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2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题15 数形结合思想(解析版)

1、专题专题 15 数形结合思想数形结合思想 专题点拨专题点拨 数形结合思想通过“以形助数,以数解形” ,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从形的直观和数的 严谨两方面思考问题,拓宽了解题思路,是数学的规律性与灵活性的有机结合 (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种: 构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围; 构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围; 构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系; 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式; 构建立体几何模型研究代数问题; 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题; 构建方程模型,求根的个数; 研究图形的形状、

2、位置关系、性质等 (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解填空题、选择题时发挥着奇 特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度具体操作时,应注意以 下几点: 准确画出函数图像,注意函数的定义域; 用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的 图像,由图求解 (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点: 要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征; 要恰当设参,合理用参,建立

3、关系,做好转化; 要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏; 精心联想“数”与“形” ,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解 例题剖析例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 【例 1】 若方程 x24x3m0 在 x(0,3)时有唯一实根,求实数 m 的取值范围 【解析】 利用数形结合的方法,直接观察得出结果 原方程可化为(x2)21m(00 的解 集为(,2)(2,) 3.已知点 P 在抛物线 y24x 上,那么点 P 到点 Q(2,1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最 小值时,点 P 的坐标为_ 【答案】(1 4,1) 【

4、解析】 定点 Q(2,1)在抛物线内部,由抛物线的定义知,动点 P 到抛物线焦点的距离等于它到准 线的距离,问题转化为当点 P 到点 Q 和到抛物线的准线距离之和最小时,求点 P 的坐标,显然点 P 是直线 y1 和抛物线 y24x 的交点,解得这个点的坐标是(1 4,1) 4若 x()1,2 时,不等式(x1)20, 若|f(x)|ax,则实数 a 的取值范围是 _. 【答案】2,0 【解析】 由 y|f( )x的图像知: 当 x0 时,yax 只有 a0 时,才能满足|f( )xax. 当 x0 时,y|f(x) |x22x|x22x. 故由|f(x)|ax 得 x22xax. 当 x0

5、时,不等式为 00 成立 当 x0 时,不等式等价于 x2a. x22,a2. 综上可知:a2,0. 二、选择题 6若不等式 logaxsin2x (a0,a1)对任意 x(0, 4 )都成立,则实数 a 的取值范围为( ) A(0, 4 ) B(0, 4 C 4 ,1) D( 4 ,1) 【答案】C 【解析】 记 y1logax,y2sin2x,原不等式相当于 y1y2,作出两个函数的图像,如图所示,知当 y1 logax 过点 A( 4,1)时,a 4,所以当 4ay2. 7已知 yf(x)是最小正周期为 2 的函数,当 x1,1时,f(x)x2,则函数 y f(x)(xR)图像与 y|l

6、og5|x|图像的交点的个数是( ) A8 B9 C10 D12 【答案】C 【解析】 因函数 yf(x)(xR)与 y |log5|x|均为偶函数,故研究它们在 y 右侧交点情况即可作函数图像如图所示,从图可知,当 0x5 时没有交点,故在 y 右侧交点个数为 5,由对称性知,在 y 轴左侧交点个数也是 5.则两个函数图像交点个数为 10 个 三、解答题三、解答题 8.已知函数 f(x) ax22x1,x0, x2bxc,x0 是偶函数,直线 yt 与函数 f(x)的图像自左至右依次交于四个不 同点 A、B、C、D,若| AB |BC,求实数 t 的值 【解析】 由函数 f(x)是偶函数可知

7、 f(x) f(x),当 x0 时,f(x)a(x)22(x)1ax22x1f(x)x2bxc,故 a1,b2,c 1,则 f(x) x22x1,x0 x22x1,x0 ,由函数图像可知:当 x0 时, yt x22x1y,解得 x1 2t, 故 C 点坐标为(1 2t,t), 当 x0 时, yt x22x1y,解得 x1 2t,故 A 点坐标为(1 2t,t),B 点坐标为(1 2t,t)因为| AB |BC可知,22 2t2 2t,得 t7 4. 新题速递新题速递 1(2019闵行区一模)已知函数( ) |1|(1)f xxx,xa,b的值域为0,8,则ab的取值范围 是 【分析】写出分

8、段函数解析式,作出图形,数形结合得答案 【解答】解:数 2 2 1,1 ( ) |1|(1) 1,1 xx f xxx xx 作出函数的图象如图: 由图可知,3b , 1a ,1, 则2ab ,4 故答案为:2,4 2(2020奉贤区一模)已知直线1yx上有两个点 1 (A a, 1) b、 2 (B a, 2) b,已知 1 a、 1 b、 2 a、 2 b满足 2222 121 21122 2 |a abbabab,若 12 aa,|22AB ,则这样的点A有 个 【分析】依题意,向量,OA OB的夹角为 4 或 3 4 ,作图容易得出结论 【解答】解:设,OA OB, 2222 121 21122 2|aabbabab, 2 cos| 2| OA OB OA OB ,则夹角为 4 或 3 4 ,如下图, 当AB关于yx 对称时,1BDAEODOE,则 8 BODAOE ,故 3 4 AOB (这是一个临界 值),此时有一个点A, 根据对称性,在A,B上下移动过程中,既要保持|22AB ,又要保持 4 AOB ,这样的点A上下 各有一个, 故一共有三个点A 故答案为:3