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2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题16 分类讨论思想(解析版)

1、专题专题 16 16 分类讨论思想分类讨论思想 专题点拨专题点拨 (1)分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的 解答来实现解决原问题的思想策略 分类讨论思想的特点是: 分类讨论思想具有明显的逻辑特点; 分类讨论问题一般覆盖的知识点较多,有利于考查知识掌握的熟练程度和解决问题的能力; 解答分类讨论问题需要一定的分析技巧和分析问题的能力; 分类讨论思想在生活、工作实践中应用广泛,与高等数学紧密相关 (2)与分类讨论有关的知识点是: 由数学概念引起的分类讨论: a绝对值的意义:|a|分a0 和a0 两种情况讨论可以去掉绝对值号; b直线的斜率:分为存

2、在和不存在两种情形; c指数函数与对数函数的底数a分为 0a1 和a1 两种情形; d多项式ax 2bxc 分为a0(二次函数)和a0(不是二次函数)两种情形; e三角函数:按角所在的不同的区域进行分类,如按象限分类; f平面向量的有关概念,如共线分为同向和反向; g等比数列的公比q:例如q分为q1 和q1. 由数学运算引起的讨论: a分母不为 0; b开偶次方根时,被开方式为非负值; c不等式性质:两边乘以或除以一个正数或一个负数的不同; d各类函数的定义域,如正切函数的定义域 由函数、方程的性质、定理、公式的限制引起的讨论:如二次函数的对称轴与区间的位置关系不同, 则函数的单调性不同,直线

3、方程的不同形式的要求不同,如点斜式方程的直线的斜率必须是存在的,截距 式方程的直线不能与坐标轴平行;等比数列的前n项和公式 由图形的不确定性引起的分类讨论 由参数的变化引起的分类讨论 由排列组合引起的分类讨论 (3)分类的原则: 分类的对象确定,标准统一; 不重复,不遗漏,即对分类对象分类后交集为空集,并集为全集; 分层次,不越级讨论 (4)分类讨论思想所解决的问题类型: 问题中的变量或含有的参数需要进行分类讨论; 问题中的条件和结论不唯一确定,而是有多种可能,要按出现的情况一一分类加以讨论; 由变形引起的讨论,或解题过程遇到无法统一叙述的情形,必须分类讨论; 有关几何问题中,几何元素(如点、

4、线段、直线、平面、几何体等)的形状、位置的不确定引起讨论 (5)分类讨论的一般流程: 明确讨论的对象 确定讨论的全体 选择分类的标准 逐类进行讨论 获得初步结果 归纳整合 写出结论 例题剖析例题剖析 一、由数学概念引起的分类讨论 【例 1】 已知集合A1,3,m,B1,m,ABA,则m_. 【答案】 0 或 3 【解析】因为ABA,所以BA,所以m3 或mm.若m3,则A1,3, 3,B1,3,满 足ABA.若mm,解得m0 或m1.若m0,则A1,3,0,B1,0,满足ABA,若m1, 则A1,3,1,B1,1显然不成立,综上m0 或m3. 【例 2】 已知函数有四个不同零点,求实数 m 的

5、取值范围. 【解析】化简可得 1 |(|)0 2 xm x x .于是,| 0,0xx即为一个零点. 由 1 | 0 2 m x x ,可通过画出函数 1 2 y x 与|ym x的图像,可知, 2 1 | 0(0),210 2 m xxmxmx x 即,若有相等实数根,则1m. 结合图形可知,此时1m时方程有三个实数根. 所以,1m时函数有四个零点. 2 2 )(mx x x xf 二、由数学运算引起的分类讨论 【例 3】 已知mR R,ab1,f(x) mx x1,试比较 f(a)与f(b)的大小 【解析】 由题意,f(a)f(b) ma a1 mb b1 m(ba) (a1)(b1).

6、ab1, a10,b10,ba0, 当m0 时, m(ba) (a1)(b1)0, f(a)f(b); 当m0 时, m(ba) (a1)(b1)0, f(a)f(b); 当m0 时, m(ba) (a1)(b1)0, f(a)f(b) 三、由公式、性质、定理等引起的分类讨论 【例 4】设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0(n1,2,3) (1)求q的取值范围; (2)设bnan23 2a n1,bn的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小 【解析】 (1)因为an是等比数列,Sn0, 可得a1S10,q0, 当q1 时,Snna10. 当q1 时,Sna 1(1q n) 1q 0, 即1

7、q n 1q0(n1,2,), 则有 1q0 1q n0或 1q0 1q n0 由得n可为奇数,可为偶数, 1q1,由得q1. 故q的取值范围是(1,0)(0,) (2)由bnan23 2a n1an q 23 2q , Tn q 23 2 q S n,于是TnSnSn q 23 2q1 S n q1 2 (q2),又Sn0 且1q0 或q0,则当 1q1 2或 q2 时,TnSn0,即TnSn, 当1 2q2 且 q0 时,TnSn0,即TnSn. 当q1 2或 q2 时,TnSn0,即TnSn. 四、由参数变化引起的分类讨论 【例 5】 设函数f(x)mx 2mx1. (1)若对一切实数x

8、,f(x)0 恒成立,求实数m的取值范围; (2)对于x1,3,f(x)m5 恒成立,求实数m的取值范围 【解析】 (1)当m0 时,f(x)10 恒成立, 当m0 时,若f(x)0 恒成立, 则 m0, m 24m0, 解得4m0, 综上所述,实数m的取值范围为(4,0 (2)要x1,3,f(x)m5 恒成立, 即m x1 2 2 3 4m60,x1,3恒成立 令g(x)m x1 2 2 3 4m60,x1,3 当m0 时,g(x)是增函数,所以g(x)maxg(3)7m60, 解得m6 7,所以 0m 6 7. 当m0 时,60 恒成立; 当m0 时,g(x)是减函数所以g(x)maxg(

9、1)m60,解得m6. 所以m0. 综上所述,实数m的取值范围为(,6 7) 五、由图形引起的分类讨论 【例 6】 已知方程mx 22y2m1(mR R),对于不同范围的 m值,请分别指出方程所表示的图形 【解析】 要对m0 和m1 的情况进行讨论;当m0 且m1 时,方程变形为 x 2 m1 m y 2 m1 2 1, 由m1 2 m1 m 得m2,这样1,0,2 把数轴分成四个区间,所以要分多种情况讨论 (1)当m0 时,方程为 2y 21,y 2 2 ,图形为两条平行直线; (2)当m1 时,方程为x 22y20,即 y 2 2 x,图形为两条相交直线; (3)当m0 且m1 时,方程化

10、为 x 2 m1 m y 2 m1 2 1. m1 时,m1 m 0,m1 2 0,图形为焦点在x轴上的双曲线; 当1m0 时,m1 m 0,m1 2 0,图形为焦点在y轴上的双曲线; 当 0m2 时,0m1 2 m1 m ,图形为焦点在x轴上的椭圆; 当m2 时,方程为x 2y23 2,图形为圆心在原点,半径为 6 2 的圆; 当m2 时,0m1 m m1 2 ,图形为焦点在y轴上的椭圆 六、由排列组合引起的分类讨论 【例 7】 如图所示,一个地区有 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色, 若有 4 种颜色可供选用,则不同的着色方法共有多少种? 【解析】分类讨论.至少需

11、要不同的三种颜色才能完成. 若只用三种颜色,涂(1)有 1 3 C种不同颜色,涂 (2)(4)有 1 2 C种,涂(5)(3)有 1 1 C种,则此时共有有有 1 3 C 1 2 C 1 1 C=6 种不同涂法. 若用四种颜色,(2)(4)不同颜色,(3)(5)相同颜色,有 121 431 24CPC种不同涂法. 同理,) (3)(5)不同颜色,(2)(4 相同颜色,有 121 431 24CPC种不同涂法. 于是,共有24 24 654 种不同涂法. 巩固训练巩固训练 1已知Mx|xa0,Nx|ax10,若MNN,则实数a的值为_ 【答案】0 或 1 或1 【解析】 MNNNM.当a0 时,

12、N,符合要求,当a0 时,只要a1 a,即 a1. 2若a是非零实数,则a 2 2 a的取值范围是_ 【答案】(,22,) 【解析】 当a0 时,a 2 2 a2 a 2 2 a2,当且仅当 a2 时等号成立;当a 2), 关于x的函数解析式为: = 0( 0) 1 4 2 (0 2) 故答案为: = 0( 0) 1 4 2 (0 2) 6已知aR R,函数f(x) x4 xa a在区间上的最大值是 5,则a的取值范围是_ 【答案】(,9 2 【解析】 x1,4,x4 x4,5,分类讨论: 当a5 时,f(x)ax4 xa2ax 4 x,函数的最大值 2a45,a 9 2,舍去; 当a4 时,

13、f(x)x4 xaax 4 x5,此时命题成立; 当 41 时,(*)式为x2 x x 2ax 2 x, 3 2x 2 xa x 2 2 x. 又3 2x 2 x( 3 2x 2 x)2 3(当 x2 3 3 时取等号),x 2 2 x2 x 2 2 x2(当 x2 时取等号),所 以2 3a2.综上,47 16a2.故选 A. 三、解答题三、解答题 9.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bc2acosB. (1)证明:A2B; (2)若ABC的面积Sa 2 4,求角 A的大小 【解析】 (1)证明:由正弦定理得 sinBsinC2sinAcosB, 故 2sinAco

14、sBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB, 于是 sinBsin(AB)又A,B(0,),故 0 1时,函数无零点; 1时,() = ( 1) + 1 = 2 ( + 1) + 1, 根据()的图象知,在(1,+)上, 0 1时,函数有 1 个零点; 1或 = 0时,函数无零点 综上,当3 + 22 1,或 = 3 + 22时,()有 1 个零点; 当1 3 + 22时,()无零点 新题速递新题速递 1(2019上海模拟)已知等比数列 n a的首项为 2,公比为 1 3 ,其前n项和记为 n S,若对任意的 * nN, 均有 1 3 n n ASB S 剟恒成立,则B

15、A的最小值为( ) A 7 2 B 9 4 C 11 4 D 13 6 【分析】 331 () 223 n n S ,n为奇数时, 33 1 ( ) 223 n n S ,根据单调性可得: 1 3 2 2 n SS;n为偶数 时, 33 1 ( ) 223 n n S ,根据单调性可得: 2 43 32 n SS可得 n S的最大值与最小值分别为:2, 4 3 考虑到 函数 1 3yt t 在(0,)上单调递增,即可得出 【解答】解: 1 21() 331 3 () 1 223 1() 3 n n n S , n为奇数时, 33 1 ( ) 223 n n S ,可知: n S单调递减,且 3

16、 lim 2 n n S , 1 3 2 2 n SS; n为偶数时, 33 1 ( ) 223 n n S ,可知: n S单调递增,且 4 lim 3 n n S , 2 43 32 n SS n S的最大值与最小值分别为:2, 4 3 考虑到函数 1 3yt t 在(0,)上单调递增, 14113 (3)3 4 34 3 nmin n AS S 1111 (3)32 22 nmax n BS S BA的最小值 11139 244 故选:B 2(2019徐汇区一模)已知数列 n a是公差不为 0 的等差数列,前n项和为 n S,若对任意的*nN,都有 3n SS,则 6 5 a a 的值不

17、可能为( ) A2 B 5 3 C 3 2 D 4 3 【分析】由等差数数列前n项和公式推导出 1 32dad剟,由此能求出 6 5 a a 的值不可能为 4 3 【解答】解:数列 n a是公差不为 0 的等差数列,前n项和为 n S,对任意的*nN,都有 3n SS, 13 23 43 SS SS SS , 11 11 11 32 3 2 32 23 2 4332 43 22 aad adad adad ,且 1 32dad剟, 当 61 51 5 2 4 aad aad 时, 1 3ad 成立; 当 61 51 55 43 aad aad 时, 1 5 4 ad 成立; 当 61 51 5

18、3 42 aad aad 时, 1 2ad 成立; 当 61 51 54 43 aad aad 时, 1 ad 不成立 6 5 a a 的值不可能为 4 3 故选:D 3(2019浦东新区二模)已知正方形ABCD边长为 8,,3BEEC DFFA,若在正方形边上恰有 6 个不同 的点P,使PE PF,则的取值范围为 【分析】建立坐标系,逐段分析PE PF的取值范围及对应的解得答案 【解答】解:以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图:如图,则(0,2)F, (8,4)E (1)若P在AB上,设( ,0)P x,08x剟 (,2)PFx ,(8,4)PEx 2 88PE

19、PFxx, 0x,8,88PE PF 剟, 当8 时有一解,当88 时有两解; (2)若P在AD上,设(0, )Py,08y , (0,2)PFy,(8,4)PEy 2 (2)(4)68PE PFyyyy 08y ,124PE PF 当1 或824时有唯一解;当18 时有两解 (3)若P在DC上,设( ,8)P x,08x (, 6)PFx ,(8, 4)PEx, 2 824PE PFxx, 08x ,824PE PF 剟, 当8时有一解,当824 时有两解 (4)若P在BC上,设(8, )Py,08y, ( 8,2)PFy ,(0,4)PEy, 2 (2) (4)68PE PFyyyy 08

20、y,124PE PF, 当1 或824时有一解,当18 时有两解 综上,在正方形ABCD的四条边上有且只有 6 个不同的点P,使得PE PF成立,那么的取值范围是 ( 1,8) 故答案为:( 1,8) 4(2019黄浦区二模)已知以 1 a为首项的数列 n a满足: * 1 | |1|() nn aanN (1)当 1 1 3 a 时,且10 n a ,写出 2 a、 3 a; (2)若数列 * |(110,) n annN剟是公差为1的等差数列,求 1 a的取值范围; (3)记 n S为 n a的前n项和,当 1 0a 时, 给定常数 * (4,)m mmN,求 1m S 的最小值; 对于数

21、列 1 a, 2 a, 8 a,当 8 S取到最小值时,是否唯一存在满足 * 21 | |1|(26,) jj aajjN 剟的数 列 n a?请说明理由 【分析】 (1)当 1 1 3 a 时, 且10 n a , 可得011 n a , 21 2 | |1| 3 aa, 可得 2 2 3 a 同理可得: 3 a (2)数列 * |(110,) n annN剟是公差为1的等差数列, 由 1 | | (1) 0 n aan,可得 1 |1an 10n 时, 1 |9a ,由 * 1 | |1|() nn aanN 可得 1 1(|) n aan ,正号不成立,因此 1 |1 0 n aan 即

22、可得 出 (3)当 1 0a 时, 1 (1) nn aa 2 1a , 3 2a ,或 0 4 3a ,1 可得m为奇数,最小值010110 ,m为偶数,最小值0 123(2)m 不唯一, 8 4S ,例如 0、1、0、1、0、1、0、1和 0、1、2、1、2、1、2、1均符合 【解答】解:(1)当 1 1 3 a 时,且10 n a ,011 n a , 21 2 | |1| 3 aa, 2 2 3 a 同理可得: 3 1 3 a (2)数列 * |(110,) n annN剟是公差为1的等差数列, 1 | | (1) 0 n aan, 1 |1an 10n 时, 1 |9a , * 1 | |1|() nn aanN 1 1(|) n aan ,正号不成立, 1 |1 0 n aan 1 9a (3)当 1 0a 时, 1 (1) nn aa 2 1a , 3 2a ,或 0 4 3a ,1 m为奇数,最小值 1 010110 2 m , m为偶数,最小值 2 0123(2) 2 m m 不唯一, 8 4S ,例如 0、1、0、1、0、1、0、1和 0、1、2、1、2、1、2、1均符合