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2020年4月河南省名校联盟高考数学模拟试卷(理科)含答案解析

1、2020 年年 4 月月河南省名校联盟高考数学模拟试卷(理科)河南省名校联盟高考数学模拟试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题) 1已知复数 z 满足 z2zii(i 为虚数单位),则复数 z 在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 Mx|x23x+4,Nx|x3,则 MN( ) A(1,3) B(1,2) C(3,4) D(4,+) 3设 , 是夹角为 60的单位向量,则|4 3 |( ) A6 B C D7 4若双曲线 mx2y21 的一条渐近线为 2xy0,则实数 m( ) A B C2 D4 5已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若

2、 S4a7+1,a4+a74,则 a10( ) A B4 C D 6下列命题为真命题的个数是( ) xx|x 是无理数,x2是无理数; 若 0,则 或 ; 命题“若 x2+y20,xR,yR,则 xy0“的逆否命题为真命题; 函数 f(x) 是偶函数 A1 B2 C3 D4 7已知角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,将角 的终边按顺时针方向 旋转 经过点(3,4),则 cos( ) A B C D 86 名学生中有且只有 4 名同学会颠足球,从中任意选取 2 人,则这 2 人都会颠足球的概 率为( ) A B C D 9函数 f(x)x2xsinx 的图象大致为( ) A B

3、C D 10 如图, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中, ACBC4, ACBC, CC15, D, E 分别是 AB, B1C1的中点,则异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为( ) A B C D 11已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(x1)为偶函数,且函数 f(x)与直线 yx 有 一个交点(1,f(1),则 f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)+f(2019)( ) A2 B0 C1 D1 12已知 F1,F2分别为椭圆 C: 1(ab0)的左、右焦点,点 P 是椭圆上位于 第一象限内的点,延长 PF2交椭圆于点 Q若PF1Q 是等腰直角三角形且 PF1为斜边,

4、 则椭圆 C 的离心率为( ) A B 1 C D2 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知函数 f(x)2exf(0)sinx,则 f(0) 14已知实数 x,y 满足 ,则 z2x+y 的最大值为 15已知数列an是各项均为负数的等比数列,a22,且 an+1an+2an1(n2),则 a6 16已知半径为 4 的球面上有两点 A,B,且 AB8,球心为 O,若 C 是球面上的动点, 且二面角 CABO 的大小为 60,则四面体 OABC 的外接球表面积为 三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说眀、 证眀过程或演算步骤 第 1721 题为必考题, 每个

5、试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分 17在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2cosAsinBsinA+2sinC (1)求角 B 的大小; (2)若 a2,ABC 的面积为 2 ,求 b 18 如图, 在四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCD 为矩形且 AD2AB, 侧面 PAD底面 ABCD, 且侧面 PAD 是正三角形,E 是 AD 的中点 (1)证明:CE平面 PBE; (2)求二面角 DPCB 的余弦值 19已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,抛物线 C 上的点到准线的最小距离为 2 (1)

6、求抛物线 C 的方程; (2)若过点 F 作互相垂直的两条直线 11,l2,l1与抛物线 C 交于 A,B 两点,l2与抛物线 C 交于 C,D 两点,M,N 分别为弦 AB,CD 的中点,求|MF| |NF|的最小值 20“爱国,是人世间最深层、最持久的情感,是一个人立德之源、立功之本”在中华民 族几千年绵延发展的历史长河中, 爱国主义始终是激昂的主旋律 爱国汽车公司拟对 “东 方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入 x(亿 元)与科技改造直接收益 y(亿元)的数据统计如下: x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y 13 22

7、31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当 0x17 时,建立了 y 与 x 的两个回归模型:模型: ;模型: 14.4;当 x17 时,确定 y 与 x 满足的线性回归方程为: (1)根据下列表格中的数据,比较当 0x17 时模型、的相关指数 R2,并选择拟 合精度更高、更可靠的模型,预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为 17 亿元 时的直接收益 回归模型 模型 模型 回归方程 14.4 182.4 79.2 (附:刻画回归效果的相关指数 R21 , 4.1) (2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于 20 亿元时,国家给予公司补贴收益 10 亿元,以

8、回归方程为预测依据,比较科技改造投入 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的 大小; (附:用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式 ;a ) (3) 科技改造后,“东方红” 款汽车发动机的热效率 X 大幅提高, X 服从正态分布 N (0.52, 0.012), 公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过 50%但不超过 53%,不 予奖励;若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%,每台发动机奖励 2 万元;若发动机 的热效率超过 53%,每台发动机奖励 5 万元求每台发动机获得奖励的数学期望 (附:随机变量 服从正态分布 N(,2),则 P(+)0.6826,P( 2+2

9、)0.9544) 21已知函数 f(x)x2+(2a)xalnx(aR) (1)当 a2 时,求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程; (2)当 a3 时,求证:f(x)在1,+)上有唯一零点 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ,( 为参数),以坐 标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系, 直线 l 的极 坐标方程为 sin( ) (1)写出曲线 C 的普通方程和直线 1 的直角坐标方程 (2)若直线

10、1 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求OAB 的面积 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|xa|+|x+2| (1)当 a1 时,求不等式 f(x)7 的解集; (2)若x0R,f(x0)|3a|,求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1已知复数 z 满足 z2zii(i 为虚数单位),则复数 z 在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z 的坐标得答案 解:由 z

11、2zii,得 z , 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为( , ),在第二象限 故选:B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是 基础题 2已知集合 Mx|x23x+4,Nx|x3,则 MN( ) A(1,3) B(1,2) C(3,4) D(4,+) 【分析】求出集合 M,N,由此能求出 MN 解:集合 Mx|x23x+4x|1x4, Nx|x3, MNx|1x3(1,3 故选:A 【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 3设 , 是夹角为 60的单位向量,则|4 3 |( ) A6 B C D7 【分析】 根

12、据题意, 由数量积的计算公式可得 , 又由|4 3 |216 224 9 2, 代 入数据计算可得答案 解:根据题意, , 是夹角为 60的单位向量,即| |1,| |1,则 , 则|4 3 |216 224 9 213, 则|4 3 | ; 故选:C 【点评】本题考查向量数量积的计算,注意向量数量积的计算公式,属于基础题 4若双曲线 mx2y21 的一条渐近线为 2xy0,则实数 m( ) A B C2 D4 【分析】化双曲线方程为标准方程,写出其渐近线方程,结合已知可得关于 m 的方程, 求解得答案 解:双曲线 mx2y21 化为标准方程为 , 其渐近线方程为 y , 又双曲线 mx2y2

13、1 的一条渐近线为 2xy0, ,即 m4 故选:D 【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单性质,是基础题 5已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 S4a7+1,a4+a74,则 a10( ) A B4 C D 【分析】直接根据题意列式,通过等差数列的基本性质即可得到答案 解:由题,等差数列an的前 n 项和为 Sn, S4a7 +1,即 ,解得 又a1+a10a4+a74, 故选:C 【点评】本题考查等差数列的通项公式,前 n 项和公式,以及等差数列的基本性质,属 于基础题 6下列命题为真命题的个数是( ) xx|x 是无理数,x2是无理数; 若 0,则 或 ; 命题“若

14、x2+y20,xR,yR,则 xy0“的逆否命题为真命题; 函数 f(x) 是偶函数 A1 B2 C3 D4 【分析】根据函数,向量,整数,命题的基本概念,逐一分析四个结论的真假,可得答 案 解: 对于 (1) 中, 当 x 时, x22 为有理数, 故错; 对于 (2) 若 0, 可以有 , 故错; 对于(3)命题“若 x2+y20,xR,yR,则 xy0“是真命题,则它的逆否命题为 真命题,故对;对于(4)f(x) f(x),且函数定义域(,0)(0, +)关于原点对称,则函数 f(x)是偶函数,故对,综上真命题有 2 个 故选:B 【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了函数,向量,整

15、数,命题的的基本概念, 难度不大,属于基础题 7已知角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,将角 的终边按顺时针方向 旋转 经过点(3,4),则 cos( ) A B C D 【分析】由已知利用三角函数的定义可得 cos( ),sin( )的值,进而根据两 角和的余弦函数公式即可求解 cos 的值 解:角 的终边按顺时针方向旋转 后得到的角为 ,由三角函数的定义,可得 cos ( ) ,sin( ) , coscos( )cos( )cos sin( )sin ( ) 故选:D 【点评】本题主要考查了三角函数的定义,考查了两角和的余弦函数公式在三角函数化 简求值中的应用,属于基础题

16、 86 名学生中有且只有 4 名同学会颠足球,从中任意选取 2 人,则这 2 人都会颠足球的概 率为( ) A B C D 【分析】从中任取两人,基本事件总数 n ,这两人都会颠足球包含的基本事件 个数 m ,由此能求出这 2 人都会颠足球的概率 解:6 名学生中有且只有 4 名同学会颠足球, 从中任取两人,基本事件总数 n , 这两人都会颠足球包含的基本事件个数 m , 这 2 人都会颠足球的概率为 p 故选:D 【点评】本题考查概率的求法,考查排列组合、古典概型等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 9函数 f(x)x2xsinx 的图象大致为( ) A B C D 【分析】由函数为偶函

17、数,可排除 B,利用导数研究可知当 x0 时,f(x)0,且 f(x) 单调递增,可排除 C、D,由此得出正确选项 解:f(x)(x)2(x)sin(x)x2xsinxf(x),且定义域为 R, f(x)为偶函数,故排除选项 B; f(x)x(xsinx),设 g(x)xsinx,则 g(x)1cosx0 恒成立, g(x)单调递增, 当 x0 时,g(x)g(0)0, 当 x0 时,f(x)xg(x)0,且 f(x)单调递增,故排除选项 C、D; 故选:A 【点评】本题考查函数图象的确定,涉及了函数奇偶性的判断,以及利用导数研究函数 的单调性等知识点,考查数形结合思想及计算能力,属于基础题

18、10 如图, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中, ACBC4, ACBC, CC15, D, E 分别是 AB, B1C1的中点,则异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为( ) A B C D 【分析】根据题意可分别以 CA,CB,CC1三直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 从而可得出 C, D, B, E 的坐标, 进而得出向量 , 的坐标, 从而可求出 , 的值,进而得出异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值 解:可知 CA,CB,CC1三直线两两垂直,分别以这三直线为 x,y,z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系,则: C(0,0,0),B(0,4,0),A(4,0

19、,0),D(2,2,0),E(0,2,5), , , , , , , , , 异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为 故选:C 【点评】本题考查了通过建立空间直角坐标系,利用向量坐标解决异面直线所成角的问 题的方法,向量夹角的余弦公式,向量坐标的数量积运算,考查了计算能力,属于基础 题 11已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(x1)为偶函数,且函数 f(x)与直线 yx 有 一个交点(1,f(1),则 f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)+f(2019)( ) A2 B0 C1 D1 【分析】根据题意,分析可得 f(x4)f(x2)f(x),即函数 f(x)为周期为 4

20、的周期函数,据此可得 f(1)f(3),f(2)f(4)0,结合函数的周期性可 得 f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)+f(2019)f(1)+f(2)+f(3),计算可得 答案 解:根据题意,f(x1)为偶函数,函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称,则有 f( x)f(x2), 又由 f(x)为奇函数,则 f(x)f(x), 则有 f(x4)f(x2)f(x),即函数 f(x)为周期为 4 的周期函数, 又由 f(x+2)f(x),则 f(1)f(3),f(2)f(4)0, 故 f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)+f(2019)f(1)+f(2)+f(3)f(2)0;

21、 故选:B 【点评】 本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用, 涉及函数值的计算, 属于基础题 12已知 F1,F2分别为椭圆 C: 1(ab0)的左、右焦点,点 P 是椭圆上位于 第一象限内的点,延长 PF2交椭圆于点 Q若PF1Q 是等腰直角三角形且 PF1为斜边, 则椭圆 C 的离心率为( ) A B 1 C D2 【分析】由题意可得PQF1为等腰直角三角形,设|PF1|t,|QF1| t,运用椭圆的定 义可得|PF2|2at,|QF2|( 1)t2a,再由等腰直角三角形的性质和勾股定理, 计算可得离心率 解:根据条件可得 PQF1Q 且 PQF1Q,设 PF1t,则 PQF1Q t,

22、根据椭圆的定义可知 PF22at, 则 QF2PQPF2 t (2at) ( 1) t2a, 则 t t4a,解得 t4( )a, 所以 F2Q( 1)t2a( 1) a2a2( 1)a, F1Q t 2 a, 在 RTF1QF2中,F1Q2+F2Q2F1F22, 即2( 1)a2+2 a24c2, 整理得 e2 3(32 ),则 e ( 1) , 故选:A 【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要是离心率的求法,考查等腰直角三角 形的性质和勾股定理,以及运算求解能力,属于中档题 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知函数 f(x)2exf(0)sinx,则

23、f(0) 1 【分析】先求出导函数 f(x)2exf(0)cosx,然后即可求出 f(0)的值 解:f(x)2exf(0)cosx, f(0)2f(0),解得 f(0)1 故答案为:1 【点评】 本题考查了基本初等函数的求导公式, 已知函数求值的方法, 考查了计算能力, 属于基础题 14已知实数 x,y 满足 ,则 z2x+y 的最大值为 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,通过数形结合即可 的得到结论 解:作出可行域如图, 由 z2x+2y 知,y2x+z, 所以动直线 y2x+z 的纵截距 z 取得最大值时, 目标函数取得最大值 由 得 M( , ) 结合可行域可知

24、当动直线经过点 M( , )时, 目标函数取得最大值 z2 故答案为: 【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域是解题的关键 15已知数列an是各项均为负数的等比数列,a22,且 an+1an+2an1(n2),则 a6 32 【分析】利用数列的递推关系式,推出an的首项与公比,然后求解即可 解:an+1an+2an1(n2),可得 an+1+an2(an+an1), 数列an是各项均为负数的等比数列,a22,所以 an+1+an0,所以 q2,则 a6( 2)2432 故答案为:32 【点评】本题考查数列的递推关系式,等比数列的应用,数列项的求法,是基础题 16已知半径为 4 的球面上

25、有两点 A,B,且 AB8,球心为 O,若 C 是球面上的动点, 且二面角 CABO 的大小为 60,则四面体 OABC 的外接球表面积为 【分析】由球面动点 C 想到以 O 为顶点,以 A,B,C 所在球小圆 O为底面的圆锥,作 出图形,取 AB 中点 E,OEO60,进而求得高和底面半径,列方程即可求解 解:如图,设 A,B,C 所在球小圆为圆 O, 取 AB 中点 E,连接 OE,OE, 则OEO即为二面角 CABO 的平面角,为 60, 由 OAOB4 ,AB8, 得AOB 为等腰直角三角形, OE4, OO2 ,EO2, BO 2 , 设 OABC 的外接球球心为 M,半径为 r,

26、在 RtBOM 中,有 OB2+OM2BM2(2 r)2+(2 ) 2r2, 解得:r 所以四面体 OABC 的外接球表面积为:4r2 故答案为: 【点评】本题考查多面体外接球半径的求法,考查数形结合的思想与数学转化思想,考 查空间想象能力与运算求解能力,是中档题 三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说眀、 证眀过程或演算步骤 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分 17在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2cosAsinBsinA+2sinC (1)求角 B 的大小; (2)若

27、 a2,ABC 的面积为 2 ,求 b 【分析】 (1) 由已知利用两角和的正弦函数公式可得 sinA+2sinAcosB0, 结合 sinA0, 可求得 cosB ,结合范围 B(0,),可求 B 的值 (2)由已知利用三角形的面积公式可求 c 的值,进而根据余弦定理即可解得 b 的值 解:(1)2cosAsinBsinA+2sinCsinA+2sin(A+B)sinA+2sinAcosB+2sinBcosA, sinA+2sinAcosB0, sinA0, 1+2cosB0,解得 cosB , B(0,), B (2)a2,ABC 的面积为 2 , acsinB csin 2 ,解得 c4

28、, 由余弦定理 b2a2+c22accosB,可得 b 2 【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式,余弦定理在解三 角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题 18 如图, 在四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCD 为矩形且 AD2AB, 侧面 PAD底面 ABCD, 且侧面 PAD 是正三角形,E 是 AD 的中点 (1)证明:CE平面 PBE; (2)求二面角 DPCB 的余弦值 【分析】(1)推导出 PEAD,从而 PE底面 ABCD,PECE,AEDEABCD, BECE,由此能证明 CE平面 PBE (2)以 E 为原点,以 ED,EP 所在直线,

29、AD 的垂直平分线为 x,z,y 轴,建立空间直 角坐标系,利用向量法能求出二面角 DPCB 的余弦值 解:(1)证明:侧面PAD 是正三角形,E 是 AD 中点, PEAD, 侧面 PAD底面 ABCD,侧面 PAD底面 ABCDAD, PE底面 ABCD,PECE, 底面 ABCD 是矩形且 AD2AB, AEDEABCD,AEBDEC45, AEB+DEC90,BEC90,BECE, PEBEE,CE平面 PBE (2)解:以 E 为原点,以 ED,EP 所在直线,AD 的垂直平分线为 x,z,y 轴,建立空 间直角坐标系, 设 AD2AB2,则点 D(1,0,0),C(1,1,0),P

30、(0,0, ),B(1,1,0), (1,0, ), (1,1, ), (1,1, ), 设平面 PCB 的法向量 (x,y,z), 则 ,取 z1,得 (0, ,1), 设平面 PCD 的法向量 (a,b,c), 则 ,取 c1,得 ( , , ), 设二面角 DPCB 的平面角为 ,则 为钝角, 二面角 DPCB 的余弦值为:cos 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 19已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,抛物线 C 上的点到准线的最小距离为 2 (1)求抛物线 C 的方程;

31、 (2)若过点 F 作互相垂直的两条直线 11,l2,l1与抛物线 C 交于 A,B 两点,l2与抛物线 C 交于 C,D 两点,M,N 分别为弦 AB,CD 的中点,求|MF| |NF|的最小值 【分析】(1)由题意可知 ,所以 p4,从而得到抛物线 C 的方程; (2)显然直线 AB,CD 的斜率都存在且均不为 0,设直线 AB 的斜率为 k,则直线 CD 的 斜率为 ,所以直线 AB 的方程为 yk(x2),与椭圆方程联立,利用韦达定理得到 点 M 的坐标, 同理可得点 N 的坐标, 进而求出|NF|, |MF|, 再利用基本不等式即可求出|MF| |NF|的最小值 解:(1)因为抛物线

32、 C 上的点到准线的最小距离为 2,所以 , 解得 p4, 故抛物线 C 的方程为:y28x; (2)由(1)可知焦点为 F(2,0), 由已知可得 ABCD,所以两直线 AB,CD 的斜率都存在且均不为 0, 设直线 AB 的斜率为 k,则直线 CD 的斜率为 , 故直线 AB 的方程为 yk(x2), 联立方程 ,消去 x 得:ky 28y16k0, 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 , 因为 M(xM,yM)为弦 AB 的中点,所以 , 由 yMk(xM2),得 , 故点 M( , ), 同理可得:N(4k2+2,4k), 故|NF| 4 ,|MF| , 所以|MF|NF|

33、4 16 16 (|k| ) 16 32, 当且仅当|k| ,即 k1 时,等号成立, 所以|MF| |NF|的最小值为 32 【点评】本题主要考查了抛物线的定义,以及直线与抛物线的位置关系,是中档题 20“爱国,是人世间最深层、最持久的情感,是一个人立德之源、立功之本”在中华民 族几千年绵延发展的历史长河中, 爱国主义始终是激昂的主旋律 爱国汽车公司拟对 “东 方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入 x(亿 元)与科技改造直接收益 y(亿元)的数据统计如下: x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y 13 22 31 42 50

34、56 58 68.5 68 67.5 66 66 当 0x17 时,建立了 y 与 x 的两个回归模型:模型: ;模型: 14.4;当 x17 时,确定 y 与 x 满足的线性回归方程为: (1)根据下列表格中的数据,比较当 0x17 时模型、的相关指数 R2,并选择拟 合精度更高、更可靠的模型,预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为 17 亿元 时的直接收益 回归模型 模型 模型 回归方程 14.4 182.4 79.2 (附:刻画回归效果的相关指数 R21 , 4.1) (2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于 20 亿元时,国家给予公司补贴收益 10 亿元,以回归方程为预测依据

35、,比较科技改造投入 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的 大小; (附:用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式 ;a ) (3) 科技改造后,“东方红” 款汽车发动机的热效率 X 大幅提高, X 服从正态分布 N (0.52, 0.012), 公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过 50%但不超过 53%,不 予奖励;若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%,每台发动机奖励 2 万元;若发动机 的热效率超过 53%,每台发动机奖励 5 万元求每台发动机获得奖励的数学期望 (附:随机变量 服从正态分布 N(,2),则 P(+)0.6826,P( 2+2)0.9544)

36、【分析】(1)由表格中的数据,结合刻画回归效果的相关指数,可得结论; (2)求得样本中心点,可得当 x17 亿元时,y 与 x 满足的线性回归方程,令 x20, 可得所求大小; (3)由正态分布的计算公式,以及数学期望公式,可得所求值 解:(1)由表格中的数据,有 182.479.2,即 , 所以模型的 R2小于模型,说明回归模型刻画的拟合效果更好 所以当 x17 亿元时,科技改造直接收益的预测值为 (亿元); (2)由已知可得: , 所以 , ,所以 , 所以 , 所以当 x17 亿元时,y 与 x 满足的线性回归方程为: , 所以当 x20 亿元时,科技改造直接收益的预测值 , 所以当 x

37、20 亿元时,实际收益的预测值为 69.3+1079.3 亿元72.93 亿元, 所以技改造投入 20 亿元时,公司的实际收益的更大; (3)因为 P(0.520.02X0.52+0.02)0.9544, 所以 , , 因为 P(0.520.1X0.52+0.1)0.6826, 所以 , 所以 P(0.50X0.53)0.97720.15870.8185, 设每台发动机获得的奖励为 Y(万元),则 Y 的分布列为: Y 0 2 5 P 0.0228 0.8185 0.1587 所以每台发动机获得奖励的数学期望为 E (Y) 00.0228+20.8185+50.15872.4305 (万元)

38、【点评】本题考查线性回归方程的求法和运用,考查离散型随机变量的数学期望,考查 化简运算能力,属于基础题 21已知函数 f(x)x2+(2a)xalnx(a一、选择题) (1)当 a2 时,求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程; (2)当 a3 时,求证:f(x)在1,+)上有唯一零点 【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数的几何意义可求切线的斜率,进而可求切线 方程; (2)先对函数求导,然后结合导数可分析函数的特征性质,结合函数的零点判定定理可 证 解:(1)a2 时,f(x)x22lnx,x0, , 则 f(1)1,f(1)0, 故 f(x)的图象在 x1 处的切线方程 y1; 证明

39、: (2) 当 a3 时, , x0, 又 , 当 1 时,f(x)0,函数单调递减,当 x 时,f(x)0,函数单调递 增, 所以 f(x)minf( ) a(1 ), 令 g(a)1 ,a3, 显然 g (a) 在 (3, +) 上单调递减, 且 g (3) , 所以 g(a)0,即 f(x)min0, 又 f(ea)e2a+(2a)eaa2, 令 h(a)e2a+(2a)eaa2,则 h(a)2e2a+ea(1a)2a, ea(eaa+1)+(e2a2a), 令 t(a)eaa,a3 则 t(a)ea10, 故 t(a)在(3,+)上单调递增,t(a)t(3)0, 所以 eaa0,e2a

40、2a0,h(a)0, 所以 h(a)在(3,+)上单调递增,h(a)h(3)e6e39e3(e31)90, 所以 f(ea)0, 又 f(1)3a0,结合单调性可知,f(x)在1,+)上有唯一零点 【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用及利用导数和函数的性质,零点判定定理 求解函数的零点个数,属于难题 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ,( 为参数),以坐 标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系, 直线

41、 l 的极 坐标方程为 sin( ) (1)写出曲线 C 的普通方程和直线 1 的直角坐标方程 (2)若直线 1 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求OAB 的面积 【分析】(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 (2)利用点到直线的距离公式的应用求出结果 解:(1)曲线 C 的参数方程为 ,( 为参数),转换为直角坐标方程为 x2+(y2)24 直线 l 的极坐标方程为 sin( ) ,整理得 转换为 直角坐标方程为 x+y30 (2)由于原点(0,0)到直线 x+y30 的距离 d , 所以|AB|2 , 所以 【点评】本题考查的知识要点:参数方程、

42、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极 径的应用,点到直线的距离公式的应用,三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算 能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|xa|+|x+2| (1)当 a1 时,求不等式 f(x)7 的解集; (2)若x0R,f(x0)|3a|,求实数 a 的取值范围 【分析】(1)由绝对值的定义,去绝对值符号,解不等式,求并集可得所求解集; (2)由题意可得 f(x0)min|3a|,由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值, 再由绝对值不等式的解法可得所求范围 解:(1)当 a1 时,不等式 f(x)7 即|x1|+|x+2|7, 等价为 或 或 , 解得 1x3 或2x1 或4x2, 则原不等式的解集为4,3; (2)x0R,f(x0)|3a|, 可得 f(x0)min|3a|, 由|xa|+|x+2|xax2|a+2|,当(xa)(x+2)0 时,取得等号 则|a+2|3a|,即为 a2+4a+4a26a+9, 解得 a , 可得实数 a 的取值范围为(, 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式成立问题解法,考查分类讨论思想和转 化思想,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题