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2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题17 等价转化思想(解析版)

1、专题专题 17 等价转化思想等价转化思想 专题点拨专题点拨 1.等价转化思想的原则: 熟悉已知化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,将未知的问题转化为已知问题,以便于我们运 用熟知的知识、经验和问题来解决 简单化原则:将复杂问题转化为简单问题,如三维空间问题转化为二维平面问题,通过简单问题的 解决思路和方法,获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的 具体原则:转化方向应由抽象到具体 和谐统一性原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形 式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律 正难则反的原则:当问题正面讨论遇到困难时,

2、应想到问题的反面,或问题的正面较复杂时,其反 面一般是简单的,设法从问题的反面去探求,使问题获得解决 2.等价转化思想常用到的方法: 直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转 化为易于解决的基本问题 数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径 构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题 坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题,是转化方法的一个重要途径 类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化途径 特

3、殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题 等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的 加强命题法:在证明不等式时,原命题难以得证,往往把命题的结论加强,即命题的结论加强为原 命题的充分条件,反而能将原命题转化为一个较易证明的命题,比如在证明不等式时,原命题往往难以得 证,这时常把结论加强,使之成为原命题的充分条件,从而易证 补集法:如果正面解决问题有困难,可把原问题结果看作集合 A,而包含问题的整体问题的结果类比 为全集 U,通过解决全集 U 及补集UA 使原问题得以解决 例题剖析例题剖析 【例 1】 已知函数, 求证中至 少有一个数不小于

4、【解析】假设均小于,则 由(1)+(2)化简,得(4) 由(1)2+(2)化简,得(5) 结合(4)和(5)可知,这是一个矛盾因此,假设不成立,即中至少有一个数不 小于 【变式训练 1】若关于x的不等式 2 (1)(21)0p xpxp的解集是非空集合,求实数p的取值范 围 【解析】若 2 (1)(21)0p xpxp的解集为空集,则 10, 0. p 解得 2222 44 p . 于是,满足条件的p的取值范围是 22 4 p 或 22 4 p . 【例 2】已知 f(x)为定义在实数集 R 上的奇函数,且 f(x)在0,)上是增函数 当 0 2 时,是否存在这样的实数 m,使 f(cos23

5、)f(4m2mcos)f(0)对所有的 0, 2 均成立?若存在,求出所有适合条件的实数 m;若不存在,请说明理由 【解析】假设存在适合条件的 m,由 f(x)是 R 上的奇函数可得 f(0)0. 又 f(x)在0,)上是增函数,故 f(x)在 R 上为增函数 由题设条件可得 f(cos23)f(4m2mcos)0. 又由 f(x)为奇函数,可得 f(cos23)f(2mcos4m) f(x)是 R 上的增函数,cos232mcos4m,即 cos2mcos2m20. 令 cost,0 2 ,0t1, 于是问题转化为对一切 0t1,不等式 t2mt2m20 恒成立 2 ( )()f xxpxq

6、 xRq ,常数、 是实数|( 1)| |(1)| |(2)|fff、 1 2 |( 1)| |(1)| |(2)|fff、 1 2 11 1(1) 22 11 1(2) 22 11 42(3) 22 pq pq pq 13 22 q 35 22 q |( 1)| |(1)| |(2)|fff、 1 2 t22m(t2),即 mt 22 t2 恒成立 又t 22 t2 (t2) 2 t2442 2,当且仅当 t2 2时,等号成立, m42 2. 存在实数 m 满足题设的条件,m42 2. 【例 3】 已知函数对任意的,恒有. (1)证明:当时,; (2)若对满足题设条件的任意bc、,不等式恒成

7、立,求实数M的最小值. 【解析】证明(1)由2( ),Rxbf x x恒成立,则 2 0,44bC 即.于是, 2 4 1, 4 b cc . 当0x时, 22 ( )()( )(2)g xxcf xcb xcc. 22 4(2) 20 44 bb cbb .若20c b ,则 2 ( )0g xcc . 若20c b ,则( )g x是单调增加的函数,且 2 (0)0gcc ,即( )0g x . 综上,有( )0g x 即 2 ( )()f xxc成立. (2)若bc,则RM . 若bc, 22 22 2_2cbcbcb M cbcb .此时0b,则1M .0b时, 21 1 1 cb M

8、 c cb b .又 1 1 4 cb bb ,即 13 1 2 1 c b .故 3 2 M . 综上,所求取值范围是 3 2 M . 巩固训练巩固训练 一、填空题 1已知 yf(x)是定义在(2,2)上的增函数,若 f(m1)f(12m),则 m 的取值范围是_ 【答案】(1 2, 2 3) 2 ( )( ,),f xxbxc b cRxR2xb( )f x 0x 2 ( )()f xxc 22 ( )( )()f cf bM cb 【解析】 依题意,原不等式等价于 2 0 (1) = + 1 2 0 (0) = + 3 2 0 1 3 4 0 解得 1 2 3 8 故答案为: 1 2,

9、3 8). 二、选择题二、选择题 7若点(m,n)在直线 4x3y100 上,则 m2n2的最小值是( ) A2 B2 2 C4 D2 3 【答案】C 【解析】 m2n2为原点(0,0)到直线 4x3y100 上一点的距离的平方, d2min |10| 4232 24. 8已知函数 f(x)9xm 3xm1 在 x(0,)上的图像恒在 x 轴上方,则 m 的取值范围是( ) A22 2m22 2 Bm2 Cm22 2 Dm22 2 【答案】C 【解析】令 3xt,t(1,),则问题转化为函数 f(t)t2mtm1 在(1,)上的图像恒在 x 轴上 方,即 (m)24(m1)0 或 0, m 2

10、1, 1m1m0, 解得 m22 2. 9已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A B.3 4 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 绘制圆柱的轴截面如图所示,由题意可得:AC1,AB1 2, 结合勾股定理,底面半径 22 13 1( ) 22 r , 由圆柱的体积公式,可得圆柱的体积是 2 3 4 Vr h,故选 B. 三、解答题三、解答题 10.定义在上的奇函数 f(x),已知当 x1,0)时,f(x) 1 4x a 2x(aR),求 f(x)在(0,1上的最大值 【解析】(1)设 x0,1,则x1,0, f(x) 1 4 x

11、a 2 x4xa 2x. f(x)f(x),f(x)a 2x4x,x(0,1 令 t2x,t(1,2,g(t)att2(ta 2) 2a 2 4 .当a 21,即 a2 时,g(t)max 不存在;当 1a 22, 即 2a4 时,g(t)maxg(a 2) a2 4 ;当a 22,即 a4 时,g(t)maxg(2)2a4;综上所述,当 a2 时,f(x) 最大值不存在;当 2a4 时,f(x)最大值为a 2 4 ;当 a4 时,f(x)的最大值为 2a4. 11.已知函数 3 ( )log ()f xaxb的图像过点A(2,1)和B(5,2) (1)求函数f(x)的解析式; (2)记 nf

12、 n a,nN *,是否存在正数 k,使得 () 1 1 a () 1 2 a () 1 n a k12 n对一切 nN *均成立,若存在,求出 k 的最大值;若不 存在,说明理由 【解析】(1)由已知得 2)5(log 1)2(log 3 3 ba ba , 解得 1 2 b a ,f(x)=) 12(log3x. (2)由(1)得 n a= )12(log3 3 n =2n1, nN * 设存在正数 k, 使得() a 1 1 () a 1 2 () a 1 n k1n2 对一切 nN *均成立, 则 k 12 1 n () 1 1 a () 1 2 a () 1 n a . 记 F(n)

13、= 12 1 n () 1 1 a () 1 2 a () 1 n a 则 F(n+1)= 32 1 n () 1 1 a () 1 2 a () 1 n a () 1 1n a 2 (1)222(1) ( )(21)(23) 4(1)1 F nnn F nnn n ) 1(2 ) 1(2 n n =1, F(n+1) F(n),F(n)是随 n 的增大而增大. nN *,当 n=1 时,F(n) min=F(1)= 3 32 , k 3 32 ,即 k 的最大值为 3 32 . 新题速递新题速递 1(2019崇明区三模)已知定义在R上的增函数( )yf x满足( )(4)0f xfx,若实数

14、a、b满足不等式 f(a)f(b)0,则 22 ab的最小值是 【分析】根据函数的单调性将不等式组进行转化,结合线性规划的知识进行求解即可 【解答】解:( )(4)f xfx ,( )(4)f xfx, f(a)f(b)0可化为f(a)f(b)(4)fb, 又( )f x在R上单调递增,4ab,即4 0ab , 22 ab表示点(0,0)到点( , )a b的距离平方, 22 ab的最小值是点(0,0)到直线40ab的距离平方 2 4 ()8 2 故答案为:8 2(2019金山区二模)若实数a、b满足 2 0 1 0 1 ab ba a ,则 2 2 3bab a 的取值范围是( ) A 2,

15、0 B 9 ,) 4 C 9 , 2 4 D 9 ,0 4 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,利用 b a 的几何意义即可求出 2 ( )3 bb aa 的取值 范围 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分): 则 2 2 2 3 ( )3 babbb aaa , b a 的几何意义为阴影部分的动点( , )a b到定点原点连线的斜率的取值范围 由图象可知当点位于B时,直线的斜率最大,当点位于A时,直线的斜率最小, 由 20 10 ab ba ,解得 1 ( 2 B, 3) 2 , BO的斜率3k ,由 1 2 a ab 可得(1,1)A, OA的斜率1k

16、, 13z 剟, 则 2 22 2 3399 ( )3(),0 244 babbb k aaa 故选:D 3(2020徐汇区一模)若圆 22 1: 1Cxy和圆 22 2: 680Cxyxyk没有公共点,则实数k的取值范围 是( ) A( 9,11) B( 25, 9) C(,9)(11,) D( 25,9)(11,) 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径,再由圆心距与半径间的关系列式求解 【解答】解:化圆 22 2: 680Cxyxyk为 22 (3)(4)25xyk, 则25k ,圆心坐标为(3,4),半径为25k, 圆 22 1: 1Cxy的圆心坐标为(0,0),半径为 1 要使圆 22 1: 1Cxy和圆 22 2: 680Cxyxyk没有公共点, 则 12 |251CCk或 12 |251CCk, 即5251k或5251k, 解得259k 或11k 实数k的取值范围是( 25,9)(11,) 故选:D