1、2020 年年 4 月月河南省名校联盟高考数学模拟试卷（理科）河南省名校联盟高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知复数 z 满足 z2zii（i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 Mx|x23x+4，Nx|x3，则 MN（ ） A（1，3） B（1，2） C（3，4） D（4，+） 3设 ， 是夹角为 60的单位向量，则|4 3 |（ ） A6 B C D7 4若双曲线 mx2y21 的一条渐近线为 2xy0，则实数 m（ ） A B C2 D4 5已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若
2、 S4a7+1，a4+a74，则 a10（ ） A B4 C D 6下列命题为真命题的个数是（ ） xx|x 是无理数，x2是无理数； 若 0，则 或 ； 命题“若 x2+y20，xR，yR，则 xy0“的逆否命题为真命题； 函数 f（x） 是偶函数 A1 B2 C3 D4 7已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，将角 的终边按顺时针方向 旋转 经过点（3，4），则 cos（ ） A B C D 86 名学生中有且只有 4 名同学会颠足球，从中任意选取 2 人，则这 2 人都会颠足球的概 率为（ ） A B C D 9函数 f（x）x2xsinx 的图象大致为（ ） A B
3、C D 10 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACBC4， ACBC， CC15， D， E 分别是 AB， B1C1的中点，则异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为（ ） A B C D 11已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（x1）为偶函数，且函数 f（x）与直线 yx 有 一个交点（1，f（1），则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）（ ） A2 B0 C1 D1 12已知 F1，F2分别为椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于 第一象限内的点，延长 PF2交椭圆于点 Q若PF1Q 是等腰直角三角形且 PF1为斜边，
4、 则椭圆 C 的离心率为（ ） A B 1 C D2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知函数 f（x）2exf（0）sinx，则 f（0） 14已知实数 x，y 满足 ，则 z2x+y 的最大值为 15已知数列an是各项均为负数的等比数列，a22，且 an+1an+2an1（n2），则 a6 16已知半径为 4 的球面上有两点 A，B，且 AB8，球心为 O，若 C 是球面上的动点， 且二面角 CABO 的大小为 60，则四面体 OABC 的外接球表面积为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说眀、 证眀过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个
5、试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2cosAsinBsinA+2sinC （1）求角 B 的大小； （2）若 a2，ABC 的面积为 2 ，求 b 18 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形且 AD2AB， 侧面 PAD底面 ABCD， 且侧面 PAD 是正三角形，E 是 AD 的中点 （1）证明：CE平面 PBE； （2）求二面角 DPCB 的余弦值 19已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线 C 上的点到准线的最小距离为 2 （1）
6、求抛物线 C 的方程； （2）若过点 F 作互相垂直的两条直线 11，l2，l1与抛物线 C 交于 A，B 两点，l2与抛物线 C 交于 C，D 两点，M，N 分别为弦 AB，CD 的中点，求|MF| |NF|的最小值 20“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本”在中华民 族几千年绵延发展的历史长河中， 爱国主义始终是激昂的主旋律 爱国汽车公司拟对 “东 方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入 x（亿 元）与科技改造直接收益 y（亿元）的数据统计如下： x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y 13 22
7、31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当 0x17 时，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型： ；模型： 14.4；当 x17 时，确定 y 与 x 满足的线性回归方程为： （1）根据下列表格中的数据，比较当 0x17 时模型、的相关指数 R2，并选择拟 合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为 17 亿元 时的直接收益 回归模型 模型 模型 回归方程 14.4 182.4 79.2 （附：刻画回归效果的相关指数 R21 ， 4.1） （2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴收益 10 亿元，以
8、回归方程为预测依据，比较科技改造投入 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的 大小； （附：用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式 ；a ） （3） 科技改造后，“东方红” 款汽车发动机的热效率 X 大幅提高， X 服从正态分布 N （0.52， 0.012）， 公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过 50%但不超过 53%，不 予奖励；若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%，每台发动机奖励 2 万元；若发动机 的热效率超过 53%，每台发动机奖励 5 万元求每台发动机获得奖励的数学期望 （附：随机变量 服从正态分布 N（，2），则 P（+）0.6826，P（ 2+2
9、）0.9544） 21已知函数 f（x）x2+（2a）xalnx（aR） （1）当 a2 时，求 f（x）的图象在 x1 处的切线方程； （2）当 a3 时，求证：f（x）在1，+）上有唯一零点 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（ 为参数），以坐 标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系， 直线 l 的极 坐标方程为 sin（ ） （1）写出曲线 C 的普通方程和直线 1 的直角坐标方程 （2）若直线
10、1 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求OAB 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）7 的解集； （2）若x0R，f（x0）|3a|，求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知复数 z 满足 z2zii（i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 解：由 z
11、2zii，得 z ， 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ， ），在第二象限 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 2已知集合 Mx|x23x+4，Nx|x3，则 MN（ ） A（1，3） B（1，2） C（3，4） D（4，+） 【分析】求出集合 M，N，由此能求出 MN 解：集合 Mx|x23x+4x|1x4， Nx|x3， MNx|1x3（1，3 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 3设 ， 是夹角为 60的单位向量，则|4 3 |（ ） A6 B C D7 【分析】 根
12、据题意， 由数量积的计算公式可得 ， 又由|4 3 |216 224 9 2， 代 入数据计算可得答案 解：根据题意， ， 是夹角为 60的单位向量，即| |1，| |1，则 ， 则|4 3 |216 224 9 213， 则|4 3 | ； 故选：C 【点评】本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的计算公式，属于基础题 4若双曲线 mx2y21 的一条渐近线为 2xy0，则实数 m（ ） A B C2 D4 【分析】化双曲线方程为标准方程，写出其渐近线方程，结合已知可得关于 m 的方程， 求解得答案 解：双曲线 mx2y21 化为标准方程为 ， 其渐近线方程为 y ， 又双曲线 mx2y2
13、1 的一条渐近线为 2xy0， ，即 m4 故选：D 【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题 5已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S4a7+1，a4+a74，则 a10（ ） A B4 C D 【分析】直接根据题意列式，通过等差数列的基本性质即可得到答案 解：由题，等差数列an的前 n 项和为 Sn， S4a7 +1，即 ，解得 又a1+a10a4+a74， 故选：C 【点评】本题考查等差数列的通项公式，前 n 项和公式，以及等差数列的基本性质，属 于基础题 6下列命题为真命题的个数是（ ） xx|x 是无理数，x2是无理数； 若 0，则 或 ； 命题“若
14、x2+y20，xR，yR，则 xy0“的逆否命题为真命题； 函数 f（x） 是偶函数 A1 B2 C3 D4 【分析】根据函数，向量，整数，命题的基本概念，逐一分析四个结论的真假，可得答 案 解： 对于 （1） 中， 当 x 时， x22 为有理数， 故错； 对于 （2） 若 0， 可以有 ， 故错； 对于（3）命题“若 x2+y20，xR，yR，则 xy0“是真命题，则它的逆否命题为 真命题，故对；对于（4）f（x） f（x），且函数定义域（，0）（0， +）关于原点对称，则函数 f（x）是偶函数，故对，综上真命题有 2 个 故选：B 【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数，向量，整
15、数，命题的的基本概念， 难度不大，属于基础题 7已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，将角 的终边按顺时针方向 旋转 经过点（3，4），则 cos（ ） A B C D 【分析】由已知利用三角函数的定义可得 cos（ ），sin（ ）的值，进而根据两 角和的余弦函数公式即可求解 cos 的值 解：角 的终边按顺时针方向旋转 后得到的角为 ，由三角函数的定义，可得 cos （ ） ，sin（ ） ， coscos（ ）cos（ ）cos sin（ ）sin （ ） 故选：D 【点评】本题主要考查了三角函数的定义，考查了两角和的余弦函数公式在三角函数化 简求值中的应用，属于基础题
16、 86 名学生中有且只有 4 名同学会颠足球，从中任意选取 2 人，则这 2 人都会颠足球的概 率为（ ） A B C D 【分析】从中任取两人，基本事件总数 n ，这两人都会颠足球包含的基本事件 个数 m ，由此能求出这 2 人都会颠足球的概率 解：6 名学生中有且只有 4 名同学会颠足球， 从中任取两人，基本事件总数 n ， 这两人都会颠足球包含的基本事件个数 m ， 这 2 人都会颠足球的概率为 p 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 9函数 f（x）x2xsinx 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数为偶函
17、数，可排除 B，利用导数研究可知当 x0 时，f（x）0，且 f（x） 单调递增，可排除 C、D，由此得出正确选项 解：f（x）（x）2（x）sin（x）x2xsinxf（x），且定义域为 R， f（x）为偶函数，故排除选项 B； f（x）x（xsinx），设 g（x）xsinx，则 g（x）1cosx0 恒成立， g（x）单调递增， 当 x0 时，g（x）g（0）0， 当 x0 时，f（x）xg（x）0，且 f（x）单调递增，故排除选项 C、D； 故选：A 【点评】本题考查函数图象的确定，涉及了函数奇偶性的判断，以及利用导数研究函数 的单调性等知识点，考查数形结合思想及计算能力，属于基础题
18、10 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACBC4， ACBC， CC15， D， E 分别是 AB， B1C1的中点，则异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】根据题意可分别以 CA，CB，CC1三直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 从而可得出 C， D， B， E 的坐标， 进而得出向量 ， 的坐标， 从而可求出 ， 的值，进而得出异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值 解：可知 CA，CB，CC1三直线两两垂直，分别以这三直线为 x，y，z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则： C（0，0，0），B（0，4，0），A（4，0
19、，0），D（2，2，0），E（0，2，5）， ， ， ， ， ， ， ， ， 异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为 故选：C 【点评】本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问 题的方法，向量夹角的余弦公式，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础 题 11已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（x1）为偶函数，且函数 f（x）与直线 yx 有 一个交点（1，f（1），则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）（ ） A2 B0 C1 D1 【分析】根据题意，分析可得 f（x4）f（x2）f（x），即函数 f（x）为周期为 4
20、的周期函数，据此可得 f（1）f（3），f（2）f（4）0，结合函数的周期性可 得 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）f（1）+f（2）+f（3），计算可得 答案 解：根据题意，f（x1）为偶函数，函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称，则有 f（ x）f（x2）， 又由 f（x）为奇函数，则 f（x）f（x）， 则有 f（x4）f（x2）f（x），即函数 f（x）为周期为 4 的周期函数， 又由 f（x+2）f（x），则 f（1）f（3），f（2）f（4）0， 故 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）f（1）+f（2）+f（3）f（2）0；
21、 故选：B 【点评】 本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用， 涉及函数值的计算， 属于基础题 12已知 F1，F2分别为椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于 第一象限内的点，延长 PF2交椭圆于点 Q若PF1Q 是等腰直角三角形且 PF1为斜边， 则椭圆 C 的离心率为（ ） A B 1 C D2 【分析】由题意可得PQF1为等腰直角三角形，设|PF1|t，|QF1| t，运用椭圆的定 义可得|PF2|2at，|QF2|（ 1）t2a，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理， 计算可得离心率 解：根据条件可得 PQF1Q 且 PQF1Q，设 PF1t，则 PQF1Q t，
22、根据椭圆的定义可知 PF22at， 则 QF2PQPF2 t （2at） （ 1） t2a， 则 t t4a，解得 t4（ ）a， 所以 F2Q（ 1）t2a（ 1） a2a2（ 1）a， F1Q t 2 a， 在 RTF1QF2中，F1Q2+F2Q2F1F22， 即2（ 1）a2+2 a24c2， 整理得 e2 3（32 ），则 e （ 1） ， 故选：A 【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角 形的性质和勾股定理，以及运算求解能力，属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知函数 f（x）2exf（0）sinx，则
23、f（0） 1 【分析】先求出导函数 f（x）2exf（0）cosx，然后即可求出 f（0）的值 解：f（x）2exf（0）cosx， f（0）2f（0），解得 f（0）1 故答案为：1 【点评】 本题考查了基本初等函数的求导公式， 已知函数求值的方法， 考查了计算能力， 属于基础题 14已知实数 x，y 满足 ，则 z2x+y 的最大值为 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可 的得到结论 解：作出可行域如图， 由 z2x+2y 知，y2x+z， 所以动直线 y2x+z 的纵截距 z 取得最大值时， 目标函数取得最大值 由 得 M（ ， ） 结合可行域可知
24、当动直线经过点 M（ ， ）时， 目标函数取得最大值 z2 故答案为： 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键 15已知数列an是各项均为负数的等比数列，a22，且 an+1an+2an1（n2），则 a6 32 【分析】利用数列的递推关系式，推出an的首项与公比，然后求解即可 解：an+1an+2an1（n2），可得 an+1+an2（an+an1）， 数列an是各项均为负数的等比数列，a22，所以 an+1+an0，所以 q2，则 a6（ 2）2432 故答案为：32 【点评】本题考查数列的递推关系式，等比数列的应用，数列项的求法，是基础题 16已知半径为 4 的球面上
25、有两点 A，B，且 AB8，球心为 O，若 C 是球面上的动点， 且二面角 CABO 的大小为 60，则四面体 OABC 的外接球表面积为 【分析】由球面动点 C 想到以 O 为顶点，以 A，B，C 所在球小圆 O为底面的圆锥，作 出图形，取 AB 中点 E，OEO60，进而求得高和底面半径，列方程即可求解 解：如图，设 A，B，C 所在球小圆为圆 O， 取 AB 中点 E，连接 OE，OE， 则OEO即为二面角 CABO 的平面角，为 60， 由 OAOB4 ，AB8， 得AOB 为等腰直角三角形， OE4， OO2 ，EO2， BO 2 ， 设 OABC 的外接球球心为 M，半径为 r，
26、在 RtBOM 中，有 OB2+OM2BM2（2 r）2+（2 ） 2r2， 解得：r 所以四面体 OABC 的外接球表面积为：4r2 故答案为： 【点评】本题考查多面体外接球半径的求法，考查数形结合的思想与数学转化思想，考 查空间想象能力与运算求解能力，是中档题 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说眀、 证眀过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2cosAsinBsinA+2sinC （1）求角 B 的大小； （2）若
27、 a2，ABC 的面积为 2 ，求 b 【分析】 （1） 由已知利用两角和的正弦函数公式可得 sinA+2sinAcosB0， 结合 sinA0， 可求得 cosB ，结合范围 B（0，），可求 B 的值 （2）由已知利用三角形的面积公式可求 c 的值，进而根据余弦定理即可解得 b 的值 解：（1）2cosAsinBsinA+2sinCsinA+2sin（A+B）sinA+2sinAcosB+2sinBcosA， sinA+2sinAcosB0， sinA0， 1+2cosB0，解得 cosB ， B（0，）， B （2）a2，ABC 的面积为 2 ， acsinB csin 2 ，解得 c4
28、， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 b 2 【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三 角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形且 AD2AB， 侧面 PAD底面 ABCD， 且侧面 PAD 是正三角形，E 是 AD 的中点 （1）证明：CE平面 PBE； （2）求二面角 DPCB 的余弦值 【分析】（1）推导出 PEAD，从而 PE底面 ABCD，PECE，AEDEABCD， BECE，由此能证明 CE平面 PBE （2）以 E 为原点，以 ED，EP 所在直线，
29、AD 的垂直平分线为 x，z，y 轴，建立空间直 角坐标系，利用向量法能求出二面角 DPCB 的余弦值 解：（1）证明：侧面PAD 是正三角形，E 是 AD 中点， PEAD， 侧面 PAD底面 ABCD，侧面 PAD底面 ABCDAD， PE底面 ABCD，PECE， 底面 ABCD 是矩形且 AD2AB， AEDEABCD，AEBDEC45， AEB+DEC90，BEC90，BECE， PEBEE，CE平面 PBE （2）解：以 E 为原点，以 ED，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为 x，z，y 轴，建立空 间直角坐标系， 设 AD2AB2，则点 D（1，0，0），C（1，1，0），P
30、（0，0， ），B（1，1，0）， （1，0， ）， （1，1， ）， （1，1， ）， 设平面 PCB 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 z1，得 （0， ，1）， 设平面 PCD 的法向量 （a，b，c）， 则 ，取 c1，得 （ ， ， ）， 设二面角 DPCB 的平面角为 ，则 为钝角， 二面角 DPCB 的余弦值为：cos 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线 C 上的点到准线的最小距离为 2 （1）求抛物线 C 的方程；
31、 （2）若过点 F 作互相垂直的两条直线 11，l2，l1与抛物线 C 交于 A，B 两点，l2与抛物线 C 交于 C，D 两点，M，N 分别为弦 AB，CD 的中点，求|MF| |NF|的最小值 【分析】（1）由题意可知 ，所以 p4，从而得到抛物线 C 的方程； （2）显然直线 AB，CD 的斜率都存在且均不为 0，设直线 AB 的斜率为 k，则直线 CD 的 斜率为 ，所以直线 AB 的方程为 yk（x2），与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 点 M 的坐标， 同理可得点 N 的坐标， 进而求出|NF|， |MF|， 再利用基本不等式即可求出|MF| |NF|的最小值 解：（1）因为抛物线
32、 C 上的点到准线的最小距离为 2，所以 ， 解得 p4， 故抛物线 C 的方程为：y28x； （2）由（1）可知焦点为 F（2，0）， 由已知可得 ABCD，所以两直线 AB，CD 的斜率都存在且均不为 0， 设直线 AB 的斜率为 k，则直线 CD 的斜率为 ， 故直线 AB 的方程为 yk（x2）， 联立方程 ，消去 x 得：ky 28y16k0， 设点 A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， 因为 M（xM，yM）为弦 AB 的中点，所以 ， 由 yMk（xM2），得 ， 故点 M（ ， ）， 同理可得：N（4k2+2，4k）， 故|NF| 4 ，|MF| ， 所以|MF|NF|
33、4 16 16 （|k| ） 16 32， 当且仅当|k| ，即 k1 时，等号成立， 所以|MF| |NF|的最小值为 32 【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题 20“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本”在中华民 族几千年绵延发展的历史长河中， 爱国主义始终是激昂的主旋律 爱国汽车公司拟对 “东 方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入 x（亿 元）与科技改造直接收益 y（亿元）的数据统计如下： x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y 13 22 31 42 50
34、56 58 68.5 68 67.5 66 66 当 0x17 时，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型： ；模型： 14.4；当 x17 时，确定 y 与 x 满足的线性回归方程为： （1）根据下列表格中的数据，比较当 0x17 时模型、的相关指数 R2，并选择拟 合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为 17 亿元 时的直接收益 回归模型 模型 模型 回归方程 14.4 182.4 79.2 （附：刻画回归效果的相关指数 R21 ， 4.1） （2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴收益 10 亿元，以回归方程为预测依据
35、，比较科技改造投入 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的 大小； （附：用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式 ；a ） （3） 科技改造后，“东方红” 款汽车发动机的热效率 X 大幅提高， X 服从正态分布 N （0.52， 0.012）， 公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过 50%但不超过 53%，不 予奖励；若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%，每台发动机奖励 2 万元；若发动机 的热效率超过 53%，每台发动机奖励 5 万元求每台发动机获得奖励的数学期望 （附：随机变量 服从正态分布 N（，2），则 P（+）0.6826，P（ 2+2）0.9544）
36、【分析】（1）由表格中的数据，结合刻画回归效果的相关指数，可得结论； （2）求得样本中心点，可得当 x17 亿元时，y 与 x 满足的线性回归方程，令 x20， 可得所求大小； （3）由正态分布的计算公式，以及数学期望公式，可得所求值 解：（1）由表格中的数据，有 182.479.2，即 ， 所以模型的 R2小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好 所以当 x17 亿元时，科技改造直接收益的预测值为 （亿元）； （2）由已知可得： ， 所以 ， ，所以 ， 所以 ， 所以当 x17 亿元时，y 与 x 满足的线性回归方程为： ， 所以当 x20 亿元时，科技改造直接收益的预测值 ， 所以当 x
37、20 亿元时，实际收益的预测值为 69.3+1079.3 亿元72.93 亿元， 所以技改造投入 20 亿元时，公司的实际收益的更大； （3）因为 P（0.520.02X0.52+0.02）0.9544， 所以 ， ， 因为 P（0.520.1X0.52+0.1）0.6826， 所以 ， 所以 P（0.50X0.53）0.97720.15870.8185， 设每台发动机获得的奖励为 Y（万元），则 Y 的分布列为： Y 0 2 5 P 0.0228 0.8185 0.1587 所以每台发动机获得奖励的数学期望为 E （Y） 00.0228+20.8185+50.15872.4305 （万元）
38、【点评】本题考查线性回归方程的求法和运用，考查离散型随机变量的数学期望，考查 化简运算能力，属于基础题 21已知函数 f（x）x2+（2a）xalnx（a一、选择题） （1）当 a2 时，求 f（x）的图象在 x1 处的切线方程； （2）当 a3 时，求证：f（x）在1，+）上有唯一零点 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线 方程； （2）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的特征性质，结合函数的零点判定定理可 证 解：（1）a2 时，f（x）x22lnx，x0， ， 则 f（1）1，f（1）0， 故 f（x）的图象在 x1 处的切线方程 y1； 证明
39、： （2） 当 a3 时， ， x0， 又 ， 当 1 时，f（x）0，函数单调递减，当 x 时，f（x）0，函数单调递 增， 所以 f（x）minf（ ） a（1 ）， 令 g（a）1 ，a3， 显然 g （a） 在 （3， +） 上单调递减， 且 g （3） ， 所以 g（a）0，即 f（x）min0， 又 f（ea）e2a+（2a）eaa2， 令 h（a）e2a+（2a）eaa2，则 h（a）2e2a+ea（1a）2a， ea（eaa+1）+（e2a2a）， 令 t（a）eaa，a3 则 t（a）ea10， 故 t（a）在（3，+）上单调递增，t（a）t（3）0， 所以 eaa0，e2a
40、2a0，h（a）0， 所以 h（a）在（3，+）上单调递增，h（a）h（3）e6e39e3（e31）90， 所以 f（ea）0， 又 f（1）3a0，结合单调性可知，f（x）在1，+）上有唯一零点 【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用及利用导数和函数的性质，零点判定定理 求解函数的零点个数，属于难题 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（ 为参数），以坐 标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系， 直线
41、 l 的极 坐标方程为 sin（ ） （1）写出曲线 C 的普通方程和直线 1 的直角坐标方程 （2）若直线 1 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求OAB 的面积 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的参数方程为 ，（ 为参数），转换为直角坐标方程为 x2+（y2）24 直线 l 的极坐标方程为 sin（ ） ，整理得 转换为 直角坐标方程为 x+y30 （2）由于原点（0，0）到直线 x+y30 的距离 d ， 所以|AB|2 ， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、
42、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极 径的应用，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算 能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）7 的解集； （2）若x0R，f（x0）|3a|，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集可得所求解集； （2）由题意可得 f（x0）min|3a|，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值， 再由绝对值不等式的解法可得所求范围 解：（1）当 a1 时，不等式 f（x）7 即|x1|+|x+2|7， 等价为 或 或 ， 解得 1x3 或2x1 或4x2， 则原不等式的解集为4，3； （2）x0R，f（x0）|3a|， 可得 f（x0）min|3a|， 由|xa|+|x+2|xax2|a+2|，当（xa）（x+2）0 时，取得等号 则|a+2|3a|，即为 a2+4a+4a26a+9， 解得 a ， 可得实数 a 的取值范围为（， 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式成立问题解法，考查分类讨论思想和转 化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题