1、专题专题 18 高中常见数学方法高中常见数学方法 专题点拨专题点拨 当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套” ，这只是满足于解出来，只有在对数学方法 理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法高中试题十分重视对于数学方法的考查，特别是突出 考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学方法我们要有意识地应用数学方法去分析问题，解决 问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光 为帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的方法，本讲对数学中常见的方法加以总结与介绍高中数 学常见的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、代入法、反证法、综合法与分析法、构造法等 例题剖析例题剖析 1
2、. 配方法 【例 1】函数 2 1 2 log ( 253)yxx的单调递增区间是_ 【答案】 5 4，3) 【解析】 通过配方法将函数进行变形， 利用定义域和对数函数及复合函数的单调性求解函数的值域 令 f(x)2x25x32(x5 4) 249 8 ，得到对称轴 x5 4，又2x 25x30，解得1 2x3，即函 数 y 的定义域为(1 2，3)， 结合对数函数及复合函数的单调性求解易得出函数 y 的单调递增区间是 5 4，3) 2.换元法 【例 2】已知 x0，求 ysinxcosxsinxcosx 的值域 【解析】 利用(sinxcosx)212sinxcosx，采用换元法解题 令 t
3、sinxcosxsinxcosxt 21 2 (t1， 2)， y1 2t 2t1 2 1 2(t1) 21，所求函数的值域为1，1 2 2 3.待定系数法 【例 3】是否存在常数abcd、 、 、 ，使得等式 222232 123nanbncnd对一切自 然数 n 都成立？并证明你的结论. 【解析】假设存在 a、b、c 使得等式成立，分别令：n1，2，3，4， 得： 1, 8425, 279314, 6416430. abcd abcd abcd abcd ,解得 1 , 3 1 , 2 1 , 6 0. a b c d 于是对 n1、2、3、4，等式 222232 111 123 326
4、nnnn成立，下面用数学归纳法证明对 任意自然数 n，该等式都成立： 证明：数学归纳法 (i)由上可知，n1、2、3、4 时，结论成立. (ii)假设对 nk 时等式成立，即 222232 111 123 326 kkkk. 当 nk1 时， 22222322 32 111 =123(1)(1) 326 1313 1. 326 kkkkkk kkk 左边 右边= 32 111 (1)(1)(1) 326 kkk= 32 1313 1 326 kkk.因此，左边=右边. 也就是说，等式对 nk1 也成立. 综上所述， 222232 111 123 326 nnnn对一切自然数 n 都成立. 4.
5、反证法 【例 4】已知an是正数组成的数列，a11，且点( an，an1)(nN*)在函数 yx21 的图像上 (1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足 b11，bn1bn2an，求证：bnbn2 c cm. 【解析】 (构造法)构造函数 f(x) x xm(x0) x0，m0，f(x) x xm1 m xm在(0，)上是增函数 又f(a)f(b) a am b bm a abm b abm ab abmf(ab)， 且 abc，f(ab)f(c) c cm.f(a)f(b)f(ab)f(c)，即 a am b bm c cm. ( )f x *NnnfA ( )f x 2 logyxsin 2 yx b( )2xf xb * ,d bN( )g xdxb