1、专题专题 15 数形结合思想数形结合思想 专题点拨专题点拨 数形结合思想通过“以形助数，以数解形” ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的 严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合 (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： 构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； 构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； 构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； 构建立体几何模型研究代数问题； 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； 构建方程模型，求根的个数； 研究图形的形状、
2、位置关系、性质等 (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇 特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以 下几点： 准确画出函数图像，注意函数的定义域； 用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的 图像，由图求解 (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： 要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； 要恰当设参，合理用参，建立
3、关系，做好转化； 要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； 精心联想“数”与“形” ，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解 例题剖析例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 【例 1】 若方程 x24x3m0 在 x(0，3)时有唯一实根，求实数 m 的取值范围 【解析】 利用数形结合的方法，直接观察得出结果 原方程可化为(x2)21m(00 的解 集为(，2)(2，) 3.已知点 P 在抛物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最 小值时，点 P 的坐标为_ 【答案】(1 4，1) 【
4、解析】 定点 Q(2，1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点 P 到抛物线焦点的距离等于它到准 线的距离，问题转化为当点 P 到点 Q 和到抛物线的准线距离之和最小时，求点 P 的坐标，显然点 P 是直线 y1 和抛物线 y24x 的交点，解得这个点的坐标是(1 4，1) 4若 x()1，2 时，不等式(x1)20， 若|f(x)|ax，则实数 a 的取值范围是 _. 【答案】2，0 【解析】 由 y|f( )x的图像知： 当 x0 时，yax 只有 a0 时，才能满足|f( )xax. 当 x0 时，y|f（x） |x22x|x22x. 故由|f(x)|ax 得 x22xax. 当 x0
5、时，不等式为 00 成立 当 x0 时，不等式等价于 x2a. x22，a2. 综上可知：a2，0. 二、选择题 6若不等式 logaxsin2x (a0，a1)对任意 x(0， 4 )都成立，则实数 a 的取值范围为( ) A(0， 4 ) B(0， 4 C 4 ，1) D( 4 ，1) 【答案】C 【解析】 记 y1logax，y2sin2x，原不等式相当于 y1y2，作出两个函数的图像，如图所示，知当 y1 logax 过点 A( 4，1)时，a 4，所以当 4ay2. 7已知 yf(x)是最小正周期为 2 的函数，当 x1，1时，f(x)x2，则函数 y f(x)(xR)图像与 y|l
6、og5|x|图像的交点的个数是( ) A8 B9 C10 D12 【答案】C 【解析】 因函数 yf(x)(xR)与 y |log5|x|均为偶函数，故研究它们在 y 右侧交点情况即可作函数图像如图所示，从图可知，当 0x5 时没有交点，故在 y 右侧交点个数为 5，由对称性知，在 y 轴左侧交点个数也是 5.则两个函数图像交点个数为 10 个 三、解答题三、解答题 8.已知函数 f(x) ax22x1，x0， x2bxc，x0 是偶函数，直线 yt 与函数 f(x)的图像自左至右依次交于四个不 同点 A、B、C、D，若| AB |BC，求实数 t 的值 【解析】 由函数 f(x)是偶函数可知
7、 f(x) f(x)，当 x0 时，f(x)a(x)22(x)1ax22x1f(x)x2bxc，故 a1，b2，c 1，则 f(x) x22x1，x0 x22x1，x0 ，由函数图像可知：当 x0 时， yt x22x1y，解得 x1 2t， 故 C 点坐标为(1 2t，t)， 当 x0 时， yt x22x1y，解得 x1 2t，故 A 点坐标为(1 2t，t)，B 点坐标为(1 2t，t)因为| AB |BC可知，22 2t2 2t，得 t7 4. 新题速递新题速递 1(2019闵行区一模)已知函数( ) |1|(1)f xxx，xa，b的值域为0，8，则ab的取值范围 是 【分析】写出分
8、段函数解析式，作出图形，数形结合得答案 【解答】解：数 2 2 1,1 ( ) |1|(1) 1,1 xx f xxx xx 作出函数的图象如图： 由图可知，3b ， 1a ，1， 则2ab ，4 故答案为：2，4 2(2020奉贤区一模)已知直线1yx上有两个点 1 (A a， 1) b、 2 (B a， 2) b，已知 1 a、 1 b、 2 a、 2 b满足 2222 121 21122 2 |a abbabab，若 12 aa，|22AB ，则这样的点A有 个 【分析】依题意，向量,OA OB的夹角为 4 或 3 4 ，作图容易得出结论 【解答】解：设,OA OB， 2222 121 21122 2|aabbabab， 2 cos| 2| OA OB OA OB ，则夹角为 4 或 3 4 ，如下图， 当AB关于yx 对称时，1BDAEODOE，则 8 BODAOE ，故 3 4 AOB (这是一个临界 值)，此时有一个点A， 根据对称性，在A，B上下移动过程中，既要保持|22AB ，又要保持 4 AOB ，这样的点A上下 各有一个， 故一共有三个点A 故答案为：3