1、专题专题 17 等价转化思想等价转化思想 专题点拨专题点拨 1.等价转化思想的原则： 熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运 用熟知的知识、经验和问题来解决 简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的 解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的 具体原则：转化方向应由抽象到具体 和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形 式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律 正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，
2、应想到问题的反面，或问题的正面较复杂时，其反 面一般是简单的，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决 2.等价转化思想常用到的方法： 直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转 化为易于解决的基本问题 数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径 构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径 类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径 特
3、殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题 等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的 加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原 命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得 证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证 补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合 A，而包含问题的整体问题的结果类比 为全集 U，通过解决全集 U 及补集UA 使原问题得以解决 例题剖析例题剖析 【例 1】 已知函数， 求证中至 少有一个数不小于
4、【解析】假设均小于，则 由(1)+(2)化简，得(4) 由(1)2+(2)化简，得(5) 结合(4)和(5)可知，这是一个矛盾因此，假设不成立，即中至少有一个数不 小于 【变式训练 1】若关于x的不等式 2 (1)(21)0p xpxp的解集是非空集合，求实数p的取值范 围 【解析】若 2 (1)(21)0p xpxp的解集为空集，则 10, 0. p 解得 2222 44 p . 于是，满足条件的p的取值范围是 22 4 p 或 22 4 p . 【例 2】已知 f(x)为定义在实数集 R 上的奇函数，且 f(x)在0，)上是增函数 当 0 2 时，是否存在这样的实数 m，使 f(cos23
5、)f(4m2mcos)f(0)对所有的 0， 2 均成立？若存在，求出所有适合条件的实数 m；若不存在，请说明理由 【解析】假设存在适合条件的 m，由 f(x)是 R 上的奇函数可得 f(0)0. 又 f(x)在0，)上是增函数，故 f(x)在 R 上为增函数 由题设条件可得 f(cos23)f(4m2mcos)0. 又由 f(x)为奇函数，可得 f(cos23)f(2mcos4m) f(x)是 R 上的增函数，cos232mcos4m，即 cos2mcos2m20. 令 cost，0 2 ，0t1， 于是问题转化为对一切 0t1，不等式 t2mt2m20 恒成立 2 ( )()f xxpxq
6、 xRq ，常数、 是实数|( 1)| |(1)| |(2)|fff、 1 2 |( 1)| |(1)| |(2)|fff、 1 2 11 1(1) 22 11 1(2) 22 11 42(3) 22 pq pq pq 13 22 q 35 22 q |( 1)| |(1)| |(2)|fff、 1 2 t22m(t2)，即 mt 22 t2 恒成立 又t 22 t2 (t2) 2 t2442 2，当且仅当 t2 2时，等号成立， m42 2. 存在实数 m 满足题设的条件，m42 2. 【例 3】 已知函数对任意的，恒有. (1)证明：当时，； (2)若对满足题设条件的任意bc、，不等式恒成
7、立，求实数M的最小值. 【解析】证明(1)由2( ),Rxbf x x恒成立，则 2 0,44bC 即.于是， 2 4 1, 4 b cc . 当0x时， 22 ( )()( )(2)g xxcf xcb xcc. 22 4(2) 20 44 bb cbb .若20c b ，则 2 ( )0g xcc . 若20c b ，则( )g x是单调增加的函数，且 2 (0)0gcc ，即( )0g x . 综上，有( )0g x 即 2 ( )()f xxc成立. (2)若bc，则RM . 若bc， 22 22 2_2cbcbcb M cbcb .此时0b，则1M .0b时， 21 1 1 cb M
8、 c cb b .又 1 1 4 cb bb ，即 13 1 2 1 c b .故 3 2 M . 综上，所求取值范围是 3 2 M . 巩固训练巩固训练 一、填空题 1已知 yf(x)是定义在(2，2)上的增函数，若 f(m1)f(12m)，则 m 的取值范围是_ 【答案】(1 2， 2 3) 2 ( )( ,),f xxbxc b cRxR2xb( )f x 0x 2 ( )()f xxc 22 ( )( )()f cf bM cb 【解析】 依题意，原不等式等价于 2 0 (1) = + 1 2 0 (0) = + 3 2 0 1 3 4 0 解得 1 2 3 8 故答案为： 1 2,
9、3 8). 二、选择题二、选择题 7若点(m，n)在直线 4x3y100 上，则 m2n2的最小值是( ) A2 B2 2 C4 D2 3 【答案】C 【解析】 m2n2为原点(0，0)到直线 4x3y100 上一点的距离的平方， d2min |10| 4232 24. 8已知函数 f(x)9xm 3xm1 在 x(0，)上的图像恒在 x 轴上方，则 m 的取值范围是( ) A22 2m22 2 Bm2 Cm22 2 Dm22 2 【答案】C 【解析】令 3xt，t(1，)，则问题转化为函数 f(t)t2mtm1 在(1，)上的图像恒在 x 轴上 方，即 (m)24(m1)0 或 0， m 2
10、1， 1m1m0， 解得 m22 2. 9已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A B.3 4 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：AC1，AB1 2， 结合勾股定理，底面半径 22 13 1( ) 22 r ， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是 2 3 4 Vr h，故选 B. 三、解答题三、解答题 10.定义在上的奇函数 f(x)，已知当 x1，0)时，f(x) 1 4x a 2x(aR)，求 f(x)在(0，1上的最大值 【解析】(1)设 x0，1，则x1，0， f(x) 1 4 x
11、a 2 x4xa 2x. f(x)f(x)，f(x)a 2x4x，x(0，1 令 t2x，t(1，2，g(t)att2(ta 2) 2a 2 4 .当a 21，即 a2 时，g(t)max 不存在；当 1a 22， 即 2a4 时，g(t)maxg(a 2) a2 4 ；当a 22，即 a4 时，g(t)maxg(2)2a4；综上所述，当 a2 时，f(x) 最大值不存在；当 2a4 时，f(x)最大值为a 2 4 ；当 a4 时，f(x)的最大值为 2a4. 11.已知函数 3 ( )log ()f xaxb的图像过点A(2，1)和B(5，2) (1)求函数f(x)的解析式； (2)记 nf
12、 n a，nN *，是否存在正数 k，使得 () 1 1 a () 1 2 a () 1 n a k12 n对一切 nN *均成立，若存在，求出 k 的最大值；若不 存在，说明理由 【解析】(1)由已知得 2)5(log 1)2(log 3 3 ba ba , 解得 1 2 b a ，f(x)=) 12(log3x. (2)由(1)得 n a= )12(log3 3 n =2n1, nN * 设存在正数 k， 使得() a 1 1 () a 1 2 () a 1 n k1n2 对一切 nN *均成立， 则 k 12 1 n () 1 1 a () 1 2 a () 1 n a . 记 F(n)
13、= 12 1 n () 1 1 a () 1 2 a () 1 n a 则 F(n+1)= 32 1 n () 1 1 a () 1 2 a () 1 n a () 1 1n a 2 (1)222(1) ( )(21)(23) 4(1)1 F nnn F nnn n ) 1(2 ) 1(2 n n =1， F(n+1) F(n)，F(n)是随 n 的增大而增大. nN *，当 n=1 时，F(n) min=F(1)= 3 32 ， k 3 32 ，即 k 的最大值为 3 32 . 新题速递新题速递 1(2019崇明区三模)已知定义在R上的增函数( )yf x满足( )(4)0f xfx，若实数
14、a、b满足不等式 f(a)f(b)0，则 22 ab的最小值是 【分析】根据函数的单调性将不等式组进行转化，结合线性规划的知识进行求解即可 【解答】解：( )(4)f xfx ，( )(4)f xfx， f(a)f(b)0可化为f(a)f(b)(4)fb， 又( )f x在R上单调递增，4ab，即4 0ab ， 22 ab表示点(0,0)到点( , )a b的距离平方， 22 ab的最小值是点(0,0)到直线40ab的距离平方 2 4 ()8 2 故答案为：8 2(2019金山区二模)若实数a、b满足 2 0 1 0 1 ab ba a ，则 2 2 3bab a 的取值范围是( ) A 2，
15、0 B 9 ,) 4 C 9 , 2 4 D 9 ,0 4 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用 b a 的几何意义即可求出 2 ( )3 bb aa 的取值 范围 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分): 则 2 2 2 3 ( )3 babbb aaa ， b a 的几何意义为阴影部分的动点( , )a b到定点原点连线的斜率的取值范围 由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小， 由 20 10 ab ba ，解得 1 ( 2 B， 3) 2 ， BO的斜率3k ，由 1 2 a ab 可得(1,1)A， OA的斜率1k
16、， 13z 剟， 则 2 22 2 3399 ( )3(),0 244 babbb k aaa 故选：D 3(2020徐汇区一模)若圆 22 1: 1Cxy和圆 22 2: 680Cxyxyk没有公共点，则实数k的取值范围 是( ) A( 9,11) B( 25, 9) C(，9)(11，) D( 25，9)(11，) 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解 【解答】解：化圆 22 2: 680Cxyxyk为 22 (3)(4)25xyk， 则25k ，圆心坐标为(3,4)，半径为25k， 圆 22 1: 1Cxy的圆心坐标为(0,0)，半径为 1 要使圆 22 1: 1Cxy和圆 22 2: 680Cxyxyk没有公共点， 则 12 |251CCk或 12 |251CCk， 即5251k或5251k， 解得259k 或11k 实数k的取值范围是( 25，9)(11，) 故选：D