 ,4) = 2 8 + 8, 0,8, 8 8, 当 = 8时有一解,当8 8时有两解； (2)若 P 在 AD 上,设(0,),0 8, = (0,2 ), = (8,4 ) = (2 )(4 ) = 2 6 + 8 0 8, 1 24 当 = 1或8 24时有唯一解；当1 8时有两解 (3)若 P 在 DC上,设(,8),0 8 = (,6), = (8 ,4), = 2 8 + 24, 0 8, 8 24, 当 = 8时有一解,当8 24时有两解 (4)若 P 在 BC
4、 上,设(8,),0 8, = (8,2 ), = (0,4 ), = (2 ) (4 ) = 2 6 + 8 0 8, 1 24, 当 = 1或8 24时有一解,当1 8时有两解 综上,在正方形 ABCD的四条边上有且只有 6个不同的点 P,使得 = 成立,那么的取值范围是(1,8) 故答案为：(1,8) 例题剖析例题剖析 【例 1】在边长为 1 的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a， 若 i a与 j a的夹角记为 ij ， 其中i，1j， 2， 3， 4，5， 且ij， 则|c o s ii j a的最大值为
5、【答案】3 【解析】由向量的投影的几何意义有： |cos iij a的几何意义为向量 i a在向量 j a方向上的投影，由图可知：AD在向量AE方向上的投影最大，且 为3， 故答案为：3 【变式训练 1】若正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，则的取值范围 是 _ 【答案】 1 2() 4 APPBPD 【解析】以点 A 与坐标原点 O 重合,AB 在x轴正半轴上建立直角坐标系，则得(0,0)(1,0)(0,1)ABD、.可 设( , )(01)P x xx，于是， 2 ()24APPBPDxx. 由 2 24(01)yxxx的图像可得， 1 2 4 y . 因
6、此， 1 2() 4 APPBPD . 【例 2】已知平面向量a、b满足条件：0a b ，| cosa，| sinb，(0,) 2 ，若向量 ( ,)cabR 且 2222 1 (21) cos(21) sin 9 ，则|c的最小值为 【答案】 1 3 【解析】由题意可设(cos ,0)a，(0,sin )b，( , )cx y，且设OCc ( cos ,sin )cab ， cos sin x y ，(0,) 2 ， 2222 1 (21) cos(21) sin 9 ， 则 22 1 (2cos)(2sin) 9 xy， 即 22 111 (cos)(sin) 2236 xy， C 在以
7、11 ( cos ,sin) 22 D为圆心，以 1 6 为半径的圆上，(0,) 2 ， 1111 | 6263 mn OCOD， 故答案为： 1 3 【变式训练 2】已知向量(cos ,sin)a，(cos ,sin )b，且 3 ，若向量c满足| 1cab， 则|c的最大值为 【答案】31 【解析】(coscos ,sinsin )ab， 222 ()(coscos )(sinsin )ab 22cos() 3， 令ODab， 则|3OD ， D点轨迹为以原点为原心，半径为3的圆， 令OCc， 则| | 1OCODDC， C点轨迹是以原点为原心， 半径为31, 31的两个圆及其之间的部分，
8、 |OC最大值为31， 即|c最大值为31 故答案为：31 【 例3 】 已 知 圆 心 为O、 半 径 为10的 圆 上 有 三 点A、B、C， 6,10,2105ABACAOxAByACxy ，则cosBAC 【答案】 1 3 【解析】欲得到cos BAC，可用AC与已知等式作数量积，即AC AOxAC AByAC AC，结合投 影的几何意义，有 |cos|AOOADAD(过 O 作ODAC，则 D 是 AC 中点) 将数值代入化简，得5060 cos100xBACy.将y用x表示，可得cosBAC 1 3 . 【变式训练 3】 已知圆心为O、半径为1的圆上有三点A、B、C若0857OCO
9、BOA，则BC _ 【答案】3 【解析】方法一 758058=7OAOBOCOBOCOA 两边平方，得 1 cos 2 BOC . 因此，|3BC . 方法二 分析 设cos1,cos2,cos3xyz . 分别用OAOB OC、 、与0857OCOBOA作数量积，可得 7580, 1 75 80,|3 2 7580. xz xyyBC zy 巩固训练巩固训练 一、填空题 1. 已知点( 2,0)A ，设B、C是圆 22 :1O xy上的两个不同的动点，且向量(1)OBtOAt OC(其中t为 实数)，则AB AC 【答案】3 【解析】由向量(1)OBtOAt OC(其中t为实数)， 可得：A
10、，B，C三点共线， 且AB，AC同向， 设圆O与x轴正半轴交于点E， 由圆的割线定理可得，| |ABACAOAE， |cos0 | | 1 33AB ACABACABACAOAE 故答案为：3 2.如图，已知半圆O的直径4AB ，OAC是等边三角形，若点P是边AC(包含端点)AC上的动点，点Q 在弧BC上，且满足OQOP，则OP BQ的最小值为 【答案】2 【解析】OQOP， 0OP OQ ， 半圆O的直径4AB ，OAC是等边三角形，且边长为 2， 由题意可得，()OP BQOP BOOQOP BOOP OQOP BOOP OA， 由数量积的几何意义可知，当P与C重合时，OP在OA上的投影最
11、短， 此时 1 ()222 2 min OP OA 故答案为：2 3.已知圆 22 :(1)1M xy， 圆 22 :(1)1N xy 直线 1 l、2l分别过圆心M、N， 且 1 1与圆M相交于A， B两点，21与圆N相交于C，D两点， 点P是椭圆 22 1 94 xy 上任意一点， 则PA PBPC PD的最小值为 【答案】3 【解析】由题意可得，(0,1)M，(0, 1)N，1 MN rr， 22 () ()()1PA PBPMMAPMMBPMPM MAMBMA MBPM， 22 () ()()1PC PDPNNCPNNDPNPN NCNDNC NDPN， P为椭圆 22 1 94 xy
12、 上的点， 2 22 22 10 22()8 9 x PA PBPC PDPMPNxy 由题意可知，33x 剟， 2 10 88 18 9 x 剟， 故答案为：8 4. 已知平面向量a、b、c满足| 1a ，| | 2bc，且0b c ，则当01剟时，|(1) |abc的取值 范围是 【答案】 21,3 【解析】设(1)nbc，则|(1) | |abcan， |naanna剟，| 1| 1nann剟， 222222 |(1) |(1) |2 (1)nbcbcb c 2222 1 44(1)8848()2 2 又01剟， 2 2 |4n 剟，2|2n剟， 21 |3an剟，即21 |(1) |3
13、abc剟 故答案为： 21，3 5.已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若| |ABAC，则AB AC的最小值是 【答案】 1 2 【解析】如图所示，取(1,0)OA，不妨设(cos ,sin )B，(0, ) | |ABAC，(cos , sin )C (cos1AB AC，sin ) (cos1，sin ) 22 (cos1)sin 2 11 2(cos) 22 ， 当且仅当 1 cos 2 ，即 3 时，上式取得最小值 1 2 即AB AC的最小值是 1 2 故答案为： 1 2 6.已知ABC中，5BC ，6CA ，4AB ，P是ABC内一点，使得530PAPBPC，设PD垂直BC
14、 于D，PE垂直CA于E，则PD PE 【答案】 175 96 【解析】以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图， 在ABC中，由5BC ，6CA ，4AB ，得 2536163 cos 2564 BCA ， 2 37 sin1( ) 44 BCA， (0,0)C，(5,0)B， 9 ( 2 A， 3 7 ) 2 ， 设( , )P m n，则 4515 7 5(5 ,5 ) 22 PAmn，3(153 , 3 )PBmn，(,)PCmn ， 由530PAPBPC，得 45 51530 2 15 7 530 2 mmm nnn ， 即 25 5 7 (,) 66 P 设 9
15、3 7 (,) 22 CECA，则 925 3 75 7 (,) 2626 PECECP， 由 925 3 75 79 3 7 (,) ( ,)0 262622 PE CA，得 55 72 35 ( 48 PE ， 5 7 ) 16 ，而 5 7 (0,) 6 PD ， 35 ( 48 PD PE ， 5 7 ) (0 16 ， 5 75 75 7175175 ) 616696576 故答案为： 175 96 二、选择题二、选择题 7设, a b表示平面向量，|a，|b都是小于 9 的正整数，且满足(|)(| 3|)105abab， ()(3 )33ab ab，则a和b的夹角大小为( ) A
16、6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】C 【解析】由(|)(| 3|)105abab，得： 22 |4| | 3|105aabb， 由1053 57 ，又因为|a，|b都是小于 9 的正整数， 则| 3a ，| 4b ， 又() (3 )33abab， 所以 22 |43|33aa bb， 所以6a b ， 61 cos 342 又0， 所以 2 3 ， 故选：C 8在平面直角坐标系中，已知向量(1,2)a ，O是坐标原点，M是曲线| 2| 2xy上的动点，则a OM的 取值范围( ) A 2，2 B5, 5 C 2 5 2 5 , 55 D 2 5 , 5 5 【答案】A 【解析】去绝
17、对值整理后知，曲线为菱形BCDE， 易知CDAN，BEAN， 故当点M在曲线上运动时， OM在a上的射影必在FN上， 且当M在CD上时得到最大值，在BE上时得到最小值， 最大值为 2 |52 5 a OF ， 最小值为2， 故选：A 9已知点(1, 2)A，(2,0)B，P为曲线 2 3 3 4 yx上任意一点，则AP AB的取值范围为( ) A1，7 B 1，7 C1,32 3 D 1,32 3 【答案】A 【解析】设( , )P x y则由 2 3 3 4 x y 可得 22 1(0) 43 xy y， 令2cos3sinxy，(0， (1,2)APxy，(1,2)AB ， 124232c
18、os2 3sin34sin()3 6 AP ABxyxy ， 0 剟， 7 666 剟， 1 sin() 1 26 剟， 1 4sin()3 7 6 剟， 故选：A 三、解答题三、解答题 10.已知点P是ABC的中线EF上任意一点，且EFBC，实数xy、满足： 0PAxPByPC.记 ABC SS ， 1PAC SS ， 2PAB SS ， 1 1 S S ， 2 2 S S ， 若乘积 12 取最大值时，求此时2xy的值. 【解析】设2BCa，PEt，则(0)PFatta 结合图形，可算得 1 1 2 Sat Sa ， 2 2 2 St Sa 于是， 22 12 22 1111 ()() 4
19、164216 a attt aa 当 2 a t 时，等号成立因此，乘积 12 取最大值时，点 P 是 EF 的中点 所以，PBPCPA代入0PAxPByPC，得 (1)(1)0xPByPC又PB PC 、不平行， 所以， 1, 1. x y 所求23xy 11.已知O为坐标原点，向量(3cos ,3sin )OAxx，(3cos ,sin )OBxx，( 3OC ，0)，(0,) 2 x (1)求证：()OAOBOC； (2)若ABC是等腰三角形，求x的值 【解析】(1)(0,2sin )OAOBx， ()032sin00OAOB OCx， ()OAOBOC (2)若ABC是等腰三角形，则A
20、BBC， 222 (2sin )(3cos3)sinxxx，整理得： 2 2cos3cos0xx， 解得cos0x ，或 3 cos 2 x ， (0,) 2 x ， 3 cos 2 x， 6 x 12.如图，在xoy平面上，点(1,0)A，点B在单位圆上，(0)AOB (1)若点 3 ( 5 B ， 4) 5 ，求tan() 24 的值； (2)若OAOBOC，四边形OACB的面积用S表示，求SOA OC 的取值范围 【解析】(1) 3 4 (, ) 5 5 B ，AOB， 3 cos 5 ， 4 sin 5 4 sin 5 tan2 3 21cos 1 5 1tan 12 2 tan()3
21、 2412 1tan 2 (2)|sinsinSOA OB ， (1,0)OA，(cos ,sin )OB， (1cos ,sin )OCOAOB， 1cosOA OC ， sincos12sin()1(0) 4 SOA OC ， 5 444 ， 2 sin() 1 24 ， 021SOA OC 新题速递新题速递 1(2020徐汇区一模)设H是ABC的垂心，且3450HAHBHC，则cosBHC的值为( ) A 30 10 B 5 5 C 6 6 D 70 14 【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得|2HBx， 7 | 5 x HC ，由向量的夹角公式即可求解 【解答】解：由三角形垂心性质
22、可得，HA HBHB HCHC HA，不妨设HA HBHB HCHC HAx， 3450HAHBHC， 2 3450HA HBHBHC HB， |2HBx，同理可求得 7 | 5 x HC ， 70 cos 14| HB HC BHC HB HC 故选：D 2(2020闵行区一模)在ABC中，已知ABa，BCb，G为ABC的重心，用向量a、b表示向量 AG 【分析】利用三角形的重心的性质即可用向量a、b表示向量AG 【解答】解：设BC边的中点为D， G为ABC的重心， 22112121 ()() 33233333 AGADABACABABACABACab， 故答案为： 21 33 ab 3(2
23、020松江区一模)已知向量(1,2)a ，( , 3)bm，若向量(2 )/ /abb，则实数m 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出m的值 【解答】解：向量(1,2)a ，( , 3)bm， 则2(1 2 ,8)abm， 又(2 )/ /abb， 则3(12 )80mm， 解得 3 2 m 故答案为： 3 2 4(2020普陀区一模)设P是边长为2 2的正六边形 123456 A A A A A A的边上的任意一点，长度为 4 的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN的取值范围为 【分析】关键把PM PN转化为含定值的形式，取MN的中点，再由Q的轨迹，可求得PQ
24、的最大值与最小 值，进而可求得取值范围 【解答】解：设正六边形外接圆的圆心为O，正六边形 123456 A A A A A A的边长为2 2，所以半径为2 2， 设MN的中点为Q，则 2 () ()()PM PNPQQMPQQNPQPQ QMQNQM QN， 因为QM与QN为相反向量，所以()0PQ QMQN，4QM QN ， 所以 2 4PM PNPQ，因为| 2OQ ，所以Q在以O为圆心，以 2 为半径的圆上， |2 22 max PQ，|62 min PQ， 2 4PM PNPQ的最大值为88 2，最小值为64 2， 所以PM PN的取值范围为64 2，88 2 5(2020静安区一模)
25、如图，在平行四边形ABCD中，2AB ，1AD 则AC BD的值为 【分析】根据ABCD是平行四边形可得出 22 AC BDADAB，然后代入2AB ，1AD 即可求出AC BD 的值 【解答】解：2AB ，1AD ， () ()AC BDABADBABC () ()ABADADAB 22 ADAB 14 3 故答案为：3 6(2020闵行区一模)若O是正六边形 123456 A A A A A A的中心，|1,2,3,4,5,6 i QOA i，, ,a b cQ，且a、 b、c互不相同，要使得()0ab c，则有序向量组( , , )a b c的个数为 【分析】可以画出图形，根据()0ab
26、 c可得出0ab，然后判断, ,a b c各有多少种取法，根据分布计 算原理即可求出构成( , , )a b c的个数 【解答】解：如图， ()0ab c， 据题意得，0ab， 由图形看出，a有 6 种取法，a一旦确定，b就只有一种取法，a的相反向量，c有 4 种取法， 构成向量组( , , )a b c的个数为6 1 424 故答案为：24 7(2020虹口区一模)如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB 【分析】根据题意，以O为原点，边OA，OB所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，并且可求 出O，A，B，D的坐标，从而得出向量OD，AB的坐标，然后进行数量积的
27、坐标运算即可 【解答】解：以O为原点，OA、OB分别为x、y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则： (0,0)O，(1,0)A，(0,1)B，D点横坐标的求法： 623 11 222 D x ， 纵坐标： 623 222 D y ， 33 (1,) ( 1,1)1 22 OD AB 故答案为：1 8(2020杨浦区一模)在直角坐标平面xOy中，( 2,0)A ，(0,1)B，动点P在圆 22 :2C xy上，则PA PB 的取值范围为 【分析】根据题意，可令( 2cos , 2sin )(0,2 )P ，从而可求出( 22cos ,2sin )PA ， (2cos ,12sin )PB ， 然
28、后 进 行 数 量 积 的 坐 标 运 算 ， 并 根 据 两 角 和 的 正 弦 公 式 得 出 210sin()PA PB，从而可得出PA PB的取值范围 【解答】解：令( 2cos , 2sin )(0,2 )P ，且( 2,0)A ，(0,1)B， ( 22cos ,2sin ) (2cos ,12sin )PA PB 22 22 2cos22sincossin 22(2cossin ) 10sin()2，其中tan2 ， PA PB的取值范围为210,210 故答案为：210,210 9(2020崇明区一模)正方形ABCD的边长为 4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边A
29、B交 于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足2(1)OPOBOC，则PM PN的最小值为 【分析】 建立坐标系， 根据2(1)OPOBOC， 求出P点坐标， 设出M，N坐标分别为( , 2)a ，(,2)a， 将PM PN转化为关于a，的函数，即可得到其最小值 【解答】 解：如图， 以O为坐标原点， 以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB的直线为y轴 建立坐标系， 则(2, 2)B，(2,2)C， 2(1)(2OPOBOC，2)(1)(2，2)(2，24 )，(1,12 )OP 即P点坐标为(1,12 )， 设( , 2)M a ，则(,2)Na，22a 剟， (1,23)PMa，(1,21)PNa 22 (1)(1)(23)(21)1443PM PNaaa ， 当2a 且 41 242 时，PM PN有最小值7 故答案为：7